椭圆的焦点三角形的性质

高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质及应用教案 新人教A 版选修1-1,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。

θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。

椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。

性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。

（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。

简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。

由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。

已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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椭圆的焦点三角形 基础再现： 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为21,F F ，长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，P 为椭圆上任意一点，O 为坐标原点．1. 焦半径1PF 的范围：[]c a c a +-,．类似的：OP 的范围：[]a b ,．2. 焦点三角形的周长：c a L 22+=．3.[]22221,b c b PF PF -∈⋅，当且仅当P 位于短轴端点时取得22c b -，长轴端点时取得2b ． 4. 21PF F ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．类似的：21PA A ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．特别的：过焦点的所有弦中通径通径最短，通径：ab L 22= 5. 焦点三角形的面积： ⅰ．2121sin 21PF F PF PF S ∠⋅⋅=． ⅱ．p y c b b S =⋅=+⋅=2tan cos 1sin 22θθθ，当且仅当点P 位于短轴端点时面积取得最大值bc ． 6.22121cos e PF F -≥∠，其中e 为椭圆离心率． 7. PF F F PF PF F e 212121sin sin sin ∠+∠∠=，其中e 为椭圆离心率． 实战演练1．已知椭圆()()221:1,3,0,3,02516x y C A C +=-，B 为椭圆上一点，则在ABC ∆中BC A sin sin sin +的值为 ．2．已知21,F F 为椭圆221:12516x y C +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A ,，且1222=+B F A F ，则=AB ．3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++= ．4．已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F ₁（-c ，0）、F ₂(c,0)，且椭圆上存在一点P 使得∠F ₁PF ₂ =90°，则椭圆离心率e 的取值范围是： ．5．若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 分别是其左右焦点，且︒=∠6021PF F ，则△21PF F 的面积=S ，点P 的坐标为 ．6．已知椭圆1:222=+y ax C （a ＞1）的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为 ．7．已知椭圆14:22=+y x C 的左右焦点分别为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为 ．8．已知椭圆22194x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．9．已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∆为直角三角形时，12F MF ∆的面积=S ．若将第9题椭圆方程变为2212516x y +=，则12F MF ∆的面积=S ． 10．已知椭圆221259x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，且1260PF F ∠= ，则12F PF ∆的面积=S ．11．已知椭圆221259x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，直线1PF 的斜率为73，则12F PF ∆的面积=S ．。

2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。

〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。

椭圆焦点三角形的性质探究与应团作者：洪汪宝来源：《中学生数理化·高二数学》2019年第01期我们知道，椭圆上任意一点（除去长轴端点）与两焦点所构成的三角形称为椭圆的焦点三角形。

那么该三角形有哪些特殊的性质呢？本文对椭圆的焦点三角形的性质进行探究并举例说明其应用。

一、性质探究为了研究问题的方便，我们以焦点在x轴上的椭圆为例。

有兴趣的读者，可模仿推导焦点在y轴上的椭圆的情况。

性质1：△PF1F2的周长为定值，其值为2a+2c。

性质2：△PFF2的面积为c|y0|，其最大值为bc，当点P位于短轴端点时焦点三角形的面积取到最大值。

性质3：若∠F1PF2=a，则△PF1F2的面积为b2tana/2。

证明：故故性质4：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。

证明：根据此性质可知椭圆上的点到焦点的最大距离为a+c，最小距离为a-c，此时该点是椭圆长轴的端点。

性质5：∠F1PF2=a，则当点P位于上、下顶点时，a最大。

证明：由余弦定理知：当且仅当|PF1|=|PF2|即当点P位于上、下顶点时cosa取到最小值，又余弦函数在[0，π]上单调递减，此时a最大。

由以上证明过程不难得出cosa≥2b2/a2-1=1-2e2。

性质6：设∠PF1F2=β，∠PF2F1=θ，则椭圆的离心率e=- sin（β+θ）/sin β +sin θ证明：性质7：如图1，作∠F1PF2的补角的平分线PF，过F，2作PF的垂线，垂足为D点，则点D的轨迹是一个圆。

证明：所以点D的轨迹是一个以原点为圆心，半径为a的圆。

性质8：如图2，作圆与线段F、P的延长线、线段F2P、线段F1F2的延长线分别切于点D、E、F，则点F为椭圆的右顶点。

证明：解得xF=a。

所以点F为椭圆的右顶点。

二、性质应用例1Æ已知△PF1F2的面积为_____。

解：根据性质3可知△PF1F2的面积为9tan 45°=9。

例2Æ已知椭圆0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在点P使∠F，PFz= 120°，则该椭圆C的离心率的取值范围为_____。

椭圆的焦点三角形椭圆，这玩意儿在数学里可真是个特别的存在。

而今天咱们要唠的是椭圆里的焦点三角形，这可是个挺有趣的知识点。

先来说说啥是焦点三角形。

想象一下，在一个椭圆里，有两个焦点F₁、F₂，然后从这两个焦点引出两条线，和椭圆上的一个点 P 相连，这样就形成了一个三角形，这就是焦点三角形啦。

我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这焦点三角形到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“别急，等你学会了你就知道它的妙处啦。

”咱们来看看焦点三角形的性质。

比如说，它的周长，那就是 PF₁＋ PF₂＋ F₁F₂。

这看起来简单，可做题的时候，不少同学就容易在这上面犯迷糊。

还有面积，这就得用到一个公式，S ＝b² × tan(θ/2)，这里的 b 是短半轴长，θ 是∠F₁PF₂。

有一次考试，就考到了焦点三角形的面积问题。

题目给了椭圆的方程，还有∠F₁PF₂的大小，让求三角形的面积。

很多同学一看就慌了，不知道从哪下手。

其实啊，只要把公式套进去，很快就能算出来。

再来说说怎么利用焦点三角形求离心率。

离心率可是椭圆里的一个重要概念。

通过焦点三角形的一些边长关系，就能求出离心率的范围或者具体值。

这就像是解开一道谜题，每一个条件都是一个线索，只要把这些线索拼凑起来，就能找到答案。

我曾经在课堂上做过一个小实验，我画了一个椭圆，然后标上焦点和一个点 P，让同学们自己去推导焦点三角形的一些性质。

有的同学很快就找到了思路，有的同学则皱着眉头苦思冥想。

最后大家一起讨论，把这个知识点弄得明明白白。

总之啊，椭圆的焦点三角形虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多做几道题，就能掌握它的窍门。

就像生活中的很多难题一样，只要咱们不害怕，肯钻研，总能找到解决的办法。

希望同学们以后再遇到焦点三角形的问题，都能轻松应对，加油！。

椭圆中三角形面积公式椭圆三角形面积公式：S=b2*tan。

椭圆是移动点P的轨迹，其从平面到固定点F1和F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2|）。

F1和F2称为椭圆的两个焦点。

数学表达式为：｜Pf1|PF2|=2A（2A>|F1F2|）。

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。

焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ／2)（θ为焦点三角形的顶角）。

椭圆的焦点三角形性质为：（1）｜PF1|+|PF2|=2a。

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ。

（3）周长＝2a+2c。

（4）面积＝S=b²·tan(θ／2)（∠F1PF2=θ）。

椭圆三角形面积公式：S=b^2*tan(θ/2)。

1、离心率由正弦公式推导：F1P/sinα=F2P/sinβ=F1F2/sin θ，sinθ=sin(α+β)，F1P+F2P=2a，F1F2=2c，e=c/a。

2、已知tan(θ/2)=sinα/(cosα+1)。

3、焦点三角形面积由余弦公式推导：∠F1PF2=θ，PF1=m，PF2=n。

4、则m+n=2a，在△F1PF2中，由余弦定理：(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ。

5、即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)。

6、所以mn=2b^2/(1+cosθ)。

7、S=(mnsinθ)/2=b^2*sinθ/(1+cosθ)=b^2*tan(θ/2)。

椭圆三角形表达椭圆是移动点P的轨迹，其从平面到固定点F1和F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2|）。

F1和F2称为椭圆的两个焦点。

数学表达式为：Pf1|PF2|=2A（2A>|F1F2|）。

焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ／2)（θ为焦点三角形的顶角）。