高等数学知识体系简介
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a x
y = log a x, a > 0, a ≠ 1 ； 三 角 函 数 ： y = sin x, y = cos x, y = tan x 等 ； 反 三 角 函 数 ：
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x 等。
5.分段函数： 函数在 x 的不同取值范围内有不同的解析式就称之为分段函数。
f ( x) − f ( − x) 是奇函数。 2
( x ) 、 f ( x) +2 f (− x) 与 f ( x) f (− x) 都是
常见的奇函数：
y = x k , k为奇数,y = sin x, y = tan x, y = cot x
常见的偶函数：
知识改变命运 跨考照亮人生 5 网址：
2
g : y = f ( g ( x)), x ∈ D2 。类似地，
f 2 ) f3 = f1
( f2
2
f3 ) （注意，复合函数不满足
2
交换律。例如令 f ( x) = 2 x, g ( x) = x ，则 f ( g ( x)) = 2 x , g ( f ( x)) = 4 x ） ； ⅱ）如果 f1 ( x), f 2 ( x) 单调性相同，则 f1 ( f 2 ( x ) ) 单调递增；如果 f1 ( x), f 2 ( x) 单调性相反， 则 f1 ( f 2 ( x ) ) 单调递减。
π
2
2.复合函数：
设 y = f (u ), u ∈ D1 与 u = g ( x), x ∈ D2 为两个函数，如果 g ( x) 的值域 g ( D2 ) 包含于 f (u ) 的定义域 D1 ，则可以定义 f (u ) 与 g ( x) 的复合函数 f 还可以定义三个或更多函数的的复合函数。 复合函数的性质： ⅰ）复合函数的运算满足结合律，即 ( f1
3.反函数：
函数是一个映射，如果该映射的逆映射存在，则称该逆映射是函数 y = f ( x), x ∈ D 的反函 数，记作 x = f
−1
( y ), y ∈ f ( D) 。
反函数的性质： ⅰ ） 函 数 y = f ( x), x ∈ D 存 在 反 函 数 当 且 仅 当 对 定 义 域 内 任 意 两 点 x1 ≠ x2 ， 有
第一节
Ⅰ考点精讲
一．基本概念
1.函数：
函数
从实数集的子集 D 到 R 的一个映射 f 称之为函数，记作 y = f ( x), x ∈ D ，称 x 为自变量，
y 为因变量。函数的三要素：定义域、解析式和值域（也作二要素：定义域、解析式，因 为这两者可以决定值域） 。其中，定义域是自变量 x 的取值范围；值域是因变量的取值范围
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跨考教育 2012 年考研 高等数学预习讲义
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第一章 函数、极限和连续性
内容提要： 1.函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系。 函数的概念及各种性质在考 研数学中一般不作为直接的考点。 但函数是微积分的基本研究对象， 绝大多数知识点都直接 或间接地与函数相关， 相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。 因此， 在开始微积分的学习之前，重温一遍函数的主要内容是必要的。 函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数 的奇偶性和有界性。 2.极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。学习本章的核心任务是熟练掌握各 种极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，在后续很多章节都有涉及，总 结起来主要有： 利用四则运算， 利用两个重要极限， 利用等价无穷小替换， 利用洛必达法则， 利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界 原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。对于极限的计算需要大量的练习，以求熟能生 巧，对各种方法融会贯通。 无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容。 它们既是对极限计算的应用， 又可 以反过来帮助我们求极限。学习时，要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点 掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换 计算极限。 3.函数的连续性是函数的基本性质之一， 微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点 间断的函数。 对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容， 考题主要集中在连续性的讨论 及间断点的分类上。对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算。 另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容。
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y = x , x ≥ 0; y = ln x, x > 0; y = sin x, x ∈ R; y = tan x, x ≠
1 y = ,x ≠ 0 x y = ex , x ∈ R y = cos x, x ∈ R + kπ ; y = cot x, x ≠ kπ (k ∈ Z )
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y = x k , k为偶数,y = cos x
4.函数的有界性：
设 y = f ( x), x ∈ D 是一个函数，如果存在一个实数 M ，使得对定义域内任意的一点 x ，都 有 f ( x) ≤ M ，则称函数 f ( x) 有上界，并称 M 是函数 f ( x) 的一个上界；如果存在一个实 数 m ，使得对定义域内任意的一点 x ，都有 f ( x) ≥ m ，则称函数 f ( x) 有下界，并称 M 是 函数 f ( x) 的一个下界。既有上界又有下界的函数称为有界函数，也即函数 f ( x) 有界当且 仅当，存在实数 m 与 M ，使得对定义域内任意的一点 x ，都有 m ≤ f ( x) ≤ M 。 注：有界函数还有一个等价的定义：存在实数 M ≥ 0 ，使得对定义域内任意一点 x ，都有
常见的分段函数：
⎧1, x > 0 ⎧ f ( x), x ≥ 0 ⎧ f ( x), f ( x) ≥ g ( x) ⎪ ， sgn( x) = ⎨0, x = 0 ， max { f ( x), g ( x)} = ⎨ f ( x)=⎨ ⎩ f (− x), x < 0 ⎩ g ( x), f ( x) < g ( x) ⎪−1, x < 0 ⎩
a⎞ ⎡ a ⎞ ⎡ y = x 2 + ax + b, 增区间： − , +∞ ⎟ , 减区间： −∞, − ⎟ ⎢ ⎢ 2⎠ ⎣ 2 ⎠ ⎣ x y = e , 增区间： ( −∞, +∞ ) y = ln x, 增区间： ( 0, +∞ ) 3π ⎤ π π⎤ π ⎡ ⎡ y = sin x, 增区间： 2kπ − , 2kπ + ⎥ , 减区间： 2 kπ + , 2 k π + ⎥ ⎢ ⎢ 2 2⎦ 2 2 ⎦ ⎣ ⎣ y = cos x, 增区间： [ 2kπ − π , 2kπ ] , 减区间： [ 2 k π , 2 kπ + π ]
我们把其中最小的称为最小正周期。很多时候，我们往往也把最小正周期简称为周期。 周期函数的性质： ⅰ） 如果 f ( x) 以 T 为周期， 则对任意的非零常数 C ，Cf ( x) 仍然以 T 为周期， f (Cx) 以 为周期。 ⅱ）如果 f1 ( x), f 2 ( x) 都以 T 为周期，则 k1 f1 ( x) + k2 f 2 ( x) 仍然以 T 为周期（ k1 , k2 ∈ R ） 。 注意这时最小正周期有可能缩小，如 f1 ( x) = cos 2 x + sin x, f 2 ( x) = sin x 都以 2π 为最小正 周期，但 f1 ( x) − f 2 ( x) = cos 2 x 以 π 为最小正周期。 常见周期函数的周期：
f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ；
ⅱ）反函数与原函数的图像关于直线 y = x 对称； ⅲ）反函数与原函数的增减性相同。 常见反函数：
f ( x) = sin x, f ( x) = cos x, f ( x) = tan x, f ( x) = e x , 1 f ( x) = , x
4.初等函数：
T C
y = sin x, T = 2π ; y = tan x, T = π ;
3.函数的奇偶性：
y = cos x, T = 2π ; y = cot x, T = π ;
如果对其定义域 D 内的任意一点 x ， f (− x) = f ( x) （或 f (− x) = − f ( x) ） ，就称 f ( x) 是 一个偶函数（或奇函数） 。 奇偶函数的性质： ⅰ）偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称； ⅱ） 如果 f1 ( x), f 2 ( x) 都是奇函数 （或偶函数） ， 则对任意的常数 k1 , k2 ∈ R ， k1 f1 ( x) + k2 f 2 ( x) 仍然是奇函数（或偶函数） ； ⅲ）如果 f1 ( x), f 2 ( x) 奇偶性相同，则 f1 ( x) f 2 ( x) 为偶函数；如果 f1 ( x), f 2 ( x) 奇偶性相反， 则 f1 ( x) f 2 ( x) 为奇函数； ⅳ）对于任意定义在对称区间上的函数 f ( x) ， f 偶函数；
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f −1 ( y ) = arcsin y f −1 ( y ) = arccos y f −1 ( y ) = arctan y f −1 ( y ) = ln y 1 f −1 ( y ) = y
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由基本初等函数经过有限次复合或四则运算得到的函数称之为初等函数。 基本初等函数包括 如 下 五 类 函 数 ： 幂 函 数 y = x ( a ∈ R ) ， 指 数 函 数 ： y = a , a > 0, a ≠ 1 ； 对 数 函 数 ：
y = log a x, a > 0, a ≠ 1 ； 三 角 函 数 ： y = sin x, y = cos x, y = tan x 等 ； 反 三 角 函 数 ：
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x 等。
5.分段函数： 函数在 x 的不同取值范围内有不同的解析式就称之为分段函数。
f ( x) − f ( − x) 是奇函数。 2
( x ) 、 f ( x) +2 f (− x) 与 f ( x) f (− x) 都是
常见的奇函数：
y = x k , k为奇数,y = sin x, y = tan x, y = cot x
常见的偶函数：
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g : y = f ( g ( x)), x ∈ D2 。类似地，
f 2 ) f3 = f1
( f2
2
f3 ) （注意，复合函数不满足
2
交换律。例如令 f ( x) = 2 x, g ( x) = x ，则 f ( g ( x)) = 2 x , g ( f ( x)) = 4 x ） ； ⅱ）如果 f1 ( x), f 2 ( x) 单调性相同，则 f1 ( f 2 ( x ) ) 单调递增；如果 f1 ( x), f 2 ( x) 单调性相反， 则 f1 ( f 2 ( x ) ) 单调递减。
π
2
2.复合函数：
设 y = f (u ), u ∈ D1 与 u = g ( x), x ∈ D2 为两个函数，如果 g ( x) 的值域 g ( D2 ) 包含于 f (u ) 的定义域 D1 ，则可以定义 f (u ) 与 g ( x) 的复合函数 f 还可以定义三个或更多函数的的复合函数。 复合函数的性质： ⅰ）复合函数的运算满足结合律，即 ( f1
3.反函数：
函数是一个映射，如果该映射的逆映射存在，则称该逆映射是函数 y = f ( x), x ∈ D 的反函 数，记作 x = f
−1
( y ), y ∈ f ( D) 。
反函数的性质： ⅰ ） 函 数 y = f ( x), x ∈ D 存 在 反 函 数 当 且 仅 当 对 定 义 域 内 任 意 两 点 x1 ≠ x2 ， 有
第一节
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一．基本概念
1.函数：
函数
从实数集的子集 D 到 R 的一个映射 f 称之为函数，记作 y = f ( x), x ∈ D ，称 x 为自变量，
y 为因变量。函数的三要素：定义域、解析式和值域（也作二要素：定义域、解析式，因 为这两者可以决定值域） 。其中，定义域是自变量 x 的取值范围；值域是因变量的取值范围
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第一章 函数、极限和连续性
内容提要： 1.函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系。 函数的概念及各种性质在考 研数学中一般不作为直接的考点。 但函数是微积分的基本研究对象， 绝大多数知识点都直接 或间接地与函数相关， 相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。 因此， 在开始微积分的学习之前，重温一遍函数的主要内容是必要的。 函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数 的奇偶性和有界性。 2.极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。学习本章的核心任务是熟练掌握各 种极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，在后续很多章节都有涉及，总 结起来主要有： 利用四则运算， 利用两个重要极限， 利用等价无穷小替换， 利用洛必达法则， 利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界 原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。对于极限的计算需要大量的练习，以求熟能生 巧，对各种方法融会贯通。 无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容。 它们既是对极限计算的应用， 又可 以反过来帮助我们求极限。学习时，要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点 掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换 计算极限。 3.函数的连续性是函数的基本性质之一， 微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点 间断的函数。 对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容， 考题主要集中在连续性的讨论 及间断点的分类上。对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算。 另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容。
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y = x , x ≥ 0; y = ln x, x > 0; y = sin x, x ∈ R; y = tan x, x ≠
1 y = ,x ≠ 0 x y = ex , x ∈ R y = cos x, x ∈ R + kπ ; y = cot x, x ≠ kπ (k ∈ Z )
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y = x k , k为偶数,y = cos x
4.函数的有界性：
设 y = f ( x), x ∈ D 是一个函数，如果存在一个实数 M ，使得对定义域内任意的一点 x ，都 有 f ( x) ≤ M ，则称函数 f ( x) 有上界，并称 M 是函数 f ( x) 的一个上界；如果存在一个实 数 m ，使得对定义域内任意的一点 x ，都有 f ( x) ≥ m ，则称函数 f ( x) 有下界，并称 M 是 函数 f ( x) 的一个下界。既有上界又有下界的函数称为有界函数，也即函数 f ( x) 有界当且 仅当，存在实数 m 与 M ，使得对定义域内任意的一点 x ，都有 m ≤ f ( x) ≤ M 。 注：有界函数还有一个等价的定义：存在实数 M ≥ 0 ，使得对定义域内任意一点 x ，都有
常见的分段函数：
⎧1, x > 0 ⎧ f ( x), x ≥ 0 ⎧ f ( x), f ( x) ≥ g ( x) ⎪ ， sgn( x) = ⎨0, x = 0 ， max { f ( x), g ( x)} = ⎨ f ( x)=⎨ ⎩ f (− x), x < 0 ⎩ g ( x), f ( x) < g ( x) ⎪−1, x < 0 ⎩
a⎞ ⎡ a ⎞ ⎡ y = x 2 + ax + b, 增区间： − , +∞ ⎟ , 减区间： −∞, − ⎟ ⎢ ⎢ 2⎠ ⎣ 2 ⎠ ⎣ x y = e , 增区间： ( −∞, +∞ ) y = ln x, 增区间： ( 0, +∞ ) 3π ⎤ π π⎤ π ⎡ ⎡ y = sin x, 增区间： 2kπ − , 2kπ + ⎥ , 减区间： 2 kπ + , 2 k π + ⎥ ⎢ ⎢ 2 2⎦ 2 2 ⎦ ⎣ ⎣ y = cos x, 增区间： [ 2kπ − π , 2kπ ] , 减区间： [ 2 k π , 2 kπ + π ]
我们把其中最小的称为最小正周期。很多时候，我们往往也把最小正周期简称为周期。 周期函数的性质： ⅰ） 如果 f ( x) 以 T 为周期， 则对任意的非零常数 C ，Cf ( x) 仍然以 T 为周期， f (Cx) 以 为周期。 ⅱ）如果 f1 ( x), f 2 ( x) 都以 T 为周期，则 k1 f1 ( x) + k2 f 2 ( x) 仍然以 T 为周期（ k1 , k2 ∈ R ） 。 注意这时最小正周期有可能缩小，如 f1 ( x) = cos 2 x + sin x, f 2 ( x) = sin x 都以 2π 为最小正 周期，但 f1 ( x) − f 2 ( x) = cos 2 x 以 π 为最小正周期。 常见周期函数的周期：
f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ；
ⅱ）反函数与原函数的图像关于直线 y = x 对称； ⅲ）反函数与原函数的增减性相同。 常见反函数：
f ( x) = sin x, f ( x) = cos x, f ( x) = tan x, f ( x) = e x , 1 f ( x) = , x
4.初等函数：
T C
y = sin x, T = 2π ; y = tan x, T = π ;
3.函数的奇偶性：
y = cos x, T = 2π ; y = cot x, T = π ;
如果对其定义域 D 内的任意一点 x ， f (− x) = f ( x) （或 f (− x) = − f ( x) ） ，就称 f ( x) 是 一个偶函数（或奇函数） 。 奇偶函数的性质： ⅰ）偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称； ⅱ） 如果 f1 ( x), f 2 ( x) 都是奇函数 （或偶函数） ， 则对任意的常数 k1 , k2 ∈ R ， k1 f1 ( x) + k2 f 2 ( x) 仍然是奇函数（或偶函数） ； ⅲ）如果 f1 ( x), f 2 ( x) 奇偶性相同，则 f1 ( x) f 2 ( x) 为偶函数；如果 f1 ( x), f 2 ( x) 奇偶性相反， 则 f1 ( x) f 2 ( x) 为奇函数； ⅳ）对于任意定义在对称区间上的函数 f ( x) ， f 偶函数；
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f −1 ( y ) = arcsin y f −1 ( y ) = arccos y f −1 ( y ) = arctan y f −1 ( y ) = ln y 1 f −1 ( y ) = y
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由基本初等函数经过有限次复合或四则运算得到的函数称之为初等函数。 基本初等函数包括 如 下 五 类 函 数 ： 幂 函 数 y = x ( a ∈ R ) ， 指 数 函 数 ： y = a , a > 0, a ≠ 1 ； 对 数 函 数 ：
