概率1.4
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例2： 一批产品共n件，从中抽取2件（每次1件）， 设 Ai={ {第 i 件是合格品} i=1,2 1,2 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.
若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.
例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有 人能将密码译出的概率是多少？ 少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P ( A1 A2 A3 )
P ( AB) P ( A B) P ( B)
一般地， P ( A B ) P ( A) 这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率 然而 在有些情形下又会出现 有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
P ( A B ) P ( A)
引例：实验 引例 实验E为“甲乙两人抛两枚硬币，观察正面 为 两人抛两枚硬币 察 面 (H)反面(T)出现的情况”，设事件A为“甲出现H”， 事件B为“乙出现 为 出 H”。我们计算下这些概率； 我们计算下这些概率
P(Ω) =P( )P(Ω)=0
与Ω独立且互斥
不难发现， 与任何事件都独立.
(1) ( ) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1 ∴ P(A) = P(A)=1 P(A) 1• P(A)= P(A) P() P(A) 即 与A独立. ∵ A=, P()=0 ∴ P(A) = P()=0= ) 0 P() P(A) 即 与A独立.
3º.性质
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ①
A 与 B； ② A 与 B； ③ A 与 B.
注 称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.
定义1. 14 1.4.2 4.2 2 三个事件 个事件A、B、C 相互独立是指下列等 相 独立是指 列等 式同时成立：
P AB P APB , P AC P AP C , P BC PB P C , C P AP B P C . P ABC
对其中任意2个，3个，……n个事件的积的概率 都等于各事件概率之积，则称 A , A , , A 1 2 n 相互独立. 在实际应用中，往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立.
定理
若A1 , A2 , , An相互独立，则其中任意 相互独立 则其中任意 个事件 或它们的逆事件都独立 , 且
P ( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 A2 A3 )
i=1,2,3
1 P ( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
4 2 3 3 1 0.6 5 3 4 5
练习 某大学生给4家单位各发了1份求职 信，假定这些单位彼此独立，通知他去 面试的概率分别是 1 1 1 1
n次试验是相互独立的(即每次试验的结果不
不受其他各次试验结果的影响)
伯努利概型的计算
在n次伯努利概型中，每
次试验事件A发生的概率为 p (0<p<1)，则在 则在n次试验中， 次试验中 事件A发生 k 次的概率为
Pn k C p q
k n k
nk
k 0,1,2, , n
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 P An 已知
n
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 P B A 已知 即求 P A B
i
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个 原因引起的概率，则用逆概率公式．
先验概率与后验概率 由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.
而在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后 验概率.
先验概率与后验概率的关系 先验概率
后验概率
P ( Ai B )
P ( Ai ) P ( B Ai )
P( A )P(B A )
j 1 j j
n
Bayes公式
§1.4 事件的独立性与贝努利概型
(一) 两个事件的独立性
由条件概率 知 由条件概率，知
P ( Ai ) 1 P ( A i )
i 1 i 1 n n
,记 A={ {甲命中 }, B={乙命中}，A与B是否独立？ 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率 故认为A、B独立. （即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
0.000001
P AB AB P A B P AB
二 伯努利概型 二、伯努利概型 以下两个特点的随机试验称为 n 次伯努利概型试验： 在相同条件下，重复n次做同一试验，每次 试验只有两个可能结果A和 A, 且
P ( A) p (0 p 1), P A 1 p q；
若 P ( A ) 0, 则
P ( B A) P ( B )
P ( AB) P ( A) P ( B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生 与事件 B 发生的概率无关.
2º 独立与互斥的关系
这是两个不同的概念.
独立是事 件间的概 率属性
互斥是事 件间本身 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB 例如
B A
1 P ( A) P ( B ) , 4
故 P ( AB ) P ( A) P ( B )
由此可见 由 可见两事件 两事件互斥但不独立 斥但不独 . 两事件互斥 两事件相互独立.
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 请问 如图的两个事件是独立的吗？ )=0 我们来计算： P(AB) 我们来计算
B
AB
1
1
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
A
则 P ( AB ) P ( A) P ( B ) ).
由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 两事件相互独立 两事件互斥.
又如： 如
1 1 若 P ( A) , P ( B ) (如图) 2 2 则 P ( AB ) 0,
p(1 p )k 1
( k 1,2,, n).
等价于 等价 事件A第k次才首次发 次才首次发生” 注意到 “事件 “事件A前k 1次均不发生，而第 k 次才发 生”
.
例4 某人投篮，命中的概率为0.8，现独立 投篮5次 次，求至少命中 求 命中2次 次的概率 概率. 解 设所求事件的概率为 P(A)，则
其中q=1–p.
从上式中可以看出， C nk p k q n k 恰好是二项式( p q )n 的展开 式中出现 p k 的那 的那一项 项，因此我们称 因此我们称 P n(k )为二项概率 .
发生的概率为 概率为 推论 设在 设在一次试验中， 次试验中 事件A发 事件A p(0 p 1), 则在伯努利试验序列中， 在第k次试验中才首次发生的概率为
P A, P ( B ), ) P ( AB )，P（B P（B
| A）
(一) 两个事件的独立性
事件 , 如果满足等式 满 式 定义1.4.1 设 A, B 是两事件 P ( AB ) P ( A ) P ( B ) 则称事件 A, B 相互独立 , 简称 A, B 独立 .
注. 1 1º
(1) P AB P APB 0.7 0.8 0.56；
分别表示甲 乙投中 则 解 设 A, B 分别表示甲、乙投中，则
(2) P A B 1 P A P B 1 0.3 0.2 0.94；
(3)
P AP B P A P B 0.7 0.2 0.3 0.8 0.38.
A
B
即
而P(A) ≠0, P(B) ≠0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 故 A、B不独立
即: 若A、B互斥，且P(A) )>0, , P(B) )>0, , 则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥.
问：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们 既相互独立又互斥? 这两个事件就是 Ω和
可见，三个事件两两相互独立，不一定相互 独立；反之，若三个事件相互独立，则一定两两 独立. 从而当一组事件的个数超过两个时，这组 事件的相互独立与两两独立不是一个概念.
现将两个事件相互独立的概念推广到n(n≥2) 个事件的情形： 定义1.8 18 设 A1 , A2 , , An 为n(n≥2)个事件，若 个事件 若
，， ， . 2 3 4 5
问这个学生至少有1次面试机会的概率是 多少?
0.8
练习 甲、乙两人各投篮一次，设甲投中的概 甲 乙两人各投篮 次 设甲投中的概 率为0.7，乙投中的概率为0.8，求； (1) 两人都投中的概率； (2) 至少 至少一人都投中的概率； 人都投中的概率； (3) 恰有一人投中的概率.
复习
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率；(先因后 果) 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.（先果找因）
逆概率公式(Bayes公式)的使用
我们把事件B看作某一过程的结果， 看
把A1 , A2 , , An 看作该过程的若干个原 因，
5
P A P5 k 1 P5 0 P5 1
k 2
1 1 C 50 0.8 0 0.2 5 C 5 0.8 0.2 4
0.993.
例4 已知某高考试卷中共10道选择题，小明同学 已知某高考试卷中共10道选择题 小明同学 每一道都没把握，便随机地从A 每 道都没把握，便随机地从A,B,C,D中选择答 B C D中选择答 案 问 案，问: （1）小明一题都没答对的概率有多大？0.056 （2）小明至少答对一题的概率有多大？0.944 （3）小明恰好答对3题的概率有多大？ 0.25 （4）小明都答对的概率有多大？
