吉林省石晓娟配方法解方程课件.ppt

2
配方
2 7 即 x 3 9
2
2 7 开方，得 x 3 3
开方 定解
2 7 ∴ x1 3 3
2 7 x2 3 3
归纳总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
练一练
1、用配方法解下列方程，配方错误的是（ C）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
65 7 )2= B.t2-7t-4=0化为(t4 2
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x2-4x-2=0化为(x2 2 10 )= 9 3
2、解下列方程 （1）2x2-8x+1=0

（5）3x2-12x-1=0 (6) 3-7x=-2x2
(2)2x2+3x=0
(3)3x2-1=6x (4)-2x2+19x=20
拓展：
1、用配方法说明x2-3x ＋5的值 总是大于0
2.当x取何值时,x2+2x－2有最小值?并 求出最小值.
2+2x－2 x 解: = x2+2x+1-1-2 = (x+1)2 -3
5 2
试一试 1、用配方法解方程2x -5x+2=0
2
5 解：两边都除以2，得 x x 1 0 系数化为1 2
2
5 移项，得 x x 1 2
2
移项
2
5 5 25 配方 配方，得 x x 1 2 2 4 16

知2－导
总结
知2－讲
通过配方、整理后就可以直接根据平方根的意义 来解一元二次方程的方法叫作配方法.
例2 用配方法解方程：4x2－12x－1＝0.
解：将二次项系数化为1，得
1 x2－3x－ 4 ＝0.
配方，得
因此
x
3 2
x2－3x＋
2
10 4
.
3 2
2－
3 2
2－
1 4
＝0，
由此得 x 3 10 或x 3 10 ，
代数式 ax2＋bx＋c (a≠0) 配成 a( x＋m )2+n 的形 式后， 若a>0， 则当 x＝－m 时，代数式取得最小值 n； 若a<0， 则当x＝－m 时，代数式取得最大值 n.
1
1.《XXXXX》P28T2 2.《XXXXX》P28T3 3. 《XXXXX》P28T4
知1－练
知识点 2 用配方法解一元二次方程
＋n 的形式，然后根据完全平方式的非负性求代 数式的最小值.
知1－讲
解： 2x2－6x＋7
＝2(x2－3x)＋7
＝2 x2
3
x
+
3
2
2
3 2
2
+
7
＝2
x
3 2
2
+
5 2
.
∵
3时，2x2－6x＋7 的值最小，最小值为 5 .
2
2
总结
知1－讲
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系? 对 于形如 x2 ＋ax 的式子如何配成完全平方式 ?
知1－讲
知识点 1 二次三项式的配方
左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一 次项系数的一半” . 例1 当x 取何值时，代数式 2x2－6x＋7 的值最小 ? 并求

回顾与复习
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方;
3.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 4.求解:解一元一次方程; 5.定解:写出原方程的解.
师生合作 1
配方法
解:3x2 8x 3 0.
例2 解方程 3x2+8x-3=0.
x1 ＝48;
答:一共有猴子48只或者说6只.
x2 ＝16.
独立
作业
知识的升华
2. 解下列方程:
2. 参考答案:
(1).6x2 -7x+ 1 = 0; (2).5x2 -9x –18=0;
1.x1
1;
x2
1 6
.
2.x1
3;
x2
5 6
.
(3).4x 2 –3x =52;
3.x1
4;
x2
x 4 5.
133
x1
, 3
x2
3.
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
1、解方程2x2 5x 2 0
2、解方程4x 1 3x2 3、书P88练习
开启 智慧
做一做
你能行吗
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中
的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t-5t2 .
她说：“他只是xing欲太强才出轨的。 ” 我不知道这姑娘的男朋友究竟有什么天 大的魅 力，能 让一个 女孩为 了他， 甘愿自 我洗脑 。但不 管他有 多“优 秀”， 这种人 绝对是 不值得 的。
任何一个头脑清醒的女性，都知道最明 智的决 定，就 是立刻 分手。 第一，如果“xing欲太强”算一个出轨 理由的 话，那 么，同 理，大 家明天 都可以 去抢银 行，然 后告诉 警察叔 叔“我 只是太 想要钱 了，所 以才抢 劫银行 的”， 看能不 能被无 罪释放 。

3 (7)x2 3x ___ (x __)2
活动二 探究配方的规律
思考： （1）对形如 x2 px 的式子配方有什么规律?
x2 px ___ (x __)2
（2）如何将方程 x2 px q 0配方,转化为开
平方法形式？
两边加上
p
2
2
活动三
用配方法解下列一元二次方程
(1)x2 2x 3 0 (2)x2 3x 4 0 (3)x2 4x 1
(1)x2 2x 3 0 (2)x2 3x 4 0 (3)x2 4x 3 0 (4)x2 5x 6
选择题目：_________________
解题过程：
依据：
活动二 探究配方的规律
(1)x2 6x ___ (x __)2 (2)x2 5x ___ (x __)2 (3)x2 8x ___ (x __)2 (4)x2 x ___ (x __)2 (5)x2 x ___ (x __)2 (6)x2 2 x ___ (x __)2
问题：观察下列一元二次方程有什么共同特征?
(1) x2 2x 3 0 (2) x2 3x 4 0 (3) x2 4x 3 0 (4) x2 ห้องสมุดไป่ตู้5x 6
你能举出和它们有共同特征的方程的例子吗? 你能用一般式表示它们吗? 这些方程能用开平方法求解吗?
活动一 探究解法
请每组从下面题目中选一道题，尝试求解，写 出过程，并注明每一步的依据.
小结：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤
课堂小结
1.本节课我们主要探究了用什么方法解一元二次 方程？
2.在探究配方法的过程中用到了哪些数学思想？
3.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一 般步骤有哪些？
作业布置
• 三级跳P81-P82

［解题思路］观察各个方程，通过变形，把方程转化为
考
点 适用直接开平方法的形式，利用直接开平方法求解.
清
［答案］解：（1）2x2=6，x2=3，
单
解
∴x=± ，∴x1= ，x2=- ；
读
（2）（x+1）2-8=0，移项，得（x+1）2=8，开平方，得
x+1=±2
，解得 x1=-1+2 ，x2=-1-2 ；
清
单 方程，一元二次方程的解有两个，特别注意开方后不要丢掉
解
读 负值.
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2=6；
（2）（x+1）2-8=0；
（3）4x2+1=-4x；
（4）9（x-1）2=16（x+2）2．
2.2 用配方法求解一元二次方程
难
2-16=0；
例
解方程：（1）4（x-1）
题
型
（2）2x2+4x-1=0．
突
破
2.2 用配方法求解一元二次方程
重
［答案］ 解：（1）整理，得（x-1）2=4，开方，得
难
题 x-1=2 或 x-1=-2，解得 x1=3，x2=-1；
型


2
2
突
（2）整理，得 x +2x= ，配方，得 x +2x+1= +1，
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
■考点一
原理
一般

6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
=
分层作业
必做题
选做题
用配方法解下列方程.
1. − − = ;
3. + − = ;
2. + − = ;
4. + + = − .
根据题意，列出方程：
10 = 15 − 5 2 .
即 2 − 3 = −2.
解得
1 = 2, 2 = 1.
答: 在1时, 小球达到10; 至最高点
后下落, 在2时, 其高度又为10.
3
− 3 +
2
2
3
−
2
2
3
= −2 +
2
2
1
= .
4
3
1
− =± .
2
2
3 1
∴= ± .
2 2
2
.
课堂小结
如果能转化为前2个方程的形式,则问题即可解决.
合作探究 学习新知
例2 解方程 + − = .
解: 3 2 + 8 − 3 = 0.
8
+ − 1 = 0.
3
2
1.化1:把二次项系数化为1;
8
+ = 1.
3
2
8
4
4
2
+ +
=1+
3
3
3
2
4
+
3
2
2.移项:把常数项移到方程的右边;
学以致用 深化理解
1、用配方法解方程 2 2 − 5 + 2 = 0

3
9

3
3
3
2
4
5
两边开平方，得 x
3
3
1
所以 x1 , x2 3
3
例2 如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它
的中央划一块矩形草地(空白部分)，四周铺上花砖路，路面宽
5
都相等，草地面积占矩形土地面积的 ，求花砖路面的宽．
9
【方法指导】若设花砖路面宽为x m，
度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达
到10 m的高度？
解：根据题意得15t－5t2＝10；
方程两边都除以－5，得
t2－3t＝－2；
配方，得
t
3
3
2
2
－3t＋2 ＝－2＋2 ；


2Leabharlann 32 131

t－2 ＝ ；t－ ＝± ；
3 7
2± 2
，∴x1＝
3
7
3
7
－2
＋
，x
＝______．
2
2
2
2
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p
x1 n p ,
,方程的两个根为
x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.
故花砖路面的宽为4 m.
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式

1. 一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为( A )
A. (x－3)2=15
B. (x－3)2=3
C. (x+3)2=15
D. (x+3)2=3
2. 一名同学将方程x2－4x－3=0化成了(x+m)2=n 的情势，
则m，n 的值应为( A )
A. m=－2，n=7
B. m=2，n=7
C. m=－2，n=1
解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解.
解：(1)移项，得9x2=81.系数化为1，得x2=9.
开平方，得x=±3.
将方程变成左边是完全平方的
∴ x1=3，x2=－3.
情势，且系数为1，右边是非负
(2)移项，得2(x－3)2=50.
数的情势(如果方程右边是负数，
系数化为1，得(x－3)2=25.





配方，得x2－2x+12= +12，即(x－1)2= .
∴ x1=1+


，x2=1－ .


.
(4)移项，得(1+x)2+2(1+x)=3.
配方，得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12.
∴(1+x+1)2=4. ∴ x1=0，x2=－4.
巧将1+x看作整体进行配方，
可到达简化的效果.
的平方.
例2 用配方法解一元二次方程：
(1)x2+4x+3=0；

2
(2)x +x－ =0；

(3)2x2－4x－1=0； (4)(1+x)2+2(1+x)－3=0.

B
A.1 B.2 C.3 D.4
有意义
中 ()
➢ 课前热身
5.
将分式x
2y x
中的x和y都扩大10倍，那么分式的值
D
A.扩大10倍
B.缩小10倍
C.扩大2倍
D.不变
6.当式子
x
|
2
x
| 5 4x
5
的值为零时，x的值是
B(
)
A.5 C.-1或5
B.-5 D.-5或5
7.当x=cos60°时，代数式x2 3x
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y__14 _)2
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
由此可得x2 25
x 5，
这种解法叫做什么?
化成最简分式.
解：原式=
( 1 5 x 2 x2 ) 60 46 3
( 7 )x 1 0.1x2 ) 60
60 20
157x=503x64x02x 2
40x2 50x 15 6x2 7x 3
=
15 50x 40x 7x 3 6x2
2
4=06xx22
50x 15 7x 3
c c c b d bd bd bd
2.分式的乘、除法法则
a · c = ac ， a c = a · d = ad .
b
d bd
bd b
c bc
3.分式的乘方法则
a n =
b
an bn

直开平方法 降次
转化
配方法
6．每人1瓶水，还差多少瓶水？ 42－30=12（瓶）
56 ＋ 30 86 50＋30＝80 80＋6＝86
答：一共吃了___8_6_只虫子。
56 － 30 26
50－30＝20 20＋6＝26
答：小青蛙比大青蛙少吃了__2_6__只虫子。
算一算，说一说。
54
61
36
A．非负数
B．正数
C．负数
D．无法确定
知1－练
)
)
感悟新知
知识点 2 用配方法解一元二次方程
知2－讲
做一做：
先把下列方程化为(x＋m)2=n(m，n为常数，且
n≥0)的形式，再求出方程的根.
(1)x2＋2x＝48； (3)x2－6x＋5＝0；
(2)x2－4x＝12；
(4)x2＋x－
3 4
＝0.
感悟新知
70
2．用小棒摆一摆，算一算。
98
35
摆一摆略。
归纳总结：
计算两位数加、减整十数，先把两位数拆分成整十数和 一位数，再把整十数相加、减，最后和一位数相加。
（讲解源于《典中点》）
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
4．填表。
加数 加数
和
23 36 40 5063 86来自59 30 20 27
式的结构特征，当二次项系数为1时，常数
项是一次项系数一半的平方．
感悟新知
归纳
知1－讲
(1)当二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常 数项为一次项系数一半的平方；已知常数项， 则一次项系数为常数项的平方根的两倍，注意 平方根(0除外)有两个．

第二十一章 一元二次方程
配方法
第1课时
新课导入 导入课题
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完 相等
10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.
问题1：本题的等量关系是什么？ 问题2：设正方体的棱长为 x dm，请列出方程并化简.
6x2×10=1500 化简为：x2=25
4．若关于x的一元二次方程x2－c＝0的一个根为x＝1， 则另一个根为___x_＝__－__1____．
综合应用
5．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2， 现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面 需要多少秒？ 解：当h＝19.6时，4.9t2＝19.6. ∴t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去).∴t＝2. 答：到达地面需要2秒
课堂小结
当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 x1 p，x2 p .
当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0.
当p<0时，方程x2=p无实数根.
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是x1
p m
n ，x2
pn m
,
当p<0时，方程(mx+n)2=p 无实数根 .
课后作业
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是
,
当p<0时，方程(mx+n)2=p 无实数根 .
巩固练习
(x+6)2－9=0
解：(x+6)2=9 x+6=+3 x1=－3, x2=－9
3(x－1)2－12=0
解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2

用配方法解一元二次方程
学习目标：
1、会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方 程
2、经历探究一元二次方程一般形式(x+h)2=k(k≥0) 的过程，进一步理解配方法的意义
3、体会数学中的“转化”思想
知识回顾
1.用配方法解方程步骤是什么？ 2.用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0
(2)x2+3x-2=0
•
5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。
•
6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。
•
激励自己的名言
•
1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。
•
2、销售是从被别人拒绝开始的。
•
3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。
•
4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。
•
2、 要有梦想，即使遥远。
•
3、 努力爱一个人。付出，不一定会有收获；不付出，却一定不会有收获，不要奢望出现奇迹。
•
4、 承诺是一件美好的事情，但美好的东西往往不会变为现实。
•
工作座右铭
•
1、 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》
•
2、 反省不是去后悔，是为前进铺路。
•
3、 哭着流泪是怯懦的宣泄，笑着流泪是勇敢的宣言。
•
4、当你能飞的时候就不要放弃飞。
•
5、当你能梦的时候就不要放弃梦。
•
激励向上人生格言
•
1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。
•
2、世界会向那些有目标和远见的人让路。
•
3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。