小升初专用衔接教材(数学)全套

七年级数学上册第一章 有理数本章的教学时间大约需要课时，建议分配如下：§2.1 正数和负数---------------1课时 §2.2 数轴-------------------------1课时 §2.3 相反数------------------------1课时 §2.4 绝对值----------------------1课时 §2.5 有理数的大小比较----------1课时 §2.6 有理数的加法--------------1课时 §2.7 有理数的减法----------------1课时 §2.8 有理数的加减法混合运算--------1课时§2.9 有理数的乘法----------------1课时 §2.10有理数的除法----------------1课时 §2.11有理数的乘方----------------1课时 §2.12科学记数法------------------1课时 §2.13有理数的混合运算---------1课时 § 复习-----------------------------------1课时1.1正数和负数一、基础知识1. 像3、2、0.8这样大于0的数叫做正数。

（根据需要，有时也在正数前面加正号“+”。

）2. 像-1、-4、-0.6这样在正数前面加负号“-”的数叫做负数。

3. 0既不是正数也不是负数。

4．带有正号的数不一定是正数，同样带有负号的数不一定是负数。

说明：在天气预报图中，零下5℃是用―5℃来表示的。

一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。

拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用―5℃来表示。

第六讲 有理数的应用知识1.掌握有理数的乘除乘方运算；2.掌握有理数的混合运算.方法1.能够正确计算有理数的乘除运算；2.能够正确计算有理数的混合运算.已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求223ba cdx x +-+的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，可以求得a+b ，cd ，x 的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2， ∴a+b=0，cd=1，x=±2， 当x=2时，原式=23+1×22-0 =8+1×4-0 =8+4-0 =12；当x=-2时，原式=（-2）3+1×（-2）2-0 =-8+1×4-0 =-8+4-0 =-4，由上可得，原式的值为12或-4． 若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m |=2，求代数式3223m cd ba +-+的值． 01课堂目标02例题精析利用有理数的性质求值题型一例1例2【答案】见试题解答内容【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m|=2， ∴a+b=0，cd=1，m=±2， 当m=2时， ∴原式=0-2+2×23 =14； 当m=-2时，∴原式=0-2+2×（-2）3 =--18，综上所述：代数式的值为14或-18．若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 是绝对值等于它本身的数．求bc m ba +++222值． 【答案】见试题解答内容【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b ，cd ，m 的值，代入原式计算即可得到结果.【解答】解：由题意得：a+b=0，bc=1，m 为非负数，则原式=1.已知a 、b 互为相反数且a ≠0，c 、d 互为倒数，|m |是最小的正整数，求cdb a m -++2020)(20192的值．【答案】1或-3．【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1， 当m=1时，原式=2×1+0-1=1； 当m=-1时，原式=2×（-1）+0-1=-3； 综上，原式的值为1或-3．变式1 变式2 定义新运算题型二对于有理数a 、b ，定义一种新运算“⊗”如下：a b ab b a 2-=⊗，则=-⊗-)43()3(____ ． 定义一种新运算“☆”，规则为：m ☆n =mn +mn -n ，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：（1）（-2）☆4；（2）（-1）☆[（-5）☆2]． 【【【【☆1☆4☆☆2☆-27☆【分析】（1）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值； （2）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-2）☆4=（-2）4+（-2）×4-4 =16+（-8）+（-4） =4；（2）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-1）☆[（-5）☆2]=（-1）☆[（-5）2+（-5）×2-2] =（-1）☆（25-10-2） =（-1）☆13=（-1）13+（-1）×13-13 =（-1）+（-13）+（-13） =-27．已知a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“☆”，规定：a ☆b =2b -3a ，例如：1☆2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2☆3）☆5=__________． 【答案】10．【分析】根据a ※b=2b-3a ，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a ※b=2b-3a ， ∴（2※3）※5 =（2×3-3×2）※5 =（6-6）※5例1例2变式1=0※5 =2×5-3×0 =10-0 =10，故答案为：10．规定一种新运算a *b =a -b 2，则4*[5*（-2）]=__________．【答案】3．【分析】根据a*b=a-b 2，可以求得所求式子的值 【解答】解：∵a*b=a-b 2， ∴4*[5*（-2）] =4*[5-（-2）2] =4*（5-4） =4*1 =4-12 =4-1 =3，故答案为：3．某天早上，一辆交通巡逻车从A 地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B 地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km ）第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 +15﹣8+6+12﹣4+5﹣10（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A 地最远． （2）B 地在A 地哪个方向，与A 地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？变式2 有理数中的实际应用题型三例1【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：15-8=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：25-4=21千米，第六次距A地：21+5=26千米，第七次距A地：26-10=16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），答：B地在A地东方，与A地相距16千米；（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），60×0.2=12（升），12×7=84（元）．答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．故答案为：6．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上变式1到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-4．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．【解答】解：（1）∵15-8+9-6+14-5+13-4=28，∴B地在A地的东边28千米；（2）这一天走的总路程为：15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米，应耗油74×0.6=44.4（升），故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15-8=7千米；7+9=16千米；16-6=10千米；10+14=24千米；24-5=19千米；19+13=32千米；32-4=28千米．∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，例2他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．调整次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次价格变化-0.30+0.27+0.27-0.12+0.18-0.05-0.10（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最低，每升多少元？（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？【答案】见试题解答内容【分析】（1）求得这七次调整后92号汽油的价格，比较即可得到结论； （2）根据单位油价乘以总用油量，可得答案．【解答】解：（1）第一次价格：6.74-0.30=6.44（元）， 第二次价格：6.44+0.27=6.71（元）， 第三次价格：6.71+0.27=6.98（元）， 第四次价格：6.98-0.12=6.86（元）， 第五次价格：6.86+0.18=7.04（元）， 第六次价格：7.04-0.05=6.99（元）， 第七次价格：6.99-0.10=6.89（元），∵6.44＜6.71＜6.86＜6.89＜6.98＜6.99＜7.04，∴第五次调整后92号汽油的价格最高，每升7.04元，第一次调整后92号汽油的价格最低，每升6.44元；（2）600÷100×8=48（升）， 6.99×48=335.52（元），答：在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是335.52元．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．（2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？（3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人 的工资总额是多少元？【答案】（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）这周产量超产500个；（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．变式2【分析】（1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；（2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个；（3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【解答】解：（1）+300-（-200）=500（个）， （2）+150-200+300-100-50+250+150=500（个），（3）6000×7+（150-200+300-100-50+250+150）=42500（个）， 42500×0.2=8500（元），答：（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）这周产量超产500个；（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．第六讲 有理数的应用作业1.若a 与b 互为相反数，b 与c 互为倒数，并且m 的平方等于它本身，试求m bc m ba 3222-+++的值． 【答案】见试题解答内容【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案【解答】解：∵a 与b 互为相反数b 与c 互为倒数，并且m 的平方等于它本身， ∴a+b=0，bc=1，m=1或0； 当m=1时，则原式=0+1-3=-2； 当m=0时，则原式=0+1-0=1．2.已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是2，求代数式222m mcdb a --+的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．作业一 利用有理数的性质求值【解答】解：由题意得，a+b=0，cd=1，m=±2， 分两种情况：（1）当m=2时，原式=29-；（2）当m=-2时，原式=27-1.对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊗”，规定a ⊗b =|a +b |-|a -b |．计算（-3）⊗2的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据a ⊗b=|a+b|-|a-b|，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a ⊗b=|a+b|-|a-b|， ∴（-3）⊗2=|（-3）+2|-|（-3）-2| =1-5 =-4.2.定义一种新运算“⊗”，即m ⊗n =（m +2）×3-n ，例如2⊗3=（2+2）×3-3=9．根据规定解答下列问题： （1）求6⊗（-3）的值；（2）通过计算说明6⊗（-3）与（-3）⊗6的值相等吗？ 【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）分别计算出两式的值，即可做出判断． 【解答】解：（1）6⊗（-3）=（6+2）×3-（-3） =24+3 =27；（2）（-3）⊗6=（-3+2）×3-6 =-3-6 =-9，所以6⊗（-3）与（-3）⊗6的值不相等．作业二 定义新运算作业三有理数中的实际应用1.有10袋小麦，每袋以90kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如表：袋号12345678910重量（kg）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1（1）请通过计算说明这10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg？（2）若每千克小麦2.5元，求10袋小麦一共可以卖多少元？【答案】（1）超过5.4kg；（2）2263.5元．【分析】（1）“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；（2）先求10袋小麦的总重量，即乘单价即可求解．【解答】解：（1）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1=5.4（kg）．故这10袋小麦总计超过5.4kg；（2）（90×10+5.4）×2.5=2263.5（元）．故10袋小麦一共可以卖2263.5元．2.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．【解答】解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，∴B地在A地的东边20千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：14千米；14-9=5千米；14-9+8=13千米；14-9+8-7=6千米；14-9+8-7+13=19千米；14-9+8-7+13-6=13千米；14-9+8-7+13-6+12=25千米；14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．∴最远处离出发点25千米；（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米，应耗油74×0.5=37（升），故还需补充的油量为：37-28=9（升）。

2022年人教版暑假小升初数学衔接知识讲练精编讲义专题01《正数与负数》教学目标1.了解正数与负数是从实际需要中产生的.2.理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法.3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.（重点、难点）新课导入课堂引入观察下列图片，体会数的产生和发展过程.新课讲授思考：根据实际生活的需要，人们引进了另一种数，你知道是什么数吗？结合你在实际生活中接触到的数，试举例新闻报道：某年，我国花生产量比上年增长1.8%，油菜籽产量比上年增长-2.7%.知识点01：正、负数的认识问题1：说一说上面用到的各数的含义.（1）天气预报中的3，电梯按钮中的1-10，新闻报道中的1.8%；2）天气预报中的-3，电梯按钮中的-1，-2，新闻报道中的-2.7%.问题2：上面这两类数，分别属于什么数？概念归纳像1,2,3，1.8％这样大于0的数叫做正数.像-3，-1，-2，-2.7％这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.注意有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5，….不过一般情况下我们省略“+”不写.思考1 ：(1)负数有什么特点？(2)如果一个数不是正数就是负数，对吗？(1)从定义中我们发现负数的前面必须有负号“-”.(2)不对.0既不是正数，也不是负数.思考2：0只表示没有吗?1.空罐中的金币数量;2.温度中的0℃;3.海平面的高度;4.标准水位;5.身高比较的基准;6.正数和负数的界点;……引入正、负数后，0不再简简单单的只表示没有.它具有丰富的意义,是正负数的分界点.知识点02：用正、负数表示具有相反意义的量你会用正、负数来表示它们吗？我们以海平面高度为基准，珠穆朗玛峰的海拔高度比海平面高8848米，记为+8844.4米；鲁番盆地的海拔高度比海平面低155米，我们记为－155米.方法归纳根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负典例分析【典例分析01】（2022•南平模拟）手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2021年9月18日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（）A．收入19元B．支出8元C．支出5元D．收入6元【思路引导】根据有理数的加法法则求和即可．【完整解答】解：19+（﹣8）+（﹣5）＝6（元），故选：D．【考察注意点】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．【典例分析02】（2021秋•虎林市校级期末）用正数或负数填空：（1）小商店平均每天可盈利250元，一个月（按30天计算）的利润是元；（2）小商店每天亏损20元，一周的利润是元；（3）小商店一周的利涧是1400元，平均每天的利润是元；（4）小商店一周共亏损840元，平均每天的利润是元．【思路引导】（1）利用每天的利润乘天数即可；（2）利用每天的利润乘天数即可；（3）利用总利润除以7即可；（4）利用总利润除以7即可．【完整解答】解：（1）由题意得：250×30＝7500（元），∴小商店平均每天可盈利250元，一个月（按30天计算）的利润是7500元，故答案为：7500；（2）小商店每天亏损20元，即小商店每天的利润是﹣20元，则一周的利润是：﹣20×7＝﹣140（元），故答案为：﹣140；（3）由题意得：1400÷7＝200（元），∴小商店一周的利涧是1400元，平均每天的利润是200元，故答案为：200；（4）因为小商店一周共亏损840元，即小商店一周的利润是﹣840元，则平均每天的利润是：﹣840÷7＝﹣120（元），故答案为：﹣120．【考察注意点】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键．【变式训练01】（2021秋•延庆区期末）据北京市金融监管局消息，将在2022年2月举办的北京冬奥会试点数字人民币．市场预期有关部门会以其作为起始点，在全国普及数字人民币．2021年12月10日，小明的妈妈在北京建行数字人民币钱包中存入100元，记作+100，那么﹣40表示（）A．支出40元B．收入40元C．支出60元D．收入60元【变式训练02】（2021秋•鞍山期末）“惠天”超市新进5袋萝卜准备在冬季零售，每袋包装100kg为标准，超市员工以超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数记录如下：﹣2.5，3，5.5，﹣3.5，4，则超市这批萝卜的总重量是千克．【变式训练03】（2021秋•涡阳县期末）李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前259年，可记作．课堂巩固基础达标一．选择题1．（2022•巧家县二模）如果将175cm作为标准身高，高于标准身高3cm记作+3cm，那么身高170cm应记作（）A．﹣3cm B．﹣5cm C．+5cm D．﹣170cm2．（2021秋•井研县期末）为庆祝建党100周年，某党支部制作了精美的纪念章，其质量要求是“50±0.20克”，则下列纪念章质量符合标准的是（）A．49.70克B．50.30克C．50.25克D．49.85克3．（2021秋•潍坊期末）按照国际规定，巴黎的时间比北京的时间晚7小时（例如，当北京时间是上午8：00时，则巴黎时间是凌晨1：00），从巴黎乘飞机飞往北京需11个小时，飞机从巴黎5：00起飞，那么到达北京的当地时间是（）A．23：00 B．16：00 C．11：00 D．8：004．（2021秋•吉林期末）北京与巴黎的时差为7小时，例如：北京时间13：00，同一时刻的巴黎时间是早上6：00．笑笑和霏霏分别在北京和巴黎，她们相约在各自当地时间13：00～22：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A．14：00 B．16：00 C．21：00 D．23：005．（2021秋•岱岳区期中）某水库的水位将80米作为标准水位，水位为85.3米记为+5.3米，则水位为76.8米应记为（）A．+76.8米B．﹣76.8米C．+3.2米D．﹣3.2米二．填空题6．（2021秋•济南期末）如果+40m表示向东走40m，那么向西走30m可以表示为m．7．（2021秋•仁寿县期末）某水果店盈利701元时我们记作+701元，那么亏本259元记作元．（2021秋•历下区期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，一艘潜水艇向下潜50m记为+50m，8．则向上浮30m记为m．9．（2021秋•朝阳区期末）月球表面的白天平均温度为零上126℃，夜间平均温度为零下150℃．如果零上126℃记作+126℃，那么零下150℃应该记作℃．10．（2021秋•海门市期末）如果“盈利10%'记为+10%，那么“亏损6%”记为．三．解答题11．（2021秋•莲池区校级期中）体课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一组8名女生的成绩记录，其中，“+”号表示成绩大于18秒，“﹣”号表示成绩小于18秒．﹣1，+0.8，0，﹣1.2，﹣0.1，0，+0.5，﹣0.6（1）这个小组女生的达标率是．（2）求出这个小组的平均成绩．12．（2021秋•蒙阴县期中）蒙阴县的蜜桃闻名全国，现有20筐蜜桃，以每筐23千克为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下：（1）与标准重量比较，20筐蜜桃总计超过或不足多少千克？﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 与标准质量的差值（单位：千克）筐数 1 4 2 3 2 8 （2）若蜜桃每千克售价5元，则这20筐可卖多少元？13．（2021秋•丹阳市期中）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒联特别大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径40mm、重量2.7g的大球，以取代38mm的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为40mm乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：﹣0.4，﹣0.2，﹣0.1，﹣0.1，﹣0.1，0，+0.1，+0.2，+0.3，+0.5（“+”表示超出标准；“﹣”表示不足标准）．（1）其中偏差最大的乒乓球直径是mm；（2）抽查的这10个乒乓球中，平均每个球的直径是多少mm？（3）若误差在“±0.25mm”以内的球可以作为合格产品，误差在“±0.15mm”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是；良好率是．14．（2021秋•临汾期末）山西稷山板枣栽培历史有上千年，种类繁多，有板枣、长枣、圆枣等，以板枣最为有名．小明所在的小区购买了8筐稷山板枣，若以每筐10kg为基准，把超过10kg的千克数记为正数，不足10kg的千克数记为负数，记录如下：①+3；②﹣1.4；③+2；④﹣4；⑤+5；⑥﹣3.5；⑦+1；⑧﹣0.5．（1）这8筐稷山板枣中，重量最重的是kg，比重量最轻的重了kg．（2）这8筐稷山板枣的总重量是多少kg？15．（2021秋•宁波期末）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．宁国把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是宁国第一周柚子的销售情况：星期一二三四五六日+3 ﹣5 ﹣2 +11 ﹣7 +13 +5柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）（1）宁国第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？（2）宁国第一周实际销售柚子的总量是多少千克？（3）若宁国按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则宁国第一周销售柚子一共收入多少元？一．选择题1．（2021秋•吉林期末）北京与巴黎的时差为7小时，例如：北京时间13：00，同一时刻的巴黎时间是早上6：00．笑笑和霏霏分别在北京和巴黎，她们相约在各自当地时间13：00～22：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A．14：00 B．16：00 C．21：00 D．23：002．（2021秋•虎林市校级期末）下列各数﹣2，2，﹣5，0，π，0.0123中，负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2021秋•孝感月考）如果“盈利10%”记作+10%，那么﹣4%表示（）A．亏损4% B．亏损6% C．盈利4% D．少赚4%4．（2021•淄川区一模）某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（500±5）g，（500±10）g，（500±20）g的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A．10g B．20g C．30g D．40g5．（2009秋•宝应县校级期末）学校、家、书店，依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边70米，小明同学从家出发，向北走了50米，接着又向南走了﹣20米，此时小明的位置是（）A．在家B．在书店C．在学校D．在家的北边30米处二．填空题6．（2021秋•郧阳区期中）某蓄水池的标准水位记为0m，如果水面高于标准水位0.26m表示为+0.26m，那么水面低于标准水位0.5m表示为m．7．（2021秋•宜州区期中）某种零件，标明要求是Φ20±0.02mm（Φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件（填“合格”或“不合格”）．8．（2020秋•荔湾区期末）如果把顺时针旋转21°记作+21°，那么逆时针旋转15°应记作．9．（2021•福建模拟）一次数学测试，如果96分为优秀，以96分为基准简记，例如106分记为+10分，那么85分应记为分．10．（2021•双柏县模拟）如果盈利80元记作+80元，那么亏损40元记作元．11．（2021秋•罗城县期末）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在℃范围内保存才合适．三．解答题12．（2021秋•楚雄市校级期中）小明用50元买了10支钢笔，准备以一定的价格出售，如果每支钢笔以6元的价格为标准，超过的记作正数，不足的记为负数，记录如下：0.5，0.7，﹣1，﹣1.5，0.8，1，﹣1.5，﹣2，1.9，0.9．（1）这10支钢笔的最高售价和最低售价各是几元？（2）当小亮卖完钢笔后是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？13．（2020秋•大足区期末）2020年6月小黄到银行开户，存入了3000元钱，以后的每月都根据家里的收支情况存入一笔钱，如表为小黄从7月到12月的存款情况：月份7 8 9 10 11 12﹣400 ﹣100 +500 +300 +100 ﹣500与上一月比较/元（1）从7月到12月中，哪个月存入的钱最多？哪个月最少？（2）截止到12月，存折上共有多少元存款？14．（2021秋•深圳期中）滨海大道是我市一条东西走向的最美的景观大道．某天出租车司机李师傅从上午8：00﹣9：15在该路上运营，共连续载了十批乘客，若把第一批乘客的出发地定为原点，向东为正，向西为负，李师傅运营这十批乘客的里程表示如下（单位：千米）：+8，﹣6，+3，﹣7，+8，+4，﹣9，﹣4，+3，+3；（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在原点边千米；（2）上午8：00﹣9：15李师傅开车的平均速度大约多少千米/时？15．（2021秋•达川区期中）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米：每次行车都有乘客）﹣2，+5，﹣2，﹣3，﹣2，+6请回答：（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？（2）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．那么小王这天下午收到的乘客所给车费共多少元？（3）若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元．不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利（或亏损）多少钱？16．（2021秋•射洪市期中）出租车司机李师傅某日上午8：00﹣9：20一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米）+8，﹣6，+3，﹣4，+8，﹣4，+4，﹣3（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？（2）这时间段李师傅开车的平均速度是多少？（3）若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元．则李师傅在这期间一共收入多少元？。

数学⼩升初衔接教材七年级数学（上）学案1.1 正数与负数⼀、学习⽬标：了解正数和负数是从实际需要中产⽣的；能正确判断⼀个数是正数还是负数；明确0既不是正数也不是负数；会⽤正数、负数表⽰实际问题中具有相反意义的量。

⼆、重点：会判断正数、负数，运⽤正负数表⽰具有相反意义的量。

难点：负数的引⼊。

三、疑点：负数概念的建⽴。

四、学习过程：⼩学知识回顾：1. 整数包括奇数和偶数，奇数（举例……）；偶数（……）2. 分数包括真分数和假分数，真分数（……）；假分数（……）3. ⼩数包括有限⼩数和⽆限⼩数，有限⼩数如；⽆限⼩数如。

课前准备：1.数的产⽣：由记数、排序产⽣数如；由表⽰“没有”“空位”产⽣数；由分物、测量产⽣数如。

北京冬季⾥某⼀天的⽓温为“-3℃-3℃”表⽰什么意义？“-3”的含义是什么？这天温差是多少？2.归纳总结：①正数的概念：______________ 负数的概念：______________ 数 0___________。

现在学习的数可以分为三类、和在同⼀个问题中，分别⽤正数与负数表⽰的量具有的意义。

②如果把⼀个物体向右移动 1m 记作 +1m ，那么这个物体⼜移动了—1m 的意义是，如何描述这时物体的位置？。

3. 我的疑惑是：合作探究：（⼀）1.探究点① . 怎样区分正数和负数？读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数：-2，3，0，+3，1.5，-3.14，100，-1.732.正数有：_________________. 负数有：________________.2.探究点②. 如何⽤正数和负数表⽰的量具有相反意义的量？在下列横线上填上适当的词，使前后构成意义相反的量：（1）收⼊3500元，______6500元；（2）_______800⽶，下降240⽶；（3）向北前进200⽶，_______300⽶。

3.深化知识运⽤点①. ⽤正数和负数表⽰的量具有相反意义的量如果某球队⼀个赛季胜12场,记作+12场,那么该队这个赛季负6场,可记作_______。

目录第一讲负数 (2)第二讲数轴 (5)第三讲绝对值 (9)第四讲有理数的加法 (13)第五讲有理数的减法及加减混合算 (17)第六讲有理数的乘法 (21)第七讲有理数的除法 (23)第八讲有理数的乘方 (25)第九讲有理数的混合运算 (28)第十讲代数式及代数式求值 (31)第十一讲合并同类项 (34)第十二讲一元一次方程 (39)第十三讲一元一次方程的应用 (43)第十四讲丰富的图形世界 (49)第十五讲平面图形及其位置关系 (59)专题一负数1、相关知识链接小学学过的数：（1）整数（自然数）：0，1，2，3…………（2）分数：1131,,,1,2342……………（3）小数：0.5，1.2，0.25…………提问：（1）温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？（2）海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？（3）生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？2、 教材知识详解负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数。

【知识点1】正数与负数的概念（1） 正数：像5，1.2，13，125等比0大的数叫做正数。

（2） 负数：像-5，-1.2，-13，-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比0小，“-”不能省略。

注：（1）0既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点（2）并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如0 【例1】下列那些数为负数 5，2，-8.3，4.7，-13，0，-0 【知识点2】有理数及其分类（1） 有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数（包括正分数和负分数）。

注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。

（2） 有理数分类：按性质分类：,5.20, 5.2⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎩⎩正整数：如1，2, 3，...正有理数11正分数：如，， (23)有理数负整数：如-1，-2,- 3，…负有理数11负分数：如-，-， (23)按定义分类：,5.2, 5.2⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎪⎩⎩正整数：如1，2, 3，…整数0负整数：如-1，-2,- 3，…有理数11正分数：如，，…23分数11负分数：如-，-，…23 【例2】把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－32, 28, 0, 4, 513, －5.2. 整数集合{ } 负数集合{ } 负分数集合{ } 非负正数数集合{ }【基础练习】1、零下30C 记作（ ）0C ；（ ）既不是正数，也不是负数。

第7讲科学记数法和近似数【教材精讲】教学目标:1、借助身边熟悉的事物进一步感受大数，会用科学记数法表示大数；2、理解精确度和有效数字的意义；3、要准确的说出精确位及按要求进行四舍五入取近似数；学习重点：掌握科学记数法表示大数，近似数、精确度和有效数字的意义.学习难点：科学记数法中指数与整数位之间的关系，确定近似数的精确度及有效数字，按给定的精确或有效数一个数的近似数．教学过程（一）合作探究一科学记数法（1）问题：你知道102,103,104,105分别等于多少吗？10n的意义和规律是什么？（教师应引导学生弄清楚）①102=100,103=1000,104=10000,···.②10n=10···0(在1的后面有n个0),所以可以利用10的乘方表示一些大数.它们表示时有什么规律？696 000=6.96×100 000=6.96×105.读作:“6.96乘10的5次方”.300 000 000=3×100 000 000=3×108.读作:“3乘10的次方”.从上边的读法和写法中可以看出,它不仅书写简短,而且还便于读出来.引导学生得出:把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数位只有一位的数,n是正整数且比整数位数小1),使用这种表示数的方法就是科学记数法.（2）例题解析.例题1：用科学记数法表示下列各数:1 000 000, 57 000 000, 123 000 000 000.解:1 000 000=106.57 000 000=5.7×107.123 000 000=1.23×108.（3）思考:一个大数用科学记数表示同学们会表示了,反过来,已知一个用科学记数表示的数,你能知道它的原数是多少吗？如.用科学记数法表示的数5.24×1010,原数是什么样的数?请你写出来.引导学生归纳出:用科学记数表示时,n与数位的关系是:n=位数－1或数位=n＋1.（4）跟踪练习.1.用科学记数法记出下列各数：(1)7 000 000；(2)92 000； (3)63 000 000； (4)304 000；解：(1)7 000 000=7×106；(2)92 000=9.2×104； (3)63 000 000=6.3×107； (4)304 000=3.04×105.2.下列科学记数法表示的数原数是什么？（1）3.2×105, （2）－6×108.解：（1）3.2×105=320000， （2）－6×108=-60000000.（二）探究近似数与有效数字（1）现实生活中我们常会遇到这样的问题：(1)初一(4)班有42名同学；(2)每个三角形都有3个内角.(3)我国的领土面积约为960万平方千米；(4)王强的体重是约49千克.这里的42，3，960万、49是什么样的数？总结：43，3是准确数，而象960万、49这些是与实际数很接近的数，我们称它为近似数，是由四舍五入得来的，与实际数很接近的数.（2）在实际问题中，我们经常要用近似数，使用近似数就有一个近似程度的问题，也是就精确度的问题.学生阅读课本内容，思考并回答下面问题。

第七讲单项式与多项式知识1.掌握单项式和多项式的定义；2.掌握单项式的系数和次数的概念；3.掌握代数式的认识和书写.方法1.能够正确判断出单项式的系数和次数；2.能够正确写出多项式是几次几项式；3.掌握整体代入法.1.单项式◆单项式概念：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算．或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.◆单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.【注意】：（1）圆周率π是常数；（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．2.代数式◆代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．◆代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；①字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；①后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；①除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；①带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；①当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.2.多项式◆多项式概念：几个单项式的和叫多项式.01课堂目标02知识梳理◆多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）A ．x 6B ．n m ÷C ．1abD ．a 23【答案】D【分析】根据代数式的书写要求判断各项．【解答】解：A 、不符合代数式书写规则，应改为6x ，故此选项不符合题意； B 、不符合代数式书写规则，应该为nm，故此选项不符合题意； C 、不符合代数式书写规则，应该为ab ，故此选项不符合题意； D 、符合代数式书写规则，故此选项符合题意． 故选：D ． 下列代数式符合书写要求的是（ ）A ．a 321B ．b a ÷C ．22r πD ．2⋅n【答案】C【分析】根据代数式的书写要求对各选项依次进行判断即可解答．【解答】解：A 、带分数要写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意； B 、应写成分数的形式，原书写错误，故此选项不符合题意； C 、符合书写要求，故此选项符合题意；D 、2应写在字母的前面，乘号省略，原书写错误，故此选项不符合题意． 故选：C ．下列各式最符合代数式书写规范的是（ ）A ．a 211B ．baC ．13-a 个D ．3⨯a【答案】B【分析】根据代数式的书写要求判断各项．【解答】解：A 、带分数要写成假分数的形式，原书写不规范，故此选项不符合题意； B 、除法按照分数的写法来写，原书写规范，故此选项符合题意；C 、代数和后面写单位要加括号，原书写不规范，故此选项不符合题意；D 、数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面且省略乘号，原书写不规范，故此选项不符合题意； 故选：B ．03例题精析代数式题型一例1例2变式1下列各式mn 21-，m ，8，a 1，622++x x ，52y x -，πy x 42+，y 1中，整式有（ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个【答案】C在代数式：243x ，ab 3，5+x ，x y 5，4-，3y，a b a -2中，整式有（ ） A ．4个 B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C在式子8n m +，y x 22，x 1，5-，a ，2π，2+π中，单项式的个数是（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C已知y x +，0，a -，y x 232-，2y x +，4a，42-π中单项式有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C 单项式323b a π-的系数为______，次数为______.【答案】3π-；5 9442zy x π的系数是______，次数是______．【答案】94π；7 单项式22xy π-的系数和次数分别是（ ）【答案】D【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．整式的概念题型二例1【方法总结】整式的分母中不能含有字母，且常数也是整式. 变式1 单项式题型三例1 【注意】π是常数，常数是单项式. 变式1 例2例3【注意】π是常数，不是字母. 变式2【解答】解：单项式-2πxy 2的系数和次数分别是：-2π和3． 故选：D ． 单项式b a 3161π-的系数和次数分别是（ ） A ．5161，-B ．5161， C ．4161，π-D ．4161，π 【答案】C 如果单项式c b a m 23π是6次单项式，那么m 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】利用单项式的次数确定方法得出m 的值即可． 【解答】解：∵单项式3a m b 2c 是6次单项式， ∴m+2+1=6， 解得：m=3， 故m 的值取3． 故选：B ．已知1)3(+-m xy m 是关于x ，y 的五次单项式，则m 的值①______. 【答案】-3．【分析】根据单项式的次数的概念列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：由题意得，|m|+1+1=5，m-3≠0， 解得，m=-3， 故答案为：-3．多项式122342222+--xy y x x 有______项，是______次式，所以该多项式是______次______项式． 该多项式的二次项系数是______，三次项的系数是______，常数项是______.【答案】四；四；四；四；4；-2；1多项式421222+-b a b a π是______次______项式．三次项的系数是______，常数项是______.【答案】四；三；-π；4 多项式4)3(21+--x m y x m是关于x 的四次三项式，则m 的值是______. 【答案】-3 ①①项式1)2(3212---+y m y x m 是关于x ，y 的五次三项式，则常数m 的①①______.【答案】-3变式3 例4变式4 多项式题型四例1【注意】多项式的项数和次数必须用大写数字书写.变式1 例2例3若多项式65)4(13--++-x x x m n 是关于x 的二次三项式，则=m ______，=n ______. 【答案】-4；3已知3)2(2152+--y m yx m是四次三项式，则=m ______. 【答案】-2 将多项式32231532y x xy xy -+-按字母y 降幂排列是_______________________.【答案】25331232++--xy xy y x①①式323235x xy y y x --+按x 的降①①①①_______________________. 【答案】322335y xy y x x +-+- 多项①1322-+-b kab a ①①①ab ①①①=k ______.【答案】0多项式2)1(2+--xy x m 中不含2x 项，则=m ______. 【答案】1第七讲 单项式与多项式作业1.下列各式中，符合代数式书写要求的是（ ）（1）y x 2431；（2）3⨯a ；（3）2÷ab ；（4）322b a -．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D2.代数式a -b 2的意义表述正确的是（ ）A ．a 减去b 的平方的差B ．a 与b 差的平方C ．a 、b 平方的差D ．a 的平方与b 的平方的差【答案】A【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．【解答】解：a-b 2的意义为a 减去b 的平方的差． 故选：A ．变式2 变式3 例4变式4 例5【方法总结】不含某项，那么这一项的系数等于0. 变式5 作业一 代数式1.下列代数式：（1）mn 32-；（2）m ；（3）2π；（4）a b ；（5）12+m ；（6）5yx +；（7）y x y x -+2；（8）2122++x x ；（9）y y y 153-+之中整式有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D2.请写出一个只含有字母x ，y ，且次数不超过3的整式：__________. 【答案】示例2xy 23.单项式24xy -的系数为______，次数为______． 【答案】-4；34.单项式5332y x π-的系数是______，次数是______次．【答案】35π-；5 5.已知m y x m 4)3(-是关于x ，y 的七次单项式，求m =______. 【答案】-36.已知2)2(y x a a +是关于x 、y 的四次单项式，则a 的值等于______. 【答案】21.对于多项式2432--m m ，下列说法正确的是（ ）A ．它是关于m 的二次二项式B ．它的一次项系数是4C ．它的常数项是-2D ．它的二次项是3【答案】C【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得答案． 【解答】解：A 、它是关于m 的二次三项式，故原题说法错误； B 、它的一次项系数是-4，故原题说法错误； C 、它的常数项是-2，故原题说法正确； D 、它的二次项是3m 2，故原题说法错误； 故选：C ．2.关于多项式243524-+-xy y x y x ，下列说法正确的是（ ）A ．三次项系数为3B ．常数项是-2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，-2D ．这个多项式是四次四项式【答案】B作业二 整式与单项式作业三 多项式【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【解答】解：A 、多项式5x 4y-3x 2y+4xy-2的三次项的系数为-3，错误，故本选项不符合题意； B 、多项式5x 4y-3x 2y+4xy-2的常数项是-2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y-3x 2y+4xy-2的项为5x 4y ，-3x 2y ，4xy ，-2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y-3x 2y+4xy-2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意； 故选：B ．3.多项式42333-+-my xy x π的二次项系数是______． 【答案】-2π4.多项式1)4(32+--b xy y x a 是关于x 的三次二项式，那么a -b =______． 【答案】a=4，b=2，a-b=25.若322-+-a a x 是关于a 的三次三项式，则x =______． 【答案】5或-16.按字母x 升幂排列多项式“123322-+--x xy y x ”为：___________________. 【答案】223123xy x y x ---+7.当=k ______时，代数式84)63(22--++y xy k x 中不含xy 项． 【答案】因为多项式不含xy 项，所以3k+6=0，所以k=-2 8.多项式12)1(23+-++y x m y x 中不含2x 项，则=m ______. 【答案】因为多项式不含x 2项，所以m+1=0，所以m=-1。

小升初数学衔接教材目录第一章、计算篇 (2)第二章、几何篇 (6)第三篇、解方程篇 (13)第四篇、用方程篇 (17)第五篇、整除篇 (22)第一章、计算篇学习目标：1．综合复习小学阶段的各种计算及巧算方法；2．适度拓展，了解更多的巧算方法。

一、知识阅读：小学阶段，我们学习了整数、小数和简单的分数的计算方法，这些知识会一直影响之后的学习，同时还有一些巧算方法也很有学习的价值。

计算最基本的要求是正确，无论方法是否简便，过程是否复杂，能较快地做出正确的解答才是最关键的。

当然，往往巧算要比死算更快更不容易出错，巧算的主要方法是“凑整”，有加法的凑整、乘法的凑整、通过提取公因数的凑整、拆数补数的凑整等等。

但是不论哪种计算，一定要注意的是添/去括号时是否要变号的问题。

加减法凑整：加法：末位凑十，前面凑九；减法：末尾一串都相同乘除法凑整：乘法：2×5、4×25、8×125等；熟悉5、25、125的倍数除法：熟悉简单的倍数关系。

四则运算简算：添/去括号：注意是否可以添/去，注意变号。

乘法分配律与提取公因数：注意观察算式中相同或有倍数关系的部分。

二、课前热身：练一练：直接写出答案1.5×4＝________ 5.8＋1.2＝________ 45×0.2＝________4.08÷8＝________ 0.54÷0.6＝________ 3.1－2.9＝________0.12÷3＝________ 0.4×0.7＝________ 0.32×1000＝________7÷100＝________ 0.8＋0.02＝________ 0.84÷0.3＝________3.68÷0.01＝________ 9＋1.5＝________ 0.4×0.5＝________0.44＋0.6＝________ 2.5×0.4＝________ 0.125×8＝________3.6÷0.4＝________ 3.92＋7.2＝________ 1.5÷0.3＝________三、例题精练例1：递等式计算（能巧算的要巧算）：(1) 8.7×10.1 (2) 7.06×2.4－5.7 (3) 2.5×6.8×0.4(4) 21.36÷0.8×2.9 (5) 8.27＋7.52＋1.73－3.52 (6) 0.82×99＋0.82例2：计算：(1) 22×33＋89×66 (2) 123×36－124×35(3) (1＋3＋5＋7＋…＋199＋201)－(2＋4＋6＋8＋…＋198＋200)例3：(1) 1＋2＋3＋4＋……＋18＋19 (2) 1＋2＋3＋4＋……＋98＋99＋100 例4：从1.5除30.15的商里减去0.12与0.25的积，差是多少？四、强化训练1、试一试：递等式计算：(1) 0.15＋0.75×18 (2) 72＋8÷2.5－30.2 (3) 2.8×3.2＋3.2×7.2 (4) 23.4－0.8－13.4－7.2 (5)12.78－(4.97＋2.78) (6)12.5×0.4×2.5×82、试一试：计算(1) 36×36＋18×28 (2)37×447＋36×5533、试一试：(1)2＋4＋6＋8＋……＋18＋20 (2) 2＋4＋6＋8＋……＋98＋1004、试一试：(1)17.2减去4.5乘3.6的积，所得的差除以0.1，商是多少？(2)18.5与16.5的和是它们差的几倍？五、自我达标检测（后面配答案）检测1．递等式计算(能简算要简算)：(1) 4.6×0.35＋4.6×0.65 (2)(2.5＋0.25)×4 (3) 2.95×101－2.95 (4) 3.14×1.9＋31.4×0.81 (5) 99×4.3 (6) 0.92×1.01(7) 34.7－5.8－14.2－4.7 (8)27.58－(13.87＋7.58) (9) 32.8÷8÷1.25检测2．计算(能简算的要简算)：(1)13.78－6.99 (2)88×25 (3)21.6÷[64.8＋(48.6－2.7×2)]；(4)0.99×59 (5)8.4÷4×25 (6)1.87÷(2.8×1.87＋1.87×6.2＋1.87) (7)32.5－2.4－3.2－5.4 (8)(5.5×0.48＋0.48×84.5)÷9.6 (9)2.6＋1.4×2.5自我达标检测参考答案检测1：（1）4.6；（2）11；（3）296；（4）31.4；（5）425.7；（6）0.9292；（7）10；（8）6.13；（9）3.28；检测2：（1）6.79；（2）2200；（3）58.41；（4）52.5；（5）0.1；（6）0.2；（7）21.5；（8）4.5；（9）6.1第二章、几何篇学习目标：1、掌握直线、射线、线段三者之间的联系和区别；会画已知直线的平行线与垂线。

小升初数学衔接课讲义（160页）（衔接版）（含答案）目录第一讲巧算 (1)第二讲行程和工程问题 (9)第三讲和差倍鸡兔同笼 (14)第四讲几何专题 (20)第五讲整数和整除 (54)第六讲素数合数分解素因数 (59)第七讲最大公因数与最小公倍数 (64)第八讲分数的意义和性质 (70)第九讲分数的运算 (75)第十讲分数与小数的互化 (81)第十一讲分数混合运算及应用 (85)第十二讲比的意义和性质 (96)第十三讲比例 (100)第十四讲百分比的意义 (108)第十五讲百分比的应用及等可能事件 (114)答案 (130)第一讲巧算一、【考点解读】测量物体时往往会得不到整数，于是就用小数来补充整数。

小数是十进制分数的一种特殊表现形式。

分母是10 ，100，1000……的分数也可以用小数表示。

二、【知识讲解】加法运算定律加法交换律加法交换律的概念为：两个加数交换位置，和不变。

同时从字母公式：a+b+c=（b+a）+c加法结合律加法结合律的概念为：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

字母公式：a+b+c=a+(b+c)乘法运算定律乘法交换律乘法交换律的概念为：两个因数交换位置，积不变。

字母公式：a×b=b×a乘法结合律乘法结合律的概念为：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

字母公式：a×b×c=a×(b×c)乘法分配律乘法分配律的概念为：两个数与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。

字母公式：(a+b)×c=a×c+b×c减法性质减法性质的概念为：一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加，再相减。

字母公式：A-B-C=A-(B+C)差不变的规律字母公式：A-B=(AN)-(BN)=(A-B)/N （N≠0 B≠0)除法的性质除法性质的概念为：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除。

第一讲 计算的技巧知识导航我们在进行运算时，除了熟练掌握好运算法则外，还要通过观察和分析，找出题目中数的特点，合理、有效地进行计算。

整数、小数与分数四则混合运算常用的方法、技巧如下：1、运算法则：先乘除后加减；先算小括号，再算中括号；同级运算从左到右依次计算。

2、运算定律与性质：加法交换律：a b b a +=+； 加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 乘法结合律：)(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯乘法分配律：c a b a c b a ⨯±⨯=±⨯)( 减法的性质：)(c b a c b a +-=--除法的性质：)(c b a c b a ⨯÷=÷÷3、灵活运用通分和约分4、分数、小数化成统一的形式再计算，一般是分数化成小数。

5、凑整法：运用运算定律，使式子中一些数凑成整十、整百或整千的数再计算。

我们通常是利用运算律将一些数凑成整一、整十或整百再计算。

6、分组分解法：利用交换律和结合律对式子进行分组求解，最后再综合求解。

7、综合方法：计算比较复杂的式子时要多种方法一起用。

精典例题例1：21 ＋61＋121＋201＋301＋421＋561＋721＋901模仿练习100971......1071741411⨯++⨯+⨯+⨯例2：计算：975×0.25+76439⨯－9.75模仿练习 85444.4251143736111253731÷+⨯+÷例3：3251÷35+4371÷47+5491÷59模仿练习计算：544156766171833185⨯+⨯+⨯例4：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+++649537425313654543432321模仿练习 ）（）计算：（111933139911115933539951++÷++第二讲 行程问题知识导航我们知道：距离=速度×时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如：总量=每个人的数量×人数. 工作量=工作效率×时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧. 这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米。

第12讲解一元一次方程（二）【知识衔接】————小学初中课程解读————小学课程初中课程小学数学中，要求能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用，了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

初中数学中，能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，经历估计方程解的过程，掌握等式的基本性质，能解一元一次方程.————小学知识回顾————1、方程和等式等式：表示相等关系的式子叫做等式。

方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、解方程。

解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程。

解方程的依据：等式的性质。

①等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

②等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。

————初中知识链接————1.等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.如果a＝b，那么a ± c＝b ± c.2.等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果a＝b，那么ac＝bc，如果a＝b(c≠0)，那么3.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

4.移项的概念：我们将方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。

5.去括号：利用去括号法则把括号去掉，然后利用前面学习的移项、合并同类项的方法解一元一次方程6.去分母：方程两边同时乘以两个分母的最小公倍数，把分母去掉，然后即可按照前面学习的方法解方程.7.解方程的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化1.【经典题型】小学经典题型1．求末知数x．x﹣35%x＝5.212：x【解析】（1）x﹣35%x＝5.265%x＝5.265%x÷65%＝5.2÷65%x＝8；（2）12：x2x＝12×1.52x÷2＝12×1.5÷2x＝9；（3）xxxxxx＝7．2．求未知数．x36（4.5﹣x）x：3.2＝2.5：4【解析】（1）x36x＝36x36x＝60；（2）（4.5﹣x）（4.5﹣x）4.5﹣x＝24.5﹣x+x＝2+x4.5＝2+x2+x＝4.52+x﹣2＝4.5﹣2x＝2.5；（3）x：3.2＝2.5：44x＝3.2×2.54x÷4＝3.2×2.5÷5x＝2；（4）0.9x＝2.7×100.9x÷0.9＝2.7×10÷0.9x＝30．3．求未知数．①1.5x﹣4.2×5＝21②2.5：x＝4：2【解析】①1.5x﹣4.2×5＝211.5x﹣21＝211.5x﹣21+21＝21+211.5x＝421.5x÷1.5＝42÷1.5x＝28；②2.5：x＝4：24x＝2.5×24x÷4＝6÷4x＝1.5．4．解方程．3x+5x＝128x﹣16×4＝84xx x【解析】①3x+5x＝128x＝128x÷8＝12÷8x＝1.5②8x﹣16×4＝88x﹣64+64＝8+648x÷8＝72÷8x＝9③4x4x4x÷4 4x④x xxxx初中经典题型1．方程去分母正确的是（）.A．x-1-x=-1 B．4x-1-x=-4 C．4x-1+x=-4 D．4x-1+x=-1 【答案】C【解析】方程左右两边各项都要乘以4，故选C2．的倒数与互为相反数，那么a的值是（）A．B．C．3 D．－3【答案】C【解析】依题意得：去分母，得a +2a −9=0， 所以3a =9， 所以a =3， 故选：C.3．把方程去分母正确的是（ ）A ．18x+2(2x-1)=18-3(x+1)B ．3x+(2x-1)=3-(x+1)C ．18x+2(2x-1)=18-(x+1)D ．3x+2(2x-1)=3-3(x+1) 【答案】A 【解析】同时乘以个分母的最小公倍数，去除分母可得出答案. 解：去分母的：18x+2（2x-1）=18-3（x+1）. 故选A.4．解方程()()()3221216x x x ++--+=⎡⎤⎣⎦，得x 为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】试题分析：去括号时，如果括号前面为负号时，则去掉括号后括号里面的每一项都要变号.则根据去括号法则可得：3x+2+2x －2－4x －2=6 3x+2x －4x=6－2+2+2 解得：x=8 考点：解一元一次方程. 5．把方程3x ＋312-x ＝3－21+x 去分母，正确的是（ ） A ．()()131812218+-=-+x x x B ．()()13123+-=-+x x x C ．()()1181218+-=-+x x x D ．()()1331223+-=-+x x x 【答案】A ．考点：解一元一次方程．6．某书上有一道解方程的题：+1=x，□处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x=﹣2，那么□处应该是数字（）A．7 B．5 C．2 D．﹣2【答案】B【解析】试题分析：已知方程的解x=﹣2，把x=﹣2代入未知方程，就可以求出被油墨盖住的地方了．解：把x=﹣2代入+1=x得：+1=﹣2，解这个方程得：□=5．故选B．考点：解一元一次方程．7．在解分式方程+=2时，去分母后变形正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方程两边都乘以x-1，得：3-（x+2）=2（x-1）．故答案选A．8．解方程（x-1）-1=（x-1）+4的最佳方法是A．去括号B．去分母C．移项合并（x-1）项D．以上方法都可以【答案】C【解析】移项得，（x–1）–（x–1）=4+1，合并同类项得，x–1=5，解得x=6．故选C．9．若x=﹣3是方程k（x+4）﹣2k﹣x=5的解，则k的值是_____．【答案】.【解析】试题分析：根据方程的解的意义可知把x=-3代入方程可得k（-3+4）-2k-（-3）=5，解之得k=-2. 10．当x=__________时，3x+1的值与2（3–x）的值互为相反数．【答案】-7【解析】∵3x+1的值与2（3﹣x）的值互为相反数∴3x+1+2（3-x）=0，去括号得：3x+1+6-2x=0，移项合并得：x=-7，故答案是：-711．若代数式4x与212x-的值相等，则x的值是__________．【答案】-16．【解析】试题解析：根据题意得；4x=212x-，去分母得：8x=2x-1移项得：8x-2x=--1，合并同类项得：6x=-1，系数化为1得；x=-16．考点：解一元一次方程．12．当x= 时，式子256x+与114xx++的值互为相反数．【答案】43 19 -．【解析】试题分析：由题意得：251164x xx++++=，去分母得：2（2x+5）+3（x+11）+12x=0，去括号得：4x+10+3x+33+12x=0，移项、合并同类项得：19x=﹣43，系数化1得：x=4319-．故答案为：4319-．考点：1．解一元一次方程；2．相反数．13．解下列方程（1）2（x+1）﹣3（x﹣2）=4+x；（2）．【答案】(1) x=2；（2）x=．【解析】【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．【详解】（1）2（x+1）﹣3（x﹣2）=4+x，2x+2﹣3x+6=4+x，2x﹣3x﹣x=4﹣2﹣6，﹣2x=﹣4，x=2；（2），6﹣（2x﹣1）=2（2x+1），6﹣2x+1=4x+2，﹣2x﹣4x=2﹣6﹣1，﹣6x=﹣5，x=．14．解方程：(1)2x－(x＋10)＝5x＋2(x－1)；(2)－2＝－.【答案】(1) －;(2) .【解析】(1)去括号得:2x－x－10＝5x＋2x－2,移项合并得:6x＝－8,解得:x＝－，故答案为－；(2)去分母得:15x＋5－20＝3x－2－4x－6,移项合并得:16x＝7,解得：x＝，故答案为. 15．已知y1=﹣x+3，y2=2x﹣3．（1）当x取何值时，y1=y2；（2）当x取何值时，y1的值比y2的值的2倍大8．【答案】(1)2;(2)0.2【解析】试题分析：（1）利用y1=y2建立一元一次方程求解.（2）利用y1-2 y2=8建立一元一次方程求解.试题解析：解：（1）﹣x+3=2x﹣3，移项，可得：3x=6，系数化为1，可得x=2．答：当x取2时，y1=y2．（2）（﹣x+3）﹣2（2x﹣3）=8去括号，可得：﹣5x+9=8，移项，可得：5x=1，系数化为1，可得x=0.2．答：当x取0.2时，y1的值比y2的值的2倍大8．16．已知方程3（x﹣1）=4x﹣5与关于x的方程﹣=x﹣1有相同的解，求a的值．【答案】a=4【解析】考点：同解方程．【实战演练】————再战初中题——能力提升————1．方程5（x-1）=5的解是（）．A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4【答案】B．【解析】试题分析：通过去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，得x=2．故选：B．考点：一元一次方程的解法．2．若代数式4x ﹣5与212x -的值相等，则x 的值是（ ） A ．1 B ．32 C ．23D ．2【答案】B 【解析】试题分析：根据题意得：4x ﹣5= 212x -， 去分母得：8x ﹣10=2x ﹣1， 解得：x=32， 故选：B ．考点：解一元一次方程．3．把方程103.02.017.07.0=--x x 中的分母化为整数，正确的是（ ）. A 、132177=--x xB 、13217710=--x xC 、1032017710=--x xD 、132017710=--x x【答案】D. 【解析】试题分析：根据分式的基本性质，把方程中的每一项的分子、分母乘以同一个不为0的数，分式的值不变，原方程可化为101720173x x--=. 故选：D.考点：解一元一次方程的步骤. 4．下列方程变形中① 方程去分母，得② 方程移项得③ 方程去括号，得④方程，得x=1错误的有（）个A．4个B．3个C．1个D．0个【答案】B【解析】①. 将方程去分母,得，错误；②. 方程移项得，错误；③. 方程去括号，得正确；④. 将方程系数化为1,得错误，错误的有3个.故选：B.5．解方程，去分母正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：方程两边同乘以6得2（2x+1）-3（5x-3）=6，故答案选C.考点：去分母.6．已知x=1是方程a（x﹣2）=a+3x的解，则a的值等于（）A．B．C．D．【答案】B把x=1代入方程a（x-2）=a+3x，得（1-2）a=a+3，解得a=，故选B．7．若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为A．2 B．C．1 D．【答案】D【解析】3(2x-1)=3x解得：x=1．把x=1代入方程6-2a=2(x+3)得：6-2a=2×(1+3)解得：a=-1．故选D．8．下列各题正确的是（）A．由7x=4x﹣3移项得7x﹣4x=36B．由去分母得2（2x﹣1）=1+3（x﹣3）C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）=1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9=1D．由2（x+1）=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5【答案】D【解析】A、由7x=4x-3移项得7x-4x=-3，故错误；B、由去分母得2（2x-1）=6+3（x-3），故错误；C、由2（2x-1）-3（x-3）=1去括号得4x-2-3x+9=1，故错误；D、正确．故选D．9．当x＝时，5（x－2）与2[7x－（4x－3）]的值相等．【答案】－6【解析】试题分析：根据题意列出方程进行求解. 5(x－2)=2[7x－(4x－3)] 5x－10=2(7x－4x+3) 5x－10=6x+6 解得：x=－16考点：一元一次方程的求解.10．当x=_______时，32x-与23x+-互为相反数．【答案】1．【解析】试题分析：∵32x -与23x +-互为相反数，∴32()023x x-++-=，93420x x ---=，55x -=-，∴1x =．故答案为：1． 考点：解一元一次方程． 11．若代数式21-x +612x +与31-x +1的值相等,则x= . 【答案】2 【解析】由题意得21-x +612+x =31-x +1,解得x=2. 12.解方程：（1）4x ＋3＝2(x －1)＋1； （2）246231xx x -=+-- （3）2（3x+4）﹣3（x ﹣1）=3； （4）．【答案】（1）、x=－2；（2）、x=4.（3）x=；（4）x=1．【解析】试题分析：（1）、首先进行去括号，然后进行移项合并同类项，求出x 的值；（2）、首先进行去分母，然后去括号，移项合并同类项，求出x 的值，（3）先去括号，再根据解一元一次方程的方法解答解可；（4）先去分母，再根据解一元一次方程的方法解答解可． 试题解析：（1）、去括号，得 4x+3=2x －2+1 移项，得4x －2x=－2+1－3 合并同类项，得 2x=－4 解得：x=－2（2）、2(x －1)－(x+2)=3(4－x) 去括号，得2x －2－x －2=12－3x 移项，得 x+3x=12+4合并同类项，得4x=16 解得：x=4.（3）2（3x+4）﹣3（x ﹣1）=3 去括号，得 6x+8﹣3x+3=3移项及合并同类项，得3x=﹣8系数化为1，得x=；（4）去分母，得5（2x+1）﹣3（x﹣1）=15去括号，得10x+5﹣3x+3=15移项及合并同类项，得7x=7系数化为1，得x=1．考点：解一元一次方程．13．（1）小玉在解方程去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x=10，试求a的值．（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=5m的解大2？【答案】（1）a=3；（2）m=﹣．【解析】解：（1）错误去分母得：4x﹣2=3x+3a﹣1，把x=10代入得：a=3；（2）方程5m+3x=1+x，解得：x=，方程2x+m=5m，解得：x=2m，根据题意得：﹣2m=2，去分母得：1﹣5m﹣4m=4，解得：m=﹣．14．若方程与的解互为相反数，求k的值．【答案】【解析】分析：分别解得x 的值，然后利用相反数的定义列出关于k 的方程，通过解方程可以求得k 的值． 详解：由方程3（x ﹣k ）=2（x +1）得：x =2+3k ，由方程x ﹣3（x ﹣1）=2﹣（x +1）得：x =2，则2+3k +2=0，∴．15．解方程(1)4(x ﹣1)+5＝3(x+2)； (2)．【答案】（1）x=5；（2）x=－3 【解析】（1）由原方程，得：4x ﹣4+5=3x +6，即4x +1=3x +6 移项、合并同类项，得：x =5；（2）去分母，得：2（2x +1）﹣（5x ﹣1）=6 去括号，得：4x +2﹣5x +1=6，即﹣x =3 化未知数的系数为1，得：x =﹣3． 16．m 为何值时，代数式5123m m --的值与代数式72m -的值的和等于5？【答案】7.m =- 【解析】试题分析：代数式5123m m --的值与代数式72m -的值的和等于5，则51725,32m m m ---+=再进行解方程即可.试题解析：根据题意得，51725,32m mm ---+=122(51)3(7)30,m m m --+-= 1210221330,m m m -++-=7,m -=7.m ∴=-考点：由实际问题抽象出一元一次方程. 17．小乐的数学积累本上有这样一道题： 解方程：﹣=1解：去分母，得6（2x+1）﹣（5x ﹣1）=6…第一步 去括号，得4x+2﹣5x ﹣1=6…第二步 移向、合并同类项，得x=5…第三步方程两边同除以﹣1，得x=﹣5…第四步在题后的反思中看，小郑总结到：解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误…小乐的解法从第步开始出现错误，然后，请你自己细心地解下面的方程：2﹣（x+2）=（x﹣1）【答案】一．见解析考点：解一元一次方程．。

第十四讲一元一次方程的实际应用01课堂目标知识掌握解应用题的步骤.1.能够找出不同类型的等量关系；方法2.能够正确列出方程，并正确解出方程.02知识梳理1.用方程解决实际问题的步骤◆审：理解并找出实际问题中的等量关系；◆设：用代数式表示实际问题中的基础数据；◆列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；◆解：求解；◆验：考虑求出的解是否具有实际意义；◆答：实际问题的答案.2.用方程解决实际问题的常见类型◆配套问题：关键在于找出配比关系；◆数字问题：关键在于数字的表达方式；◆年龄问题：日历问题需要熟悉日历中的数字关系；◆工程问题：关键在于找到每个工程队的工作时间；◆销售问题：关键在于记住销售问题中的五个量（进价、标价、售价、利润、利润率）之间的关系.03例题精析新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？ 【答案】15名．【分析】根据人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳，一个口罩面需要配两根耳绳，可以列出相应的方程，然后解方程，即可解答本题．【解答】解：设应安排x 名工人生产口罩面，则安排（40-x ）名工人生产耳绳， 1000x×2=1200（40-x ）， 解得x=15，答：应安排15名工人生产口罩面． 某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 【答案】见试题解答内容【分析】设应分配x 人生产甲种零件，则（60-x ）人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个，可列方程求解． 【解答】解：设分配x 人生产甲种零件，则共生产甲零件24x 个和乙零件12（60-x ）， 依题意得方程：24x ＝32•12(60−x)， 解得x=15， 60-15=45（人）．答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．某车间有44人，生产一种桌子，每人每天平均生产桌面20个或桌子腿30个，如何分配工人，正好使一天生产的桌面桌腿配套？配套问题题型一【方法总结】若配比关系是a ：b ，那么最后在列方程的时候，左边乘b ，右边乘a .（反着乘）例1例2变式1【答案】见试题解答内容【分析】设出未知数，根据等量关系：桌子腿的总数量=4×桌子面的总数量，列出方程即可解决问题．【解答】解：设λ人生产桌面，（44-λ）人生产桌子腿， 正好使一天生产的桌面桌腿配套； 由题意得：30（44-λ）=4×20λ， 解得：λ=12，44-λ=32；即12人生产桌面，32人生产桌子腿，正好使一天生产的桌面桌腿配套．螺蛳粉是柳州的城市新名片．某包装螺蛳粉厂有80名工人生产包装螺蛳粉料包，已知每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工110个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？ 【答案】安排25名工人去加工汤料包．【分析】设安排x 人去加工生产汤料包，则安排（80-x ）人生产配料包，根据每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设安排x 人去加工生产汤料包，则安排（80-x ）人生产配料包 依题意，得：4×110x=200（80-x ） 解得：x=25，答：安排25名工人去加工汤料包．一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数． 【答案】63．变式2 数字问题题型二【方法总结】1.一个两位数，十位数字是a ，个位数字是b ，那么这个数可表示为10a +b ； 2.一个三位数，百位数字是x , 十位数字是y ，个位数字是z ，那么这个数可表示为100x +10y +z . 例1【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），根据原数比十位数字与个位数字对调后得到的两位数大27，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10×2x+x）中即可求出结论．【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），依题意，得：（10×2x+x）-（10x+2x）=27，解得：x=3，∴2x=6，∴10×2x+x=63．答：这个两位数为63．一个三位数，十位数字是0，个位数字是百位数字的2倍，如果将这个三位数的个位数字与百位数例2字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的2倍少9，设原三位数的百位数字是x.（1）原三位数可表示为，新三位数可表示为；（2）列方程求解原三位数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，根据三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字即可表示出原三位数；根据题意得出新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，进而表示出新三位数；（2）根据新的三位数比原三位数的2倍少9列出方程，求解即可．【解答】解：（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，又∵十位数字是0，∴原三位数可表示为100x+2x=102x．∵新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，十位数字是0，∴新三位数可表示为100•2x+x=201x．故答案为102x，201x；（2）由题意，得201x=2•102x-9，解得x=3．则102×3=306．答：原三位数为306．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求这个两位数.【答案】见试题解答内容【分析】首先设个位数字为x ，则十位数字为2x ，则原两位数可表示为10×2x+x ，数字对调后所得两位数是（10x+2x ），再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”可得方程：10×2x+x-（10x+2x ）=36，解方程得到个位数，进而可得十位数字． 【解答】解：设个位数字为x ，则十位数字为2x ，由题意得： 10×2x+x-（10x+2x ）=36， 解得：x=4， 则2x=8，答：原两位数是84． 故答案为84．小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：（1）它的千位数字为2；（2）把千位上的数字2向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的2倍少1478，求小明的考场座位号．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得原来的数，本题得以解决． 【解答】解：设原来数字为x ， 2x-1478=（x-2000）×10+2 解得，x=2315答：小明的考场号是2315．变式1 变式2 年龄问题题型三今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为（ ）A ．)5(3514+=++x xB ．1)5(453+-=-x xC ．1)5(453++=+x xD ．1)5(354--=-x x【答案】B【分析】设今年儿子x 岁，根据五年前父亲的年龄不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设今年儿子x 岁， 依题意，得：3x-5=4（x-5）+1． 故选：B ． 古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记栽着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他 有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年， 也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： （1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄．例1例2今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现12年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分之一．求小李爷爷今年的年龄． 【答案】60．x 岁，根据12年之后小李的年龄变成爷爷的年龄三分之一，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．解得：x=60． 答：爷爷今年60岁．爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸， 爸爸笑笑说：“在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷的年龄”．那么小莉的爷爷的生 日是在（ ）变式1 变式2A ．16号B ．18号C ．20号D ．22号【答案】C【分析】要求小莉的爷爷的生日，就要明确日历上“上下左右4个日期”的排布方法．依此列方程求解．【解答】解：设那一天是x ，则左日期=x-1，右日期=x+1，上日期=x-7，下日期=x+7， 依题意得x-1+x+1+x-7+x+7=80 解得：x=20 故选：C ．一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作的43．若设甲一共做了x 天，则所列方程为（ ） A ．43815=++x x B ．43815=-+x x C ．43815=+-x x D ．43815=--x x【答案】B一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任 务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要（ ）天才能完成该工程．A ．436B ．317C ．6D ．7工程问题题型四【方法总结】工做总量=工作效率×工作时间，工作效率是很好找的，工程问题最重要的是找到工作时间.例1变式1新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某口罩生产厂家接到一批口罩定制任务，要求10天完成．如例2果安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；如果安排第二车间单独加工，则会延期5天完成．（1）为了尽快完成任务，厂长安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，那么该厂家可以提前几天完成任务？（2）已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：方案一：第一车间单独加工；方案二：第二车间单独加工；方案三：两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又在规定时间内完成这批口罩加工任务？请通过计算说明理由．修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独需要12天完成，丙队单独修需15天完成，现在先由甲队单独修2.5天，再由乙队接着修，最后还剩下一段路，由三队合修2天才完成任务，乙队在整个修路工程中工作了多少天？某种商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润率为15.2%，这种商品每件的标价是（）A．38元B．250元C．288元D．320元【答案】D【分析】等量关系为：标价×9折=进价×（1+利润率），把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这种商品每件的标价是x元，依题意有x×90%=250×（1+15.2%），解得x=320．故这种商品每件的标价是320元．故选：D．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道”它的进价为80元，打七折出售后，仍可获利5％”你认为售货员应标在标签上的价格为（）A．110元B．120元C．130元D．140元变式2销售问题题型五【方法总结】利润=售价-进价；利润率=利润÷进价.例1例2【答案】B【分析】设标签上的价格为x 元，根据打折后售价=成本+利润即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设标签上的价格为x 元，根据题意得：0.7x=80×（1+5%），解得：x=120．故选：B ． 某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（ ） A ．30元B ．31元C ．32元D ．33元 【答案】D【分析】设这本新书的标价为x 元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这本新书的标价为x 元，依题意得：0.8x-24=24×10%，解得：x=33．故选：D ．某种商品的进价为120元，若按标价九折降价出售，仍可获利20%，该商品的标价为（ ）A ．140元B ．150元C ．160元D ．170元 【答案】C【分析】设该商品的标价为x 元，根据若按标价九折降价出售，仍可获利20%，列出方程，求解即可．【解答】解：设该商品的标价为x 元，0.9x=120×（1+20%），解得：x=160，答：该商品的标价为160元，故选：C ．某商店以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么商店卖出这两件衣服总的是（ ）变式1 变式2 例3A ．亏损10元B ．不赢不亏C ．亏损16元D ．盈利10元 【答案】A 【分析】设盈利的衣服的进价为x 元，亏损的衣服的进价为y 元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x （y ）的一元一次方程，解之即可得出x （y ）的值，再将两件衣服的利润相加即可得出结论．【解答】解：设盈利的衣服的进价为x 元，亏损的衣服的进价为y 元，依题意，得：120-x=20%x ，120-y=-20%y ，解得：x=100，y=150，∴120-x+120-y=-10．故选：A ．某超市两个进价不同的书包都卖84元，其中一个盈利40%，另一个亏本25%，在这次买卖中，这家超市（ ）A ．不赚不赔B ．赚了4元C ．赚了52元D ．赔了4元 【答案】D【分析】设进价低的书包进价为x 元，进价高的书包进价为y 元，根据“其中一个盈利40%，另一个亏本25%，且售价均为84元”，即可分别得出关于x 、y 的一元一次方程，解之即可得出x 、y 的值，再利用利润=售价-进价，即可求出结论．【解答】解：设进价低的书包进价为x 元，进价高的书包进价为y 元，根据题意得：（1+40%）x=84，（1-25%）y=84，解得：x=60，y=112，∴84×2-x-y=-4．故选：D ．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100，不享受优惠；①一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；①一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明同学一次性购书付款171元，那么他所购书的原价为_____________.【答案】190元或213.75元．【分析】三种方案中只有两种方案符合条件，分别列出方程，解之即可得出答案．【解答】解：设他所购书的原价为x 元，根据题意，①171＞100，不符合条件；②当100＜x≤200时，9x=171，变式3 例4解得，x=190，∵100＜190＜200，∴190符合条件；③当x ＞200时，0.8x=171，解得，x=213.75，213.75＞200，∴213.75符合条件．故答案为：190元或213.75元．元旦期间，某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物价值超过100元但不超过300元，原价基础上一律9折.（2）一次性购物超过300元，原价基础上一律8折.王老师购物后付款252元，则他所购物品的原价是_____________元．【答案】见试题解答内容【分析】首先设他所购物品的原价是x 元，计算出王老师购物应该付款的数额，然后根据优惠方案（1）或优惠方案（2）即可求解．【解答】解：设他所购物品的原价是x 元，分两种情况：①如果是第（1）种优惠，可得0.9x=252，解得x=280（符合超过100不高于300）；②如果是第（2）种优惠，可得0.8x=252，解得x=315（符合超过300元）．他所购物品的原价是：280或315元．故答案为：280或315．某超市的促销活动规定：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律打九折；（3）一次性购物超过300元，一律八折．购物付款261元，则原价是_____________元．【答案】见试题解答内容【分析】购物付款261元，两种可能，方案（2）或方案（3），即在“一次性购物超过100元但不超过300元，一律打九折”，用261÷90%=290（元），在“一次性购物超过300元，一律八折”购物付款261元，用261÷80%=326.25（元）．例5 变式4【解答】解：方案（2）购物：261÷90%=290（元）；方案（3）购物：261÷80%=326.25（元）；答：则原价是290或326.25．故答案为：290或326.25．第十四讲 一元一次方程的应用作业1.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或者2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，安排生产螺钉的工人为x 人，则可列方程为（ ）A ．)22(120020002x x -=⨯B ．x x 1200)22(2000=-C ．x x 1200)22(20002=-⨯D ．x x 12002)22(2000⨯=-【答案】D【分析】设分配x 名工人生产螺母，则（22-x ）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，可以列出方程求出即可．【解答】解：设安排x 人生产螺钉，则（22-x ）人生产螺母，由题意得，2×1200x=2000（22-x ），故选：D ．2.某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在18天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？【答案】甲种零件生产 10天，乙种零件生产 8天．【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“甲乙两种零件分别取3个和2个才能配套”和“要在18天生产最多的成套产品”，列方程求解即可．【解答】解：设甲种零件生产 x 天，由题意得：2×120x=3×100（18-x ），解得：x=10，答：甲种零件生产 10天，乙种零件生产 8天．作业一 配套问题作业二数字问题1.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，求原来的两位数．【答案】352.一个两位数，个位数上的数字是十位上的数字的二倍，先将这个两位数的两个数字对调，得到第二个两位数，再将第二个两位数的十位数字加上一，个位数字上减去一，得到第三个两位数，若第三个两位数恰好是原来两位数的二倍，求原来两位数.【答案】见试题解答内容【分析】设原两位数的十位上的数字为a，则个位上的数字为2a，这个两位数表示为10•a+2a，于是可表示出第二个两位数10•2a+a，所以第三个两位数10•（2a+1）+a-1，根据第三个两位数恰好是原来两位数的二倍列方程10（2a+1）+a-1=2（10a+2a），然后解方程求出a即可得到原两位数．【解答】解：设原两位数的十位上的数字为a，则个位上的数字为2a，这个两位数表示为10•a+2a，根据题意得10（2a+1）+a-1=2（10a+2a），解得a=3，所以原两位数为10a+2a=36．故答案为36．作业三年龄问题1.3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，求父子今年各是多少岁？【答案】见试题解答内容【分析】设3年前儿子年龄为x岁，根据3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，得出3年前父亲的年龄是4x岁，进而根据3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍列出方程解答即可．【解答】解：设3年前儿子年龄为x岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，3年前父亲的年龄为4x岁，3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，4x+6=3×（x+6），4x+6=3x+18 4x+6-3x=3x+18 x=12， 4×12=48，儿子：12+3=15岁，父亲的年龄，48+3=51岁答：儿子今年的年龄为15岁，父亲51岁．2.父亲和儿子的年龄和为91岁，当父亲的年龄是儿子现在年龄的2倍时，儿子的年龄是父亲现在年龄的31，求儿子现在的年龄.【答案】28【分析】设儿子现在的年龄为x 岁，父亲现在的年龄为（91-x ）岁，当父亲2x 岁时，儿子31（91-x ）岁，分别计算出两次的年龄差，利用年龄差不变列出方程即可．【解答】解：设儿子现在的年龄x 岁，则父亲的年龄为91-x 岁，父亲比儿子大（91-x ）-x=91-2x （岁），当父亲2x 岁时，儿子31（91-x ）岁， 父亲比儿子大2x-31（91-x ）岁； ∴2x-31（91-x ）=91-2x ． 故答案为：2x-31（91-x ）=91-2x ． 解得x=281.一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成，乙工程队单独做需要12天完成．现在由甲队单独做4天，剩下的工程由甲、乙合作完成．剩下的部分合作还需要几天完成？作业四 工程问题【答案】62.为了治理大气污染，提升空气质量，现在广大农村正在实施“煤改气”工程．甲、乙两个工程队共同承接了某村“燃气壁挂炉注水”任务．若甲队单独施工需10天完成；若乙队单独施工需15天完成．（1）甲、乙两队合做需要几天完成？（2）若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，还需要几天完成？1.某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10元，则该商品每件的进价为（）A．100元B．105元C．110元D．120元【答案】A【分析】设该商品每件的进价为x元，根据题意可知商品按零售价的8折再降价10元销售即销售价=1 50×80%-10，利用售价-进价=利润得出方程为150×80%-10-x=10，求出即可．【解答】解：设该商品每件的进价为x元，则150×80%-10-x=10，解得x=100．作业五销售问题即该商品每件的进价为100元．故选：A．2.某商场将一种商品以每件60元的价格售出，盈利20%，那么该商品的进货价是（）A．36元B．48元C．50元D．54元【答案】C【分析】设该商品的进货价是x元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该商品的进货价是x元，依题意，得：60-x=20%x，解得：x=50．故选：C．3.一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为416元，这件商品卖出后获得利润（）元．A．16B．18C．24D．32【答案】A【分析】此题可设原价为x元，提高30%后标价，实际上是按原价的130%标价，又以8折销售是以原价的80%销售，根据题意列方程解答即可．【解答】解：设原价为x元，根据题意列方程得：x×（1+30%）×80%=416解得x=400，416-400=16（元）．答：这件商品卖出后获得利润16元．故选：A．4.某商店在某一时间以200元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损20%，那么商店在这次交易中（）A．亏了10元钱B．亏了20元钱C．盈利20元钱D．不盈不亏【答案】A【分析】设盈利服装的进价为x元，亏损服装的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x （y）的一元一次方程，解之即可求出x（y）的值，再利用总利润=总售价-总进价即可得出结论．【解答】解：设盈利服装的进价为x元，亏损服装的进价为y元，依题意得：200-x=25%x，200-y=-20%y，解得：x=160，y=250，∴200+200-160-250=-10（元），即商店在这次交易中亏了10元钱．故选：A．5.某商店出售两件衣服，每件售价60元，其中一件赚20%，而另一件赔20%，那么这家商店销售这两件衣服的总体收益情况是（）A．赚了5元B．赔了5元C．赚了8元D．赔了8元【答案】B【分析】设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，根据售价=成本×（1+利润率），即可得出关于x，y的一元一次方程，解之即可得出x，y的值，再利用利润=售价-成本，即可求出结论．【解答】解：设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，依题意，得：（1+20%）x=60，（1-20%）y=60，解得：x=50，y=75，∴60+60-50-75=-5（元）．故选：B．6.每件服装售价150元，8折出售，每件仍获利20元．该服装的进价为每件______元．【答案】100．【分析】设该服装的进价为每件x元，利用利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该服装的进价为每件x元，依题意得：150×0.8-x=20，解得：x=100．故答案为：100．7.某新华书店暑假期间推出售书优惠方案：①一次性购书不超过200元，不享受优惠：②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折：③一次性购书超过400元一律打八折．如果黄聪同学一次性购书共付款324元，那么黄聪所购书的原价是（）A．360元B．405元C．324元或360元D．360元或405元【答案】D【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以列出相应的方程，从而可以求得黄聪所购书的原价．【解答】解：设黄聪购书的原价是x元，当200＜x≤400元时，0.9x=324，解得x=360，当x＞400时，0.8x=324，解得，x=405，由上可得，黄聪所购书的原价是360元或405元，故选：D．8.某书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价为多少？【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，先设出王明同学一次性购书的原价为x元，然后根据题目中条件，利用分类讨论的方法可以求得王明所购书的原价，本题得以解决．【解答】解：设王明同学一次性购书的原价为x元，当100＜x≤200时，0.9x=162，得x=180当x＞200时，0.8x=162，得x=202.5答：王明所购书的原价为180元或202.5元．。

第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ D ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）A.2aB.2a -C.0D.2b已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）例1例2 例3 例4例51、绝对值的几何意义①|||0|a a=-表示数a对应的点到原点的距离。

②||a b-表示数a、b对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：（1）若20 a-≤≤，化简|2||2|a a ++-（2）若0x，化简|||2||3|||x xx x---解答：设0a，且||axa≤，试化简|1||2|x x+--解答：a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b+=+（2）||||||;ab a b=（3）||||;a b b a-=-（4）若||a b=则a b=（5）若||||a b，则a b（6）若a b，则||||a b解答：若|5||2|7x x++-=，求x的取值范围。

小升初衔接数学讲义(共13讲)小升初衔接专题讲义第一讲数系扩张--有理数（一）一、问题引入与归纳1.正负数、数轴、相反数、有理数等概念。

2.有理数的两种分类。

3.有理数的本质定义，能写成 m/n （n≠0，m、n 互质）。

4.性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（除数不能为零）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5.绝对值的意义与性质：① |a| = a（a≥0）或 |a| = -a（a<0）。

②非负性。

③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。

ii）几个非负数的和为零，则它们都为零。

二、典型例题解析：例1：若ab ≠ 0，则 (a+b)/|ab| 的值等于多少？例2：如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（D）。

A。

相反数 B。

倒数 C。

绝对值 D。

平方例3：已知两数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 2，求 x^2-(a+b+cd)x+(a+b)2006+(-cd)2007 的值。

例4：如果在数轴上表示 a、b 两个实数点的位置，如下图所示，那么 |a-b|+|a+b| 化简的结果等于（）A。

2a B。

-2a C。

0 D。

2b例5：已知 (a-3)^2+|b-2|=9，求 ab 的值是（）A。

2 B。

3 C。

9 D。

6例6：有 3 个有理数 a、b、c，两两不等，那么 a-b/b-c，c-a/a-b 中有几个负数？例7：设三个互不相等的有理数，既可表示为 1，a+b，a 的形式式，又可表示为 b/a，b 的形式，求 a^2006+b^2007.例8：三个有理数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且 X = (abc/|ab|+|bc|+|ac|)+ab+bc+ac，则 ax^3+bx^2+cx+1 的值是多少？例9：若 a、b、c 为整数，且 |a-b|^2007+|c-a|^2007=1，试求 |c-a|+|a-b|+|b-c| 的值。

⼩学初中衔接教材数学·参考答案参考答案第⼀章数与代数第⼀节数的认识★基础训练1.①450②六千四百三⼗⼆万九千三百九⼗ 6433万2.0.56 0.56·和0.5·6· 0.5·6· 0.56·3.+4,+15,9 -5,-3,-4 04.905.0 99 1000 98996.120 9907.4a <4b <4c <5c8.15⼈和16⼈,提⽰:把240当成⼀个长⽅形的⾯积,将其分解质因数,⽽240不是完全平⽅数,所以只能得到15和16这两个相近的数。

9.18★提⾼训练1.62.50 363.-20072008,提⽰:第奇数个数为负数,第偶数个数为正数,分⼦为第⼏个数,分母为第⼏个数加1。

第⼆节数的运算★基础训练1.①(a+b )+c=a+(b+c ) (a+b )c=ac+bc②7÷12 12÷7 7÷2 7×12③3 ④116 90 ⑤0.57.8÷ 32× 1-5 +3.6 ⑥7.32.1 4 2.4 51330 107403.445 718 75 2000 8254.13 117 449 56 32 1005.77.49 3274 128.625 4164660★提⾼训练1.①9999900000,提⽰:原式=99999×77778+33333×(3×22222)=99999×77778+99999×22222=99999×(77778+22222)=9999900000;②1,提⽰:设A=1+1,B=1+1+1,然后再根据乘法分配律进⾏计算。

2.被除数是386,除数是30。

3.(1)(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=0,蜗⽜最后回到出发点;(2)最远12厘⽶;(3)5+3+10+8+6+12+10=54,蜗⽜⼀共得到54粒芝⿇。

第一节：找规律中的变与不变课前学一学前言：要学习数学首先要学会预习。

所谓预习，就是在课前对要学习的知识有个大体的了解，找疑点、提问题，然后带着问题听课。

我把预习数学的方法和步骤编一个顺口溜：先读书、划批注；有缺陷、及时补；多用脑、勤动手；试练习、找疑处。

持之以恒先预习，学好数学很容易。

1、一只青蛙两只眼睛，四条腿；二只青蛙四只眼睛，八条腿；三只青蛙六只眼睛，十二条腿；四只青蛙八只眼睛，十六条腿……请你用一段话来描述一下青蛙数量与青蛙眼睛数量、腿的数量之间的变化规律2、小明现在有2块钱，他每天节省1块钱。

第一天的时候他有____元钱；第二天的时候他有____元钱；第三天的时候他有____元钱；第十一天的时候他有____元钱；第十二天的时候他有____元钱；请你用折线统计图的形式表示一下小明攒钱天数和攒到的钱之间的变化规律。

前言：同学之间根据昨天预习的问题进行相互之间的订正，看一看别人是如何回答昨天预习题目的，比较一下自己的回答，讨论一下昨天题目中的问题。

然后做好两件事情：1、改正错误的地方。

思考为什么会做错，并记录下来。

因为错误是最宝贵的财富。

2、如果没有错误，学习别人更优秀的解答。

让自己的解答更加合理、严谨。

请记录下来在本环节你有哪些收获呢？课上想一想我们用了语言的形式表示了青蛙数目和眼睛、腿的个数的变化规律；用折现统计图表示了小明存钱数目和天数的变化规律；用表格的形式表示了第几个图形与五角星数目的变化规律。

其实在生活中处处都存在这有规律的变化。

我们可以发现在变化的过程中有的量是变化的，有的量是不变的。

那么我们如何来表示用数学的形式来表示他们呢？要想解决这个问题我们首先要思考如何来表示变化的数呢？字母可以代表任何数。

1、比如我们可以猜想如果有m只青蛙。

那么有多少只眼睛和腿呢？2、如果小明攒了x天，那么他能攒多少钱呢？3、如果是第n个图形，那么有多少个五角星呢？我们得到了：这些式子的共同特点是________含有字母的式子叫代数式，代数式的特点是：当我给字母一个数字代入时，通过计算可以得到代数式的值，也就是说代数式的值是由其中的字母决定的。

课前快练1.把下列小数化为分数:0.2=0.3=0.4=0.5=0.125=0.75=0.25= 1.125=1.75=2.25=8.125= 5.75=2.把下列分数化为小数＝＝＝＝＝＝＝＝3.把下列带分数化假分数3＝4＝2＝4＝4.快速写出对应的100的补数149738258549363782479474731966快速写出对应的1000的补数123786883257595580479489158942374372637297661 5.直接写出1到16的平方数，如22=46.直接写出1到6的立方数第一章：有理数第一节正数与负数、有理数的分类知识要点：1.定义：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数．注:正数和负数分别表示一个问题中出现相反意义的量正数包括，．分数包括，．负数包括，．2．0既不是正数也不是负数；0是正数和负数的分界．3.有理数定义：和统称为有理数4．有理数的分类:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数非正数:非负数:非正整数:非负整数:典型例题：1：判断：（1）0是正数…………………………（）（2）0是自然数………………………（）（3）0是非负数………………………（）（4）0是非正数………………………（）（5）0是整数…………………………（）（6）0是有理数………………………（）（7）在有理数中，0仅表示没有。

……………………（）（8）0除以任何数，其商为0…………………………（）（9）正数和负数统称有理数。

………………………（）（10）―3.5是负分数…………………………………（）（11）负整数和负分数统称负数………………………（）（12）0.3既不是整数也不是分数，因此它不是有理数………………（）（13）正有理数和负有理数组成全体有理数。

…………………………（）例题2：下列说法正确的是①在+5与-6之间没有正数②在-1与0之间没有负数③在+5与+6之间有无数个正分数④在-1与0之间没有正分数例题3：如果零上5℃记作+5℃，那么零下7℃可记作（）A．-7℃B．+7℃C．+12℃D．-12℃例题4：某运动员在东西方向的公路上练习跑步，跑步的情况记录如下：（向东为正，单位：m）：1000，-1200，1100，-800，900．该运动员共跑的路程为_____m．例题5：在某地区，高度每升高100米，气温下降0.8℃．若在该地区的山脚测得气温为15℃，在山顶测得气温为-5℃，那么从山顶到山脚的高度是_______米．例题6：某食品包装袋上标有“净含量385±5”，这包食品的合格净含量范围是克～克．例题7：学校对初一男生进行立定跳远的测试，以能跳1.7m及以上为达标，超过1.7m的厘米数用正数表示，不足l.7m的厘米数用负数表示．第一组10名男生成绩如下(单位cm)：+2-40+5+8-70+2+10-3问：(1)第一组有百分之几的学生达标?(2)第一组平均成绩为多少米及时巩固1、下列说法中正确的是（）A、不带“-”的数都是正数B、不存在既不是正数，也不是负数的数C、如果a是正数，那么-a一定是负数D、0℃表示没有温度2、学校、家、书店，依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边70米，小明从家出发，向北走了50米，接着又向南走了-20米，此时小明的位置是（）A、在家B、在书店C、在学校D、在家的北边30米处3、巴黎与北京的时间差为-7时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果北京时间是7月2日14：00，那么巴黎时间是（）A、7月2日21时B、7月2日7时C、7月1日7时D、7月2日5时4、如果仓库运进大米3t记为+3t，那么该仓库运出大米5t记为（）A、-3tB、+3tC、-5tD、+5t5、小明今年在银行中办理了7笔储蓄业务：取出9.5元，存进5元，取出8元，存进12无，存进25元，取出12.5元，取出2元，这时银行现款增加了（）A、12.25元B、-12.25元C、10元D、-12元6、某汽车厂上半年一月份生产汽车200辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，上半年各月与一月份的生产量比较如下表（增加为正，减少为负）．则上半年每月的平均产量为（）月份二三四五六增减（辆）-5-9-13+8-11A、205辆B、204辆C、195辆D、194辆7．一种商品的标准价格是200元，随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想．（1）±10%的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；第二节数轴知识要点：1.数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴2.数轴的三要素：________、__________、__________.3.数轴上的点与实数是___________的.4.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，….如图所示.注意：1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

小升初暑假班衔接教材数学CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.暑期衔接学案专题一 小学阶段重难点积累课题1 数学形体计算公式集合一、基本公式：长方形的周长= ---- 长方形的面积＝ ---- 长方体的体积＝ ---- 正方形的周长= ----正方形的面积＝ ---- 正方体的体积＝ ----三角形的面积＝ --- 三角形的内角和＝ 。

平行四边形的面积= ----梯形的面积= --圆的直径= ---- 圆的半径= ---- 圆的周长= =- ---圆的面积= ---- 圆柱的侧面积= -- 或 或圆柱的体积= ---- 或 圆锥的体积=- --- 或二、分数的运算法则：1、同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

2、异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

3、分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。

4、分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

三、单位换算1、1公里＝千米 1千米＝米1米＝分米 1分米＝厘米1厘米＝毫米2、1平方米＝平方分米1平方分米＝平方厘米1平方厘米＝平方毫米3、1立方米＝立方分米1立方分米＝立方厘米1立方厘米＝立方毫米4、1吨＝千克，1千克= 克= 公斤5、1公顷＝平方米6、1升＝立方分米＝毫升1毫升＝立方厘米四、数量关系计算公式方面1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数2、＝路程＝时间＝速度4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价5、 =商=除数=被除数6、＝工作总量＝工作时间＝工作效率五、算术方面1、加法交换律：字母表示：2、加法结合律：字母表示：3、乘法交换律：字母表示：4、乘法结合律：字母表示：5、乘法分配律：字母表示：反过来6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。