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容斥原理例题在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。
为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。
如：A=｛五（1）班全体同学｝。
我们称一些事物的全体为一个集合。
A=｛五（1）班全体同学｝就是一个集合。
例1. B=｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体的有无限多个元素的集合。
例2. C=｛在1，2，3，…，100 中能被3 整除的数｝=｛3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
例3. 通常集合用大写的英文字母A、B、C、…表示。
构成这个集合的事物称为这个集合的元素。
如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素。
又如在例1 中任何一个自然数都是集合B 的元素。
像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集。
像集合C 这样含有有限多个元素的集合称为有限集。
有限集合所含元素的个数常用符合︱A︱、︱B︱、︱C︱、…表示。
例4. 记号A∪B 表示所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。
集合A∪B 叫做集合A与的并集。
“∪”读作“并”，“A∪B”读例5. 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝。
元素2，4 在集合A、B 中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B 表示所有既属于集合A 也属于集合B 中的元素的全体。
就是上面图中阴影部分所表示的集合。
即是由集合A、B 的公共元素所组成的集合。
它称为集合A、B 的交集。
符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A 交B”。
如例3 中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
例6. 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝，A=｛属于集合，但不属于集合A 的全体元素｝=｛1，9｝。
我们称属于集合I 但不属于集合A 的元素的集合为集合A 在集合I 中的补集（或余集），如下图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I），常记作A。
1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。
他们中有32 人会拉小提琴，27 人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11 人。
这个团共有多少个小演奏家？32＋27－11=482、一个班有学生42 人，参加体育队的有30 人，参加文艺队的有25 人，并且全班每人至少参加一个队。
问：这个班两队都参加的有多少人？30＋25－42=133、京华小学五年级学生采集标本。
采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19 人，两种标本都采集的有8 人。
全班学生共有40 人，没有采集标本的有多少人？19＋25－8=36 40 －36=44、有100位旅客，其中有10 人既不懂英语又不懂日语，有75 人懂英语，83 人懂日语。
既懂英语又懂日语的有多少人？100－10=90 75 ＋83－90=685、一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。
其中会开车床的有235 人，会开铣床的有218 人，会开刨床的有207 人。
既会开车床又会开铣床的有112 人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63 人，三种都会的有19 人。
这个工厂一共有多少人？235＋218＋207－112－71－63＋19=4336、外语学校有英语、法语和日语教师共27人。
其中只能教英语的有8 人，只能教日语的有 6 人，能教英语和日语的有 5 人，能教法语和日语的有 3 人，能教英语和法语的有 4 人，能教英语、法语和日语的只有 2 人。
只能教法语的教师有多少人？8＋6＋（5－2）＋（4－2）＋（3－2）＋2=22 27 －22=57、某校五年级有学生54 人，每人至少爱好一种球。
其中爱好乒乓球的有40 人，爱好足球的有20 人，爱好排球的有30 人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18 人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14 人，既爱好足球又爱好排球的有12 人。
这三种球都爱好的有多少人？54－（40＋20＋30－18－14－12）=88、如图，在一个边长为90 厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20 厘米和45 厘米的正方形纸。
小学数学三年级难点问题——容斥原理容斥原理是小学数学的难点之一，对于三年级的同学来说，这个知识点比较新，会有一些不适应，今天我们就用一道例题来介绍一下容斥原理及其计算方法。
文氏图三（2）班共有60人，其中，喜欢足球的23人，喜欢跑步的30人，既喜欢足球又喜欢跑步的有6人，问既不喜欢足球，也不喜欢跑步的有几人？首先，我们把喜欢足球的23人列出来。
喜欢踢球的23人再将喜欢跑步的30人列出来。
喜欢踢球的23人和喜欢跑步的30人注意，有6个同学既喜欢踢球又喜欢跑步，我们用红色标记出来。
6个人既喜欢踢球又喜欢跑步这样的话，我们可以看得出来，喜欢踢球，喜欢跑步的同学就是上图中所有的圆点，其中包括蓝色圆点、棕色圆点和红色圆点，它们一共有23+30-6=47个，也就是有47人喜欢踢球或者喜欢跑步，那么既不喜欢踢球，又不喜欢跑步的同学就是总数减去这47人，即60-47=13人，他们是不是在教室里当学霸呢？实际上，容斥原理问题我们可以用画图的方法很快的计算出来，具体地说，就是画一个文氏图，对于此题，我们先画一个椭圆，表示喜欢踢球的人，如下图所示。
用一个椭圆表示喜欢踢球的人（抽象画法）然后再画一个与刚才的椭圆有重叠的椭圆，表示喜欢跑步的同学。
喜欢踢球和喜欢跑步的同学两个椭圆重叠的部分就是既喜欢踢球又喜欢跑步的同学。
题目问的是既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人数，从图中可以看出，蓝色部分就是要求的既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人。
显然，我们通过图形可以看出，蓝色部分等于整个长方形减去两个椭圆遮住的部分，而两个椭圆遮住的部分等于黄色区域+绿色区域-重叠区域，这样看是不是一目了然啊。
因此，列出算式就是60-（23+30-6）=13人。
