(完整版)北京中考数学新定义题目汇总

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不属于新定义的范畴？A. 等差数列B. 等比数列C. 平面向量D. 函数2. 下列哪个新定义与数学几何有关？A. 假等差数列B. 假等比数列C. 矢量三角形D. 函数图像3. 下列哪个新定义与数学代数有关？A. 指数幂B. 对数C. 矢量积D. 函数极值4. 下列哪个新定义与数学组合有关？A. 排列B. 组合C. 概率D. 矢量5. 下列哪个新定义与数学几何有关？A. 圆锥B. 球体C. 平面几何图形D. 空间几何图形二、填空题（每题5分，共20分）6. 新定义：若数列{an}满足an+1 = an (1 + k)，其中k为常数，则称该数列为“新等比数列”。

已知数列{an}的前三项分别为1，2，4，则k的值为______。

7. 新定义：若向量a与向量b的夹角为θ，则称向量a与向量b的“新夹角”为θ。

已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, -2)，则向量a与向量b的新夹角θ的值为______。

8. 新定义：若函数f(x)满足f(x) = f(1/x)，则称该函数为“新对称函数”。

已知函数f(x) = x^2 + 1，则f(-1)的值为______。

9. 新定义：若数列{an}满足an = (an-1 + an+1) / 2，则称该数列为“新等差数列”。

已知数列{an}的前三项分别为1，2，3，则数列{an}的第10项a10的值为______。

10. 新定义：若函数f(x)满足f(f(x)) = x，则称该函数为“新周期函数”。

已知函数f(x) = x + 1，则f(f(0))的值为______。

三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）新定义：若数列{an}满足an+1 = an + k（k为常数），则称该数列为“新等差数列”。

已知数列{an}的前三项分别为1，3，5，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和。

新定义阅读理解问题新定义学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力，便于学生养成良好的学习习惯。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

一、基础练习部分★例1:【——海淀期末】对于正整数n ，定义210()=()10，，≥n n F n f n n ⎧<⎨⎩，其中f(n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10．规定F 1(n )=F(n )，F k +1(n )=F(F K (n ))（K 为正整数）．例如：F 1(123)=F(123)=10，F 2(123)=F(F 1(123))=F(10)=1．（1）求：F 2(4)= ，F(4)= ；（2）若F 3m (4)=89，则正整数m 的最小值是 ． 答案：（1）37，26；（2）6. 练习①： 【通州一模】定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使得k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是 ；若13n =，则第次“F 运算”的结果是 . 答案：1，4练习②：【门头沟二模】我们知道，一元二次方程x 2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2=-1 (即方程x 2=-1有一个根为i )，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=-1，i 3= i 2·i =(-1)（-1）·i =-i , i 4=( i 2)2=(-1) 2=1，从而对任意正整数n ，则i 6=______________;由于i 4n+1=i 4n ﹒i=(i 4)n ﹒i=i,同理可得i 4n+2=﹣1, i 4n+3=﹣i , i 4n =1那么i + i 2+ i 3+ i 4+…+ i+ i 的值为_____ 答案:-1，i★例2：【宣武一模】任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）， 如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()p F n q =．例如18可以分解成1×18、2×9或3×6，这时就有31(18)62F ==．给出下列关于F(n )的说法：（1）1(2)2F =；（2）3(24)8F =；（3）(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则F(n )=1．其中正确说法的个数是 （ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．4 答案：Ｂ 练习①：【北京中考】在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i =2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按此规定，a 1，3= ；表中的25个数中，共有 个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为 ．答案：0；15；1. 练习②：【海淀二模】某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用A 0表示没有经过加密的数字串．这样对A 0进行一次加密就得到一个新的数字串A 1，对A 1再进行一次加密又得到一个新的数学串A 2，依此类推，…，例如：A 0：10，则A 1：1001．若已知A 2：100101101001，则A 0： ，若数字串A 0共有4个数字，则数字串A 2中相邻两个数字相等的数对至少．．有 对． 答案：101 ，4练习③：【燕山一模】若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如在代数式a ＋b ＋c 中，把a 和b 互相替换，得b ＋a ＋c ；把a 和c 互相替换，得c ＋b ＋a ；把b 和c ……；a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：① (a －b )2；② ab ＋bc ＋ca ；③ a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中为完全对称式的是A ．① ②B ．② ③C ．① ③D ．①②③ 答案：A练习④：【西城一模】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点P (a ,b )若规定以下两种变换： ①f (a ,b )= (-a ,-b )．如f (1,2)= (-1,-2);②g (a ,b )= (b ,a )．如g (1,3)= (3,1)按照以上变换，那么f （g (a ,b )）等于A ．(-b ,-a )B ．(a ,b )C ．(b ,a )D ．(-a ,-b ) 答案：A★例3：【昌平二模】请阅读下列材料：我们规定一种运算：，例如：． 按照这种运算的规定,请解答下列问题：（1）直接写出 的计算结果；（2）若，直接写出和的值．（3）当取何值时, ； 答案：(1)3.5; (2)x=8,y=2. (3) ;a b ad bc c d=-2325341012245=⨯-⨯=-=-1220.5--0.517830.51x y xy --==--x y x 0.5012x xx -=15x -±=a 1，1 a 1，2 a 1，3 a 1，4 a 1，5 a 2，1 a 2，2 a 2，3 a 2，4 a 2，5 a 3，1 a 3，2a 3，3 a 3，4 a 3，5 a 4，1 a 4，2a 4，3 a 4，4 a 4，5 a 5，1 a 5，2 a 5，3 a 5，4 a 5，5变式练习：【宣武一模】对于实数d c b a ,,,规定一种运算：c a bc ad d b -=，如21=-20()21-⨯ 220-=⨯-，那么)3(2x -2554=-时，=x （ ）.（A ）413- （B ）427 （C ）423- （D ）43- 答案：(D)练习：①【北京中考（课标卷）】用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1。

2024年1月九上期末——新定义1.【东城】28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y =3x +6的“和距离”d 的取值范围．2.【西城】28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0S -，()1,0T ．对于一个角α（0180α︒<≤︒），将一个图形先绕点S 顺时针旋转α，再绕点T 逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．备用图（1）点R 在线段ST 上，则在点()1,1A -，()3,2B -，()2,2C -，()0,2D -中，有可能是由点R 经过一次“90°对称旋转”后得到的点是________；（2）x 轴上的一点P 经过一次“α对称旋转”得到点Q ．①当60α=︒时，PQ =________；②当30α=︒时，若QT x ⊥轴，求点P 的坐标；（3）以点O 为圆心作半径为1的圆．若在O 上存在点M ，使得点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点在x 轴上，直接写出α的取值范围．3.【海淀】28.在平面直角坐标系xOy 中，将中心为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”.（1）如图、正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C -.①在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P -中，正方形T 的“伴随切点”是________；②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点(),1T t t +，正方形T 的边长为2.若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN △为等边三角形，直接写出t 的取值范围.4.【朝阳】28．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (t -2，0)，B (t +2，0).对于点P 给出如下定义：若∠APB=45°，则称P 为线段AB 的“等直点”．（1）当t =0时，①在点），（22201+P ，），（042-P ，）-，（2223-P ，），（524P 中,线段AB 的“等直点”是________；②点Q 在直线y =x 上，若点Q 为线段AB 的“等直点”，直接写出点Q 的横坐标．（2）当直线t x y +=上存在线段AB 的两个“等直点”时，直接写出t 取值范围．5.【石景山】28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和点C 给出如下定义：若点C 在弦AB 的垂直平分线上，且点C 关于直线AB 的对称点在⊙O 上，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点13(22A ,，13(22B -,．在点1(00)C ,，2(10)C ,，3(11)C ,，4(20)C ,中，弦AB 的“关联点”是；（2）若点1(0)2C ,是弦AB 的“关联点”，直接写出AB 的长；（3）已知点(02)M ,，(0)15N ,．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．6.【丰台】28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB和x轴上的点P，给出如下定义：将线段AB绕点P旋转180°可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB为⊙O以点P 为中心的“关联线段”．（1）如图，已知点A（-2，-1），B（-2，0），C（-2，１），D（-1，1），在线段AC，BD，CD中，⊙O以点P 为中心的“关联线段”是；x的取值范围；（2）已知点E（-4，1），线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标F （3）已知点E（m，1），若直线y=-x+2m上存在点F，使得线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围．备用图7.【昌平】28.对于在平面直角坐标系xOy 中⊙T 和⊙T 外的点P ，给出如下定义：已知⊙T 的半径为1，若⊙T 上存在点Q ，满足PQ ≤2，则称点P 为⊙T 的关联点.（1）如图1，若点T 的坐标为（0，0），28题图1①在点1P （3，0），2P （3，-2），3P （-2，2）中，是⊙T 的关联点的是____________；②直线2y x b =+分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，若线段AB 存在⊙T 的关联点，求b 的取值范围；（2）已知点C （0，D （1，0），T （m ，1），△COD 上的每一个点都是⊙T 的关联点，直接写出m 的取值范围.28题图28.【通州】28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．给出如下定义：过O 外一点P 做直线与O 交于点M 、N ，若M 为线段PN 的中点，则称线段PN 是O 的“外倍线”。

完整版)北京中考数学新定义题目汇总28.对于平面内的圆C和圆C外一点Q，定义如下：若过点Q的直线与圆C存在公共点，记为点A、B，设$k=\frac{AQ+BQ}{CQ}$，则称点A（或点B）是圆C的“k相关依附点”。

特别地，当点A和点B重合时，规定$AQ=BQ$，$k=\frac{2AQ^2}{CQ^2}$。

已知在平面直角坐标系$xOy$中，$Q(-1,0)$，$C(1,0)$，圆C的半径为$r$。

1) 当$r=2$时。

①若$A_1(0,1)$是圆C的“k相关依附点”，则$k$的值为$\frac{3}{2}$。

② $A_2(3,0)$是否为圆C的“2相关依附点”：否。

2) 若圆C上存在“k相关依附点”点M。

①当$r=1$，直线QM与圆C相切时，$k$的值为$2$。

②当$k=3$时，$r$的取值范围为$[\sqrt{\frac{3}{2}},2]$。

3) 若存在$r$的值使得直线$y=-3x+b$与圆C有公共点，且公共点是圆C的“3相关依附点”，则$b$的取值范围为$[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$。

28.在平面直角坐标系$xOy$中，点M的坐标为$(x_1,y_1)$，点N的坐标为$(x_2,y_2)$，且$x_1\neq x_2$，$y_1\neq y_2$，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于$x$轴，$y$轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”。

1) 已知点$A(2,0)$，$B(0,23)$，则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为$60^\circ$。

2) 若点$C(1,2)$，点$D$在直线$y=5$上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，则直线$CD$的表达式为$y=5$。

3) 圆O的半径为2，点$P(m,1)$。

若在圆O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，则$m$的取值范围为$[-1,3]$。

28.对于平面上两点A、B，定义如下：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A、B的“确定圆”。

中考数学新定义创新型综合压轴问题【方法归纳】新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。

在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法。

解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决。

【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外2一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O 的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1,P 2,P 3,P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为(2,32)，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE⌢为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ⌢是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE ⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t >0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE⌢所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE⌢，使得DE ⌢所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （−2，6），B （−2，−2），C （6，−2）．（1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y =kx （−1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G ，若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围． 4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1(12,0),P 2(12,√32),P 3(52,0) 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求①分别判断点M（2，1），N（32其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，（1）分别判断函数y=1x求其边界值；（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值≤t≤1？是t，当m在什么范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （，），E （0，－2），F （，0）（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，AB =1，且A ，B 两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB ，得到线段A ′B ′（A ′，B ′分别为点A ，B 的对应点），若线段A ′B ′上所有的点都在⊙O 的内部或⊙O 上，则线段AA ′长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，√3），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D 与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ 7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线2l：y=−√3x+4√3上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B （m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,2√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为360º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z304），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T 上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B 为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，2⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x 轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N 可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O 的关于直线l的“关联三角形”“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M 上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P 到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d 的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x 轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T 有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN= 45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A 作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______的值为______；关联直线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ 的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。

2018西城一模28．对于平面内的⊙和⊙外一点，给出如下定义：若过点的直线与⊙存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是⊙的“相关依附点”，特别地，当点和点重合时，规定，（或）． 已知在平面直角坐标系中，，，⊙的半径为． （1）如图，当时，①若是⊙的“相关依附点”，则的值为__________．②是否为⊙的“相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙上存在“相关依附点”点， ①当，直线与⊙相切时，求的值． ②当时，求的取值范围．（3）若存在的值使得直线与⊙有公共点，且公共点时⊙的附点”，直接写出的取值范围．C C Q Q C A B AQ BQk CQ+=A B C k A B AQ BQ =2AQ k CQ =2BQCQxOy (1,0)Q -(1,0)C C r1r 1(0,1)A C k k 2(1A +C 2C k M 1r =QM C k k =r r y b =+C C b x2018平谷一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为，点N 的坐标为，且，，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O ，点P的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2018石景山一模28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为，点的坐标为， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为，若直线上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线上， 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于，直接写出的取值范围．()11,x y ()22,x y 12x x ≠12y y ≠(1,0)-B (3,3)(0,0)y x b =+9π(0)P m ，y x =9πm2018怀柔一模28. P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ；②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．2018海淀一模28．在平面直角坐标系中，对于点和⊙，给出如下定义：若⊙上存在一点不与重合，使点关于直线的对称点在⊙上，则称为⊙的反射点．下图为⊙的反射点的示意图．（1）已知点的坐标为，⊙的半径为，①在点，，中，⊙的反射点是____________； ②点在直线上，若为⊙的反射点，求点的横坐标的取值范围； （2）⊙的圆心在轴上，半径为，轴上存在点是⊙的反射点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．⋅2xOy P C C T O P OT 'P C P C C P A (1,0)A 2(0,0)O (1,2)M (0,3)N -A P y x =-P A P C x 2y P C C x2018朝阳一模28. 对于平面直角坐标系中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ； ②在直线y =2x+b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN ，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．2018东城一模28．给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2， ，.在A （1，0），B （1，1），三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N ，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °； ②在第一象限内有一点E，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标；xOy 5=22,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭22,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()2,0C 31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()3,m m③点F 在直线上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 的横坐标的取值范围．2018丰台一模28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ． 已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (，0)，E (0，1)，F (0，)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．2018房山一模 28. 在平面直角坐标系xOy P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1. ①在点E （1,1），F （－22 ,－22）,M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ； ②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数的图象上存在两个“梦之点”，,且23y x =-+F x 1212ky x=21y ax ax =-+()11Ax ,y ()22B x ,y，求二次函数图象的顶点坐标.2018门头沟一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为，点N 的坐标为，且，,我们规定：如果存在点P ，使是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为，点D 为点E 、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径的取值范围.备用图1 备用图2018顺义一模28．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线、给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与、交于、，总有是定值，我们称曲线与“曲似”，定值为“曲似比”，点P 为“曲心”． 122x x -=11(,)x y 22(,)x y 12x x ≠12y y =MNP ∆r (1,4)(1,2)r 1L 2L 1L 2L 1Q 2Q 12PQ PQ 1L 2L 12PQ PQ图12L 1例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为、（都是常数）的两个同心圆、，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有是定值，所以同心圆与曲似，曲似比为，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线与抛物线、分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．2018通州一模28.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与或轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距”.例如在下图中，点，，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”.特别地，当与某条坐标轴平行(或重合)时，线段的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点，，则_______=AO D ，_______=BO D ； ② 点在直线上，请你求出的最小值；（2）点是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点是直线上一动点.请你直接写出点与点之间“直距”的最小值.1r 2r 1C 2C 12''r O M O N r =1C 2C 12r r y kx =2y x =212y x =212y x =21y x m=x y PQ D ()1,1P ()3,2Q =3PQ D PQ PQ ()2,1A -()2,0B -C 3y x =-+CO D E F 24y x =+E F EF 图2C 2C 1NMO'。

.寒假作业之新定义1．在平面直角坐标系xOy 中，对于点 P（ x， y）（x≥0）的每一个整数点，给出如下定义：如果 P'( x , y ) 也是整数点，则称点P ' 为点P的“整根点”．例如：点（ 25，36 ）的“整根点”为点（5，6）.（1）点 A（ 4，8）， B（ 0， 16），C（25，－ 9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；（2）如果点 M 对应的整根点M '的坐标为（ 2， 3），则点 M 的坐标；（3）在坐标系有一开口朝下的二次函数y ax24x(a≠0），如果在第一象限的二次函数图像部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个y请求出实数 a 的取值围 .xO备用图.2..如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和线段 AB，给出如下定义：如果线段 AB 上存在两个点 M，N，使得∠ MPN=30 °，那么称点 P 为线段 AB 的伴随点．y4P32A M N B1–1O1234x–1（ 1）已知点A（-1 ， 0），（1，0）及D（1， -1 ），E53，（0，3），B,F22①在点 D，E，F 中，线段 AB 的伴随点是；②作直线 AF，若直线 AF 上的点 P（ m，n）是线段 AB 的伴随点，求m 的取值围；（2）平面有一个腰长为 1 的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a.的伴随点，请直接写出这条线段 a 的长度的围．y4321-4 -3 -2 -1 O1234 x-1-2-3-43. 若抛物线 L：y ax 2bx c a，b，c是常数，且 abc 0 与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L 的顶点在直线 l 上，则称此抛物线 L 与直线 l 具有“一带一路”关系，并且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线 L 叫做直线 l 的“带线”.(1) 若“路线l”的表达式为y2x 4 ，它的“带线”L的顶点在反比例函数 y 6(x＜0)的图象上，求x“带线L”的表达式；(2)如果抛物线y mx22mx m 1 与直线y nx 1具有“一带一路”关系，求m,n的值；(3)设(2) 中的“带线”与它的“路线”在y 轴上的交点为. 已知点P为“带线”上的点，当以点L l A L P 为圆心的圆与“路线”l相切于点 A 时，求出点 P 的坐标 .y 321–2–1O123x –1备用图′4．在平面直角坐标系xOy 中，定义点 P（ x,y）的变换点为 P (x+y, x-y) ．(1)如图 1，如果⊙ O 的半径为2 2，①请你判断M (2,0)，N (-2,-1) 两个点的变换点与⊙ O 的位置关系；′②若点 P 在直线 y=x+2 上，点 P 的变换点 P在⊙O 的，求点 P 横坐标的取值围 .(2)如图 2，如果⊙O 的半径为 1,且 P 的变换点 P’在直线 y=-2x+6 上，求点 P 与⊙O 上任意一点距离的最小值．5.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 x 1, y 1 ，点 Q 的坐标为 x 2 , y 2 ，且 x 1 x 2 ，y 1 y 2 ，若 P,Q 为某 个菱形的两个相对顶点，且该菱形的一边与x 轴平行，则称该菱形为点 P,Q 的“相关菱形”，下图为点 P, Q 的“相关菱形”的示意图．（ 1）已知点 A 的坐标为 0,1 ，点 B 的坐标为 3,4 ，且点 A, B 的“相关菱形”为形，则此“相关菱形”的周长为；（ 2）若点 C 的坐标为0,3 ，点 D 在直线 y 43 上，且 C, D 的“相关菱形”有一个角为60o ，求点 D 的坐标；（ 3）⊙ O 的半径为 3 ，点 M 的坐标为m,3 3（其中 m 0 ），若在⊙ O 上存在一点 N ，使m得点 M , N 的“相关菱形”有一个角为60o ，直接写出 m 的取值围．6.阅读材料：①直线l 外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（，）P l②两条平行线 l1，l 2，直线上 l1任意一点到直线 l2的距离，叫做这两条平行线 l1，l2之间的距离，记住 d（l1，l2）；③若直线 l1， l2相交，则定义d（l1，l2）=0④对于同一条直线 l ，我们定义 d（ l ， l ） =0。

2022-2022北京初三期末29题新定义汇总1．定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB，△PBC，△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．在平面直角坐标系某Oy中，（1）点A坐标为(2，)，AB⊥某轴于B点，在E(2，1)，F(322)，G(12，2)这三个点中，其中是△AOB的自相似点的是（填字母）；（2）若点M是曲线C：ky某=（0k>，0某>）上的一个动点，N为某轴正半轴上一个动点；①如图2，k=M点横坐标为3，且NM=NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；②若1k=，点N为(2，0)，且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．PBCA图1图2y某N1234512345O2．在平面直角坐标系某Oy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点．P．关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线．．l．关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①点C的坐标为（1，2），直线l:y=k某+b（k>0）经过点D（231-+，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求的值；②圆心C在某轴正半轴上运动，若直线yC的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标某C的取值范围．备用图3．在平面直角坐标系某Oy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k.（1）若图形W是由()12--，A，()1,2-B，()12，C，()12-，D顺次连线而成的矩形：○1l1：y=某+2，l2：y=某+1，l3：y=-某-3这三条直线中，与图形W 成“2相关”的直线有________;○2画出一条经过()10，的直线，使得这条直线与W成“5相关”；○3若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y=平行，与y轴交于点Q，求点Q纵坐标Qy的取值范围；（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于某轴上.若直线333+=某y与图形W成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标K某的取值范围.备用图4．在平面直角坐标系某Oy中，C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，C的“完美点”的定义如下：若直线．．CP与C交于点A，B，满足2PAPB-=，则称点P为C的“完美点”，下图为C及其“完美点”P的示意图.(1)当O的半径为2时，①在点M(32,0)，N(0,1)，1()2T-中，O的“完美点”是；②若O的“完美点”P在直线y上，求PO的长及点P的坐标；(2)C的圆心在直线1y+上，半径为2，若y轴上存在C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围.5．已知⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：若点P"在射线CP上，满足2CPCPr"=，则称点P"是点P关于⊙C的反演点.图1为点P及其关于⊙C的反演点P"的示意图.（1）在平面直角坐标系某Oy中，⊙O的半径为6，⊙O与某轴的正半轴交于点A.∠=，18OB=，若点A"，B"分别是点A，B关于⊙O的反演点，则点A"的坐标是，点B"的坐标是；②如图3，点P关于⊙O的反演点为点P"，点P"在正比例函数y=位于第一象限内的图象上，△POA"的面积为P的坐标；（2）点P是二次函数22314y某某某=---(≤≤)的图象上的动点，以O为圆心，12OP为半径作圆，若点P关于⊙O的反演点P"的坐标是(,)mn，请直写出n的取值范围.图1图2图36.如图，对于平面直角坐标系某Oy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．（1）已知点A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E-325,，F（0，32+），①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是_________；②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．备用图7.若抛物线L：()02≠++=abccbacb某a某y是常数，且，，与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”.(1)若“路线”l的表达式为42-=某y，它的“带线”L的顶点在反比例函数某y6=(某＜0)的图象上，求“带线”L的表达式；(2)如果抛物线122-+-=mm某m某y与直线1+=n某y具有“一带一路”关系，求m,n的值；(3)设(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标.备用图8．在平面直角坐标系某Oy中，点A为平面内一点，给出如下定义：过点A作AB⊥y轴于点B，作正方形ABCD（点A、B、C、D顺时针排列），即称正方形ABCD为以A为圆心，OA为半径的⊙A的“友好正方形”.（1）如图1，若点A的坐标为（1,1），则⊙A的半径为.（2）如图2，点A在双曲线y=某（某＞0）上，它的横坐标是2，正方形ABCD是⊙A的“友好正方形”，试判断点C与⊙A的位置关系，并说明理由.（3）如图3，若点A是直线y=－某+2上一动点，正方形ABCD为⊙A 的“友好正方形”，且正方形ABCD在⊙A的内部时，请直接写出点A的横坐标m的取值范围.图1图39．在平面直角坐标系某Oy中，对于点P（某，y）（某≥0）的每一个整数点，给出如下定义：如果P也是整数点，则称点"P为点P的“整根点”．例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；（2）如果点M对应的整根点"M的坐标为（2，3），则点M的坐标；（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数24(0ya某某a=+≠），如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个请求出实数a的取值范围.备用图10．在平面直角坐标系某Oy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P(1，2)，Q(-1，-2)]是一个“和谐点对”.（1）写出反比例函数1y某=图象上的一个“和谐点对”；（2）已知二次函数2y某m某n=++，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为(2，4)，求m，n的值；②在①的条件下，在y轴上取一点M(0，b)，当∠AMB为锐角时，求b的取值范围.11．在平面直角坐标系某Oy中，点P的坐标为（某1，y1），点Q的坐标为（某2，y2），若a=|某1-某2|，b=|y1-y2|，则记作（P，Q）→{a，b}．（1）已知（P，Q）→{a，b}，且点P（1，1），点Q（4，3），求a，b的值；（2）点P（0，-1），a=2，b=1，且（P，Q）→{a，b}，求符合条件的点Q的坐标；（3）⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点Q（m，n）在直线y=－某21+29上，若（P，Q）→{a，b}，且a=2k，b=k(k＞0)，求m的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系某Oy中，若抛物线2(0)ya某b某ca=++≠与某轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则称ABC△为抛物线的“交轴三角形”．（1）求抛物线21y某=-的“交轴三角形”的面积；（2）写出抛物线2(0)ya某b某ca=++≠存在“交轴三角形”的条件；（3）已知：抛物线24ya某b某=++过点M（3，0）．①若此抛物线的“交轴三角形”是以y轴为对称轴的等腰三角形，求抛物线的表达式；②若此抛物线的“交轴三角形”是不以y轴为对称轴的等腰三角形，求“交轴三角形”的面积．13．定义：若点P（a，b）在函数y某=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=a某2+b某称为函数y某=的一个“二次派生函数”．（1）点（2，12）在函数y某=的图象上，则它的“二次派生函数”是；（2）若“二次派生函数”y=a某2+b某经过点（1,2），求a,b的值；（3）若函数y=a某+b是函数y某=的一个“一次派生函数”，在平面直角坐标系某Oy中，同时画出“一次派生函数”y=a某+b和“二次派生函数”y=a某2+b某的图象，当﹣4＜某＜1时，“一次派生函数”始终大于“二次派生函数”，求点P的坐标.【2022.1海淀期末】1．（1）F，G．（每对1个得1分）------------------------------------------2分（2）①如图1，过点M作MH⊥某轴于H点．∵M点的横坐标为3，∴3y==∴3M（.∴OM=OM的表达式为y某=．∵MH⊥某轴，∴在Rt△MHN中，90MHN∠=°，222NHMHMN+=设NM=NO=m，则3NHOHONm=-=-.∴()2223mm-+=.∴ON=MN=m=2．--------------------------------------------3分如图2，1PON△∽NOM△，过点1P作1PQ⊥某轴于Q点，∴11POPN=，112OQON==．∵1P的横坐标为1，∴1y==∴113P，．------------------------------------------------4分如图3，2PNMNOM△∽△，∴2PNMNONMO=.∴2PN=．∵2P∴33某=.∴2某=.图1图2图3∴22P．----------------------------------------------------------------------------------5分综上所述，1P或2．②4．-------------------------------------------------------------------------------------------6分（每标对两个点得1分）-----------------------------------------------------------------------8分【2022.1西城期末】2．解：（1）①90，60．···········································2分②本题答案不唯一，如：B(0，2).··········································3分（2）解：①∵直线l:y=k某+b（k>0）经过点D（1-，0），∴(1)0kb-+=.∴bk=-.∴直线l:yk某k=+-.对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C 为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C∴CP⊥直线l.则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示．作CH⊥某轴于点H，∴点H的坐标为（1，0），∴DH=∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，可求得点P的坐标（1，3）．进而求得k·································································6分（3）圆心C的横坐标某C的取值范围是113C某-<【2022.1东城期末】3.解：（1）①1l和2l.…………2分②符合题意的直线如下图所示.…………4分夹在直线a和b或c和d之间的（含直线a，b，c，d）都是符合题意的.○3设符合题意的直线的解析式为.yb=+由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（-1,1），（1，-1）.分别代入可求出1211bb==-.∴11Qy-≤…………6分（2）33K某-≤≤-…………8分【2022.1朝阳期末】4.解：(1)①N，T.②如图，根据题意，2PAPB-=，∴∣OP+2-(2-OP)∣=2.∴OP=1.若点P在第一象限内，作PQ⊥某轴于点Q，∵点P在直线y上，OP=1，∴OQ=12，PQ.∴P(12若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(-1 2，2).综上所述，PO的长为1，,点P的坐标为(12，或(-2，(2)对于C的任意一个“完美点”P都有2PAPB-=，即2(2)2CPCP+-=-.可得CP=1.对于任意的点P，满足CP=1，都有2(2)2CPCP+-=-，即2PAPB-=，故此时点P为C的“完美点”.因此，C的“完美点”的集合是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线1y=+与y轴交于点D，如图，当C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小.设切点为E，连接CE，可得DE的最小值为1当C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大.同理可得t的最大值为1综上所述，t的取值范围为1t≤1【2022.1石景山期末】5.（1）①(60)A"，，(B".……………2分②解法一：过点P"作PE"⊥某轴于点E，如图1.∵12POASOAPE""==△∴PE"=……………3分∵点P"在正比例函数y位于第一象限内的图象上，∴"Py∴"=2P某.∴4OP"=，"60POE∠=.∵点P关于⊙O的反演点是P"点，∴26OPOP"=.9OP=.………………………………5分过点P作PF⊥某轴于点F.∴92OF=，2PF=∴点P的坐标为92P（.………………………………6分解法二：过点A作AH⊥PP"于点H，如图2.∵点P"在正比例函数y位于第一象限内的图象上，∴设点P的坐标为t（，其中0t＞.∴tanPOA∠==∴60POA∠=.………………………………4分在Rt△OHA中，inAHOAAOH=∠=.∵12POASOPAH""==△∴4OP"=.∵点P关于⊙O的反演点是P"点，∴26OPOP"=.∴9OP=.图1过点P作PF⊥某轴于点F.在Rt△OFP中，222t+=9.解得192t=，292t-=（舍去）.∴点P的坐标为922P(，.………………………………6分（2）1-≤n≤54.………………………………8分【2022.1丰台期末】6.解：（1）○1D、F；-----2分○2以AB为一边，在某轴上方、下方分别构造等边△ABO1和等边△ABO2，分别以点O1，点O2为圆心，线段AB∵线段AB关于y轴对称，∴点O1，点O2都在∵AB=AO1=2，AO=1，∴OO1∴O1（0同理O2（0，.∵F(2,0)+,∴O1F=22AB==.∴点F在⊙1O上.设直线AF交⊙2O于点C，∴线段FC上除点A以外的点都是线段AB的“伴随点”，∴点P（m，n）是线段FC上除点A以外的任意一点.连接O2C，作CG⊥y轴于点G，∵等边△O1AB和等边△O2AB，且y轴垂直AB，∴∠AO1B=∠AO2B=∠O1AB=∠O2AB=60°，∠AO1O=∠AO2O=30°.∵O1A=O1F，∴∠AFO1=∠FAO1=15°.∴∠CAO2=∠AFO2+∠AO2F=15°+30°=45°.∵O2A =O2C，∴∠CAO2=∠ACO2=45°.∴∠O2CG=180°-∠CFG-∠FGC-∠ACO2=30°.∴CG=O2C·co30°=3232=.0m≤≤且1m≠-.-----6分（2）22≥a.-----8分图2。

专题11 新定义一．解答题（共15小题）1．（2020•丰台区一模）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy 中，点E ，F 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．（1）分别以点(1,0)A ，(1,1)B ，(3,2)C 为圆心，1为半径作圆，得到A ，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆的是 ；（2）如果以点(,2)D t 为圆心，以1为半径的D 为EOF ∠的角内圆，且与直线y x =有公共点，求t 的取值范围；（3）点M 在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，直接写出EOM ∠的取值范围．2．（2020•北京一模）在平面直角坐标系xOy 中，过T （半径为)r 外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若02PQ r <，则称点P 为T 的伴随点． （1）当O 的半径为1时，①在点(4,0)A ，B ，C 中，O 的伴随点是 ；②点D 在直线3y x =+上，且点D 是O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）M 的圆心为(,0)M m ，半径为2，直线22y x =-与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．3．（2020•海淀区一模）A ，B 是C 上的两个点，点P 在C 的内部．若APB ∠为直角，则称APB ∠为AB 关于C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB ∠边（含顶点）上时，称APB ∠为AB 关于C 的最佳内直角．如图1，AMB ∠是AB 关于C 的内直角，ANB ∠是AB 关于C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中． （1）如图2，O 的半径为5，(0,5)A -，(4,3)B 是O 上两点．①已知1(1,0)P ，2(0,3)P ，3(2,1)P -，在1APB ∠，2AP B ∠，3AP B ∠，中，是AB 关于O 的内直角的是 ； ②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB ∠是AB 关于O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(,0)T t 为圆心，4为半径的圆上一个动点，T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点(1,0)M ，(0,)N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．4．（2020•平谷区一模）在ABM ∆中，90ABM ∠=︒，以AB 为一边向ABM ∆的异侧作正方形ABCD ，以A 为圆心，AM 为半径作A ，我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的友好正方形”，如果正方形ABCD 恰好落在A 的内部（或圆上），我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的绝对友好正方形”， 例如，图1中正方形ABCD 是A 的“关于ABM ∆的友好正方形”． （1）图2中，ABM ∆中，BA BM =，90ABM ∠=︒，在图中画出A 的“关于ABM ∆的友好正方形ABCD ”．（2）若点A 在反比例函数(0,0)k y k x x =>>上，它的横坐标是2，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求k 的取值范围． （3）若点A 是直线2y x =-+上的一个动点，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD 为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求出点A 的横坐标m 的取值范围．5．（2020•顺义区一模）已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足0PQ >，则称图形M 与图形N 相离． （1）已知点(1,2)A 、(0,5)B -、(2,1)C -、(3,4)D ． ①与直线35y x =-相离的点是 ；②若直线3y x b =+与ABC ∆相离，求b 的取值范围；（2）设直线3y =+、直线3y =+及直线2y =-围成的图形为W ，T 的半径为1，圆心T 的坐标为(,0)t ，直接写出T 与图形W 相离的t 的取值范围．6．（2020•东城区一模）在ABC ∆中，CD 是ABC ∆的中线，如果CD 上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称CD 为ABC ∆的中线弧．（1）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC =，D 是AB 的中点．①如图1，若45A ∠=︒，画出ABC ∆的一条中线弧CD ，直接写出ABC ∆的中线弧CD 所在圆的半径r 的最小值；②如图2，若60A ∠=︒，求出ABC ∆的最长的中线弧CD 的弧长l ．（2）在平面直角坐标系中，已知点(2,2)A ，(4,0)B ，(0,0)C ，在ABC ∆中，D 是AB 的中点．求ABC ∆的中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围．7．（2020•石景山区一模）在ABC ∆中，以AB 边上的中线CD 为直径作圆，如果与边AB 有交点E （不与点D 重合），那么称DE 为ABC ∆的C -中线弧．例如，如图中DE 是ABC ∆的C -中线弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆存在C -中线弧，其中点A 与坐标原点O 重合，点B 的坐标为(2t ，0)(0)t >．（1）当2t =时，①在点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ；②若在直线(0)y kx k =>上存在点P 是ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心，其中4CD =，求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心为定点(2,2)P ，直接写出t 的取值范围．8．（2020•西城区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形1W 和图形2W ，给出如下定义：在图形1W 上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形2W 上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得2AM BN =，则称图形1W 和图形2W 满足限距关系．（1）如图1，点(1,0)C ，(1,0)D -，E ，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为 ，最大值为 ，线段CP 的取值范围是 ； ②在点O ，点C 中，点 与线段DE 满足限距关系；（2）如图2，O 的半径为1，直线(0)y b b =+>与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）O 的半径为(0)r r >，点H ，K 是O 上的两点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到H 和K ，若对于任意点H ，K ，H 和K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．9．（2020•通州区一模）如果MN 的两个端点M ，N 分别在AOB ∠的两边上（不与点O 重合），并且MN 除端点外的所有点都在AOB ∠的内部，则称MN 是AOB ∠的“连角弧”． （1）图1中，AOB ∠是直角，MN 是以O 为圆心，半径为1的“连角弧”．①图中MN 的长是 ，并在图中再作一条以M ，N 为端点、长度相同的“连角弧”； ②以M ，N 为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是 ．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M ，点(,0)N t 在x 轴正半轴上，若MN 是半圆，也是AOB ∠的“连角弧”求t 的取值范围．（3）如图3，已知点M ，N 分别在射线OA ，OB 上，4ON =，MN 是AOB ∠的“连角弧”，且MN 所在圆的半径为1，直接写出AOB ∠的取值范围．10．（2020•延庆区一模）对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，以r 为半径作P ，使得图形M 上的所有点都在P 的内部（或边上），当r 最小时，称P 为图形M 的P 点控制圆，此时，P 的半径称为图形M 的P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的位置如图所示，其中点(2,2)B ．（1）已知点(1,0)D ，正方形OABC 的D 点控制半径为1r ，正方形OABC 的A 点控制半径为2r ，请比较大小：1r 2r ；（2）连接OB ，点F 是线段OB 上的点，直线:l y b =+；若存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，求b 的取值范围．11．（2020•房山区一模）如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．（1）在点(0,0)O ，(2,1)C -，(3,0)D 中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标K x 的取值范围； （3）已知点(,1)M m -，若直线132y x =+上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．12．（2020•门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意点(P x ，)y ，如果满足(0x y a x +=，a 为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当23a 时，①在点(1,2)A ，(1,3)B ，(2.5,0)C 中，满足此条件的特征点为 ；②W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围； （2）已知函数1(0)Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．13．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A t ，(2,0)B t +，(,1)C n ，若射线OC 上存在点P ，使得ABP ∆是以AB 为腰的等腰三角形，就称点P 为线段AB 关于射线OC 的等腰点．（1）如图，0t =，①若0n =，则线段AB 关于射线OC 的等腰点的坐标是 ；②若0n <，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n 的取值范围；（2）若n =，且射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，则t 的取值范围是 ．14．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点P ，给出如下定义：经过点P 且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P 的“特征线”． 例如：点(1,3)M 的特征线是2y x =+和4y x =-+；（1）若点D 的其中一条特征线是1y x =+，则在1(2,2)D 、2(1,0)D -、3(3,4)D -三个点中，可能是点D 的点有 ；（2）已知点(1,2)P -的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x 轴相交于点A ，直线(0)y kx b k =+≠经过点P ，且与x 轴交于点B ．若使BPA ∆的面积不小于6，求k 的取值范围；（3）已知点(2,0)C ，(,0)T t ，且T 的半径为1．当T 与点C 的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．15．（2020•大兴区一模）已知线段AB ，如果将线段AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AC ，则称点C 为线段AB 关于点A 的逆转点．点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的示意图如图1: （1）如图2，在正方形ABCD 中，点 为线段BC 关于点B 的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(,0)x ，且0x >，点E 是y 轴上一点，点F 是线段EO 关于点E 的逆转点，点G 是线段EP 关于点E 的逆转点，过逆转点G ，F 的直线与x 轴交于点H ． ①补全图；②判断过逆转点G ，F 的直线与x 轴的位置关系并证明；③若点E 的坐标为(0,5)，连接PF 、PG ，设PFG ∆的面积为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．。

2020年初三上学期期末、新定义1西城．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.（1）在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，①如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；2东城． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若︒<∠≤︒18060MPN ，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在)2,0(),1,1(),0,1(321P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以)0(33,>m m m ）（为圆心，m 33为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的3朝阳．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，点B 在x 轴上，以AB 为直径作⊙C ，点P 在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作⊙C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点.例如，图1中的Q 为点P 的一个离点.(1)已知点P (0，3)，Q 为P 的离点.①如图2，若B (0，0)，则圆心C 的坐标为 ，线段PQ 的长为 ； ②若B (2，0)，求线段PQ 的长；(2)已知1≤P A ≤2, 直线l ：3y kx k =++（k ≠0）.①当k =1时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ；②记直线l ：3y kx k =++（k ≠0）在11x -≤≤的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围.图2图14石景山．在ABC △中，D 是边BC 上一点，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，如果与边BC 有交点E （不与点D 重合），那么称DE 为ABC △的A -外截弧． 例如，右图中DE 是ABC △的一条A -外截弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △存在A -外截弧，其中点A 的坐标为(5,0)， 点B 与坐标原点O 重合．（1）在点1(0,2)C ，2(5,3)C -，3(6,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ； （2）若点C 在直线2y x =-上， ①求点C 的纵坐标的取值范围；②直接写出ABC △的A -外截弧所在圆的半径r 的取值范围．5丰台．平面直角坐标系xOy 中有点P 和某一函数图象M ，过点P 作x 轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为P y ，Q y ．如果P Q y y ＞，那么称点P 为图象M 的上位点；如果P Q y y =，那么称点P 为图象M 的图上点；如果P Q y y ＜，那么称点P 为图象M 的下位点．（1）已知抛物线22y x =-.① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；② 如果点D 是直线y x =的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （2）将直线3y x =+在直线3y =下方的部分沿直线3y =翻折，直线3y x =+的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为1．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标H x 的取值范围．EDCBA6顺义区．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于x 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于x 轴，直线l 的二次对称点． （1）如图1，点A (0，-1)．①若点B 是点A 关于x 轴，直线l 1：x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A 关于x 轴，直线l 2：x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③点D (-1，0)是点A 关于x 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为 ；（2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b 的二次对称点，且点M ′在射线x y 3=(x ≥0)上，b 的取值范围是；（3）E (0,t )是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴，直线l 5:x y 33=的二次对称点，且点N ′在x 轴上，求t 的取值范围．7大兴区. 在平面直角坐标系xOy中，已知P（a,b）,R（c,d）两点，且a≠c，b≠d，若过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S,连接PR，则称△PRS为点P,R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S',连接PR，则称△RP S'为点R,P，S'的“坐标轴三角形”.右图为点P，R,S的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A,B,C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ;(2)已知点D（2，1），点E（e，4），若点D,E,F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.，点M（m,4）.若在⨀O上存在一点N，使得点N ，M, G的“坐标轴三角形”为（3）若⨀O的半径为3√22等腰三角形，求m的取值范围.8平谷区．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．9昌平区．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当P A＝PB时，称点P 为线段AB的正可视点．（1）∠如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；∠若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．图1 备用图10通州11门头沟．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：如果点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记作 d （M ，N ）．若图形M ，N 的“近距离”小于或等于1，则称图形M ，N 互为“可及图形”．（1）当⊙O 的半径为2时，①如果点A （0，1），B （3，4），那么d （A ，⊙O ）=________,d （B ，⊙O ）= _________； ②如果直线与⊙O 互为“可及图形”，求b 的取值范围；（2）⊙G 的圆心G 在轴上，半径为1，直线与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，如果⊙G和∠CDO 互为“可及图形”，直接写出圆心G 的横坐标m 的取值范围．备用图y x b =+x 5y x =-+12房山区如图28-1，已知线段AB 与点P ，若在线段AB 上存在．．点Q ，满足PQAB ，则称点P 为线段AB 的“限距点”.图28- （1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy 中，若点)01-(，A ，)01(，B .① 在)20(，C ，)2--2(，D ，)3-1(，E 中，是线段AB 的“限距点”的是________；② 点P 是直线1+=x y 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围.（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点)1(，t A ，)1-(，t B ，直线32+33=x y 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范围.13密云区．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足1322r d r≤≤，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（32-，2），D（12，12-）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=-x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．备用图14海淀.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． （2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6y x=的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关 于y 轴对称．①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．②点D 在直线AB 上，点D 的31倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数6y x=的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.图 1图 2图 31.西城．解：（1）①2． ② BC 关于△ABC 的内半圆，如图1， BC 关于△ABC 的内半圆半径为1．（2）过点E 作EF ⊥OE，与直线y x 交于点F ，设点M 是OE 上的动点， i ）当点P 在线段OF 上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，分别与OP ，PE 相切的半圆，如图2． ∴ 当34≤R ≤1时，t 的取值范围是32≤t ≤3．2东城.解：（1）①23，P P .…………………………2分②半径为1的⊙O 的所有环绕点在以O 为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）.ⅰ)当点B 在y 轴正半轴上时，如图1，图2所示.考虑以下两种特殊情况：线段AB 与半径为2的⊙O 相切时，52=OB ； 当点B 经过半径为1的⊙O 时，1=OB .因为线段AB 上存在⊙O 的环绕点，所以可得b 的取值范围为 521≤<b ； ②当点B 在y 轴负半轴上时，如图3，图4所示.同理可得b 的取值范围为 152-<≤-b .综上，b 的取值范围为521≤<b 或152-<≤-b .………………………5分（3）42≤<-t .………………………7分3朝阳．解：（1）①（0，1）；3.②如图，过C 作CM ⊥y 轴于点M ，连接CP ，CQ .∵A （0，2），B （2，0）， ∴C （1，1）. ∴M （0，1）. 在Rt △ACM 中，由勾股定理可得CA =2. ∴CQ =2. ∵P （0，3），M （0，1）， ∴PM=2.在Rt △PCM 中，由勾股定理可得PC =5.在Rt △PCQ 中，由勾股定理可得PQ =22-PC CQ =3.（2）①6.②21222-＜≤-k 或21222k ≤＜+.4石景山．解：（1）2C ，3C ； ………………………… 2分21yxAOB21yxA O B（2）①∵点在直线2y x =-上， 设点的坐标为．当时，过点作轴于点，如图．∴CDB △∽ADC △． ∴．∴．解得，． ∴(4,2)C 或13(,)22C'-．又∵直线2y x =-与y 轴交于点(0,2)-，结合图形，可得点的纵坐标的取值范围是或2C y >． ………………………… 5分 ②． ………………………… 7分 5丰台.解：（1）①A ，C . ………………………………………………………………2分 ②∵点D 是直线y x =的图上点，∴点D 在y x =上.又∵点D 是22y x =-的上位点，∴点D 在y x =与22y x =-的交点R ，S 之间运动.∵22,.y x y x ⎧=-⎨=⎩ ∴111,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 222,2.x y =⎧⎨=⎩ …………3分∴点R (1-，1-)，S (2，2).∴2D x -1＜＜. ……………………………………………………………5分（2）32Hx ->或3+2H x -＜. ………………………………………………7分(全卷所有题目其他解法参照上述解法相应步骤给分)C C (,2)m m -90BCA ∠=°C CD x ⊥D 2CD BD AD =⋅2(2)(5)m m m -=⋅-14m =212m =C 322C y -<<-55r <≤xy'B DC C A –1123456–1–2–3123图20)图40)图30)0)6顺义．解：（1）① 点B 的坐标为 （4，1） ；………………………………… 1分② a 的值为-2 ； ………………………………… 2分 ③直线l 3的表达式为 y =- x ； …………………………… 3分 （2）如图2，设⨀O 与x 轴的两个交点为1M （-2，0），3M （2，0）， 与射线x y 3=(x ≥0)的交点为4M ，则4M 的坐标为（1）．4M 关于x 轴的对称点为2M ．当点M 在1M 的位置时，b =-1， 当点M 在2M 的位置时，b =1， 当点M 在3M 的位置时，b =1，当点M 在劣弧12M M 上时（如图3），-1≤b ≤1，当点M 在劣弧23M M 上时（如图4），b 的值比1大，当到劣弧23M M 的中点时，达到最大值（如图5），综上，b 的取值范围是-1≤b 5分（3）∵x 轴和直线x y 3=关于直线x y 33=对称， 直线x y 3=和直线y =关于x 轴对称，∠⨀E 只要与直线x y 3=和y =∴t 的取值范围是：-4≤t ≤4. ……………………………………… 7分7大兴.（1）（3，4）…………………………………………………………………….2分 （2） ∵点D （2，1），点E （e ，4）， 点D ，E ，F 的“坐标三角形”的面积为3， ∴33221=⨯-=∆e S DEF 22=-e∴4=e 或0=e ，.……………………………4分（3）由点N ，M ， G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得直线MN 为 b x y +=或b x y +-=①当直线MN 为b x y +=时，由于点M 的坐标为（m ，4）,可得m =4－b由图可知，当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值. 此时直线MN 记为M 1 N 1，其中N 1T 1为直线M 1 N 1与y 轴的交点. ∵△O N 1T 1为等腰直角三角形，O 1N ∴OT 1=22223)223(⎪⎭⎫⎝⎛+=3∴b 的最小值为-3，∴m 的最大值为m =4－b =7………………………………………………5分当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值. 此时直线MN 记为M 2 N 2，其中N 2为切点，T 2为直线M 2 N 2与y 轴的交点. ∵△2ON 2T 为等腰直角三角形，2ON ∴2OT =22223)223(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3∴b 的最大值为3，∴m 的最小值为m =4－b =1，∴m 的取值范围是71≤≤m ，…………………………………………6分 ②当直线MN 为b x y +-=时. 同理可得，4-=b m ， 当3=b 时，1-=m 当3-=b 时，-7=m∴m 的取值范围是-17-≤≤m .………………………………………7分 综上所述，m 的取值范围是71≤≤m 或17--≤≤m .8平谷解：（1）A ,B 5 ·············································································· 3 （2）1922t -≤≤； ············································································· 5 （3）点Q 在以点O 为圆心，4为半径的圆上；或在以点O 为圆心，3 (7)9昌平．（1）∠线段AB 的可视点是2P ，3P ． ……………………………………………………………… 1分 ∠点P 的坐标：P （0，3）（答案不唯一，纵坐标p y 6≤p y ≤6）． ………………2分（2）如图，直线与⊙1O 相切时，BD 是⊙1O 直径∴BD =25. ∵BE =23， ∴DE =22. ∴EF =︒45cos DE=4.∴F （0，7） 同理可得，直线与⊙3O 相切时，G (0，-8)∠b 的取值范围是：－8≤b ≤7． …………………5分（3）m 的取值范围：22225-≤≤--m 或32253+≤≤m ………………………………………7分 10通州11门头沟．（本小题满分7分）解：（1）① 1，3；…………………………………………………………………………2分② ∵由题意可知直线与⊙O 互为“可及图形”，⊙O 的半径为2， ∴3OE OF ==．……………………………………………………………3分 ∴32OM ON ==∴ 3232b -≤≤．………………………………………………………5分y x b =+xy–7–6–5–4–3–2–112345678–5–4–3–2–112345FENMO（2）22m -≤≤，522522m -≤≤+…………………………………………7分说明：12房山.（1）① C ， E ； …………2分②由题意直线1+=x y 上满足线段AB 的“限距点”的范围 如图28-1所示.点P 在线段MN 上（包括端点）…………3分易求 2-1-=M x …………4分1=N x …………5分∴点P 横坐标P x 的取值范围为： 图28-11≤≤2-1-P x （2）如图28-2，-8=txy –7–6–5–4–3–2–112345678–5–4–3–2–112345C D OG G G G…………6分图28-2如图28-3，2-3=t…………7分图28-3综上所述：2-3≤t ≤8-13密云.(1) A ,C ………………………………2分（2）∵点E （4，3）是⊙O 的“随心点”∴OE =5，即d =5若， ∴r =10 ………………………………3分若 ，………………………………4分∴ ………………………………5分125r =352r =103r =10310r ≤≤(3) ………………7分14海淀．（1）解：P 1，3；（2）解：直线ON 与点M 的21倍相关圆的位置关系是相切.证明：设点M 的坐标为（x ，0），过M 点作MP ⊥ON 于点P ，∴ 点M 的21倍相关圆半径为21x .∴ OM =x .∵∠MON ＝30°，MP ⊥ON ,∴ MP ＝2OM =21x .∴ 点M 的21倍相关圆半径为MP .∴直线ON 与点M 的21倍相关圆相切.（3）① 点C 的3倍相关圆的半径是3;② h11b b -≤≤-≤≤或。

二、重难专题突破专题九新定义问题(必考)综合训练类型一新定义点与函数问题(8年4考：2017.29、2015.29、2014.25、2013.25)1.(2019房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.(1)当⊙O的半径r＝2时，在点D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)中，为⊙O的关联整点的是；(2)若直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；(3)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝－x＋4上存在⊙C的关联整点.求圆心C的横坐标t的取值范围.第1题图2. (2019丰台区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B ，使得点P 在射线BC 上，且∠APB ＝14∠ACB (0°<∠ACB <180°)，则称P 为⊙C 的依附点.(1)当⊙O 的半径为1时，①已知点D (－1，0)，E (0，－2)，F (2.5，0)，在点D ，E ，F 中，⊙O 的依附点是 ； ②点T 在直线y ＝－x 上，若T 为⊙O 的依附点，求点T 的横坐标t 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .若线段MN 上的所有点都是⊙C 的依附点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.3. (2019西城区一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N (M ，N 可以重合)使得PM ＝QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点.第3题图①(1)如图①，已知点A (0，3)，B (2，3).①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ，最大值是 ；②在P 1(32，0)，P 2(1，4)，P 3(－3，0)这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ；(2)如图②，已知⊙O 的半径为1，点D 的坐标为(5，0).若点E (x ，2)在第一象限，且点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，求x 的取值范围；(3)如图③，已知点H (－3，0)，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点C (a ，b )(其中b ≥0)是坐标平面内一个动点，且OC ＝5，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK ︵上的任意两个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围.第3题图② 第3题图③4. (2019朝阳区二模)M (－1，－12)，N (1，－12)是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN ≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点.(1)在点A 1(0，12)，A 2(12，0)，A 3(0，2)，A 4(2，2)中，线段MN 的可视点为 ；(2)若点B 是直线y ＝x ＋12上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围；(3)直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围.第4题图类型二 新定义距离与函数问题(8年2考：2018.28、2012.25)1. (2012北京)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|； 若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点).第1题图①(1)已知点A (－12，0)，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； (2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图③，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标.第1题图2. (2019东城区一模)在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”.下图中的P，Q两点即为“等距点”.第2题图(1)已知点A的坐标为(－3，1)，①在点E(0，3)，F(3，－3)，G(2，－5)中，为点A的“等距点”的是；②若点B在直线y＝x＋6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；(2)直线l：y＝kx－3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，①若T1(－1，t1)，T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1与T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围.备用图3.(2018北京)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N).已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2).(1)求d(点O，△ABC)；(2)记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围.4. (2019石景山一模)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).(1)已知点E(0，4)，①直接写出d(点E)的值；②直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，若d(⊙T)＜6，直接写出t的取值范围.类型三新定义图形与函数问题(仅2016.29考查)1. (2019石景山区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”.(1)已知点A(4，0).①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x－5上，则点B的坐标为；(2)⊙T的圆心为点T(2，0)，半径为2，点M的坐标为(2，6)，N为直线y＝x＋4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围.2.(2018平谷区一模)在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2，0)，B(0，23)，则以AB为边“坐标菱形”的最小内角为°；(2)若点C(1，2)，点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；(3)⊙O的半径为2，点P的坐标为(3，m).若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围.图①图②第2题图类型四 新定义几何问题(2019.28新考查)1. (2019北京)在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧.例如，如图①中DE ︵是△ABC 的一条中内弧.第1题图① 第1题图②(1)如图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ︵，并直接写出此时DE ︵的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (0，0)，C (4t ，0)(t >0).在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点.①若t ＝12，求△ABC 的中内弧DE ︵所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ︵，使得DE ︵所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围.2. P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把P A ·PB 的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”.第2题图(1)⊙O的半径为6，OP＝4.①如图，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为；②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围；(2)若⊙O的半径为r，OP＝d，请参考(1)的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围；(3)在平面直角坐标系xOy中，C(1，0)，⊙C的半径为3，已知点M(t，0)，N(0，－t)，若在直线MN 上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出t的取值范围.参考答案类型一新定义点与函数问题1. 解：(1)E，F；【解法提示】∵D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)，O(0，0)，∴OD＝22＋22＝22＞2，OE＝1＜2，OF＝2，∴E，F为⊙O的关联整点；(2)如解图①，当⊙O与直线y＝－x＋4相切时，切点为G(2，2)，则r＝OG＝22＋22＝22.当⊙O过点Q(－2，6)时，则r＝OQ＝22＋62＝210，结合图象，当直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个时，r的取值范围为22≤r＜210；第1题解图①(3)如解图②，当⊙C过点M(3，1)时，CM＝2，ME＝1，则CE＝3，此时点C的横坐标t＝3－3，当⊙C′过点N(5，－1)时，则FC′＝3，此时点C′的横坐标t＝5＋3，结合函数图象，圆心C的横坐标t的取值范围为3－3≤t≤5＋3.第1题解图②2. 解：(1)①E、F；【解法提示】如解图①，根据P为⊙O的依附点，可知：当r＜OP＜3r(r为⊙O的半径)时，点P为⊙O 的依附点．第2题解图①∵D (－1，0)，E (0，－2)，F (2.5，0)， ∴OD ＝1，OE ＝2，OF ＝2.5， ∴1＜OE ＜3，1＜OF ＜3， ∴点E ，F 是⊙O 的依附点， 故答案为：E 、F ； ②如解图②，第2题解图②当点T 在第四象限，OT ′＝1时，作T ′N ⊥x 轴于点N ，易知N (22，0)，OT ＝3时，作TM ⊥x 轴于点M ，易知M (322 ，0)，∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围为22 ＜t ＜322.当点T 在第二象限时，同理可得满足条件的t 的取值范围为－322 ＜t ＜－22 ，综上所述，满足条件的t 的值的范围为22 ＜t ＜322 或－322 ＜t ＜－22. (2)4＜m ＜42 或－4＜m ＜2－22 .【解法提示】如解图③，当点C 在点M 的右侧时，第2题解图③由题意M (2，0)，N (0，2)，当CN ＝6时，OC ＝CN 2－ON 2 ＝42 ，此时C (42 ，0)， 当CM ＝2时，此时C (4，0)，∴满足条件的m 的值的范围为4＜m ＜42 . 如解图④，当点C 在点M 的左侧时，第2题解图④当⊙C 与直线MN 相切时，易知C ′(2－22 ，0)， 当CM ＝6时，C (－4，0)，∴满足条件的m 的值的范围为－4＜m ＜2－22 ，综上所述，满足条件的m 的值的范围为：4＜m ＜42 或－4＜m ＜2－22 . 3. 解：(1)① 3，13 ；【解法提示】d 的最小值＝OA ＝3，d 的最大值＝OB ＝22＋32 ＝13 . ②P 1；【解法提示】由题图①可知，P 1到线段AB 的最小距离＝OA ＝3，最大距离＝P 1A ＝（32）2＋32 ＝352，则线段AB 上存在点M ，N ，使得P 1M ＝ON ；P 2到线段AB 的最大距离＝12＋12 ＝2 ，∵2 <3，∴P 2不符合题意；P 3到线段AB 的最小距离＝32＋32 ＝32 ，∵32 >13 ，∴P 3不符合题意．(2)第3题解图①由题意得，点D 到⊙O 的最近距离是4，最远距离是6，点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，此时需要满足E 1到⊙O 的最大距离是4，即OE 1＝3，根据OE 1＝3解出此时x ＝5 ；同理当E 2到圆O 的最小距离是6，即OE 2＝7， 根据OE 2＝7，解得此时x ＝35 ， ∴5 ≤x ≤35 ； (3)4143≤b ≤5.【解法提示】点C 在以O 为圆心，半径为5的上半圆上运动，以C 为圆心，半径为2的圆刚好与弧HK 相切，此时要想弧HK 上的任意两点都是⊙C 的平衡点，需要满足CK ≤6，如解图②，当CK ＝6，此时a ＝－13 ，b ＝4143 ，同理，当CH ＝6时，a ＝13 ，b ＝4143.在两者中间时，如解图③所示，此时a ＝0，b＝5，∴4143≤b ≤5.第3题解图②第3题解图③4. 解：(1)A 1，A 3；【解法提示】如解图①，以MN 为直径的半圆交y 轴于点E ，以E 为圆心，EM 长为半径的⊙E 交y 轴于点F ，∵MN 是⊙G 的直径，M (－1，－12 )，N (1，－12 )，∴∠MA 1N ＝90°，MN ⊥EG ，EG ＝1，MN ＝2.∴EF＝EM ＝2 ，∴∠MFN ＝12 ∠MEN ＝45°，∵45°≤∠MPN ≤90°，∴点P 应落在⊙E 内部，且落在⊙G 外部(包含边界)，且不与点M 、N 重合．∴线段MN 的可视点为A 1，A 3.第4题解图①(2)如解图②，以(0，－12 )为圆心，MN 为直径作⊙G ，以(0，12 )为圆心，2 为半径作⊙E ，两圆在直线MN 上方的部分与直线y ＝x ＋12分别交于点E ，F .如解图②，过点F 作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点E 作EH ⊥FQ 于点H ， ∵FQ ⊥x 轴， ∴FQ ∥y 轴，∴∠EFH ＝∠MEG ＝45°. ∵∠EHF ＝90°，EF ＝2 ，∴EH ＝FH ＝1. ∵E (0，12 )，∴F (1，32).只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点． ∴点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1；第4题解图②(3)－32 ＜b ≤－32 或12 ≤b ≤52；【解法提示】如解图③，⊙G 与x 轴交于点H ，与y 轴交于点E ，连接GH ，OG ＝12 ，GH ＝1，∴OH ＝GH 2－OG 2 ＝12－（12）2 ＝32，∴H (32 ，0)，E (0，12). 当直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点， ①当直线y ＝x ＋b 与y 轴交点在y 负半轴上， 将H (32 ，0)代入y ＝x ＋b 得32 ＋b ＝0，解得b 1＝－32， 将N (1，－12 )代入y ＝x ＋b 得1＋b ＝－12 ，解得b 2＝－32 ，∴－32 ＜b ≤－32；②当直线y ＝x ＋b 与y 轴交点在y 正半轴上， 将 E (0，12 )代入得b ＝12，当直线y ＝x ＋b 与⊙E 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET ⊥TQ ， ∵∠EQT ＝45°， ∴TQ ＝ET ＝EM ＝2 ，∴EQ ＝ET 2＋TQ 2 ＝（2）2＋（2）2 ＝2. ∴OQ ＝OE ＋EQ ＝12 ＋2＝52.∴12 ≤b ≤52. 综上所述：－32 ＜b ≤－32 或12 ≤b ≤52.第4题解图③类型二 新定义距离与函数问题1. 解：(1)①B (0，2)或B (0，－2)(写出一个答案即可)； ②12； (2)①设C 点坐标为(m ，34m ＋3)，D (0，1)；于是当非常距离最小时有|m |＝|34 m ＋3－1|，解得 m 1＝－87 ，m 2＝8(舍去)，于是点C 的坐标为(－87 ，157)；②平移直线y ＝34 x ＋3与⊙O 相切，切点为点E ，与x 轴、y 轴交点分别为点A 、B ，由切线的性质可知点E 即为最接近直线y ＝34x ＋3的点，亦为题中所求的点．第1题解图如解图，过点E 作EF ⊥x 轴于点F . 设点E 的坐标为E (x 0，y 0)，x 0＜0； 易知：Rt △EFO ∽ Rt △AOB ， ∴FO EF ＝OB AO ＝34 ，即－x 0y 0 ＝34， 又∵点E 为⊙O 上的点，∴可得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 20 ＋y 20 ＝1，4x 0＋3y 0＝0， 解得：x 0＝－35 ，y 0＝45 ，∴点E 的坐标为(－35 ，45).设点C 的坐标为C (a ，34 a ＋3)，由①可知：当|－35 －a |＝|(34 a ＋3)－45 |时有最小值，∴a ＝－85 或325(舍去)，∴点C 的坐标为C (－85 ，95 )，此时最小值为－35 －(－85 )＝1.2. 解：(1)①E ，F ；【解法提示】点A 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点E 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点F 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点G 到x ，y 轴的距离中的最大值等于5；∴点E ，F 是点A 的“等距点”．②(－3，3)；【解法提示】∵点A 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，A ，B 两点为“等距点”，∴点B 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，∵点B 在直线y ＝x ＋6上，∴设B (a ，a ＋6)，当a ＝3时，a ＋6＝9，不符合题意，当a ＋6＝3时，a ＝－3，符合题意，∴B (－3，3).(2)①∵T 1(－1，t 1)，T 2(4，t 2)是直线l 上的两点， ∴t 1＝－k －3，t 2＝4k －3. ∵k ＞0，∴|－k －3|＝k ＋3＞3，4k －3＞－3， 依题意可得：当－3＜4k －3＜4时，k ＋3＝4，解得k ＝1; 当4k －3≥4时，k ＋3＝4k －3，解得k ＝2. 综上所述，k 的值为1或2； ②32≤r ≤32 . 【解法提示】当k ＝1时，y ＝x －3，则点C 的坐标为(3，0)，点D 的坐标为(0，－3)；如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵CD ＝32＋32 ＝32 ，∴OE ＝CE ＝322 .∴EF ＝22×322 ＝32 .则线段CD 上的点到x ，y 轴的距离中的最小值等于32 ，∴半径r 的最小值为32；线段CD 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，∴半径为r 的⊙O 上存在一点M ，使得点M 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，如解图，过点G (3，3)作x 轴的垂线，垂足为点C ，连接OG ，则OG ＝32＋32 ＝32 ，∴⊙O 的半径r 的最大值为32 ；综上所述，r 的取值范围是32≤r ≤32 .第2题解图3. 解：(1)如解图①，d (点O ，△ABC )＝2; (2)－1≤k ≤1且k ≠0；【解法提示】如解图①，y ＝kx (k ≠0)经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段．第3题解图①当y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)经过(1，－1)时，k＝－1，此时d(G，△ABC)＝1，当y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)经过(－1，－1)时，k＝1，此时d(G，△ABC)＝1，∴－1≤k≤1，∵k≠0，∴－1≤k≤1且k≠0.(3)如解图②，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，t＝－4；②⊙T在△ABC的内部时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，0≤t≤4－22；③⊙T在△ABC的右侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，t＝4＋22；综上，t＝－4或0≤t≤4－22或t＝4＋22.第3题解图②4. 解：(1)①5；【解法提示】∵正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0)，点E(0，4)在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离有最大值，EC＝5，即d(点E)的值为5.②如解图①所示：∵d(点E)＝5，∴d(线段EF)的最小值是5，∴符合题意的点F满足d(点F)≤5，当d(点F)＝5时，BF1＝DF2＝5，∴点F1的坐标为(4，0)，点F2的坐标为(－4，0)，将点F1的坐标代入y＝kx＋4得：0＝4k＋4，解得：k＝－1，将点F2的坐标代入y＝kx＋4得：0＝－4k＋4，解得：k＝1，∴k＝－1或k＝1.∴当d(线段EF)取最小值时，EF1直线y＝kx＋4中k≤－1，EF2直线y＝kx＋4中k≥1，∴当d(线段EF)取最小值时，k的取值范围为：k≤－1或k≥1；(2)t的取值范围为－3＜t＜3.【解法提示】⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，当d(⊙T)＝6时，如解图②所示：CM＝CN＝6，OH＝3，∴T1C＝TC＝5，CH＝OC＋OH＝1＋3＝4，∴T1H＝T1C2－CH2＝52－42＝3，TH＝TC2－CH2＝52－42＝3，∴d(⊙T)＜6，t的取值范围为－3＜t＜3.图①图②第4题解图类型三 新定义图形与函数问题1. 解：(1)①如解图①，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR ，则OR ＝AR .过点R 作RH ⊥OA 于点H ， ∴OH ＝HA ＝12OA ＝2，∵以线段OA 为底的等腰△OAR 恰好是点O ，A 的“生成三角形”， ∴RH ＝OA ＝4.∴OR ＝OH 2＋RH 2 ＝25 . 即该三角形的腰长为25 ；第1题解图①②(1，0)，(3，0)或(7，0)【解法提示】如解图②所示：若A 为直角顶点时，点B 的坐标为(1，0)或(7，0)； 若B 为直角顶点时，点B 的坐标为(1，0)或(3，0). 综上，点B 的坐标为(1，0)，(3，0)或(7，0).第1题解图②(2)如解图③可得：若N 为直角顶点：－1－2 ≤x N ≤0；第1题解图③如解图④可得：若M 为直角顶点：－6≤x N ≤－2；第1题解图④综上，点N 的横坐标x N 的取值范围为：－6≤x N ≤0. 2. 解：(1)60；【解法提示】如解图①所示，∵点A (2，0)，B (0，23 )， ∵OA ＝2，OB ＝23 ，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB ＝22＋（23）2 ＝4， ∵OA ＝12 AB ，∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝30°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABC ＝2∠ABO ＝60°， ∵AB ∥CD ，∴∠DCB ＝180°－60°＝120°，∴以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为60°；第2题解图①(2)如解图②，第2题解图②∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y＝5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于点E.∴D(4，5)或(－2，5).∴直线CD的表达式为：y＝x＋1或y＝－x＋3；(3)分两种情况：①先作直线y＝x，再作圆的两条切线，且平行于直线y＝x，如解图③，第2题解图③∵⊙O的半径为2，且△OQ′D是等腰直角三角形，∴OD＝2OQ′＝2，∴BD＝3－2＝1，∵△P′DB是等腰直角三角形，∴P′B＝BD＝1，∴P′(3，1)，同理可得：OA＝2，∴AB＝3＋2＝5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB＝5，∴P(3，5)，∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y＝－x，再作圆的两条切线，且平行于直线y＝－x，如解图④，∵⊙O的半径为2，且△OQ′D是等腰直角三角形，∴OD＝2OQ′＝2，∴BD＝3－2＝1，∵△P′DB是等腰直角三角形，∴P′B＝BD＝1，∴P′(3，－1)，同理可得：OA＝2，∴AB＝3＋2＝5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB＝5，∴P(3，－5)，∴当－5≤m≤－1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或－5≤m≤－1.第2题解图④类型四 新定义几何问题1. 解：(1)画出DE ︵如解图①所示，DE ︵与BC 相切时，△ABC 的中内弧最长.此时DE ︵的长为以DE 长为直径的半圆.∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，∴BC ＝2AB ＝2·22＝4.∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×4＝2.∴lDE ︵＝180π360×2＝π；第1题解图①(2)①当t ＝12时，C (2，0).连接DE ，当DE ︵在DE 的下方时，点P 的纵坐标最小时点P 为DE 的中点，如解图②所示.∵A (0，2)，∴BA ＝2.∵点D 是BA 的中点，∴BD ＝1.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×2＝1.∴⊙P 的半径PD ＝12.∵12＜1，∴DE ︵是△ABC 的中内弧.∴y P ≥1.第1题解图②第1题解图③当DE ︵在DE 的上方时，点P 的纵坐标最大时，⊙P 与AC 相切于点E .如解图③所示，作DE 的垂直平分线FG 交DE 于点F ，交x 轴于点G ，则四边形DBGF 是矩形，圆心P 在FG 上.∵C (2，0)，A (0，2)，∴BC ＝BA ＝2.∴Rt △ABC 是等腰直角三角形.∴∠ACB ＝45°.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC .∴∠AED ＝∠ACB .∴∠AED ＝45°.连接PE ，∵⊙P 与AC 相切于点E ，∴PE ⊥AC .∴∠PEA ＝90°.∴∠PEF ＝∠PEA －∠AED ＝45°.∵PF ⊥DE ，∴∠FPE ＝45°.∴∠PEF ＝∠FPE .∴PF ＝EF .∵FG 平分DE ，∴DF ＝EF ＝12DE＝12×1＝12.∴PF ＝12.∵FG ＝BD ＝1，∴PG ＝FG －PF ＝1－12＝12.∴P (12，12).∴y P ≤12. 综上，圆心P 的纵坐标y P 的取值范围为y P ≥1或y P ≤12；②0＜t ≤2 .【解法提示】ⅰ. 当P 在DE 上方时，如解图④所示，圆心P 在边AC 上且DE ︵与边BC 相切于点F 时，符合题意．∵C (4t ，0)，∴BC ＝4t .∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12 BC ＝12 ×4t ＝2t .连接PF .∵⊙P 与BC 相切于点F ，∴PF ⊥BC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥PF .∴DG ＝12 DE ＝12 ×2t ＝t .∵PF ⊥BC ，∴PF ∥y 轴．∴△EPG ∽△EAD .∴PG AD ＝EG ED ＝12 .∴PG ＝12 AD ＝12 ×1＝12 .又∵GF ＝BD ＝1，∴PF ＝PG＋GF ＝12 ＋1＝32 .∴DP ＝32 .在Rt △PDG 中，由勾股定理得DP 2＝DG 2＋GP 2，即(32 )2＝t 2＋(12 )2.解得t ＝±2 .∵t ＞0，∴t ＝2 .∴t 的取值范围是0＜t ≤2 .第1题解图④ⅱ. 当P 在DE 下方时，如解图⑤.⊙P 与AC 相切于点E 为临界状态，过P 作PM ⊥DE 于点M ，DE 为△ABC 的中内弧，只需PM ≤1即可．此时易得△EMP ∽△ABC ，∴PM CB ＝EM AB ，即PM 4t ＝t2 .得PM ＝2t 2，故0<t ≤22.第1题解图⑤综上，t 的取值范围为0＜t ≤2 . 2. 解：(1)①20；【解法提示】如解图①所示：连接OA 、OB 、OP .∵OA ＝OB ，P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB .∵在Rt △PBO 中，由勾股定理得：PB ＝OB 2－OP 2 ＝62－42 ＝25 ，∴P A ＝PB ＝25 .∴⊙O 的“幂值”＝25 ×25 ＝20.第2题解图①②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．证明：如解图②，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直．过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，OA′.第2题解图②∵在⊙O中，∠AA′P＝∠B′BP，∠AP A′＝∠BPB′，∴△AP A′∽△B′PB.∴P APB′＝P A′PB.∴P A·PB＝P A′·PB′＝20.∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．(2)r2－d2；【解法提示】如解图③所示，连接OP，过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，连接OA，OB.第2题解图③∵AO＝OB，PO⊥AB，∴AP＝PB.∴点P关于⊙O的“幂值”＝AP·PB＝P A2.在Rt△APO中，AP2＝OA2－OP2＝r2－d2.∴点P关于⊙O的“幂值”＝r2－d2.(3)1－6≤t≤6＋1.【解法提示】如解图④所示：过点C作CP⊥AB交AB于点P.第2题解图④∵点P关于⊙C的“幂值”为6，若⊙O半径为r，CP＝d，则由(2)可知r2－d2＝6.∴d2＝3，即d＝3.如解图⑤，以点C为圆心，3为半径作辅助圆⊙C′，∵点P在直线MN上，∴当直线MN与⊙C′相交即可满足条件．当点M在x轴正半轴时，直线MN与⊙C′相切如解图⑤，∵M(t，0)、N(0，－t)，∴ON＝OM＝t，∵OM＝ON，∴∠OMN＝45°.∴在直角三角形CPM中，PM＝CP＝3.则CM＝CP2＋PM2＝6，∴OM＝6＋1.∴t＝6＋1.同理当点M在x轴负半轴时，解得t＝1－6，结合函数图象，t的取值范围为1－6≤t≤6＋1.第2题解图⑤。

十一假期课堂资料一．解答题（共38小题）1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0），设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当抛物线过点（﹣2，0）时，求t的值；（2）若点（﹣2，m）和（1，n）在抛物线上，若m＞n，且amn＞0，求t的取值范围．2．如图，△ABC中，D为AC边中点，E为BC延长线上一点，连接ED并延长，使DF＝ED，连接BF．（1）依题意补全图形；（2）连接BD，若CE2+BF2＝AB2，猜想BD与DE的数量关系，并证明．3．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD 关于直线l的“关联点”，（1）已知点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是；（2）⊙O的圆心O（﹣，1）半径为，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，求t的取值范围；（3）⊙O的圆心O（m，1）（m＜0）半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围（用含m的式子表示）．4．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），（1）d（点A，点B）＝，d（点A，线段BC）＝；（2）⊙O半径为r，①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝；②若d（⊙O，△ABC）＝1，求⊙O的半径r的长．5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣6ax﹣4（a≠0）．（1）求抛物线的对称轴．（2）若方程ax2﹣6ax﹣4＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，且2≤x1＜x2≤4，结合函数的图象，求a的取值范围．6．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，在平面内有一个点E（点E与点A，C 不重合），以点C为中心，把线段CE顺时针旋转90°，得到线段CD，连接BE，AD．（1）如图1，若点E在边AC上；①依题意补全图形；②设BE＝kAD，则k＝．（2）如图2，若点E不在边AC上，猜想线段BE，AD之间的数量关系及位置关系，并证明．7．定义：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B．点P为平面内任意一点，若P A＝PB，且∠APB≤120°时，称点P为线段AB的“居中点”．特别地，当P A＝PB，且∠APB＝120°时，又称点P为线段AB的“正居中点”．抛物线y ＝x2﹣2x与x轴的正半轴交于点M．（1）若点C是线段OM的“正居中点”，且在第一象限，则点C的坐标为（，）；（2）若点D是线段OM的“居中点”，则点D的纵坐标d的取值范围是．（3）将射线OM绕点O顺时针旋转30°得到射线m，已知点E在射线m上，若在第四象限内存在点F，点F既是线段OM的“居中点”，又是线段OE的“正居中点”，求此时点E的坐标．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等腰直角三角形，求a的值；（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，求a的取值范围．9．如图，已知BD是矩形ABCD的一条对角线，点E在BA的延长线上，且AE＝AD．连接EC，与AD相交于点F，与BD相交于点G．（1）依题意补全图形；（2）若AF＝AB，解答下列问题：①判断EC与BD的位置关系，并说明理由；②连接AG，用等式表示线段AG，EG，DG之间的数量关系，并证明．10．如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线与x轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．12．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是，∠BCE与∠A的数量关系是；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．13．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y 轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为；②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是．14．已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4，抛物线的顶点为M．（1）求点M的坐标；（2）设抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x2＞x1①判断AB的长是否为定值，并证明；②已知点N（0，﹣4），且NA≥5，利用图象求x2﹣x1+a的取值范围．15．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为，位置关系为；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE 与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．16．对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q 为0，例如，图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．（1）下列函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是（填序号）；（2）函数y＝3x2+bx，①若其不动长度为0，则b的值为；②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，将G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为．17．在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）．（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标；（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标y B的取值范围．18．给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M 的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是；（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．19．已知等边△ABC，点D、点B位于直线AC异侧，∠ADC＝30°．（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：Ⅰ．AD+CD＝BD；Ⅱ．AD2+CD2＝BD2，其中正确的是（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）；（2）如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断（1）②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．20．对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，点P'落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．（1）已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．①在点P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点是线段AB关于原点O的“伴随点”；②如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；（2）⊙E的圆心坐标为（1，n），半径为1，如果直线y＝﹣x+2n上存在⊙E关于原点O 的“伴随点”，直接写出n的取值范围．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E 为线段DC上一动点（不与点C，点D重合），连接AE．以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与线段AD交于点G．（1）求证：∠BAE＝∠CAF；（2）用等式表示线段BG与FG的数量关系，并证明．22．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求A，B两点的坐标；（2）已知点P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果线段PQ与二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象恰有一个公共点．结合函数图象，求a的取值范围．23．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．24．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点，，中，⊙O的关联点是；②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A为（0，1），点B为（﹣1，0）．若线段AB 上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．25．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．如图，∠AOB＝90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全图1，并证明PE＝PF；（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．27．定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．（1）点A的相伴抛物线的解析式为；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b 的相伴点坐标为；（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．28．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为，点C （﹣3，4）和射线OA之间的距离为．（2）点E的坐标为（1，1），将射线OE绕原点O逆时针旋转90°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①在坐标系中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）②将抛物线y＝x2﹣2与图形M的公共部分记为图形N，射线OE，OF组成的图形记为图形W，请直接写出图形W和图形N之间的距离．29．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+1（a＜0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上，若m＞n＞1，求t的取值范围及x0的取值范围．30．对于点P（x P，y P）与图形W，如果图形W上存在一点Q（x Q，y Q），使得当x P＝x Q时，|y P﹣y Q|≤1，则称点P为图形W的一个“近卫点”．（1）已知A（﹣2，2），B（2，2），在点P1（﹣3，3），P2（﹣1，1），P3（1，4），中，是线段AB的“近卫点”的有；（2）以原点O为圆心，1为半径作⊙O，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于C、D两点，若线段CD上任意一点都是⊙O的“近卫点”，求b的取值范围；（3）已知点E（m，0），以点E为中心的正方形s满足以下条件：四条边都平行于坐标轴，且边长为1．若正方形s上存在抛物线的“近卫点”，直接写出m的取值范围．31．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）．（1）求二次函数C1的对称轴，并写出顶点坐标；（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．①求a的值；②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．32．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为．33．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x ﹣a2+2a上，其中x1＜x2．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当x＝a时，求y的值；②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．34．已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．35．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中，是点A的“直角点”；（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．36．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝﹣3，t＝2时，求抛物线与y轴交点坐标及比较m，n的大小关系；（2）点（x0，m）在抛物线上，且2＜x0＜3，求t的取值范围，并比较m，n，c的大小关系．37．已知，点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．（1）如图1，当点P和点O重合时，直接写出OC与OD的数量关系；（2）如图2，当P为线段AB上任意一点时，①依题意补全图形；②请用等式表示线段OC和OD的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠COD＝60°，请用等式直接写出AC、BD、OC之间的数量关系．38．对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且P A＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”，已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，0）．（1）如图1，点O是坐标原点，⊙O的半径是2，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．①若点P在x轴的负半轴上，直接写出点P的坐标；②若点P在第二象限，且∠P AO＝45°，求点P的坐标；（2）设点T（t，0），以T为圆心，TA长为半径作⊙T，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y 轴交于点D、E，若直线y＝﹣x+4上存在点P，使得P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的取值范围．。