第11章静定结构总论11.1复习笔记一、几何构造分析与受力分析之间的对偶关系1.从计算自由度W的力学含义和几何含义看对偶关系（1）W的几何含义W＝各部件的自由度总数-全部约束数。
（2）W的力学含义W＝各部件的平衡方程总数－未知力总数。
（3）根据W的数值，可对体系的静力特性得出下列结论①W＞0，平衡方程个数大于未知力个数，体系不是都能维持平衡，体系为几何可变；②W＜0，平衡方程个数小于未知力个数，体系如能维持平衡，体系有多余约束，是超静定的；③W＝0，平衡方程个数等于未知力个数，考虑方程组的系数行列式D当D≠0,方程组有唯一解，体系几何不变且无多余约束；当D＝0，方程组无解或有无穷多解，体系几何可变且有多余约束。
2.从Ｗ＝０的一个简例看对偶关系（1）几何构造分析（图11-1（a））图11-1①α≠0（链杆1和2不共线）时，体系为几何不变，且无多余约束；②α＝0（链杆1和2为共线）时，体系为几何可变（瞬变），且有多余约束。
（2）受力分析取结点C为隔离体（图11-1c），可写出两个投影平衡方程：F1cosα－F2cosα＝F xF1sinct＋F2sinoc＝F y下面分为两种情况讨论①α≠0时（两根链杆1和2不共线）②α＝0时（两根链杆共线）当荷载F y≠0时，方程组无解；如果考虑F y＝0而只有水平荷载F x作用的特殊情况，此时解为：F1＝F2＋F x＝任意值。
二、零载法1.零载法的作法表述对于W＝0的体系，如果是几何不变的，则在荷载为零的情况下，它的全部内力都为零；反之，如果是几何可变的，则在荷载为零的情况下，他的某些内力可不为零。
2.零载法适用体系零载法是针对W＝0的体系，用静力法来研究几何构造问题，用平衡方程的解的唯一性来检验其几何不变性的方法。
3.从虚功原理角度看零载法由于载荷为零，因此虚功方程左边只有一项Fx•△x＝0（1）与F x相应的约束是非多余约束，△≠0，解得F＝0；（2）与F x相应的约束是多余约束，△＝0，则F等于任意值。
三、空间杆件体系的几何构造分析1.空间杆件体系的基本组成规律（1）四个点之间的连接方式规律1：不共面的四个点用四个链杆两两相连，则所组成的铰结四面体空间体系是一个几何不变的整体，且没有多余约束。
（2）一点与一刚体之间的连接方式规律2：空间中一点与一刚体用三根链杆相连，且三链杆不在同一平面内，则组成的空间体系是一个几何不变的整体，且无多余约束。
（3）两个刚体之间的联接方式规律3：一刚体与另一刚体（基础）用六根链杆相联，如果六根链杆与任一轴线不同时相交，而且在任一轴线上的投影不同时为零，则组成几何不变的整体，且无多余约束。
（4）空间刚体用六根链杆与基础相连，其一般规律比较复杂。
一般情况下采用零载法来判断更为简便，有以下规律规律4a 一刚体与基础用六根链杆相连。
在零载下用截面法列出六个平衡方程，其系数行列式为D。
如D≠0，则此空间体系为几何不变，且无多余约束。
规律4b 一刚体与基础用六根链杆相连。
如果在零载下求出六杆轴力均为零，则此空间体系为几何不变，且无多余约束。
2.空间铰接体系的计算自由度W（1）计算自由度wW＝3j－b（a）（2）W值对体系作出的定性结论①W＞0，体系是几何可变的；②W＜0，体系是有多余约束的；③W＝0，体系可能是几何不变且无多余约束，也可能是几何可变且有多余约束。
四、静定空间刚架1.内力计算（1）空间结构杆件轴线与荷载不在同一平面内，杆件截面一般有六个内力分量如图11-2（a）(b)所示。
图11-2（2）作内力图时的规定①轴力F N以受拉为正；②扭矩M t以双箭头矢量向外为正；③弯矩图不注正负号，弯矩M1、M2都画在杆件受拉纤维一侧；④剪力图也不注正负号，但需预先规定杆件轴线的正方向，并规定截面的正面和反面。
（3）空间刚架的内力图图11-3①杆BC的杆端内力，隔离体如图11-3（a）所示②杆AB的杆端B内力，隔离体如图11-3（b）所示③杆AB的杆端A内力，隔离体如图11-3（c）④作内力图图11-42.位移计算（1）位移计算公式五、静定空间桁架1.空间桁架的几何构造（1）空间桁架的组成空间桁架由结点和链杆组成，每个结点在空间有三个自由度，而每个链杆或支杆相当于一个约束。
（2）空间桁架的分类①简单桁架；②联合桁架；③复杂桁架。
2.结点法和结点单杆（1）结点法结点法是截取结点为隔离体，利用每个结点所受的空间汇交力系的三个平衡条件：（2）结点单杆如果在空间桁架某个结点相交的各杆中，除某一杆外，其余各杆都共面，则称该杆为此结点的单杆，有下面两种常见情况①结点只包含三个杆，且此三杆不共面，则每杆都是单杆；②结点包含四个杆，其中三杆共面，则第四杆是单杆。
3.截面法与截面单杆（1）截面法截面法是用截面从空间桁架中截取隔离体（截断六根以上杆件，所作用的力系为空间一般力系），利用空间一般力系的六个平衡条件来求各杆轴力的常用方法。
（2）截面单杆如果某个截面所截各杆中，除某一杆外，其余各杆轴力与同一轴线都相交（包括在无穷远处相交）或在同一轴线上的投影都为零，则称该杆为截面单杆。
4.分解成平面桁架法图11-5图11-5（a）为一空间桁架，将作用在E点的荷载沿EH。
EF、EA三个方向分解为三个分力，分别计算每个分力产生的内力并叠加即得到所要解答。
（1）只使平面桁架ADHE受力，其余各杆轴力为零。
如图11-5（b）；（2）只使平面桁架ABEF受力，其余各杆轴力为零。
如图11-5（c）；（3）只使杆AE受压，其余各杆轴力为零。
如图11-5（d）所示。
六、悬索结构1.悬索结构的特点（1）悬索结构是由一系列受拉的索作为主要承重构件，并悬挂在相应的支承上的结构。
（2悬索结构的形式①单层悬索；②双层悬索；③鞍形索网；④斜拉式屋盖；⑤索梁体系等。
（3）单根悬索计算时的基本假设①索是理想柔性的，不能受压，不能受弯，只能受拉；②索在使用阶段时应力和应变符合胡克定律（线性关系）。
2.支座等高悬索在竖向集中载荷作用下的计算图11-6图11-6（a）为一集中荷载作用下的悬索，图11-6（b）为同跨度的简支梁，可得：悬索任一截面D的弯矩为零，则有3.悬索在分布荷载作用下的计算图11-7根据微分单元的静力平衡条件，有方程（a）、（b）就是单索的基本平衡微分方程。
如果悬索只承受竖向荷载的作用，即q x＝0时，由方程（a）得f H＝a（常量）（c）因此，式（b）可写成七、静定结构的受力特性1.静定结构与超静定结构的差别（1）在几何构造方面，静定结构无多余约束，超静定结构有多余约束。
（2）在静力平衡方面，静定结构的内力，可以由平衡条件完全确定，得到的解答只有一种；超静定结构的内力，由平衡条件不能完全确定，而需要同时考虑变形协调条件后才能得到唯一的解答。
2.温度改变、支座位移和制造误差等因素在静定结构中不引起内力。
（1）图11-8（a）中，可以假想先把B端的-支杆去掉，梁就成为几何可变的，使梁绕A点转动，等B端移至B′后，再把支杆重新加上。
在这个过程中，梁内不会产生内力。
（2）图11-8（b）中，设三铰拱的杆AC因施工误差稍有缩短，拼装后结构形状略有改变（如虚线所示），但三铰拱内不会产生内力。
（3）图11-8（c）中，设简支梁的上方和下方温度分别改变了干t，因为简支梁可以自由地产生弯曲变形（如虚线所示），所以梁内不会产生内力。
图11-83.静定结构的局部平衡特性在荷载作用下，如果仅靠静定结构中的某一局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。
4.静定结构的荷载等效性当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。
这里，等效荷载是指荷载分布虽不同，但其合力彼此相等的荷载。
5.静定结构的构造变换特性当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时（变换后，尽管结构形式变了，但仍应是一个静定结构），其余部分的内力不变。
八、各种结构形式的受力特点1.结构形式的分类（1）无推力结构，如梁、梁式桁架；（2）有推力结构，如三铰拱、三铰钢架、拱式桁架和某些组合结构。
2.杆件的分类（1）梁杆，如桁架中的各杆、组合结构中的某些杆件；（2）梁式杆，如多跨梁和钢架中的各杆、组合结构中的某些杆件。
3.各种结构形式的特点：（1）在静定多跨梁和伸臂梁中，利用杆端的负弯矩可以减小跨中的正弯矩。
（2）在有推力结构中，利用水平推力的作用可以减少弯矩峰值。
（3）在桁架中，利用杆件的铰接和合理布置及荷载的结点传递方式，可使桁架中的各杆处于无弯矩状态，在三铰拱中，采用合理轴线可以使拱处于无弯矩状态。
九、简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩1.内力包络图内力包络图是指在设计承受移动荷载的结构时，必须求出每一个截面内力的最大值，连接各截面内力最大值的曲线。
2.绝对最大弯矩弯矩包络图中最高的竖距，称为绝对最大弯矩，它代表在一定移动荷载作用下梁内可能出现的弯矩最大值。
十、位移影响线1.根据影响线的定义，得出位移影响线的原始作法（1）将移动荷载F p＝1置于任意位置x，得出梁的位移图（2）按原始定义作影响线,以荷载位置x作横坐标，以位移影响系数δKP作纵坐标。
2.借助位移互等定理，导出位移影响线的比拟作法11.2课后习题详解11-1试用零载法检验图所示体系是否几何不变。
图11-1解：（a）荷载为零，即支反力为零，再逐个取出二元体和零杆，可知所有桁架杆件内力都为零，如下图所示，所以体系是几何不变的。
图11-2（b）荷载为零，即支反力为零。
去除二元体，可知桁架各杆都是零杆，如下图所示，所以体系几何不变。
图11-3（c）按照零杆判断原则，中间竖杆为零杆，去掉后再逐个去掉二元体，故体系几何不变。
图11-4（d）如图所示，假设其中一杆的内力为X，运用结点法可求出各杆内力。
计算可知，内力是平衡的。
所以X可以不为0，所以体系是几何可变的。
图11-511-2试分析图示空间体系的几何构造。
图11-6解：（a）可以把四面体GDEF看出一个刚片，通过DA、EA、EB、EC、FC、GH六链杆与基本体系相连，且EA、EB、EC三链杆支于一点，并六链杆不交与同一直线上，则体系几何不变、且无多余约束。
图11-7（b）计算自由度，6个结点、12根杆件、6根支杆，则有：结构组成（注意体系是空间结构），B点被三杆固定在基础上，由杆BF和两支杆固定F点，再由杆BD、杆FD和支杆固定D点，这部分为无多余约束的几何不变体系。
刚体AEC由六根链杆与几何不变部分相连，由杆AB和DA固定的A点只能绕BD轴作圆周运动。
同理，E点只能绕BF轴作圆周运动，C点只能绕FD轴作圆周运动。
要使这三个运动瞬时成为可能，只有两种情况：①三个圆的切线相互平行，即三个圆运动平动，刚体有同一方向运动的可能。
显然，这种情况不可能；②三个圆圈的三条切线有转动中心，这时刚体存在一个转轴，使得这三点都保持原有切线方向运动。
