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专题5.1 等差 等比数列及其前n项和(B卷)-2017届高三理数同步单元双基双测“AB”卷(解析版)

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班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=A ．33B ．72C ．84D ．189 【答案】C考点：等比数列的性质和定义2. 设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12- 【答案】D 【解析】试题分析：因为{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，1121,21S a S a ∴==-，4146S a =-，由124,,S S S 成等比数列，得2214S S S =，即()()21112146a a a -=-，解得：112a =-，故选D.考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质. 3. 数列{}n a 的首项为1，{}n b 为等比数列且()*1n n na b n N a +=∈，若452b b =，则9a =（ ） A ．16 B ．32 C ．4 D ．8 【答案】A 【解析】试题分析：由39921281912812811,......,1,...n n n a a aa ab b b b a a b b b a a a a a +=∴=⋅==∴=,因为数列{}n b 为等比数列且452b b =,所以()44945216a b b ===，故选A ． 考点：等比数列的性质及“累乘法”的应用 ．4. 已知数列{}n a 满足1n+112()n n a a a n *=⋅=∈N ，，则2015S = （ ） A ．201521- B ．100923- C ．1007323⨯- D ．100823-【答案】B考点：递推公式，等比数列，分组求和，等比数列的前n 项和5. 已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．2041【答案】A 【解析】试题分析：()()11111539383931111113921011111111111111111()2211()222a a a a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b b b b b b b ++++++=+====++++++++＝ 1111211319411341S T ⨯-==⨯-，故选A ． 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式．6. 设{}n a 是正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a =，则36930a a a a =（ ）A ．102 B ．152 C ．162 D ．202 【答案】D考点：等比数列的性质. 7. 等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A ．{}1 B ．112⎧⎫⎨⎬⎩⎭， C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列{}n a 的通项公式,可得dn a dn a a a n n )12()1(112-+-+=,又是与n 无关的常数，可知 d n m ma d n a )12()1(11-+=-+对n 恒成立,则10,1;0,2d m d m ==≠=.故本题答案选B. 考点：等差数列．8. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则100S=A ．50B ．100C ．1500D ．2500 【答案】D 【解析】试题分析：设等差数列{}n a和的公差都为d ，则d a a d a S ++=+=1112，两边平方可得，d a d d a a +=++121122，同理可得d a d d a a 33441211+=++，联立消1a 可得：()012=-d d ，故0=d 或21=d ，故0=d 时，01=a ，故不成立；当21=d 时，411=a ，成立；故 2500499411002991001001100=⎪⎭⎫⎝⎛+=⨯++=d a S ，故选：D ．考点：等差数列的前n 项和.9. 已知n n a )21(=，把数列}{n a 的各项排列成如下的三角形状，记),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则A （10,13）=（ ）A ．93)21(B ．92)21(C ．94)21(D ．112)21( 【答案】C考点：1．等比数列的通项；2．三角形数列． 10. 数列{}n a 是等差数列，若11011-<a a ，且它的前n S n 项和有最大值，那么取得当n S 最小正值时，n 值等于 （ ）A ．11B ．17C ．19D ．21 【答案】C 【解析】 试题分析：由11101a a <-可得1110100a a a +<，由它们的前n 项和n S 有最大值，可得数列101011110,0,0,0d a a a a <∴>+<<，11910120101120,0a a a a a a a ∴+=>+=+<，使得0n S >的n 的最大值为19n =。

考点：等差数列的性质11. 设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()n a f n =（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：等比数列求和问题.12. 等差数列{}n a 中，首项01>a ，公差0≠d ，前n 项和为n S ()*∈N n ．有下列命题①若113S S =，则必有014=S ； ②若113S S =，则必有7S 是n S 中最大的项； ③若87S S >，则必有98S S >； ④若87S S >，则必有96S S >； 其中正确的命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D 【解析】试题分析：01110987654311=+++++++=-a a a a a a a a S S ，根据等差数列的性质，113784)0S S a a -=+=（，所以087=+a a ，()()072148714114=+=+=a a a a S ，根据等差数列n S 的图像，当113S S =，那么对称轴是72113=+=n ，那么7S 是最大值；若87S S >，则08<a ，那么0<d ，所以09<a ，所以089<-S S ，即98S S >；03898769<=++=-a a a a S S ，即96S S >． 考点：等差数列和的性质二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．【答案】1007考点：数列求和.14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*111,0,41n n n n a a a a S n N +=≠=-∈，则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】21n a n =- 【解析】试题分析：由()*111111141,41,4,4n n n n n n n n n n n n n a a S n N a a S a a a a a a a +--+-+-=-∈∴=-∴-=∴-=，当1n =时，可得23a =，由114n n a a +--=可知数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为1,3，所以当21()n k k N +=-∈时，2114(1)4321n k a a k k n -==+-=-=-；当2()n k k N +=∈时，234(1)21,21n k n a a k n a n ==+-=-∴=-． 考点：等差数列的定义和通项公式．【易错点睛】本题主要考查了等差数列的定义和通项公式．等差数列的判定方法：（1）定义法：对于2≥n 的任意自然数，验证1--n n a a 为同一常数；（2）等差中项法：验证),3(221+--∈≥+=N n n a a a n n n 成立；（3）通项公式法：验证q pn a n +=；（4）前n 项和公式法：验证Bn An S n +=2．等差数列的判定和证明是常考题，应注重理解．15．在等差数列{}n a 中，若10a =，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式(1)(1)0t s s a t a ---=成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{}n b 中，若11b =，s ，t 是互不相等的正整数，则由等式 成立．【答案】111s t t sb b --=考点：等差等比数列及类比的思想等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道推理证明中的有关类比推理等有关知识有机整合的综合问题,考查的是合情推理中的类比推理这种简单数学思想方法.同时也检测等差数列和等比数列等有关知识的理解和运用.类比推理是运用一事物与另一事物的相同和相似之间的关系,从而做出推理和判断的推理方式.本题在解答时充分借助等差数列和等比数列的相似和差异,即差与比,并将其进行类比,如将差与商进行类比;差为0与商为1进行类比.1,1--t s 在等差数列中与项的关系是积的关系;而在等比数列中是幂的关系,即为指数,这样就可以类比等到结论111s t t sb b --=.16. 将正方形ABCD 分割成),2(2N n n n ∈≥个全等的小正方形（图1，图2分别给出了3,2=n 的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD 的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点A ，B ，C ，D 处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为)(n f ，则=)4(f _______________．【答案】425考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前n 项和．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k = 【解析】试题分析：（Ⅰ）由基本量法，列出方程组，解之求出首项与公差即可求通项公式；（Ⅱ）由等差数列的求和求出前n 项和，由题意列出方程213k k a a S +=解之即可.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,2a d ==所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=,得2n a n =（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21()(22)(1)22n n a a n n nS n n n n ++===+=+ ∴3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，2k S k k =+因 31,,k k a a S + 成等比数列，所以213k k a a S +=，从而22(22)6()k k k +=+，即 220k k --=，*k N ∈,解得2k = 或1k =-（舍去） ∴ 2k =考点：1.等差数列的性质及求和公式；2.等比数列的定义及性质.18. 已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）;（2）．考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和. 19. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ； （III ）设n b =)12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

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(新课标)2017届高考数学总 第6章 数列 第3节 等比数列及其前n项和 文 新人教A版

(新课标)2017届高考数学总 第6章 数列 第3节 等比数列及其前n项和 文 新人教A版


55 D. 8
(3)已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则 a6(a2＋2a6＋a10)的值为
答案：－4 51
4．在等比数列 {an}中，若 a7·a12＝5，则 a8·a9·a10·a11＝ ________.
答案：25
[典题 1] (1)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝
21，则 a3＋a5＋a7＝( )
A．21
B．42
C．63
D．84
(2)(2016·开封模拟)正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16， 则数列{an}的前 9 项和等于________．
(3)(2015·新课标全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an， Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝________.
(4)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 6Sn＋1＝9an(n∈N*)． ①求数列{an}的通项公式； ②若数列{bn}满足 bn＝a1n，求数列{bn}前 n 项和 Tn.
答 案 ： (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× (8)×
2．已知数列 a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实
数 a 的取值范围是( )
A．a≠1
B．a≠0 或 a≠1
C．a≠0
D．a≠0 且 a≠1
答案：D
3．在等比数列{an}中，已知 a1＝－1，a4＝64，则 q＝ ________，S4＝________.
(4)①当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝13. 当 n≥2 时，由 6Sn＋1＝9an，得 6Sn－1＋1＝9an－1， 两式相减得 6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)， 即 6an＝9(an－an－1)，∴an＝3an－1. ∴数列{an}是首项为13，公比为 3 的等比数列，其通项公式为 an＝13×3n－1＝3n－2.
(江苏专用)2017届高三数学一轮总复习 第六章 数列、推理与证明 第三节 等比数列及其前n项和

(江苏专用)2017届高三数学一轮总复习 第六章 数列、推理与证明 第三节 等比数列及其前n项和

课时跟踪检测（三十一） 等比数列及其前n 项和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝20，a 1q ＋a 1q 3＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝2.答案：22．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，那么a 1＋a 10＝________.解析：因为a 4＋a 7＝2，由等比数列的性质可得，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，所以a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，所以a 1＝－8，a 10＝1，所以a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，则a 10＝－8，a 1＝1，所以a 1＋a 10＝－7.综上可得a 1＋a 10＝－7.答案：－73．(2016·南通调研)设等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3＝________.解析：根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1－q41－qa 1q2＝－q4－q q2＝1－24－2＝154. 答案：1544．在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________. 解析：由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16， ∴a 2＝2，∴q 2＝a 4a 2＝4，∴a 6＝a 4q 2＝32. 答案：325．若S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且2S 4＝a 5－2,2S 3＝a 4－2，则数列{a n }的公比q ＝________.解析：将2S 4＝a 5－2,2S 3＝a 4－2相减得2a 4＝a 5－a 4， 所以3a 4＝a 5，公比q ＝a 5a 4＝3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.解析：由题意得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝32，a n＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝－261－2＝63.答案：633．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝________. 解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：184．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是________．解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以3为公比的等比数列． ∴a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1335＝－5.答案：－55．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．解析：设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1－q 2m1－q a 1－qm1－q ＝q m＋1＝9，∴q m＝8.∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8， ∴q ＝2. 答案：26．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －17．在等比数列{}a n 中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.解析：∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30.又∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1－8331－8＝4a 199－7＝47×30＝1207. 答案：12078．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 016积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．解析：由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 016＝a 2 016， 故a 1a 2a 3·…·a 2 015＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1， 所以a 1 008＝1，公比0＜q ＜1，所以a 1 007＞1且0＜a 1 009＜1，故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 007或1 008.答案：1 007或1 0089．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2.当n ＝1时a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝－4n1－4＝n－3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋n －3＝22n ＋1＋13. 10．(2016·苏州调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，是否存在k ∈R ，使得k ≤S n 恒成立？若存在，求实数k 的最大值；若不存在，说明理由．解：(1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，②由①－②得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0，所以a n ＋1＝13a n (n ≥2)．又a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，得a 2＝13，所以a 2＝13a 1，故数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列，所以a n ＝a 1·qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1. (2)假设存在满足题设条件的实数k ，使得k ≤S n 恒成立．由(1)知S n ＝a 1－q n1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，由题意知，对任意正整数n 恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以当n ＝1时数列中的最小项为23，则必有k ≤1，即实数k最大值为1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1＝________.解析：设共有2k ＋1(k ∈N *)项，公比为q ，其中奇数项有k ＋1项，偶数项有k 项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q2k1－q2＋192＝255，a 2－q 2k1－q2＝－126，解得q ＝－2，又S 奇＝a 1－q2k ＋21－q2＝a 1－a 2k ＋1q 21－q2， 即a 1－192×41－4＝255，解得a 1＝3.答案：32．已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝a ，{b n }是公比为23的等比数列．记b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *)，若不等式a n >a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *)，所以a n ＝b n －2b n －1. 所以a n ＋1－a n ＝b n ＋1－2b n ＋1－1－b n －2b n －1＝1b n －1－1b n ＋1－1＝b n ＋1－b n－b n ＋1－b n＝－13b n⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b n －b n<0， 解得b n >32或0<b n <1.若b n >32，则b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>32对一切正整数n 成立，显然不可能；若0<b n <1，则0<b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<1对一切正整数n 成立，只要0<b 1<1即可，即0<a 1－2a 1－1<1，解得a 1＝a >2.即实数a 的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)3．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n＋1＋2a na n＋2a n－1＝3(n≥2)，∴数列{a n＋1＋2a n}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n＋1＋2a n＝15×3n－1＝5×3n，则a n＋1＝－2a n＋5×3n，∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n.。

等比数列及其前n项和专题练习(含参考答案)

等比数列及其前n项和专题练习(含参考答案)

数学 等比数列及其前n 项和一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A ．32B ．23C ．－23D ．23或－233．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．1285．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则实数a 的值为( )A ．－13B ．13C ．－12D ．126．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a nS n ，则( )A ．T 3≤T 6B ．T 3<T 6C ．T 3≥T 6D ．T 3>T 67．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( ) A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( )A ．62B ．48C ．36D ．31二、填空题9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝_____．10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝ ．11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝_____．12． 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____． 三、解答题13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( )A ．52或－52B ．－52C ．52D ．122．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．30 C ．26D ．164．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．75． 已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．【参考答案】一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( C )A ．3B ．4C ．5D ．62．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( C ) A ．32B ．23C ．－23D ．23或－23[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23，又a 1<0，因此q ＝－23.故选C ．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( B )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由x (1－27)1－2＝381可得x ＝3．4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( C ) A ．16 B ．32 C ．64D ．128[解析] 由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝14，a 3＝a 1q 2＝8，，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C ．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则实数a 的值为( A )A ．－13B ．13C ．－12D ．12[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13．6．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a nS n ，则( D )A ．T 3≤T 6B ．T 3<T 6C ．T 3≥T 6D ．T 3>T 6[解析] T 6－T 3＝a 6(1－q )a 1(1－q 6)－a 3(1－q )a 1(1－q 3)＝q 5(1－q )1－q 6－q 2(1－q )1－q 3＝－q 2(1－q )1－q 6，由于q >0且q ≠1，所以1－q 与1－q 6同号，所以T 6－T 3<0，∴T 6<T 3，故选D ．7．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( C ) A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．158[解析] 设数列{a n }的公比为q ．当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027．8．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( A )A ．62B ．48C ．36D ．31[解析] 由a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，得a 2＝16，a 5＝2或a 2＝2，a 5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{a n }的公比为q ，则a 1＝32，q ＝12，所以S 5＝32[1－(12)5]1－12＝62，选A ．二、填空题9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝__320___．[解析] 由题意知log 2a n ＋1＝log 22a n ，∴a n ＋1＝2a n ，∴{a n }是公比为2的等比数列，又a 3＝10，∴a 8＝a 3·25＝320．10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝647(1－2－3n) ．[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q＝4.易知数列{a n a n ＋1a n＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝18的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n＋1a n ＋2＝8(1－18n )1－18＝647(1－2－3n )． 11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝__32___．[解析] 由题意知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝74，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝634－74＝14＝74·q 3，∴q ＝2．又a 1＋2a 1＋4a 1＝74，∴a 1＝14，∴a 8＝14×27＝32．12． 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)___．[解析] 设等比数列的公比为q ，则S 3＝1q ＋q ＋1∵|1q ＋q |＝1|q |＋|q |≥2(当且仅当|q |＝1时取等号) ∴1q ＋q ≥2或1q＋q ≤－2∴S 3≥3或S 3≤－1，∴S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 三、解答题13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．[分析] 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． (1)根据已知，建立含有q 的方程→求得q 并加以检验→代入等比数列的通项公式(2)利用等比数列前n 项和公式与已知建立等量关系即可求解． [解析] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1．由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2.故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1． (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n 3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6． [解后反思] 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略： (1)求通项．求出等比数列的两个基本量a 1和q 后，通项便可求出． (2)求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． (3)求公比．利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解．(4)求前n 项和．直接将基本量代入等比数列的前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．[易错警示] 解方程时，注意对根的检验．求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解．14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．[解析] (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82．1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( C )A ．52或－52B ．－52C ．52D ．12[解析] 由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.故选C ． [技巧点拨] (1)在等差(比)数列的基本运算中要注意数列性质的运用，利用性质解题可简化运算，提高运算的速度．(2)根据等比中项的定义可得，在等比数列中，下标为奇数的项的符号相同，下标为偶数的项的符号相同，在求等比数列的项时要注意这一性质的运用，避免出现符号上的错误．2．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ∵a n ＝192， ∴q ＝S 偶S 奇－a n ＝－12663＝－2．又S n ＝a 1－a n q1－q＝S 奇＋S 偶，∴a 1－192×(－2)1－(－2)＝255＋(－126)，解得a 1＝3，故选C ．3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( B ) A ．80 B ．30 C ．26D ．16[解析] 由等比数列的性质知S n 、S 2n －S n 、S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －2)2＝2(14－S 2n )，∴S 2n ＝6或－4(舍去)，又S 2n －S n 、S 3n －S 2n 、S 4n －S 3n 成等比数列，∴82＝4(S 4n －14)，∴S 4n ＝30.故选B ．另解：(特殊化)不妨令n ＝1，则a 1＝S 1＝2，S 3＝2(1－q 3)1－q ＝14，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2或－3(舍去)∴S 4＝2(1－q 4)1－q＝30.故选B ．4．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 在等比数列{a n }中，a 3·a n －2＝a 1·a n ＝81，又a 1＋a n ＝82，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝81或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝81，a n ＝1.当a 1＝1，a n ＝81时，S n ＝1－81q1－q ＝121，解得q ＝3．由a n ＝a 1q n －1得81＝3n －1，解得n ＝5． 同理可得当a 1＝81，a n ＝1时，n ＝5.故选B ．5． 已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n ＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．[解析] (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1，n ∈N *，由已知a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，得q ＝3，由已知a 2n ＝3a 2n ，即a 1q 2n －1＝3a 21q 2n －2， 解得q ＝3a 1，a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．因为b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)， 可得b 2－b 1＝3，b 3－b 2＝5，…，b n －b n －1＝2n －1， 累加可得b n ＝n 2．(2)当n ＝1时，c 1a 1＝1，c 1＝1，当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n ＝n 2①c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n －1a n －1＝(n －1)2② 由①－②得到c na n ＝2n －1，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ≥2，综上，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ∈N *．T n ＝1×30＋3×31＋…＋(2n －3)×3n －2＋(2n －1)×3n －1③ 3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ④ 由③－④得到－2T n ＝1×30＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝1×30＋2×3(3n －1－1)3－1－(2n －1)×3n ．所以T n ＝1＋(n －1)×3n ．。

等差数列和等比数列-2017年高考数学(文)母题题源系列(新课标2专版)含解析

等差数列和等比数列-2017年高考数学(文)母题题源系列(新课标2专版)含解析

【母题原题1】【2017全国Ⅱ,文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=．（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；(2)若321T=，求3S ．【答案】(1）b n =2n−1；（2）当q =−5 时，S 3=21．当q =4时，S 3=−6．试题解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n =−1+（n −1）d ，b n =q n−1．由a 2+b 2=2得d +q =3．①（1）由a 3+b 3=5得2d +q 2=6.②联立①和②解得{d =3，q =0（舍去），{d =1，q =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n−1． （2)由b 1=1，T 3=21得q 2+q −20=0． 解得q =−5，q =4．当q =−5时，由①得d =8，则S 3=21． 当q =4时，由①得d =−1,则S 3=−6．【考点】等差、等比数列通项与求和【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 【母题原题2】【2016全国Ⅱ,文17】等差数列｛na ｝中,34574,6aa a a +=+=．（Ⅰ)求｛na ｝的通项公式；(Ⅱ） 设[]nn ba =,求数列{}nb 的前10项和,其中[]x 表示不超过x的最大整数，如=0，=2． 【答案】（Ⅰ)235n n a +=；（Ⅱ）24． 【解析】试题分析：(Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求1a ，d，从而求得na ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求nb ,再求数列{}n b 的前10项和．（Ⅱ)由(Ⅰ)知235nn b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 当n =1,2,3时,2312,15n n b +≤<=; 当n =4，5时，2323,25n n b +≤<=； 当n =6，7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9，10时，2345,45n n b +≤<=． 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=． 【考点】等差数列的通项公式，数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错．【母题原题3】【2015全国Ⅱ,文5】设nS 是等差数列{}na 的前n项和，若1353a aa ++=，则5S =( ）A ．B ．C ．D ．11 【答案】A【考点定位】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用．【名师点睛】本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质，利用此性质可得1532.a aa +=高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点，在解答时要注意数列相关性质的应用，尽量避免小题大做．【2015全国Ⅱ，文9】已知等比数列{}na 满足114a=，()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.11C.21D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=，所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C ．【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算． 【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质211n n n aaa -+=得到一个关于4a 的一元二次方程,再通过解方程求4a 的值，我们知道，等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组)，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法．【命题意图】考查特殊数列的通项及前n 项和或通项与前n 项和nS 间的递推关系，通过转化为等差数列或等比数列，考查数列运算及转化能力．【命题规律】由递推关系求数列通项公式或特定项问题，有时以小题形式来考,主要以考查,nna S 间的关系为主,通过转化为特殊数列求解;以解答题形式考查，会多步设问，通过提示或其他方式构造特殊数列求解．【答题模板】作答数列问题，一般四个步骤:1、判断所求解数列问题是否为等差等比数列问题；2、利用等差、等比数列通项公式及前n 项和公式列出等式或方程;3、利用等差、等比定义将非等差、等比数列经过变形、构造等方法转化为等差、等比数列问题；4、运用特殊方法求数列的前n 项和，如错位相减法,分组求和或裂项求和法等． 【方法总结】关于通项公式与前n 项和nS 间的递推关系问题,可以转化为项na 与1n a 的递推式，进而求na ；或者转化为nS 与1n S 的递推式，先求nS ，再求na ，其中转化关键为11,1,, 2.nn n S n aS S n -=⎧=⎨-≥⎩，通过转化为特殊数列或易求通项公式的递推式求解． （一)主要知识：有关等差、等比数列的结论 1．(1）等差数列证明方法：1nn a a d 或112n n n a a a ；(2）等比数列的证明方法：)0(1≠=-q q a a n n 或112+-=n n n a a a ． 2． 等差数列的通项公式：d n a an)1(1-+=，d m n a a m n )(-+=)1(11≠--=n n a a d n 或mn a a d m n --=．3． 等差数列的前项和公式（由倒序相加法推得)：2)(1n n a a n s +=,d n n na sn2)1(1-+=． 4．数列n a 是等差数列na pn q （,p q 为常数)3．数列na 是等差数列2nS an bn （,a b 为常数）6．等差数列{}na 的任意连续m项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．7．等差数列{}na 中,若m n p q +=+，则q p n ma a a a +=+8．等比数列的通项公式：11-=n nq a am n m n q a a -=（m n >）． 9．当1≠q 时：qq a s n n --=1)1(1或qqa a s n n --=11当1=q 时：1na sn=（有关等比数列的求和问题，当不能确定“1≠q ”时，应分1,1≠=q q 来讨论）． 10．等比数列{}na 中，若m n p q +=+，则mn p q aa a a ⋅=⋅11．等比数列｛a n ｝的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．12．两个等差数列{}na 与{}nb 的和差的数列{}nn a b ±仍为等差数列．13．两个等比数列{}na 与{}nb 的积、商、倒数的数列{}n nab ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）主要方法:1．解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．1．【2017安徽阜阳二模】等比数列{}n a 中, 132410,30a a a a +=+=，则数列{}n a 前项和5S = ( )A ． 81B ． 90C ． 100D ． 121【答案】D2．【2017江西九江三模】已知数列{}n a 为等比数列，若2102,8a a ==,则6a =(）A ． 4±B ． 4-C ．D ．【答案】C【解析】由题意可得：844106284,2,224a q q a a q a ==∴===⨯=．本题选择C 选项．3．【2017广西5月考前联考】已知等差数列{}n a 的前项和为nS ，8430S S =-≠，则412S S 的值为（ )A ．13-B ． 112- C ．112D ．13【答案】B 【解析】因为844444216S S S d S d =++⨯=+，即4441632165d S S d S -=+⇒=-,所以12844192483485d S S S d S d =++⨯=+=，则4121651519212Sd S d =-⨯=-,应选答案B ．4．【2017江西九江三模】已知数列{}n a 的前项和为n S ,且满足111,2n n n a a a S +=⋅=，设213nn n a a b -=,则数列{}n b 的前项和为__________． 【答案】113nn +-数列{}n b 的前n 项和为：0112112231113333333n n n n nn n T -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．5．【2017河北唐山三模】{}n a 是公差不为0的等差数列, {}n b 是公比为正数的等比数列, 111a b ==, 43a b =，84a b =，则数列{}n n a b 的前项和等于__________．【答案】()121n n -+所以12212nn n S n --=-⋅-，整理得： ()121n n S n =-⋅-． 方法点睛：用错位相减法求和时，要注意以下几个问题：(1）要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;（2）在写出“nS ”与“nqS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“nn SqS -”的表达式；（3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．6．【2017广东佛山二模】已知{}n a 是等差数列， {}n b 是各项均为正数的等比数列，且111b a==， 34b a =, 12334b b b a a ++=+．（Ⅰ)求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn n ca b =，求数列{}n c 的前项和n T ．【答案】(Ⅰ）nan =, 12n n b -=;（Ⅱ）()121n n T n =-⋅+．【解析】试题分析:（1）根据条件列出关于公差与公比的方程组,解方程组可得1d =， 2q =,再代入等差与等比数列通项公式，（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q - 试题解析：（Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ， {}n b 的公比为，依题意得2213{125d q q q d+=++=+解得1d =， 2q =，所以()11n a n n =+-=，11122n n n b --=⨯=点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；（2)在写出“nS ”与“nqS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nn SqS -”的表达式；（3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．7．【2017重庆二诊】已知等差数列{}n a 的前项和为nS ，49a =，315S =．(1）求nS ；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为nT ,证明：34n T <． 【答案】（Ⅰ）()2n S n n =+； （Ⅱ）见解析．【解析】（1)由已知，根据等差数列的通项公式()11n a a n d =+-、前项公式()112nn n Sna d-=+,建立关于,a d 的方程，进行求解即可；(2）由（1）求出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，根据其表达式的特点，利用裂项求和的方法求出nT ，由数列极限,从而不等式可得证．试题解析：（Ⅰ）3223155S a a ==⇒=， 4222a a d -∴==， 21n a n ∴=+, ()32122n n S n n n ++=⋅=+； （Ⅱ）()111111111111132422324352nTn n n n ⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪⨯⨯++⎝⎭11113122+124n n ⎛⎫=+--< ⎪+⎝⎭．8．【2017安徽马鞍山二模】已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列， 23a =，且3a ， 5a , 8a 成等比数列．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ)设cos2nnn a ba π=，求数列{}nb 的前2017项和．【答案】（Ⅰ)1n a n =+（Ⅱ）1010.-【解析】试题分析:（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，根据提议列出关于首项1a 和公差d 的方程组,解方程组即可得到结果；(Ⅱ) 根据数列{}n b 每相邻四项的和为常数，可得数列{}n b 的前2017项和．9．【2017河北唐山二模】数列{}n a 的前项和为nS ，()21n n n S a =-，且11a=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ)若nn bna =，求数列{}n b 的前项和n T ．【答案】（Ⅰ）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭;（Ⅱ)1242nn n T-+=-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）对已知等式()21nnn S a =-利用1n n nS S a --=化简整理得()1122n n a n a -=≥，进而可推断出数列{}n a 是一个以1为首项, 12为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式求得答案；（Ⅱ)利用错位相减法求结果． 试题解析：（Ⅰ）由()21nnn S a =-，可得()11121n n n S a ---=-（2n ≥）,两式相减，得()()1112121n n nn n n SS a a ----=---，()()112221nn n n a a ---=-,即()1122n n a n a -=≥, 故{}n a 是一个以1为首项， 12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．点睛：本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}nb 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}na 为等差数列，{}n b 为等比数列等．10．【2017福建三明5月质检】已知数列{}n a 的前项和为nS ,且22nn Sa =-．(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ)设1nnn ba +=，求数列{}n b 前项和n T ． 【答案】（I ）2n n a =；(II ）()1332nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．试题解析：（Ⅰ） 22n n S a =-，当1n =时， 1122a a =-，则12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-， 1122n n S a --=-,两式相减,得122nn n a a a -=-，所以12n n a a -=．所以{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列，所以2n na=．（Ⅱ）因为()11122nn n n b n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()23111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()234111111234122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减，即得()123111111121222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11211112222n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()311111222nn n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()1111221111122212nn n T n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-+ ⎪⎝⎭-,()11111112222nn n T n +⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1332nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．。