2019七年级下册数学知识点

初一下数学重点
初一数学的重点内容通常包括：
1. 整数运算：包括整数的加减乘除运算，绝对值等概念。

2. 代数表达式：包括代数式的认识、简单的代数式的化简与计算。

3. 方程：包括一元一次方程的解法和应用。

4. 平面图形：包括平行四边形、三角形、四边形等图形的性质与计算。

5. 比例与百分数：包括比例的意义、比例线段定理、百分数与实际问题的应用。

6. 数据的收集和处理：包括调查统计、频数分布表、直方图、折线图等。

7. 几何初步：包括角的认识、角的度量、同位角、对顶角等基本概念。

这些内容是初一数学的重点，学生需要通过理论学习和大量的练习来掌握这些知识。

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4.3 用乘法公式分解因式第1课时用平方差公式分解因式知识点1平方差公式分解因式把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，得a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．1．把下列多项式分解因式：(1)x2－36；(2)36－25y2；(3)(x＋p)2－(x＋q)2.一提公因式与平方差公式综合运用把下列各式分解因式：(1)18a2－8b2；(2)a5－81ab4.[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式分解，以免出现16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．二尝试用平方差公式进行简便运算教材作业题第3题变式题用简便方法计算：(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.探究三平方差公式分解因式的应用教材补充题如图4－3－1所示，在半径为R的大圆内部挖去四个半径为r的小圆．(1)用含R，r的式子表示剩余部分的面积S；(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留π)．图4－3－1[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．－m4－n4B．－16x2＋y2C．1.21－a2D．9a2－64b22．将整式9－x2分解因式的结果是( )A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)3．将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－y2) B．x(x－y)2C．x(x＋y)2D．x(x＋y)(x－y)4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )A．4a2－b2B．4a2＋b2C．－4a2－b2D．－4a2＋b25．观察下面4个分解因式的过程：(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，8二、填空题7．xx·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．8．xx·长沙分解因式：x2y－4y＝________．9．xx·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．10．xx·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．11．已知58－1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是________．三、解答题12．分解因式：(1)a3－16a；(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；(3)m4(m－2)＋16(2－m)．13.用简便方法计算：(1)6.42－3.62；(2)1.42×16－2.22×4.14．设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．n(m>2n)的小正方形．(1)用含m，n的式子表示剩余部分的面积S；(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．图4－3－2详解详析【预习效果检测】1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．(3)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【重难互动探究】例1[解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符合公式．解：(1)18a2－8b2＝2(9a2－4b2)＝2(3a＋2b)(3a－2b)．(2)a5－81ab4＝a(a4－81b4)＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．例2解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.(2)原式＝3.14×(752－252)＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.例3[解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．解：(1)剩余部分的面积为S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，S＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)＝π·60×10＝600π(cm2)．【课堂总结反思】[反思] 两个均不正确．改正：①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A 2.B3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4．D 5.B 6.B7．[答案] (a＋3)(a－3)8．[答案] y(x＋2)(x－2)9．[答案] (m－3)(m＋3)10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)11．[答案] 26，24[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是26，24. 12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)＝(m－2)(m4－16)＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.(2)1.42×16－2.22×4＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，即(2n＋1)2－25能被4整除．[数学活动][解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，S＝(m＋2n)(m－2n)＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)＝20×6.4＝128(厘米2)．所以剩余部分的面积为128平方厘米．。

浙教版七年级数学严选学习材料一线名师严选内容，逐一攻克☆基本概念、基本原理、基础技能一网打尽☆点拨策略思路，侧重策略指导，拓宽眼界思路☆专题02 二元一次方程组及其解法知识网络重难突破知识点一有关概念及应用1.二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。

2.二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。

同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。

【典例1】（2019春•诸暨市期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x+xy＝8B．y＝x﹣1C．x+＝2D．x2﹣2x+1＝0【点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．【解析】解：A、含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，故本选项错误；B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故本选项正确；C、不是整式方程，故本选项错误；D、x含有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．【变式训练】1．（2019春•余姚市校级月考）若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，则a的值为﹣2．【点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值．【解析】解：根据二元一次方程的定义，得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，解得a＝﹣2．故答案是：﹣2．【点睛】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．2．（2019春•嘉兴期末）已知是二元一次方程mx+4y＝2的一个解，则代数式m﹣2n的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【点拨】把x与y代入方程计算，即可求出所求．【解析】解：把代入方程得：﹣2m+4n＝2，整理得：﹣2（m﹣2n）＝2，即m﹣2n＝﹣1，故选：C．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2019春•余姚市期末）下列各组数中，是二元一次方程2x﹣3y＝1的解的是（）A．B．C．D．【点拨】把x、y的值代入方程，看看左边和右边是否相等即可．【解析】解：A、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝﹣1，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；B、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝1，右边＝1，左边＝右边，所以是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项符合题意；C、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝﹣5，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；D、把代入方程2x﹣3y＝1得：左边＝5，右边＝1，左边≠右边，所以不是方程2x﹣3y＝1的解，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键．知识点二二元一次方程组的解法常用方法：代入消元法、加减消元法解方程组的基本思想是“消元”，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

专题05 一元一次不等式及不等式组知识框架重难突破一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解及解集（1）使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。

（2） 一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。

（3）解集在数轴上表示3、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

备注：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移 项，得 23663-+≤-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变）a a a a < > ≤ ≥合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 例1．（2019·湖南广益实验中学初一期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）A ．1x ＞3B ．x 2＜1C ．x +2y ＞0D ．x ＜2x +1【答案】D【解析】解：A 、1x 是分式，因此1x＞3不是一元一次不等式，故此选项不合题意； B 、x 2是2次，因此x 2＜1不是一元一次不等式，故此选项不合题意；C 、x +2y ＞0含有2个未知数，因此不是一元一次不等式，故此选项不合题意；D 、x ＜2x +1是一元一次不等式，故此选项符合题意；故选：D ．练习1．（2018·六安市裕安中学初一期中）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）①2x 32x +> ②130x -> ③ x 32y -> ④x 15ππ-≥ ⑤ 3y 3>- A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 【答案】B【解析】详解：①不是，因为最高次数是2；②不是，因为是分式；③不是，因为有两个未知数；④是；⑤是.综上，只有2个是一元一次不等式.故选B ．例2．（2019·洋县教育局初二期中）若437m x -+≤是关于x 的一元一次不等式，则m =__________．【答案】3【解析】解：∵437m x -+≤是关于x 的一元一次不等式，∴4-m =1，∴m=3，故答案为：3．练习1.（2019·山东省初二期中）已知12(m+4)x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为()A．4 B．±4 C．3 D．±3【答案】A【解析】根据题意|m|﹣3=1且m+4≠0解得：|m|=4，m≠﹣4所以m=4．故选：A．例3．（2018·浙江省初二期中）一元一次不等式2（x﹣1）≥3x﹣3的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解: 2（x﹣1）≥3x﹣3去括号, 得2x-2≥3x-3，移项, 合并同类项, 得-x≥-1，得：x≤1故在数轴上表示为:故选B.练习1．（2020·万杰朝阳学校初一期中）如图，张小雨把不等式3x＞2x-3的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是____．【答案】-3【解析】由3x＞2x-3，解得：x＞-3，∴阴影部分盖住的数字是：-3．故答案是：-3．例4．（2020·监利县新沟新建中学初一期中）解不等式：14232-+->-x x ． 【答案】x ＜−2【解析】解：去分母：2（x −1）−3（x ＋4）＞−12，去括号：2x −2−3x −12＞−12，合并同类项：−x ＞2，系数化1：x ＜−2． 练习1．（2018·福建省永春第二中学初一期中）解不等式3(21)x +＜13(43)x --，并把解集在数轴上表示出来．【答案】x ＜2，数轴见解析【解析】去括号，得 6x +3＜13-4+3x ，移项，得 6x -3x ＜13-4-3，即3x ＜6，两边同除以3，得x ＜2，在数轴上表示不等式的解集如下：例5．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）关于x 的不等式22x a -+≥的解集如图所示，则a 的值是（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．4- 【答案】A【解析】解：解不等式22x a -+≥，得22a x- ，∵由数轴得到解集为x ≤-1， ∴212a -=- ，解得：a =0. 故选：A .练习1．（2019·陕西省初二期中）不等式-4x -k ≤0的负整数解是-1，-2，那么k 的取值范围是（ ） A ．812k ≤<B ．812k <≤C ．23k ≤<D ．23k <≤ 【答案】A【解析】解：∵-4x -k ≤0，∴x ≥-4k ， ∵不等式的负整数解是-1，-2，∴-3＜-4k ≤-2， 解得：8≤k ＜12，故选：A ．二、一元一次不等式组1、一元一次不等式组定义： 含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

7 整式的除法第2课时【教学目标】知识技能目标理解整式除法运算的算理,会进行简单的整式除法运算.过程性目标经历探索整式除法运算法则的过程,发展有条理的思考及表达能力.情感态度目标体会数学在生活中的广泛应用.【重点难点】重点:多项式除以单项式的运算法则的探索及其应用.难点:探索多项式除以单项式的运算法则的过程.【教学过程】一、创设情境你知道需要多少杯子吗?图(1)的瓶子中盛满了水,如果将这个瓶子中的水全部倒入图(2)的杯子中,那么一共需要多少个这样的杯子?(单位:cm)二、探究归纳1.探究活动一内容:计算下列各题,说说你的理由.(1)(ad+bd)÷d(2)(a2b+3ab)÷a(3)(xy3-2xy)÷xy学生通过思考、交流,归纳总结探究方法:方法1:利用乘除法的互逆(1)∵(a+b)·d=ad+bd,∴(ad+bd)÷d=a+b(2)∵(ab+3b)·a=a2b+3ab,∴(a2b+3ab)÷a=ab+3b(3)∵(y2-2)·xy=xy3-2xy,∴(xy3-2xy)÷xy=y2-2方法2:类比有理数的除法例如(21+0.14)÷7=(21+0.14)×=3+0.02=3.02类比得到(1)(ad+bd)÷d=(ad+bd)·=a+b(2)(a2b+3ab)÷a=(a2b+3ab)·=ab+3b(3)(xy3-2xy)÷xy=(xy3-2xy)·=y2-2结论1总结多项式除以单项式的法则多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.2.探究活动二内容:做一做:小明在爬一小山时,第一阶段的平均速度为v,所用时间为t1;第二阶段的平均速度为v,所用时间为t2.下山时,小明的平均速度保持为4v.已知小明上山的路程和下山的路程是相同的,问小明下山用了多长时间? 例题计算:(1)(6ab+8b)÷2b(2)(27a3-15a2+6a)÷3a(3)(9x2y-6xy2)÷3xy(4)(3x2y-xy2+xy)÷(-xy)三、交流反思教师提问:1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?2.对这些内容你有什么体会?与同伴进行交流.在学生自由发言的基础上,师生共同总结.四、检测反馈1.基础巩固练习:(1)(3x2y-6xy)÷6xy=0.5x(2)(5a3b-10a2b2-15ab3)÷(-5ab)=a2+2ab+3b2(3)(2x2y-4xy2+6y3)÷(-y)=-x2+2xy-3y22.随堂练习第1题(1)(3xy+y)÷y(2)(ma+mb+mc)÷m(3)(6c2d-c3d3)÷(-2c2d) (4)(4x2y+3xy2)÷7xy3.生活中的应用:处理情境问题:你知道需要多少杯子吗?图(1)的瓶子中盛满了水,如果将这个瓶子中的水全部倒入图(2)的杯子中,那么一共需要多少个这样的杯子?(单位:cm)÷=÷=(πa2H)÷(a2)+(a2h)÷(a2)=2H+h答:一共需要(2H+h)个这样的杯子.五、布置作业1.完成教材1.14 T12.完成本章知识结构图六、板书设计七、教学反思1.要把所学知识有机的整合,形成一定的知识体系学生的知识体系是一步步建立起来的,如何通过引导让学生把已熟悉的知识与未学知识巧妙联系起来是在教学过程中必须深深思考的环节.本节课是本章的最后一节,在学习本节的同时应让学生逐步感悟本章的知识体系,使所学知识形成一个整体,而不是毫无关联的个体,要让学生学会自己建立自己的知识体系,而非别人所灌输.2.要把培养学生的综合能力放在教学的首要位置教学不应仅仅传授课本上的知识内容,而应该在传授知识内容的同时,注意对学生综合能力的培养.本节课中对情景问题的处理就是对学生综合能力的培养,在这个过程中,学生需要独立思考、合作交流、有条理的表述,才能很好的完成问题.3.提高学生的计算能力不宜大量练习本章的重点就是整式的运算,因此难以避免地要让学生完成大量的计算题,但是量大未必效果好,应当根据学生对知识的掌握程度分层次练习,不同层次的学生只需完成适合自己的适量练习即可,要追求质量.。

2.3 解二元一次方程组第1课时 代入消元法知识点1 代入消元法将方程组一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．1．用代入法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，①2x ＋y ＝10，②可将①代入②，得一元一次方程：____________．知识点2 代入法解二元一次方程组用代入法解二元一次方程组的一般步骤：(1)从方程组中选取一个未知数系数比较简单的方程；(2)将选取的方程变形，变成用一个未知数表示另一个未知数的形式； (3)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；(4)把这个未知数的值代入变形后的方程，求得另一个未知数的值； (5)写出方程组的解．2．用代入法解下列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，x ＋4y ＝13.一 代入消元法解二元一次方程组教材例2变式题解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 3＝7，2x ＋y ＝14.[归纳总结] (1)解二元一次方程组的基本思路是“消元”，也就是把二元一次方程组化为一元一次方程；(2)二元一次方程组的解是一对数值，需用大括号将这对数值上下排列；(3)当方程组中某一个未知数的系数的绝对值等于1时，用代入法解方程组比较简单；(4)不能把变形后方程代入变形前的原方程中，否则只能得到一个恒等式，应将变形后的方程代入另一个方程中求解．二 利用整体思想解二元一次方程组教材补充题 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，2（x ＋1）－y ＝11.[归纳总结] 有时用传统的代入法可能比较烦琐，此时可以考虑用整体代入法．运用整体代入法时，重点是观察，对比系数间的关系．三 方程组的解的综合应用教材补充题若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1与方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，mx －ny ＝4的解相同，求m ，n 的值．[归纳总结] 综合性应用题的解题重点为转化思想，根据题意把题目转化成二元一次方程组．[反思] 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －7y ＝8，①3x －8y ＝10.②解：由①，得x ＝8＋7y2，③将③代入①，得8＝8，所以原方程组无解． 这种解法是否正确？若不正确，请改正．一、选择题1．已知3x －11y ＝5，用含x 的代数式表示y ，下列正确的是( )A ．y ＝5－3x 11B ．y ＝3x －511 C ．x ＝11y ＋53 D ．x ＝－11y ＋532．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，①3x －2y ＝8②时，将方程①代入方程②中，所得的方程是( )A ．3x ＋4x －3＝0B ．3x －4x －6＝8C ．3x －4x ＋6＝8D ．3x ＋2x －6＝83．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5②时，使得代入后化简比较简单的变形是( )A ．由①，得x ＝2－4y 3B ．由①，得y ＝2－3x 4C ．由②，得x ＝y ＋52D ．由②，得y ＝2x －5 4．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0 5．已知关于x ，y 的二元一次方程y ＝mx ＋n ，当x ＝2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝5，则( )A ．m ＝2，n ＝3B ．m ＝－2，n ＝3C ．m ＝2，n ＝－3D ．m ＝－2，n ＝－36．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7的解，则(a ＋b)(a －b)的值为( ) A ．－16 B ．－7 C ．7 D ．167．解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2017x ＋4y ＝11，2017x ＝19－2y ，得y ＝( )A ．－4B ．－43C .53D ．5二、填空题8．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，2x ＋3y ＝5，选择消去未知数________比较方便．9．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y －5，y ＝2x ＋3，用代入法消去x ，可得方程______________(不用化简)．10．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －my ＝1，mx ＋ky ＝8的解，则k ＝________，m ＝________．11．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的方程y ＝kx ＋b 的两个解，则k ＝________，b ＝________． 三、解答题12．用代入法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，2x ＋y ＝8；(2)2016·无锡⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3－y ，3x ＋2y ＝2.13．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，2y ＋3（x －y ）＝11.14．已知二元一次方程：①y＝4－x ，②2x －y ＝2，③x －2y ＝1.请你从这三个方程中选择你喜欢的两个方程组成一个方程组，并求出这个方程组的解．15．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝2，kx ＋（k －1）y ＝6 的解中x 与y 的值相等，则k 的值为多少？16．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9的解是关于x ，y 的方程3x ＋my ＝8的一个解，求m 的值．17．已知(2a －b －4)2＋|a ＋b ＋1|＝0，求a ，b 的值．[创新题] 甲、乙两人同求方程ax －by ＝7的整数解，甲求出一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4；而乙把ax－by ＝7中的7错看成1，求得一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，试求a ，b 的值．详解详析【预习效果检测】 1．[答案] 4y ＋y ＝10[解析] 将②式中的x 用2y 代替，可得2×2y ＋y ＝10，即为4y ＋y ＝10.2．[解析] 把方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，①x ＋4y ＝13②的两个方程进行比较，发现把方程②变成用含y的代数式表示x 比较容易．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，①x ＋4y ＝13，②由②，得x ＝13－4y ，③把③代入①，得2(13－4y)＋3y ＝16， 即－5y ＝－10，所以y ＝2.把y ＝2代入③，得x ＝13－4×2＝5.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2.【重难互动探究】例1 解：原方程组可整理为⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝42，①2x ＋y ＝14，②由②，得y ＝14－2x ，③把③代入①，得3x －2(14－2x)＝42， 即7x ＝70，所以x ＝10.把x ＝10代入③，得y ＝－6.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.例2 [解析] 本题可用整体代入法求解．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11，②由①，得x ＋1＝6y ，③ 把③整体代入②，得 12y －y ＝11，y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.例3 [解析] 把方程组的解代入含m ，n 的方程组中即可求出m ，n 的值．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入含m ，n 的方程组中， 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2m －n ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.【课堂总结反思】[反思] 这种解法不正确，改正如下：⎩⎪⎨⎪⎧2x －7y ＝8，①3x －8y ＝10，② 由①，得x ＝8＋7y 2，③把③代入②，得3×8＋7y 2－8y ＝10，解得y ＝－45.把y ＝－45代入③，得x ＝65.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝－45.【作业高效训练】[课堂达标]1．[解析] B 移项得11y ＝3x －5，两边同除以11，得y ＝3x －511.故选B .2．C 3.D 4.B5．[解析] B 由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，－m ＋n ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝3.6．[解析] C 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7的解，所以把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7.以下有两种解法：解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，则(a ＋b)(a －b)＝(4－3)×(4＋3)＝7.解法二：方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7可变形为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝7，所以(a ＋b)(a －b)＝1×7＝7.7．[解析] A 将2017x ＝19－2y 整体代入2017x ＋4y ＝11，得19－2y ＋4y ＝11，解得y ＝－4.故选A .8．[答案] y[解析] 因为方程3x －y ＝8化为用含x 的代数式表示y 较为简捷，故应选择消去未知数y.9．[答案] y ＝2(3y －5)＋3 10．[答案] 2 3[解析] 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －my ＝1，mx ＋ky ＝8中，得⎩⎪⎨⎪⎧2k －m ＝1，2m ＋k ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝3.11．[答案] 4 －5[解析] 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3分别代入y ＝kx ＋b 中，用代入法求解． 把两组值代入后的方程组是⎩⎪⎨⎪⎧－1＝k ＋b ，①3＝2k ＋b ，②由①，得b ＝－1－k ，③把③代入②，得3＝2k －1－k. 所以k ＝4，b ＝－5.12．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，①2x ＋y ＝8，②把①代入②，得2(y ＋1)＋y ＝8，解得y ＝2，把y ＝2代入①，得x ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3－y ，①3x ＋2y ＝2，② 由①，得y ＝3－2x ，③把③代入②，得3x ＋2(3－2x)＝2， 解得x ＝4，把x ＝4代入③，得y ＝－5.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5.13．[解析] 本题的两个方程中都含有x －y ，所以可采用整体代入法．解：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，①2y ＋3（x －y ）＝11，②将①代入②，得2y ＋3×3＝11，解得y ＝1， 将y ＝1代入①，得x ＝4.所以原方程的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.14．[解析] 此题的答案不唯一，只要从三个方程中选两个方程组成二元一次方程组求解即可．解：若取方程①和②，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，2x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2；同理，若取方程①和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，x －2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1；若取方程②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，x －2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.15．解：由x 与y 的值相等，得4x －3x ＝2，即x ＝y ＝2，所以2k ＋2(k －1)＝6，解得k ＝2.16．[解析] 把方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9的解代入方程3x ＋my ＝8，即可求得m 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程3x ＋my ＝8， 解得m ＝2.17．解：因为(2a －b －4)2是一个非负数，|a ＋b ＋1|也是一个非负数，两个非负数之和等于0，则每一个非负数都等于0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4＝0，a ＋b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.[数学活动][解析] 由方程组的定义可知甲求得的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4满足原方程，代入后，可得a ，b 之间的关系式3a －4b ＝7；乙求出的解不满足原方程，而满足方程ax －by ＝1，代入后可得a ，b 的另一个关系式a －2b ＝1，从而可求出a ，b 的值．解：把x ＝3，y ＝4代入ax －by ＝7中，得3a －4b ＝7，① 把x ＝1，y ＝2代入ax －by ＝1中， 得a －2b ＝1，② 由①②组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝7，a －2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2.。

第5章 分式5．2 分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质知识点1 分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A ÷M B ÷M(其中M 是不等于零的整式)． 1．下列分式的变形正确的是( )A.a b ＝a 2abB.a ＋1a －1＝a 2＋2a ＋1a 2－1C.a b ＝ab b2 D.b ＋1a ＝ab ＋1a2 知识点2 分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分要约去分子、分母所有的公因式．分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．约分方法：(1)系数：约去分子、分母中各项系数的最大公约数； (2)字母：约去分子、分母中相同字母的最低次幂； (3)若分子与分母是多项式，应先分解因式再约分．2．化简：(1)10a 3b4ab ＝________；(2)x 2－1x －1＝________；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4＝________． 3．在下列分式中，表示最简分式的是( ) A .a 2－a a 2－1 B .a 2＋a a 2－1 C .a 2＋1a 2－1 D .a 2－a a 2＋a一 尝试把非整数系数化为整数系数教材做一做第1题变式题不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数，且使分子与分母不含公因式．(1)12a ＋13b 23a －14b ； (2)45x ＋0.25y 12x －0.6y .二 尝试把最高次项的系数化为正数教材做一做第2题变式题不改变分式的值，使分式的分子、分母中最高次项的系数化为正数． (1)1＋x ＋x 21＋x －x 2； (2)－1＋a －a 2－1－a 2－a 3.三 综合运用所学知识，进行分式的约分教材例1变式题把下列各式约分：(1)－16x 2y 320xy 4； (2)27a n ＋3b 26a n b 3；(3)－6x （a －x ）2－24（x －a ）3y ； (4)a 2＋6a ＋9a 2－9.[归纳总结] 分式的约分就是约去分子与分母中的公因式．找公因式的方法：(1)若分子与分母的系数都是整数，取分子与分母中各项系数的最大公约数；(2)取分子与分母中相同字母的最低次幂；(3)如果分子与分母是多项式，应先分解因式，再找公因式．注意约分的最后结果应是整式或最简分式．[反思] 约分：(1)6y 24xy ；(2)15n （m －n ）2－25（n －m ）.解：(1)6y 24xy ＝6y4x；(2)15n （m －n ）2－25（n －m ）＝5（n －m ）·3n（n －m ）5（n －m ）·（－5）＝3n （n －m ）－5＝－3n 2－3mn 5. 上面两道题的约分是否正确？如果不正确，错在哪里？怎样改正？一、选择题1．下列各式中，成立的是( ) A .x y ＝x 2y 2 B .x y ＝xy x ＋yC .x y ＝x ＋a y ＋a D .x y ＝x ＋axy ＋ay(a≠－1)2．若分式2a a ＋b中a ，b 的值同时扩大为原来的10倍，则此分式的值( )A ．是原来的20倍B ．是原来的10倍C ．是原来的110D ．不变3．计算x 2－9x －3的结果是( )A ．x －3B ．x ＋3C .x －93 D .x ＋3x4.不改变分式0.5x －10.3x ＋2的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得的结果为( )A .5x －13x ＋2B .5x －103x ＋20 C .2x －13x ＋2 D .x －23x ＋205．有下列分式：12x 2y 3x ，x －y x 2－y 2，x 2＋y 22（x ＋y ），y －2x 2x －y ，a 2－2a ＋11－a2，其中最简分式有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题6．填空：(1)1a ＋1＝a ＋1；(2)a 2－4a 2＋4a ＋4＝a －2. 7．2016·南充计算：xy2xy ＝________．8．2016·无锡化简2x ＋6x －9得________．9．化简：()x ＋22－()x －22x＝________．三、解答题10．下列各式正确吗？如果不正确，请写出正确结果． (1)a 2－2a ＋11－a ＝1－a(a≠1)；(2)3x －4y 8xy －6x 2＝12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x≠0且x≠43y .11．约分：(1)15xy 225y 3z ； (2)12xy 2＋9xyz 3x 2y ；(3)m 3－m 4m ＋4； (4)9a 2＋24ab ＋16b 23a ＋4b .12．2016·广州已知A ＝（a ＋b ）2－4abab （a －b ）2(a≠0，b ≠0且a≠b)，化简A.13.今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p.求今年3月该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比．若p ＝5%，这个比值是多少？综合运用光明中学有两块边长为x米的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮，方式一：如图5－2－1①，在正方形空地上留两条宽为2m米的路；方式二：如图②，在正方形空地四周各留一块边长为m米的正方形空地植树，其余种植草皮．学校准备两种方式各用5000元购进草皮．图5－2－1(1)写出按图①，②两种方式购买草皮的单价；(2)当x＝14，m＝2时，求按两种方式购买草皮的单价各是多少．(结果均保留整数)详解详析【预习效果检测】1．C [解析] 发现题目中隐含的条件是解本题的关键.a b成立已隐含着条件b ≠0，当分子、分母同乘a ，必须附加条件a ≠0，因此A 项不一定成立，而C 项成立.a ＋1a －1中隐含着a －1≠0，但等号右边的式子中分子、分母同乘(a ＋1)，若要等式成立，则必须附加条件a ＋1≠0.D 项中分子应为ab ＋a .故选C.2．(1)5a 22b (2)x ＋1 (3)a －2a ＋2[解析] (1)原式＝2ab ·5a 22ab ·2b ＝5a 22b .(2)原式＝()x ＋1（x －1）x －1＝x ＋1. (3)原式＝()a ＋2（a －2）()a ＋22＝a －2a ＋2.3．C【重难互动探究】例1 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋13b ×12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－14b ×12＝6a ＋4b 8a －3b .(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋0.25y ×20⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －0.6y ×20＝16x ＋5y 10x －12y .例2 解：(1)1＋x ＋x 21＋x －x 2＝1＋x ＋x 2－（x 2－x －1）＝－1＋x ＋x2x 2－x －1. (2)－1＋a －a 2－1－a 2－a 3＝－（1－a ＋a 2）－（1＋a 2＋a 3）＝1－a ＋a21＋a 2＋a 3. 例3 解：(1)原式＝－4xy 3·4x 4xy 3·5y ＝－4x5y .(2)原式＝3a n b 2·9a 33a n b 2·2b ＝9a32b.(3)原式＝6（x －a ）2·x 6（x －a ）2·4y （x －a ）＝x4y （x －a ）. (4)原式＝（a ＋3）2（a ＋3）（a －3）＝a ＋3a －3.【课堂总结反思】[反思] 两个都不正确．(1)约分不彻底；(2)最后一步符号错误． 改正：(1)6y 24xy ＝2y·3y 2y·2x ＝3y2x.(2)15n （m －n ）2－25（n －m ）＝5（n －m ）·3n（n －m ）5（n －m ）·（－5）＝3n （n －m ）－5＝3mn －3n 25. 【作业高效训练】 [课堂达标] 1．D 2.D3．[解析] B x 2－9x －3＝（x ＋3）（x －3）x －3＝x ＋3.4．B 5.A6．[答案] (1)a 2＋2a ＋1或(a ＋1)2(2)a ＋2[解析] 根据分式的基本性质求解．比较等式两边分子和分母的变化，再将待填的分母或分子作相应的变形即可．(1)中分子由1到a ＋1，显然是由1乘(a ＋1)得到的，相应地，分母a ＋1也应乘(a ＋1)，得(a ＋1)(a ＋1)＝a 2＋2a ＋1，故填a 2＋2a ＋1；(2)中分子a 2－4＝(a ＋2)(a －2)，分子由(a ＋2)(a －2)到a －2，显然是除以了(a ＋2)，相应地，分母也应除以(a ＋2)，故填a ＋2.7．[答案] y8．[答案]2x －39．[答案] 8[解析] 根据完全平方公式，可得原式＝x 2＋4x ＋4－x 2＋4x －4x ＝8xx ＝8.10．解：(1)正确．(2)不正确，正确的结果为3x －4y 8xy －6x 2＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x≠0且x≠43y . 11．解：(1)15xy 225y 3z ＝5y 2·3x 5y 2·5yz ＝3x5yz .(2)12xy 2＋9xyz 3x 2y ＝3xy （4y ＋3z ）3xy·x ＝4y ＋3z x . (3)m 3－m 4m ＋4＝m （m ＋1）（m －1）4（m ＋1）＝m （m －1）4.(4)9a 2＋24ab ＋16b 23a ＋4b ＝（3a ＋4b ）23a ＋4b＝3a ＋4b.[点评] 分式约分的关键是找出分子与分母的公因式．如果分式的分子、分母是几个因式的积的形式，要约去系数的最大公约数及相同因式的最低次幂；如果分子、分母是多项式，要先对分子、分母进行因式分解，然后再约分．12．解：A ＝a 2－2ab ＋b 2ab （a －b ）2＝1ab. 13．解： 设1月份的生产总值为a ，则2月份的生产总值a(1＋p)，3月份的生产总值为a(1＋p)2. 故今年3月份该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比为a （1＋p ）2a ＋a （1＋p ）＝（1＋p ）22＋p .当p ＝5%时，（1＋p ）22＋p ＝441820.[数学活动]解：(1)图①种植草皮的面积为(x －2m)2，图②种植草皮的面积为x 2－4m 2.按图①方式购买草皮的单价为5000（x －2m ）2元/米2；图②方式购买草皮的单价为5000x 2－4m2元/米2.(2)12x ＝14，m ＝2时，按方式一购买草皮的单价是50元/米2，按方式二购买草皮的单价是28元/米2.。