2019版九年级数学下册 第5章 二次函数 5.1 二次函数导学案(新版)苏科版

2019年九年级数学《二次函数》教案内容：1、概念：一般地，形如2y a x b x c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2、二次函数的性质3、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）二次项系数 aa 决定抛物线开口的大小和方向，a ＞0，抛物线开口向上，a ＜0，抛物线开口向下；a 的大小决定开口的大小，a 越小开口越大。

函数二次函数 图 像a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=ab2-， 顶点坐标是（a b2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=a b 2-时，y 有最小值，abac y 442-=最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸 （2）对称轴是x=ab2-， 顶点坐标是（a b2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，abac y 442-=最大值（2）b a 和共同决定抛物线的对称轴：aby 2-=（3）c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标。

4、二次函数图象的平移 ① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；② 保持抛物线2y a x =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2③图像平移步骤（1）配方2()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ）（2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减例：将抛物线22x y =的图像先向右平移2个单位看，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是()3222+-=x y5、.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2. 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.6、二次函数与一元二次方程一元二次方程20a x b x c ++=是二次函数2y a x b x c =++当函数值0y =时的特殊情况。

二次函数学习目标总结近两年中考试卷中的二次函数问题，有针对性的进行分析、总结学习难点1.能结合具体情境体会二次函数的意义。

2.能根据已知条件确定二次函数表达式。

3.会画二次函数的图像，通过图像理解其性质。

4.能用二次函数解决一些实际问题。

5.能确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向与对称轴，并能解决简单的实际问题。

6.会利用二次函数图像求一元二次方程的近似解。

教学过程例1．新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC 为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？例2．已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，•抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．ODBCA例3．已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；（2）以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的解析式；②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．OxyABCD例4．在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线上．（1）点A的坐标为，点B的坐为；（2）抛物线的关系式为；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的积；（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．【课后作业】班级姓名学号1．如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米。

2019-2020学年九年级数学下册 第5章 二次函数导学案（新版）苏科版一．计算与化简： 1．先化简：121a a a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并任选一个你喜欢的数a 代入求值．2．计算：（1） -2-2-（- 12）2 +（π-3.14）0； （2）4812332+．3. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-≤-321,65x x x 并写出它的整数解．4．解方程（1）0532=--)(y （2）04124122=++-+)()(x x二、知识梳理【结合二次函数的图像研究其性质】1．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）2.如图所示是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部分，围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（ ） A ．4B ．163C ．2πD ．83的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式 ．4．如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

正确的说法有_____________． 5．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．三、典型题解例1 抛物线y =x 2+bx +c 经过A (－1，0)，B (4，5)两点，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为点D ，对称轴所在的直线交x 轴于点E ， 连接AD ，点F 为AD 的中点，求出线段EF 的长.例2 如图，E 、F 分别是边长为４的正方形AB CD 的边BC 、CD 上的点，CE =1，CF =43，直线FE 交AB 的延长线于G ．过线段FG 上的一个动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分 别为M 、N ．设HM =x ，矩形AMHN 的面积为y ． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少?例3某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额－总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？ 最大值是多少？xE HF C N M GB A Dy (件)四、中考链接(2012●扬州)红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种（天36 未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为25t 41y 1+=（20t 1≤≤且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为40t 21y 2+-=（40t 21≤≤且t 为整数）。

知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c而言，其顶点坐标为（－2b a，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 考点2 矩形的性质及判定1. 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形（1）是平行四边形；（2）四个角是直角．2. 矩形的性质性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

； 3. 矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形． 矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

考点3 菱形的性质及判定1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 注意： 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 2．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；3．菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．考点4 正方形的性质及判定1. 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）都可以得到正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2.正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；3. 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．4. 正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.考点5 探究特殊平行四边形的一般思路解答特殊平行四边形的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出特殊平行四边形的分类标准，一般涉及到动态问题要以静制动，动中求静，由于特殊平行四边形分为矩形、菱形和正方形，故我们可以从这些特殊平行四边形的性质及题干信息入手，具体如下：（1）假设结论成立，分情况讨论，抓住每类图形的特殊性质入手，由于特殊的平行四边形也是平行四边形，可先证明出是平行四边形，在适当加入一些特征便可以得到矩形、菱形或是正方形。