中考数学复习专项练习卷_新定义型问题(含答案解析)

新定义
一、单选题(共4道，每道25分)
1.已知抛物线（a，b，c均不为0）的顶点为M，与轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线的衍生抛物线，直线MN为抛物线的衍生直线．
（1）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是和，则这条抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合
2.（上接第1题）（2）如图，设抛物线的顶点为M，与轴的交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与轴平行，再沿轴向上平移1个单位得直线，P是直线上的动点，若△POM为直角三角形，则点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性
3.如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在轴上，点B的横坐标为2．
（1）抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数的表达式
4.（上接第3题）（2）我们把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的“不动点”．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足( )时，平移后的抛物线总有不动点．
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二次函数图象的平移
学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：什么是新定义问题？
问题2：新定义问题的一般思路是什么？
问题3：解决新定义问题时常考虑什么？。

最新的2019中考新定义题1.在平面直角坐标系xOy 中的某圆上，有弦MN ，取MN 的中点P ，我们规定:点P 到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d 中”表示. 以(3,0)W -为圆心，半径为2的圆上. （1）已知弦MN 长度为2.①如图1：当MN ∥x 轴时，直接写出到原点O 的d 中的长度；②如果MN 在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O 的d 中的取值范围. （2）已知点(5,0)M -,点N 为⊙W 上的一动点，有直线2y x =-，求到直线2y x =-的d 中的最大值.图1 图22.研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =. 基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点. （1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________. 3.对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，(3,1)C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 . （2）点D 在直线3+33y x =-上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有 0≤L Q ≤3，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤22时，画出满足条件的最大圆，xyWO x yP NW O M并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）答案：1．解： (1)①. 23……………………………………………2分②示意图正确 …………………………………3分3333d -+中≤≤……………………………4分 （2）由于PW 是⊙W 的弦心距 所以PW MN ⊥所以点N 在运动过程中，点P 在以MW 为直径的圆上…………………5分 由图可知直线与点P 的运动轨迹形成的圆相切时，且 弦中距d 中过圆心时，距离最大………………6分 ∵2y x =-的图象与x 轴夹角是45° ∴由图可得6DE =在等腰直角三角形DFM 中 可得32DE =，所以321PL =+ 即：d 中的最大值为321PL =+2. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴29.d 4≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分 ②33 1.t --2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分 3.（1）①3-． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤QL ≤3．……………………………………………………………… 2分（2）设直线3+33y x =-与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得(33,0)A ，由0≤QL ≤3，作直线3y x =．①如图，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意， 其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BOAO =． ∵ ⊙D 的半径为1，xyP'PN W OMxyDLP NMEWO②如图，当⊙D 与直线3y x =相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线3y x =与直线3+33y x =-的交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则39cos 3322AF OA OAF =⋅∠=⨯=．∵ ⊙D 的半径为1，由①②可得，D x 的取值范围是534≤D x ≤23．………………………………………… 5分（3）画图．2．…………………………………………… 7分。

新定义型【典例1】对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b ．例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求2⊗（-5）的值；（2）若x ⊗（-y ）=2，且2y ⊗x=-1，求x+y 的值．【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a ⊗b=2a+b ，即可得到2⊗（﹣5）的值； （2）依据x ⊗（﹣y ）=2，且2y ⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y 的值． 【典例2】对于实数x ，规定[]x 表示不小于x 的最小整数，例如[]1.2=2，[]3=3，[]-2.5=-2，则（1）填空：①[]-=π ；②若[]x =-2，则x 的取值范围是 ．（2）已知x 为正整数，且x 132+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求x 的值．【解析】（1）①[﹣π]＝﹣3；②x 的取值范围是﹣3＜x ≤﹣2； （2）由x 132+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦知2＜x 12+ ≤3，解得：3＜x ≤5，∵x 取正整数， ∴x 的值为4或5．【典例3】在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”． （1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？ 【解析】（1）设这一对“互换点”的坐标为M(m ，n) 和N(n ，m) ． ① 当mn=0时，它们不可能在反比例函数的图像上； ② 当mn ≠0 时，M 、N 两点均在反比例函数的图像上． 于是得到结论“不一定”．（2）M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n)，求直线MN 的表达式(用含m ，n 的代数式表示)；【解析】（2）设直线 MN 的表达式为 y = kx + b( k ≠0) ． 把 M( m,n) ，N( n ，m) 代入 y = kx + b ，解得 k=-1，b=m + n ，∴ 直线 MN 的表达式为y=-x+m+n ． （3）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数2y x=-的图象上，直线AB 经过点P1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求此抛物线的表达式．【解析】 ( 3）因为点A 在反比例函数2y x=-的图象上， 故设A(m ，2m -) ，则B(2m-，m) ．由（2）的结论可得，直线AB 的表达式为y=-x+m2m-．将P 点坐标1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入可得2m 10m--=， 解得m=2或-1． 【典例4】对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6． （1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值． 【解析】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5． ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8，∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54, ∴k 的最大值为54．【解析】 （1）322x y x -+=+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-.试题分析：（1）根据题意列式并化为322x y x -+=+，根据定义作出判断. （2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6ax ky x +=-即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是 “奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB 解析式为，直线CD 解析式为，由解得.∴点E （3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.【典例6】定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④【典例7】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

专题2.4新定义的四种题型与真题训练题型一：函数中新定义问题1.（2022青浦一模18）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，，解得：或或，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．2.（2022黄埔一模18）若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛物线”，已知顶点为M 的抛物线()223y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan 4MDO ∠=，那么顶点为N 的抛物线的表达式为_________【详解】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线()223y x =-+的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=，∴34M M N y x x =-，即3324Dx =-，解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D，∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线()223y x =-+故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+，化简得2135042a a -+=解得a =54或a =2（舍），将a =54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557()416y a x =-+有，25573(2416a =-+化简得95731616a =+，解得a =-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557()416y x =--+．3.（2020杨浦二模）定义：对于函数y ＝f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，可得：k＝2，故答案为：2．题型二：三角形中的新定义1.（2022嘉定一模18）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，，∴AC＝＝＝4，∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴＝＝＝2，∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝，∴a＝，∴EF＝，CF＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：．2、（2022杨浦一模17）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为．【解答】解：过B 作BE ⊥直线a 于E ，延长EB 交直线c 于F ，过C 作CD ⊥直线a 于D ，则∠CDA ＝∠AEB ＝90°，∵直线a ∥直线b ∥直线c ，相邻两条平行线间的距离相等（设为d ），∴BF ⊥直线c ，CD ＝2d ，∴BE ＝BF ＝d ，∵∠CAB ＝90°，∠CDA ＝90°，∴∠DCA +∠DAC ＝90°，∠EAB +∠DAC ＝90°，∴∠DCA ＝∠EAB ，在△CDA 和△AEB 中，，∴△CDA ≌△AEB （AAS ），∴AE ＝CD ＝2d ，AD ＝BE ＝d ，∴CF ＝DE ＝AE +AD ＝2d +d ＝3d ，∵BF ＝d ，∴cotα＝＝＝3，故答案为：3．3.（2022长宁一模17）定义:在△A 中,点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上,且DE //BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比.已知,在△A 中,4,BC BC =上的高长为3,DE 关于BC 的横纵比为2:3,则DE =_______．【详解】如图，AF BC ⊥于F ，交DE 于点G ，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，AG DE ⊥，DE AGBC AF∴=，3AF = DE 关于BC 的横纵比为2:3，4BC =，23DE GF ∴=设2DE a =，则3GF a =，33AG AF GF a∴=-=-23343a a -∴=，解得23a =，43DE ∴=，故答案为：434.（2022虹口一模17）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC 相似且面积最大，那么△DEF 与△ABC 相似比的值是．【解答】解：由表格可得：AB ＝，BC ＝2，AC ＝，如图所示：作△DEF ，DE ＝，DF ＝，EF ＝5，∵＝＝＝，∴△DEF ∽△ABC ，则△DEF 与△ABC 相似比的值是．故答案为：．5.（2020松江二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．6.（2020嘉定二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等【解析】当∠α为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值215+；当当∠α为顶角时，用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角形，腰长与底边长的比值22。