高考数学复习点拨 用辨证的观点学导数
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用辨证的观点学导数
导数的重要性是人所共知的．它不仅仅应用于数学、物理、化学，而且在天文、地理、经济等科学领域中也有非常广泛而重要地应用；学好它是应该的也是必须的．但这个内容与我们前面学习的东西又有很大的区别，如何理解它呢？只要你能辨证的看问题也许就不难了．下面我们看几个例题：
例1 自由落体的瞬时速度问题
我们知道自由落体运动是一种变速运动，它的下落高度212
h gt =（g 为自由落体加速度，t 为下落的时间）．如图，当物体从点A 处自由下落时，
由B 到C 的过程是变速的，但当h ∆很小时，我们可以把它看成是匀速运
动．若由B 到C 的时间为t ∆，则此时的速度为
2211()1222g t t gt h v gt t t t +∆-∆===+∆∆∆．由于t ∆很小，当0t ∆→时，点B 与点C 将无限接近，当趋于一点时，就得到了我们平时用的自由落体的瞬时速
度公式v gt =．
例2 交流电的瞬时电流强度问题
由物理知识我们知道，对于直流电，单位时间内流过导线截面的电量叫做电流强度．设
t 从0t 变到0t t +∆时，通过导线截面的电量为q ∆，电流强度公式为：电流强度q t
∆=∆． 对于交流电，电量是随时间变化的．设电量q 与时间t 的关系为()q q t =，当t 从0t 变到0t t +∆时，电量为00()()q q t t q t ∆=+∆-，从而电流强度00()()q t t q t q t t
+∆-∆==∆∆，显然，这只是在时间段t ∆内的平均电流强度．当t ∆很小，即0t ∆→时，00t t t +∆→，此时，就得到
了0t 时的瞬时电流强度．
例3 非均匀细棒的密度问题
所谓细棒是指棒的横断面很小，且在任何部位的横断面面积都相等．如果棒的任何长度相等的两段质量都相等，就说棒是均匀的，否则，棒就是非均匀的．因此，非均匀细棒有的地方质量分布较密、有的地方质量分布较疏．对于均匀的细棒的密度可用公式：=质量
密度长度，来计算．
下面我们来探求非均匀细棒的密度．设棒的一端为A ，棒上的任意一点为P ，且PA x PA =，段的质量记为()p p x =，当PA 由x 变到x x +∆时，质量的改变量()()p p x x p x ∆=+∆-，则此时的密度()()p x x p x x
+∆-=∆，显然，这是由x 到x x +∆
的平均密
度．当x
∆→时，x x x
+∆→，此时，就得到了P处的密度．
x
∆很小，即0
可以看出：以上三例的处理方式很相近，无论是“当h
∆很小时，我们可以把它看成是匀速运动”，还是“这只是在时间段t∆内的平均电流强度”、“这是由x到x x
+∆的平均密度”都是一个辨证的过程，在这个辨证的过程中，量变促使了质变．。
