响应面分析

磷肥
0 7 14 21 28 35 42
0 86.9 110.4 134.3 162.5 158.2 144.3 88.7
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
6 216.4 276.7 295.9 325.3 320.5 286.9 219.9
氮肥 9
DF
SS
4 1 1 1 1
44
331991.95 219217.93 754.29 61688.63 50331.10 8180.37
48
340172.32
MS
82997.99 219217.93 754.29 61688.63 50331.10 185.92
F
446.42** 1179.11** 4.06* 331.81** 270.72**
响应面分析
在多因素数量处理试验的分析中，可以分析试验指标(依变量)与多个试验因素(自变量)间 的回归关系，这种回归可能是曲线或曲面的关系，因而称为响应面分析。例如农作物产量与 N、 P、K 的施肥量有关，可以通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系，从而求得最佳施肥 配方。
在回归分析中，观察值 y 可以表述为：
y = f(x1，x2，L，xl )+ ε
其中 f(x1，x2，L，xl )是自变量 x1，x2，L，xl 的函数， ε 是误差项。
在响应面分析中，首先要得到回归方程 yˆ = f(x1，x2，L，xl )，然后通过对自变量 x1，x2，L，xl 的合理取值，求得使 yˆ = f(x1，x2，L，xl )最优的值，这就是响应面分析的目的。
F 352.08** 1162.16** 4.00 0.37 327.04** 266.83**
F F 0.05(5,43)=2.44; 0.01(5,43)=3.49 F F 0.05(1,43)=4.07; 0.01(1,43)=7.27
变异来源
回归平方和
b1
b2
b4
b5
误
差
总变异
表 13.68 二元二次多项式回归的方差分析(缩减模型)
的模型为： yij
= b0
+ b1 N i
+ b2 Pj
+
b4
N
2 i
+ b5 Pj2
+ ε ij
。使用该模型分析的结果为表 13.68，从
中可以看出b1，b4，b5是显著的，b2达到显著，该模型的回归变异占总变异的 98%，因此可以较 好地说明施用N、P对产量的影响。对此资料作多项式回归分析的方法可参见第 11 章和附录的SAS 程序LT13-15.sas。
274.7 342.8 363.3 336.3 353.7 322.5 278.0
12 274.3 343.4 361.7 381.0 369.5 345.9 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
F F 0.05(5,44)=2.58; 0.01(5,44)=3.78 F F 0.05(1,44)=4.06; 0.01(1,44)=7.24
表 13.69 二元二次多项式回归的回归系数及其显著性测验(缩减模型)
参数
b0 b1 b2 b4 b5
回归系数估计值
76.70 31.63 8.21 -1.14 -0.19
分别对回归方程求对 N 和 P 的偏导数，并令偏导数等于 0，可以求得极值：
∂yˆ = 31.63 − 2.28N = 0
∂N
，N=13.87(kg)
∂yˆ = 8.21 − 0.38P = 0
∂P
，P=21.61(kg)
因而由回归方程估计得尿素施用量为 13.87kg，过磷酸钙施用量为 21.61kg 时产量最高。
[例 13.15] 有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为每亩尿素 0，3，6，9，12，15，18kg 7 个水平，施磷肥量为每亩过磷酸钙 0，7，14，21，28，35，42kg 7 个水平，共 49 个处理组合， 试验结果列于表 13.66，试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
表 13.66 大麦氮磷肥配比试验结果
变异来源
回
归
b1
b2
b3
b4
b5
误
差
总变异
表 13.67 二元二次多项式回归分析的方差分析(全模型)
DF 5
1 1 1 1 1 43 48
SS 332061.25 219217.93 754.29 69.31 61688.63 50331.10 8111.07 340172.32
MS 66412.25 61688.63 50331.10 188.63
响应面分析中通过回归方程进行预测时一般不能超过自变量的取值范围，例如氮肥的取值 范围为 0 至 18kg/亩，而磷肥的取值范围为 0 至 42kg/亩。推论合理的处理组合时，也应该这样。
图 13.7 大麦产量对于氮、磷肥的响应面图
对于表 13.66 的数据可以采用二元二次多项式拟合，那么产量可表示为：
y ij
= b0
+ b1 N i
+ b2 Pj
+ b3 N i Pj
+
b4
N
2 i
+ b5 Pj2
+ ε ij
其中Ni、Pj、 ε ij分别表示N、P施用量和误差，按此模型的方差分析见表 13.67。结果表明 b2和b3这两个偏回归系数不显著，应该将模型缩减，逐步去掉不显著的回归系数，得到
标准误
6.06 1.17 0.50 0.06 0.01
t
12.66** 27.02** 16.37** -18.22** -16.45**
由表 13.69，可以列出产量对 N、P 施用量的回归方程为：
yˆ = 76.70 + 31.63N + 8.21P − 1.14N 2 − 0.19P 2
由回归方程，可以作出产量对 N、P 施用量的响应曲面图，如图 13.7。