高二数学抛物线课件1

新知探究
l
F
思考：若定点F在定直线l上，M的轨迹又
是什么？
一条经过点 F
且垂直于 l
的直线
l
•
F
抛物线的定义
1．定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的
点的轨迹是抛物线．
l
焦点：点 F 叫做抛物线的焦点．
准线：直线 l 叫做抛物线的准线．
F
2.当 l 经过点 F 时，轨迹为经过 F 点且与 l 垂直的直线.
新知探究
2
例2 二次函数
=

( ≠ 0)的图象是抛物线吗？如果是，请
l
l
写出它的焦点坐标、准线方程.
解：∵
∴
= 2 ( ≠ 0)

2
= (

≠ 0).
1
焦点在轴上，焦点坐标为(0, )，准线方程为
4
=
1
− .
4
小结：
1.抛物线的几何特征是什么？
知识与方法
2.抛物线的标准方程是如何获得的？
新知探究
探究2 抛物线的标准方程
问题2：明确了定义，你能根据定义求出抛物线的标准方程吗？
思考：求轨迹方程的步骤是什么？
建系
设点
列式
化简
检验
思考：回顾一下推导椭圆和双曲线的标准方程时是如何建系的？
观察抛物线的几何特征，我们如何建立平面直角坐标系？
设焦点到准线的距离为 p, ( p 0)
H
O
l
y
3.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？如何区分？
思想：数形结合、化归、类比
作业
（1）课本138页复习巩固第1-4题

3．用坐标表示的焦半径公式 由教材中抛物线的定义可得抛物线的焦半径公式如下： 若点 M(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点， 抛物线的焦点为 F，准线为 l，则线段 MF 叫作抛物 线的焦半径．如图所示，过点 M 作 l 的垂线段 MH， 由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|＝x0＋p2.
探究 3 一般方程标准化是基本的解题方法． 思考题 3 (1)抛物线 y＝－16x2 的焦点坐标是________，准
线方程是________．
(2)已知抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准 线方程．
【思路分析】 由题设参数 a≠0，有两种情况 a＞0 或 a＜0， 需分别求解．
【解析】 ①当 a＞0 时，∵2p＝a，∴p＝2a. ∴焦点坐标为 F4a，0，准线方程为 x＝－4a. ②当 a＜0 时，y2＝－(－a)x， ∵2p＝－a，∴p＝－2a. ∴焦点坐标为 F4a，0，准线方程为 x＝－4a. 综上所述，抛物线的焦点坐标为4a，0，准线方程为 x＝－4a.
抛物线 y2＝mx 的焦点为m4 ，0，准线为 x＝－m4 ；抛物线 x2 ＝my(m≠0)的焦点为0，m4 ，准线为 y＝－m4 .
小值为点 F 和点(0，2)之间的距离，即
122＋（－2）2＝
17 2.
题型三 抛物线的焦点和准线
互动 1 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位 置和开口方向？
【解析】 一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴)上； 若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上．焦 点确定，开口方向也随之确定．
(2)已知点 M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y2＝2x
的焦点为 F，点 Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小

图形
ly
x
OF
yl x
FO
y
F
x
O
l
y
l
O
F
x
标准方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
焦半径
图形
ly
x
OF
yl x
FO
y
F
x
O
l
y
l
O
F
x
标准方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
(3) 若直线AB与x轴的夹角为，弦长|AB| 如何 用表示?
【引申】与抛物线有关的重要结论：
设点A(x1, y1), B(x2, y2)为抛物线y2＝2px (p＞0)上 两点，且AB为过焦点的弦.
【引申】与抛物线有关的重要结论：
设点A(x1, y1), B(x2, y2)为抛物线y2＝2px (p＞0)上 两点，且AB为过焦点的弦.
【例4】
直线y x 2与y2 2x交于A, B, 求证：OA OB.
【例5】
已知抛物线y2=4x上求一点P,使得P点到直线 y=x+3的距离最短.
【变式】
已知P点是抛物线y2 2x上的一个动点，则点 P到点A(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之 和的最小值为__________ .
只有一个公共点；有两个公共点； 没有公共点.
【例3】
斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F , 且与抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长.
【例3】
斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F , 且与抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长.

2 即p2 8p 48 0, 解得p 12或p 4, 当p 12时,抛物线的方程为y2 24x,
它的焦点坐标为6, 0,准线方程为x 6,
当p 4时,抛物线的方程为y2 8x,
它的焦点坐标为2, 0,准线方程为x 2.
标准 方程
图形
y
焦点
准线 范围
对称 顶 轴点
离心 率
oF x
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
解 : AB AF BF
p
p
( x1
2
) ( x2
) 2
x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题)
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题4 : 求证 : x1
x2
p2 4 , y1
y2 p2 .
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
(5) AM1 2 M1B 2 AB 2 AF BF 2
AA1 BB1
2
2 MM1
2 4 MM1 2
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题9 : (1)A,O, B1三点共线;(2)B,O, A1三点共线;