可化为一元二次方程的分式方程应用题解析

可化为一元二次方程的分式方程为了满足字数要求，我将详细解释可化为一元二次方程的分式方程的概念、一些示例、解题步骤和技巧。

以下是一个关于分式方程的完整解释。

分式方程是一个方程，其中包含了分式表达式。

一元二次方程则是一个具有形如 ax^2 + bx + c = 0这种形式的方程，其中 a、b和c是实数，且a ≠ 0。

将分式方程化为一元二次方程可以使我们更容易解决和求解方程。

要将分式方程化为一元二次方程，我们需要遵循以下简单的步骤：步骤一：将分式方程的分子和分母的多项式部分展开。

这可能包括分布律、乘法法则和化简等操作。

步骤二：将方程两侧的分母相乘，以消除分母。

这可以通过将每个项乘以缺少的分母部分来完成。

步骤三：将分母相乘后，将等式的两侧约分。

这可以通过因子分解来完成。

步骤四：将等式的两侧移项并整理，使所有项在一侧，并将方程表示为 ax^2 + bx + c = 0的形式。

这样，分式方程就被转化为了一元二次方程。

为了更好地理解这些步骤，考虑以下示例：例1：将分式方程1/(x+2)+1/(x+3)=1/x化为一元二次方程。

步骤一：展开分子和分母，我们得到：(x+3)(x+2)+x(x+2)=(x+3)(x)步骤二：两侧相乘，我们得到：(x+3)(x+2)x+x(x+2)(x+3)=(x+3)(x)^2步骤三：约分两侧，我们得到：x(x+3)+x(x+2)(x+3)=(x+3)x^2步骤四：移项并整理，我们得到：x^2+3x+x^3+2x^2+3x^3=0合并同类项，我们得到：4x^3+3x^2+3x=0现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=4，b=3，c=0。

例2：将分式方程(3x-7)/(x+2)+(x+1)/(x+3)=4/(x+3)化为一元二次方程。

步骤一：展开分子和分母，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+2)=4(x+2)步骤二：两侧相乘，我们得到：(3x-7)(x+3)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)=4(x+2)(x+3)步骤三：约分两侧，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+3)=4(x+3)步骤四：移项并整理，我们得到：(3x^2-4x-19)(x+3)=4x+12展开和合并同类项中的项，我们得到：3x^3+5x^2-34x-57=4x+12现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=3，b=5，c=-21解决这个一元二次方程可以使用一般的求解方法，例如，可以使用公式法、配方法、因式分解等方法来求解。

实际问题与一元二次方程-(含答案)实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似。

都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。

在利用一元二次方程解决实际问题时，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。

主要研究下列两个内容：1.列一元二次方程解决实际问题。

一般情况下，列方程解决实际问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答六个步骤。

找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。

2.一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。

知识链接点击一：列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力。

列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程。

概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案。

一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：1) 审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系。

2) 设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)。

3) 列：是指列方程，根据等量关系列出方程。

4) 解：就是解所列方程，求出未知量的值。

5) 验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去。

6) 答：即写出答案，不要忘记单位名称。

总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。

点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。

一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：1〕假设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？2〕要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡〞政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查说明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定本钱共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?1三、平均变化率问题增长率1〕原产量+增产量=实际产量．2〕单位时间增产量=原产量×增长率．3〕实际产量=原产量×〔1+增长率〕．6.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7.某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下局部作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．2五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙〔墙的长度不超过45m〕，用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?墙D CA B第21题图（六、相互问题〔传播、循环〕（11、〔1〕参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?（（（（（（（(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,方案安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?（（（（（（（某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班（共送了3080张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为?（（（（（（（12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1〕求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2〕如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？313、某种植物的主干长出假设干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。

初二数学一元二次方程试题答案及解析1.将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．(x+4)2=2B．(x+2)2=2C．(x+4)2=－3D．(x+2)2=－5【答案】A【解析】∵x2+4x+2=0，∴x2+4x=﹣2，∴x2+4x+4=﹣2+4，∴（x+2）2=2．故选A．【考点】解一元二次方程2.解方程：【答案】∴x1=2+，x2=2﹣【解析】用配方法解这个方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．试题解析：∵2x2﹣8x+3=0∴2x2﹣8x=﹣3∴x2﹣4x+4=﹣+4∴（x﹣2）2=，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣【考点】解一元二次方程3.用指定的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1=0（用配方法）；（2）2x2﹣8x+3=0（用公式法）．【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=，x2=．【解析】（1）先把常数项移到方程左边，再两边加上4得到x2+4x+4=5，然后把方程左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程；（2）利用一元二次方程的求根公式中求解．试题解析：（1）解：x2+4x=1，x2+4x+4=5（x+2）2=5，x+2=±，所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）解：∵a=2，b=﹣8，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×2×3=40 ∴x==，∴x1=，x2=．【考点】1．解一元二次方程-配方法；2．解一元二次方程-公式法．4.解方程：(1) (2x－1)(x＋3)＝4 (2)【答案】（1）x1=1,x2=（2）x=【解析】（1）整理到一元二次方程的一般形式后再利用因式分解法进行解方程即可（2）先去分母变为整式方程后再进行求解，最后检验即可试题解析：（1）整理得：2x2+5x-7=0(x-1)(2x+7)=0∴x-1="0" 或2x+7=0∴x1=1,x2=两边同乘(2x-1)(x+2)得：x(x+2)+(2x-1)=(2x-1)(x+2)整理得：x2-x-1=0解得：x=经检验x=是原分式方程的根.【考点】1、解一元二次方程；2、可化为一元二次方程的分式方程5.己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，即可求得关于m的不等式，从而得m 的范围；（2）方程有两个相等的实数根，当△=0时，即可得到一个关于m的方程求得m的值试题解析：△=（﹣3）2﹣4（m﹣1），（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，解得m＜．（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0解得m=∴方程的根是：x1=x2=．【考点】根的判别式6.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1B．﹣1C．0D．无法确定【答案】B．【解析】根据题意得：（m-1）+1+1=0，解得：m=-1．故选B．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为_________．【答案】x（x-1）=28．【解析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．试题解析：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x-1）=28．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．8.根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据题意易知方程一个解的取值范围是0.61＜ｘ＜0.62.故选C.【考点】一元二次方程的解．9.用适当的方法解下列方程：（1）（2）【答案】(1) x1=3，x2="2;(2)" .【解析】（1）运用公式法求解即可；（2）移项，化成完全平方直接开平方即可求解. 试题解析：∵a=2，b=-5，c=3∴△=b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1＞0∴x=即x1=3，x2=2;(2)移项得：∴即：解得：.【考点】1.解一元二次方程----公式法；2.解一元二次方程—直接开平方法.10.已知关于的方程（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【答案】(1)证明见解析；（2）4+或4+．【解析】（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．试题解析：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+．【考点】1.根的判别式；2.一元二次方程的解；3.勾股定理．11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P、Q为AB边及BC边上的两个动点。

分式方程与一元二次方程应用（20题）一．分式方程1．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？3．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？4．甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．（1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．5．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？二、一元二次方程6．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？7．巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．8．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？9．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？。

一元二次方程的应用--知识讲解（基础）【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一 般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)na xb -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【答案与解析】设其中一个数为x ，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x 2-12x+32＝0解得 x 1＝4，x 2＝8，当x ＝4时12-x ＝8；当x ＝8时12-x ＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x ，那么另一个数便可以用x 表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：数字问题 例1】【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为x ，则十位数字为(2)x -.由题意，得： 10(2)+3(2)x xx x -=- 整理，得：2317200x x -+=解方程，得：(35)(4)0x x --=∴ 15,3x = 24x = 经检验，53x =不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当4x =时, 2x -=2∴10(2)102424x x -+=⨯+=答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2． 2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?【答案与解析】(1)设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意得5(1+x)2＝8.45．解得x 1＝30%，x 2＝-2.3(不合题意，舍去)．答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%．(2)这三年共投资5+5(1+x)+8.45＝5+5(1+0.3)+8.45＝19.95(亿元)答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元．【总结升华】本题是常见的增长率问题，要理解a(1+x)n ＝b(其中a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的次数，b 是增长到的量)的含义．原来的量经过一次增长后达到a(1+x)；在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到a(1+x)(1+x)＝a(1+x)2；在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后达到a(1+x)(1+x)(1+x)＝a(1+x)3；…；依次类推．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：增长率问题例3】【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为x ，则第一次降价为600x ，降价后价格为：600600600(1)x x -=-，第二次降价为：600(1)x x -⋅，降价后价格为： 600(1)x --600(1)x x -⋅2600(1)x =-.根据题意列方程，得：2600(1)384x -=216(1)25x -= 415x -=± ∴115x =， 295x = 295x =不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验） ∴0011205x == 答：平均每次下降率为0020.类型三、利润（销售）问题3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?【答案与解析】设每件商品的售价为a 元．根据题意，得(a-21)(350-10a)＝400．∴ a 2-56a+775＝0，∴ (a-25)(a-31)＝0，∴ a-25＝0或a-31＝0，∴ a 1＝25，a 2＝31．当a ＝31时，加价31-21＝10，不合题意，舍去．∴ 350-10a ＝350-10×25＝100．答：每件商品售价为25元，需要卖出100件商品．【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．类型四、形积问题4．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．【答案与解析】设草坪ABCD的BC边长x米，则宽AB为根据题意，得整理得：x2-32x+240＝0，∴ (x-12)(x-20)＝0．解得：x1＝12，x2＝20又由题意知：BC≤16．∴ x＝20(不合题意，舍去)．∴该矩形草坪BC边的长为12米．【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．。

可化为一元二次方程的分式方程一、重点、难点1、会用去分母的方法解分式方程。

2、会用换元法解分方式方程。

3、正确理解增根的意义，会排除方程的增根。

二、考点1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。

2、掌握用换元法解某些可化为一元二次方程的分式方程。

3、掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。

三、例题分析第一阶段例1、解下列分式方程：思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根，解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。

解：（1）方程两边同乘以(1-x) (1+x),去分母(1-x)+(1-x)(1+x)=2(1+x)整理得x2+3x=0x1=0, x2= -3检验把x=0代入(1-x)(1+x)≠0把x= -3代入(1-x)(1+x)≠0∴x1=0, x2= -3是原方程的解。

方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1)整理得 x2-8x+12=0解方程x1=2,x2=6检验：把x=2代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,∴x=2是增根，舍去把x=6代入(x+1)(x+2)(x-2)≠0∴原方程的根是x=6点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。

例2、解下列方程思路分析：第（1 ）题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x-1),就可转化为整式方程。

第（2）题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。

可把原方程变形为，此时若设即可把原方程变为一个关于y的整式方程。

解：（1）方程两边同乘以(x+1)(x-1),得2+x-1=x2-1,整理得 x2-x-2=0,解这个方程得 x1=2, x2= -1.经检验：x= -1是增根，故舍去，x=2是原方程的根。

∴原方程的根是x=2.(2)原方程的变形为解这个方程，得解得x3=x4=1.例3、解方程思路分析：此题可用换元法解，把(x2+x)看作一个整体，可以设y=x2+x,原方程变为；若把x2+x+1看作是一个整体，可设y=x2+x+1，则x2+x=y-1，原方程就变为解题时，也可以不设铺助未知数y，直接把x2+x或x2+x+1看成一个整体进行变形，其思维方法仍属于换元法。

专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。

一元二次方程-分式方程1 / 8一元二次方程 分式方程一、选择题（题型注释）1．方程：①21203x x -= ②22250x xy y -+= ③0172=+x ④202y =中一元二次方程是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和③2．一元二次方程2321x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．3，2，1B ．3，－2，1C ．3，－2，－1D ．－3，2，13．方程()()120x x -+=的两根分别为( )A ．1x ＝－1，2x ＝2B ．1x ＝1，2x ＝2C ．1x ＝―l，2x ＝－2D ．1x ＝1，2x ＝－24．用配方法解方程642=+x x ，下列配方正确的是（ ）A ．()1022=+x B ．()2242=+x C ．()822=+x D ．()622=+x5．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是A.a<2 B,a>2 C.a<2且a ≠1 D.a<－26．某超市一月份的营业额为200万元，一月份、二月份、三月份的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x ，则由题意列方程为 Ａ、()100012002=+x Ｂ、10002200200=⨯+x Ｃ、10003200200=⨯+x Ｄ、()()[]10001112002=++++x x 7．已知x=1是方程x 2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是A.1B.2C.-2D.-18．喜迎国庆佳节，天音百货某服装原价400元，连续两次降价a ％后售价为225元.下列所列方程中，正确的是（ ）A 、400（1＋a ％）2＝225B 、400（1－2a ％）＝225C 、400（1－a ％）2＝225D 、400（1－a 2％）＝2259．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x 名教师，依题意，可列出的方程是（ ）A ．(1)240x x +=B ．(1)240x x -=C ．2(1)240x x +=D ．1(1)2402x x -= 10．已知2222(1)(3)8x y x y ++++=，则22x y +的值为（ ）A ．－5或1B ．1C ．5D ．5或－111．已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a+b)x 2+2cx+(a+b)＝0的根的情况是( )A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根12．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是A.当k 0=时，方程无解B.当k 1=时，方程有一个实数解C.当k 1=-时，方程有两个相等的实数解D.当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解13．若解分式方程22x m 1x 1x 1x x x++-=++产生增根，则m 的值是（ ） （A ）1-或 2- （B ） 1-或 2 （C ） 1或 2（D ） 1或 2-14．某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10％，则这种商品每件的进价为A.240元B.250元C.280元D.300元15．甲、乙两人同时分别从A 、B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A 、C 两地间的距离为110千米，B 、C 两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C 地，求两人的平均速度。

专题06 一元二次方程及其应用命题点1配方法1. 一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( )A . (x －3)2＝14B . (x －3)2＝4C . (x ＋3)2＝14D . (x ＋3)2＝4【答案】A【解析】x 2－6x －5＝0，x 2－6x ＝5，x 2－6x ＋9＝5＋9，(x －3)2＝14，故选A. 命题点2跟与系数之间的关系2.方程x 2＋x －12＝0的两个根为( )A ．x 1＝－2，x 2＝6B ．x 1＝－6，x 2＝2C ．x 1＝－3，x 2＝4D ．x 1＝－4，x 2＝3【答案】D【解析】∵x 2＋x －12＝0，∴(x ＋4)(x －3)＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3. 命题点3根的个数3. 下列方程中，没有．．实数根的是( ) A ．2x ＋3＝0 B ．x 2－1＝0 C .2x ＋1＝1 D ．x 2＋x ＋1＝0 【答案】D 【解析】选项逐项分析正误A由2x ＋3＝0，得2x ＝－3，解得x ＝－324. 关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则k的值为( )A. k＝－4B. k＝4C. k≥－4D. k≥4【答案】B【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝42－4k＝0，解得k＝4.5. 若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一根为－1，则方程的另一根为( )A. －1B. －3C. 1D. 3【答案】D【解析】设方程的另一个根为x2，则根据根与系数关系有－1＋x2＝2，解得x2＝3.6. 一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是( )A. x1＝－1，x2＝2B. x1＝1，x2＝－2C. x1＋x2＝3D. x1x2＝2【答案】C【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝－2，排除A、B、D 选项，故选C.命题点4一元二次方程应用7.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆．设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得( )A. 10(1＋x)2＝16.9B. 10(1＋2x)＝16.9C . 10(1－x)2＝16.9D . 10(1－2x)＝16.9【答案】A【解析】因为年增长率为x ，从2013年到2015年连续增长两年，开始量为10万辆，结束量为16.9万辆，则可列方程10(1＋x )2＝16.9.8. 方程2x －4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为______． 【答案】－3【解析】∵ 2x －4＝0，解得 x ＝2，把x ＝2代入方程x 2＋mx ＋2＝0，解得 m ＝－3. 9.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________．【答案】2016【解析】把m 代入方程得m 2＋2m 的值，再用根与系数的关系求出两根之和m ＋n 的值，再把所求代数式化成此两代数式的形式， 即可整体代入求解，∵m 、n 是一元二次方程x2＋2x －2018＝0的两个实数根，∴m 2＋2m －2018＝0，即m 2＋2m ＝2018，且m ＋n ＝－2，则原式＝(m 2＋2m )＋(m ＋n )＝2018－2＝2016.10. 用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的矩形，设矩形的一边长为x cm ，则可列方程为______________．【答案】 x (402－x )＝64 【解析】矩形一边长为x ，则另一边长为402－x ，所以可列方程x (402－x )＝64.命题点5解方程11. 解方程：2(x －3)2＝x 2－9.【答案】解：原方程可化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)， 2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0， (x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0， (x －3)(x －9)＝0， ∴x －3＝0或x －9＝0， ∴x 1＝3，x 2＝9. 命题点6化简求值12. 已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．【答案】(1)证明：根据根的判别式b2－4ac＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解：将x＝0代入方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0得：0－(2m＋1)·0＋m(m＋1)＝0，即m2＋m＝0，原式＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5＝3(m2＋m)＋5，将m2＋m＝0代入式中，原式＝5.13.红旗连锁超市花2000元购进一批糖果，按80%的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买，结果又一次降价后才售完，但仍盈利45.8%，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是多少？【答案】解：设每次降价的百分率是x，则2000元糖果按80%的利润定价为：2000(1＋80%)＝3600(元)，∴3600(1－x)2＝2000(1＋45.8%)，∴(1－x)2＝0.81，∴1－x＝±0.9，∴x＝0.1＝10%，或x＝1.9(舍去)，答：每次降价的百分率是10%.14.某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元．如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．(参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4)【答案】解：(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由题意得2900(1＋x)2＝3509，解得x 1＝0.1 x 2＝－2.1(不合题意，舍去)，答：2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)按10%的增长率，到2018年投入教育经费为3509(1＋10%)2＝4245.89(万元)， 因为4245.89<4250.答：按此增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元． 满分冲关1.有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A . 12x(x －1)＝45B . 12x(x ＋1)＝45 C . x(x －1)＝45 D . x(x ＋1)＝45【答案】A【解析】根据题意：每两队之间都比赛一场，每队参加x －1场比赛，共比赛12x (x －1)场比赛，根据题意列出一元二次方程12x (x －1)＝45.故选A.2. 若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2－ab ＋b 2＝18，则a b ＋b a的值是( )A . 3B . －3C . 5D . －5【答案】D【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得a ＋b ＝3，ab ＝p ，给a 2－ab ＋b 2＝18左边配方得(a ＋b )2－3ab ＝18，所以9－3ab ＝18，得ab ＝－3，所以b a ＋a b ＝a 2＋b 2ab＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝9＋6－3＝－5，故选D.3. 定义新运算：a ★b ＝a(1－b)，若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜1)的两根，则b ★b－a ★a 的值为( )A . 0B . 1C . 2D . 与m 有关【答案】A【解析】∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m <0)的两根．∴a ＋b ＝1，ab ＝14m .∴b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b (a ＋b －b )－a (a ＋b －a )＝ab－ab ＝0.故选A.4. 已知，一元二次方程x 2－8x ＋15＝0的两根分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，当⊙O 1与⊙O 2相切时，O 1O 2的长度是( )A . 2B . 8C . 2或8D . 2<O 1O 2<8【答案】C【解析】一元二次方程x 2－8x ＋15＝0两根分别是3和5，所以两个圆的半径分别是3和5，当两圆外切时，圆心距是8，当两圆内切时，圆心距是2.故选C.5.已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( )A . 7B . 10C . 11D . 10或11【答案】D【解析】∵3是方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，∴9－3(m ＋1)＋2m ＝0，解得m ＝6，所得方程为x 2－7x ＋12＝0，解之得x 1＝3，x 2＝4，若等腰△ABC 的腰长为3，底边长为4，则其周长为3＋3＋4＝10，若等腰△ABC 的腰长为4，底边长为3，则周长为4＋4＋3＝11.6. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根为x 1和x 2，且(x 1－2)(x 1－x 2)＝0，则k 的值是________．【答案】－2或－94【解析】∵(x 1－2)(x 1－x 2)＝0，∴x 1－2＝0或x 1－x 2＝0.①如果x 1－2＝0，那么x 1＝2，将x ＝2代入x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0，得4＋2(2k ＋1)＋k 2－2＝0，整理得k 2＋4k ＋4＝0，解得k ＝－2；②如果x 1－x 2＝0，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2－2)＝4k ＋9＝0，解得k ＝－94.又∵b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2－2)≥0，解得k ≥－94.所以k 的值为－2或－94.7. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是________斤(用含x 的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】解：(1)100＋200x ；【解法提示】将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100＋x0.1×20＝(100＋200x )斤．(2)根据题意得：(4－2－x )(100＋200x )＝300， 解得x ＝12或x ＝1，∵每天至少售出260斤， ∴x ＝1.答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．8. 李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】解：(1)设剪成的较短的这段为x cm ，较长的这段就为(40－x )cm ，由题意得(x 4)2＋(40－x 4)2＝58， 解得x 1＝12，x 2＝28，当x ＝12时，较长的为40－12＝28 cm ， 当x ＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)． 答：李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 两段． (2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm ，较长的这段就为(40－m )cm ，由题意得(m 4)2＋(40－m 4)2＝48，化简得：m 2－40m ＋416＝0， ∵(－40)2－4×416＝－64＜0， ∴原方程无实数根，∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.9. 某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求．B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增，这样，2016年A ，B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．(1)求A 品牌产销线2018年的销售量；(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．【答案】解：(1)A 品牌产销线2018年的销售量为9.5－(2018－2015)×0.5＝8(万份)； (2)设A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分比为x ，B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k 万份，依题意可列：⎩⎪⎨⎪⎧（9.5－0.5）＋（1.8＋k ）＝11.4（1.8＋2k ）·3（1＋2x ）2＝10.89， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6x ＝5%，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6x ＝－105%，∵x >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6x ＝5%，∴2x ＝10%，即B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%.。