(完整版)抓不变量巧解题

抓不变量解题方法（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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六年级化学抓住不变量解应用题在化学研究中，我们经常遇到一些解应用题的情况。

解应用题的关键是能够抓住其中的不变量，并且应用相应的化学知识进行解答。

本文将介绍一些六年级化学解应用题的技巧和方法。

1. 熟悉化学基础知识在解应用题之前，首先要掌握一些基础的化学知识。

这包括化学元素、化合物的性质和反应等。

只有对这些基础知识有一定的了解，才能在解应用题时游刃有余。

2. 确定问题的不变量在解应用题时，需要仔细阅读问题，并确定其中的不变量。

不变量是指在问题中始终保持不变的物质或性质。

通过确定不变量，可以简化问题，将其转化为更容易解答的形式。

例如，如果问题中涉及到水的蒸发过程，那么水的性质就是一个不变量。

我们可以根据水的性质，结合蒸发的原理进行解答。

3. 运用相应的化学知识一旦确定了问题的不变量，就可以运用相应的化学知识进行解答。

这可能涉及到化学方程式、物质的量关系、溶解度等知识。

例如，如果问题是关于溶解度的，我们可以通过查阅相关的化学手册或者使用溶解度规律进行解答。

4. 灵活运用数学方法解应用题时，有时也需要进行一些数学计算。

这可能涉及到浓度的计算、物质的量的转化等。

例如，如果问题需要计算溶液的浓度，我们可以利用溶液的质量和体积数据进行计算。

5. 独立思考和反思在解应用题的过程中，要保持独立思考和反思的能力。

不仅要理解问题的背景和要求，还要审视解决方法是否合理和有效。

通过不断地思考和反思，我们可以提升解决问题的能力，更好地应对化学研究中的应用题。

总之，化学解应用题需要我们掌握化学基础知识，抓住问题的不变量，并灵活运用相应的化学知识和数学方法进行解答。

同时，我们还要保持独立思考和反思的能力，不断提升自己的解决问题的能力。

一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有 变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转 化并解答。

二、精讲精练437 将的的分子与分母同时加上某数后得G ，求所加的这个数。

61 9解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18， 所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是g分母的G ，由此可求出新分数的分子和分母。

”9g分母：（61-43）+（1— ）=819 g分子：81X- =63981-61=20或63-43=20 43 g解法二：所的分母比分子多18,-的分母比分子多2,因为分数的与分母的差不变，所以 61 9-将5的分子、分母同时扩大（18+2=）9倍。

9 -①Q 的分子、分母应扩大：（61-43）・（9-7）=9 （倍） 9 - - -X9 63②约分后所得的G 在约分刖是：Q =不二 =*9 9 9X9 81③ 所加的数是81-61=20答：所加的数是20。

练习1：97 21、 分数有 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是三，那么减去的数是多少？181 5六年级奥数——抓“不变量”解题【例题1】43132、分数百的分子、分母同加上一个数后得三，那么同加的这个数是多少？13 5353、w的分子、分母加上同一个数并约分后得亍，那么加上的数是多少？19 758 24、将元这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是耳，那么减去的数是79 3多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得耳，如果将它的分母加上1，则得3，求这个分数。

4解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得5 ”可知，分母比分子的5倍还多2。

由“分母加i得2 ”可知，分母比分子的2倍少1, 从而将原题转化成一个盈亏问题。

抓不变量巧解题唐洋镇小学杨梅一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。

如“某班转走3 名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。

但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。

在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。

抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。

根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。

一、总量不变这类应用题的特点是：题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。

解题时，一般把两个量的总和看作单位“ 1”或者把其中一个量看作是 1 倍的量。

[ 问题1] ：小丽有故事书108 本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3 倍。

问小芳借了多少本故事书给小丽？[ 思路点拔] ：小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。

即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+1) 倍，因此小芳现有故事书的本数是(108+140) + (3+1)=62本，所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78(本)。

可以验证一下：(108+78) -(140-78)=186-62=3，答案正确。

[问题2] ：有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：7，求原来上、下层各有多少本书？[ 思路点拔] ：根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可把总数量看作单位“ 1”。

抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是2:3, 知道上层书占总数的2/5 ；又根据上层与下层书的数量比是3:7,知道上层书占总数的3/10,两人故事书的总本数是：15- （2/5-3/10 ）= 150（本），所以上层原有书150X 2/5=60 （本），下层原有书150-60=90 （本）。

抓不变量解题技巧
抓不变量是解题中重要的技巧之一。

不变量是指在问题的求解过程中保持不变的性质或条件。

通过抓住不变量，可以帮助我们更好地理解问题，分析问题，以及找到解决问题的方法。

以下是一些抓不变量的技巧：
1. 观察问题的性质：仔细观察问题，找出其中保持不变的性质。

这可能涉及到数据结构的变化、某种关系的变化或者特定的条件。

2. 列举特例：通过列举一些特殊情况，观察问题的变化规律。

这可以帮助我们找到问题保持不变的部分，并推导出通用的规律。

3. 使用归纳法：如果可以证明某种性质在问题的每一步都得以保持，那么该性质就是一个不变量。

使用归纳法来证明问题中的不变量，可以帮助我们更好地理解问题的解决过程。

4. 分析问题的关键步骤：将问题的求解过程分解为多个步骤，分析每个步骤中保持不变的性质。

这有助于我们更好地理解问题的解决方法，并指导我们进行下一步的求解。

5. 使用反证法：如果可以证明存在某个假设，使得问题的不变量被破坏，那么这个假设就是错误的。

通过使用反证法，可以帮助我们找到问题的不变量，并排除一些错误的假设。

6. 运用数学技巧：对于一些数学问题，我们可以使用一些数学技巧来抓住不变量。

例如，使用数学归纳法，找到问题中递推的关系等。

以上是一些常用的抓不变量的技巧，通过运用这些技巧，我们可以更好地分析和解决问题。

6 2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同
7
1 一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
3
7
3、
一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个 9
3 数，这个分数就等于 ，求这个分数。
5
例 4：
7
3
将一个分数的分母加 3 得 ，分母加 5 得 。原分数是多少？
例 5：
1
1
有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于 ；如果分母加 1，这个分数就等于 ，这个分
2
3
数是多少？
1 根据“分子加 1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这
2
1
个分数就等于 ”可知，分母比分子的 3
3
倍少
1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，
所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少 18，切分
7 子是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。”
9
7 分母：（61-43）÷（1－ ）＝81
9
7 分子：81×9＝63
81-61＝20 或 63-43＝20
43
7
解法二： 的分母比分子多 18， 的分母比分子多 2，因为分数的 与分母的差不变，所以
2
5 10 解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即7=14，
17
10 7
= 。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想 和 的分子和
2 14
14 14
分母再乘以 2。所以
5 10 20 1 7 14 ＝ ＝ ，＝ ＝ 7 14 28 2 14 28

技 巧 4 抓分数应用题中的不变量
5．甲、乙两个车间，甲车间甲人车数间是人乙数车占间总人人数数的的16，1＋如1 6果从 乙车间调 1 人到甲车间，那么甲车间人数是乙车间人数 的15，甲、甲乙、两乙车两间车原间来总各人有数多不少变人，？看作“1” 1＋1 5与1＋甲1 6车的间差人与数1相人当相于对总应人数的1＋1 5
(21－13)÷1－175＝15(cm) 21－15＝6(cm)
答：剪下的一段有 6 cm 长。
技 巧 4 抓分母与分子的差不变
4．分数8116的分子和分母同时加上一个相同的数，使得分数 变成27，那么加上的正这好个与数7－是2多＝少5(？份)它相们对的应差仍是75
(86－11)÷(7－2)＝15 15×2＝30 30－11＝19 答：加上的这个数是19。
1÷1＋1 5－1＋1 6＝42(人)
乙车间：42÷1＋61＝36(人) 甲车间：36×61＝6(人) 答：甲车间原来有 6 个量的差不变
4 抓分母与分子的差不变
5 抓分数应用题中的不变量
技 巧 1 抓年龄差不变
1．王老师对小李说：“当我像你这么大的时候，你才1 岁，当你像我现在这么大的时候，我已经40岁了。” 你能帮小李算出王老师现在的年龄吗？
王老师40岁与小李1岁的差相当于王老师与小李的三个年龄差 (40－1)÷3＝13(岁) 1＋13×2＝27(岁) 答：王老师现在的年龄是27岁。
老鼠所行的路程是猫所行路程的1114
规范解答： 猫捉住老鼠时，猫比老鼠多行的路程为9×2＝18(m) 猫行的路程为18÷(14－11)×14＝84(m) 老鼠行的路程为18÷(14－11)×11＝66(m) 长方形的周长为84＋66＝150(m) 答：长方形的周长是150m。

六年级奥数——抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。

619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。

”97分母：（61-43）÷（1－）＝8197分子：81×＝63981-61＝20或63-43＝20437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

1练习1：9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。

534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。

由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。

35分子：（2+1）÷（－）=12243分母：12× -1＝172解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

小升初数学要抓不变量解题知识导航:在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。

其中一类分数应用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。

为此，经过多年的实践和摸索，我总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。

那就是找准题目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。

抓不变量问题主要分以下三种情况。

一.抓住“和不变”在许多应用题中，看似很复杂，只要抓住某一个量是不变的，问题就好解决了。

和不变，也就是总量不变，就以不变量为单位“1”，再用“量”“率”对应解题，就很简单了。

例如：第一桶柴油的重量是第二桶的6 倍，从第一桶取出12 千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4 倍，原来第一桶有柴油多少千克？分析：两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位“1”的量。

则“取前”第二桶占两桶总量的1÷（1 6）=1/7，“取后”第二桶占两桶总量的1÷（1 4）=1/5，第一桶取前取后差12千克，占两桶总量的1/5-1/7＝2/35，故两桶总量为：12÷2/35=210（千克）。

原来第一桶：210×6/7=180（千克）二. 抓住“差不变”有些应用题中，原来两个量的总量不同，它们用去同样多后，所剩下的总量还是不同的，但是，原来总量的差等于现在两个量的差，它们的差是不变的。

例如：新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48 人，六年二班有学生56 人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，两个班各转出多少人？分析：两个班的人数都发生了变化。

谁不变呢？惟有转出人数相同是不变的量，所以转出前后两班人数差是不变的，又未知，必须要先求出来。

即两班人数差为：56－48＝８（人），对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多2/11。

因此转出后一班人数为：８÷2/1144（人），转出人数是：48－44＝４（人）。

抓住不变量解分数应用题的方法例1、甲乙两个班，甲班的人数是乙班的54，现在从甲班调2位男生到乙班，这时甲班的人数是乙班的43。

甲班原有多少人？分析与解答：解决这道题的关键就是抓住两班的总人数不变，由于甲班的人数是乙班的54，则甲班人数是两班总人数的454+=94，同理从甲班调2位男生到乙班，这时甲班的人数是两班总人数的433+=73，这时乙班男生人数比甲班男生人数多了总数的73-94=631，则总人数的631就是从甲班调2位男生到乙班的人数所对应的分率，那么两班的总人数就是2÷631=126（人），再由甲班的人数是乙班的54可知，甲班人数占总人数的94，因此甲班有126×94=56（人）。

例2、六（1）班男生是女生的54，后来又招来2名女生，现在男生是女生的43。

六（1）原来有多少人？分析与解答：解决这道题的关键是抓住招聘前后的男生人数不变，由于招聘前男生是女生的54，则女生人数是男生人数的45，后来又招来2名女生后女生人数是男生人数的34，这时女生人数就比男生人数多了34-45=121，那么男生人数有2÷121=24（人），由男生是女生的54可知，男生人数是全班人数的454+=94，所以六（1）原来有24÷94=54（人）。

例3、六年级男生占全年级人数的52，现在男生和女生各增加100人，这时男生人数占全年级人数的125。

现在六年级男生、女生各有多少人？分析与解答：解决这道题的关键是抓住男女生人数差不变，增加前，男女人数差占全年级的523-=51=102(差相同)，增加后，男女人数差占全年级的1257-=122，因为男生和女生各增加100人，那么总人数就增加了100×2=200（人），由上面分析可知，总人数增加200人以后，总人数增加了12-10=2（份），说明每份就是200÷2=100（人），又因为男生和女生各增加100人后男生人数占全年级人数的125，说明现在男生人数占5份，女生人数占12-5=7份，所以现在男生人数有100×5=500（人），女生有100×7=700（人）。

l
经过椭圆
（x － １）２ ２ k２
＋
（y ＋ ２）２ k２
＝ １（k ≠ ０） 的右焦点 ，并且与 x 轴垂直 ．若 l 被
椭圆截得的线段长为 ８ ，则 k ＝
．
分析 若就原方程求出焦点坐标后 ，再算出
l 与椭圆焦点的纵坐标 ，则有较大的运算量 ．题中
的椭圆可由椭圆
x２ ２ k２
＋
y２ k２
＝
对应的图形是单位圆 x２ ＋ y２ ＝ １ 内（不包括圆）
的点集 ．
解法 2 由 柯 西 不 等 式 得 １ ＝ １２ ＝
（xcosθ ＋ ysinθ）２ ≤ （x２ ＋ y２ ） · （cos２ θ ＋ sin２ θ） ，
即 x２ ＋ y２ ≥ １ ，A ＝ （x ，y） | x２ ＋ y２ ≥ １ ，所
一直线使其被这些椭圆截得的弦长都等于
５５ ３
．
分析 用常规方法解答本题 ，计算非常复
杂 ．我 们 应 进 一 步 探 索 隐 含 于 其 中 的 不 变 量
（性） ，为此 ，将方程化为
（x
－ m）２ ５
＋
（y － ２ m）２ ４
＝ １ ．从方程可看出 ，隐含于这一问题中的一系
列不变量（性） ：无论 m 怎样取值 ，这些椭圆的长 、
图1分析无论哪一种爬行方式纵的爬行3横的爬行8这是两个不变量一共是11个位置只需确定横的爬行位置剩下的自然是纵的爬行位置所以爬行方式的总数是c例4已知点f1f2为椭圆x左右焦点若点m为椭圆上一点且mf1f2的内切圆的周长等于3则满足条件的点m有个
３４
中学数学教学
２０１４ 年第 ５ 期
解 题 方 法
抓住不变量 优化解题过程

狠抓不变量解题四川省剑阁县实验学校（628300）张胜在小学数学题中，一个量变化都会引起相关联的量发生变化，但是总有一个量始终固定不变的，抓住量中不变量，有效地分析，问题便可迎刃而解。

第一类：分数题中的不变量一、分子不变例1、有一个分数，分母加2等于25，分母减3等于12，原分数是多少？解：由25与（12＝）24的分子不变，而分母相差（5－4＝）1，要使分母相差（2＋3＝）5，则每个分数的分子、分母同乘5得2×5 5×5＝10252×54×5＝1020所以原分数是1025－2＝1023。

二、分母不变例2、有一个分数，分子加5等于34，分子减3等于512，原分数是多少？解：由分母不变即分数单位不变。

分子增加5，增加5个分数单位；分子减3，减少3个分数单位。

分数单位相差（5＋3＝）8，则原分数单位是（34－512）÷（5＋3）＝124所以原分数是34－124×5＝1324。

三、分数值不变例3、一个分数约分后等于411，已知原分数的分母与分子相差63，原分数是多少？解：由分数值不变。

分子、分母约去的数是63÷（11－4）＝9所以原分数是4×911×9＝3699。

四、分子与分母之和不变例4、一个分数，分子加3等于49，分母加3等于13，原分数是多少？解：由分子与分母之和不变。

则分子与分母之和是（4＋9＝）13和（1＋3＝）4的最小公倍数是52。

原分数的分母是52×913＝36，分子是52×14＝13。

所以原分数是 1336 。

五、分母与分子之差不变例5、有一个分数，分子与分母之和是100，分子、分母都减去6，约分后是35 ，原分数是多少？解：由分子、分母都减去6，则分母与分子之差不变。

现在分数的分子与分母之和是100－6×2＝88，而份数和是（3＋5＝）8，分子、分母约去的数是88÷8＝11。

小学六年级奥数-抓“不变量” 解题
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第21讲
专题简析：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要 分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分 子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后， 再转化并解答。
二、精讲精练 【例题1】
二、精讲精练 【例题1】
二、精讲精练 练习1：
二、精讲精练
【例题2】
二、精讲精练
练习2：Leabharlann 二、精讲精练【例题3】
二、精讲精练
练习3：
二、精讲精练
【例题4】
二、精讲精练
练习4：
二、精讲精练
【例题5】
二、精讲精练
练习5：
谢谢观看

巧抓不变量解题概念即解释：巧抓不变量，又称作约束条件的常数法，是在求解复杂数学问题时不变量的一种重要思维方式，它可以为我们节省推理时间，减轻推理负担，提高求解效率。

巧抓不变量，就是抓住某些数学问题中不变的量，联系它们与其他变量间的性质关系，来求解复杂数学问题。

它不仅可以帮助我们快速推导出结果，还能保证我们推导出的结果是正确的。

如何使用巧抓不变量？1、首先，我们要充分理解问题，熟记易忘的概念。

完全理解问题的前提是熟知各种概念，如果你能够充分理解概念，无论是数学概念还是其他科学概念，你就能够认真考虑和解决问题，这对于抓住不变量来说至关重要。

2、其次，我们要把握解题的正确思路。

在解答数学问题的过程中，除了充分理解概念之外，我们还要把握正确的思路，比如说，可以从已知条件出发，分析各种可能的解法，来寻找最合适的解决方案，或者直接从基本方程出发，构造出更复杂的方程组，以此达到找出答案的目的。

3、再次，我们要通过抓住不变量来解决复杂数学问题。

复杂数学问题尤其容易让我们懵懂，无从下手，这时就要冷静地分析，找出不变量，这种情况下，我们要避开不可变更的量，而对被赋予一定性质的量进行记录，并说明它们之间的关系，这种方法可以让你仅涉及必要的变量，从而加快求解的速度，提高求解的效率，而不受各种局部变量的影响，使你的推理路径变得简单清晰明了。

举例说明巧抓不变量的作用：以三角形的唯一性为例，三角形的唯一性的证明如下：（1）三边a、b、c同时相等，则三角形一定是等边三角形，唯一性成立。

（2）若两边相等，一边不等，则3角形为等腰三角形，依据三角形的关系式：a + b > c，且a <b +c，此时我们可以抓住a、b、c 三个不变量中的2个不变量，来确定最后一个变量的值，即此时的三角形一定是等腰三角形，唯一性成立。

（3）若三边都不相等，根据勾股定理，可以抓住a + b = c 三个变量中的2个不变量，来确定最后一个变量的值，即此时的三角形一定是直角三角形，唯一性成立。

第1讲 抓“不变量”解题 专题解析一些分数的分子和分母发生了加减变化，解答时要分析哪些量变了，哪些量不变。

抓住分子或分母，或分子分母的差，或分子分母的和等不变量进行分析后，再转化并解答。

典型例题例1、将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。

例2、将一个分数的分母减去2得54。

如果将它的分母加上1，则得32，求这个分数。

例3、将一个分数的分母加3得97，分母加5得43。

求这个分数。

例4、一个分数，如果分子加1，这个分数等于21。

如果分母加1，这个分数等于31。

求这个分数。

解决问题1、193的分子、分母加上同一个数并约分的75。

那么加上的数是多少？2、将7958的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是32。

那么减去的数是多少？3、将一个分数的分母加上5得73，分母加上4得94。

原来的分数是多少？4、将一个分数的分母减去9得85，分母减去6得74。

原来的分数是多少？5、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于97。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于53。

求这个分数。

6、将一个分数的分母减去3，约分后得76。

若将它的分母减去5，则得87。

原来的分数是多少？（用两种方法求解）7、把一个分数的分母减去2，约分后等于43。

如果给原分数的分母加上9，约分后等于75。

求原分数。

8、一个分数，如果分子加3，这个分数等于21。

如果分母加1，这个分数等于31。

求这个分数。

9、一个分数，如果分子加5，这个分数等于21。

如果分母减3，这个分数等于31。

求这个分数。

10、一个分数，如果分子减1，这个分数等于21。

如果分母加11，这个分数等于31。

求这个分数。

抓不变量应用题解法一、什么是抓不变量应用题呢？哎呀，这就像是在一群变来变去的小怪兽里，找到那个一直不变的小怪兽一样有趣呢。

比如说，在一些应用题里，总量可能是不变的，或者两个量之间的差值是不变的。

这种不变量就像是一个小秘密，我们要是找到了它，就能轻松地解开应用题这个小谜题啦。

二、常见的不变量有哪些呢？1. 总量不变就像有一堆苹果，不管你怎么分给小朋友，苹果的总数是不会变的。

比如有这样一道题，甲有一些苹果，给了乙一部分后，又给了丙一部分，最后问甲还剩多少苹果。

这里的苹果总数就是那个不变量，我们只要先算出总数，再根据给出的分配情况，就能算出甲剩下的苹果数啦。

2. 差量不变有些时候呢，两个量之间的差是不变的。

比如说，哥哥和弟弟的年龄差，不管过了多少年，这个年龄差都是固定的。

像这样的题：哥哥今年10岁，弟弟今年6岁，过了若干年后，哥哥的年龄是弟弟年龄的两倍，问过了多少年。

这里哥哥和弟弟的年龄差4岁就是不变量，我们就可以根据这个不变量来设未知数，然后列出方程求解。

三、抓不变量应用题的解法1. 找出不变量这是关键的第一步哦。

就像在一个大迷宫里找宝藏一样，要仔细观察题目中的条件。

看看是总量不变，还是差量不变，或者是其他的一些特殊的不变关系。

2. 根据不变量建立等式找到不变量后，就可以根据这个不变量来建立等式啦。

如果是总量不变，那可以根据总量等于各个部分量之和来列等式；如果是差量不变，就可以根据两个量的差在不同情况下相等来列等式。

3. 求解等式列好等式后，就像解一个小密码一样，通过计算求出未知数的值。

这个过程可能需要一些数学运算的小技巧，比如移项、合并同类项等。

概括性来讲呢，抓不变量应用题虽然看起来有点小复杂，但只要我们掌握了找不变量这个小窍门，就可以轻松地解决这些问题啦。

这就像是找到了打开宝藏大门的钥匙一样，是不是很有趣呢？。

抓住不变量，份数巧解题江苏省江阴市：蒋仪有些分数或比的应用题，在进行解答时，如果能抓住不变的量，运用份数解题，能解得更巧妙。

例1、一只袋子里原有红球与白球的数量比是19∶13，如果放进若干只红球后，红球与白球的数量比是5∶3；如果再放进若干只白球后，红球与白球的数量比是13∶11。

已知放入的红球比白球少80只，问原先袋子里有红球和白球各多少只？分析与解答：因为袋子里原有红球与白球的数量比是19∶13，19∶13＝57∶39；当放入若干只红球后，这时红球与白球的数量比是5∶3，5∶3＝65∶39。

即可得，当白球未曾发生变化，放进若干只红球后，红球比原来增加了：65－57＝8份。

当再次放进若干只白球后，红球没有发生变化，而这时红球与白球的数量比是13∶11，13∶11＝65∶55。

这时红球没有变化，仍为65份，而白球却比原来多了：55－39＝16份。

因为当放进若干只红球后，红球比原来多了8份，再放进若干只白球后，白球比原来多了16份，可知放进的红球比白球少放进了：16－8＝8份，红球比白球正好少放了80只，因此可知，每份球的只数为：80÷8＝10（只）。

因此可求得原来红球的只数为：10×57＝570（只）。

白球的只数为：10×39＝390（只）。

例2、某种浓度的盐水中，加入若干水后，得到的盐水浓度为20%；如果在新盐水中再加入与前面相等重量的盐后，盐水的浓度为1/3，求原来盐水的浓度是多少？分析与解答：因为某种浓度的盐水中，加入若干水后，得到的盐水浓度为20%，20%＝1/5，即可得，加入若干水后得到的新盐水中，盐为1份，水为：5－1＝4份，当再在新的盐水中加入与前面相等重量的盐后，盐水的浓度为1/3，1/3 ＝2/6 ，这时盐为2份，水仍为：6－2＝4份，比原来多了1份盐，因此可得，原来盐水为盐的重量为1份，在原来的盐水中加入的水的重量也为1份，因此可知，原来的盐水中。