初三有关旋转变换几何综合证明题解法探究

人教版数学九年级上册旋转问题的题型与解法探析一、联系生活欣赏扑克牌中的旋转例1现有如图1所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180后得到图2，则旋转的牌是（）分析：解这类问题时，同学们不妨采用“局部透视整体法”即通过观察整体中某一个部分，按照题目的要求进行相应的变化后，所遵循的规律，或者说所引起的变化，则图形的整体变化也遵循同样的规律．梅花5的图形“梅花”是个轴对称图形，所以旋转180º后得到的图形要发生变化，原来向下的梅花的小尾巴，要变成向上；原来向上梅花顶要变成向下．这是第一张牌的特点；红桃5的图形“红桃”是个轴对称图形，所以旋转180º后得到的图形要发生变化，原来向上的红桃的尖，要变成向下．这是第二张牌的特点；黑桃5的图形“黑桃”是个轴对称图形，所以旋转180º后得到的图形要发生变化，原来向下的黑桃的尖，要变成向上．这是第三张牌德特点；方块5中的图形“方块”是菱形，而菱形是中心对称图形，所以旋转180º后得到的图形还是菱形，也就是说在变化前后，图形的方向、位置、形状都不会发生变化．而图2中的变化特点是：第一张牌发生变化，第二张牌没有变化，第三张牌没有变化，第四张牌没有变化，因此我们选B．解：选B．二、坐标系中以原点为中心旋转180º后求坐标例2如图3，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形.如果△ABC中任意一点M的坐标为（a，b），那么它的对应点N的坐标为.分析：仔细观察图形中每一对对应点的坐标变化规律，确定其中的变化规律．因为点A 的坐标为（4,3），变化后点P 的坐标为（-4，-3），所以这个变化是旋转变化，且旋转角为180º，所以这是一个中心对称图形．因为点M 的坐标为（a ，b ），所以它的对应点N 的坐标为（-a ，-b ）．解：应该填（-a ，-b ）．三、坐标系中旋转90º后求坐标例3正方形ABCD 在坐标系中的位置如图4所示，将正方形ABCD绕D 点顺时针方向旋转90º后，B 点的坐标为（ ）A ．（-2,2）B ．（4,1）C ．（3,1）D ．（4,0）分析：在坐标系中，经常遇到多边形旋转一定角度后求某一点的坐标问题．在解答这类问题时，如果把问题的焦点聚焦到这个点身上，思路往往打不开，但是当我们换一个角度，把点的旋转问题转化成某一个三角形的旋转问题，思路就会豁然开朗了．如图5将蓝色的三角形按照要求旋转后落到了红色三角形的位置上，这样就比较容易确定点B 的坐标了，仔细观察不难发现旋转后点B 的对应点的坐标为（4，0）．解：选择D ．四、坐标系中绕某一定点旋转180º后求坐标例4）如图6，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△B A ''C ，设点A 的坐标为),(b a 则点A '的坐标为（ ）（A ）),(b a -- （B ）)1.(---b a （C ）)1,(+--b a （D ）)2,(---b a分析：为了完成问题的解答，我们可以平移x 轴的办法．如图7所示，因为旋转的中心在点C （0，-1），我们不容易求解，所以我们可以将x 轴向下平移一个单位，把问题转化成以点C 位旋转中的旋转问题，但是向下平移时是要加上的，这样在新的坐标系中，点A 的坐标变成了（a ，b+1），所以此时A '的坐标为（-a ，-b-1），分别将A 和A '的坐标向上平移一个单位就回到了原来的坐标系，但是向上时时要减去的，所以点A '的坐标为（-a ，-b-2）． 解：选D ．五 正方形背景下选定旋转中心旋转90º后求线段长例5）如图8，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， DE=1．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90º，得△AB E '，连接E E '，则E E '的长等于 ．分析：旋转前后两个图形是全等的，这是旋转的一个非常重要的性质．同学们必须牢牢记住． 所以△ADE ≌△AB E '，所以B E '=DE ，所以EC=CD=DE=3-1=2，E 'C=B E '+BC=1+3=4, 在直角三角形E E 'C 中，E E '=204222=+=+'CE C E =52．解：填52．六 正方形背景下探求旋转后对应点到某一定点的距离例6 （上海）已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1，如图9所示 ，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为_____.分析：题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，所以需要分类求解．说的是“直线BC 上的点”，没有说明是在线段BC 上，还是在BC 的延长线上，所以也需要分类求解，所以有两种情况如图10所示：顺时针旋转得到2F 点，则2F B=DE=2，2F C=2F B+BC=2+3=5; 逆时针旋转得到1F 点，则1F C=1．解：应该填1或5．七、坐标系中线平移后旋转90º求点的坐标例7 （莱芜）在平面直角坐标系中，以点A(4,3)，B(0，0)，C(8,0)为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△1A 1B 1C （点1A ,1B ,1C 分别为点A,B,C 的对应点），然后以点1C 为中心将△1A 1B 1C 顺时针旋转90º，得到△2A 2B 1C （点2A ,2B 分别是点1A ，1B 的对应点），则点2A 的坐标是 ．分析：在坐标系中，正确的利用数形结合的思想，准确做出变化前后的图形，是解题的关键． 如图11所示，仔细做出符合题意的图形，不难发现2A 的坐标是（11,7）．八 在作图中探求线段的大小，并求角的度数例8如图12在△ABC 和△CDE 中，AB=AC=CE ，BC=DC=DE ，AB>BC ，∠BAC=∠DCE=∠α，点B 、C 、D 在直线l 上，按下列要求画图（保留画图痕迹）；（1）画出点E 关于直线l 的对称点E '，连接C E ' 、D E '；（2）以点C 为旋转中心，将（1）中所得△CD E ' 按逆时针方向旋转，使得C E '与CA 重合，得到△C D 'E ''（a ）.画出△C D 'E ''（b ）解决下面问题：①线段AB 和线段C D '的位置关系是 .理由是：②求∠α的度数.分析：使得C E'与CA重合，是旋转作图的关键要素．它提示了你图形要旋转的角度．解：（1）如图13,所示；（2）E''实际上就是点A；（a）线段AB和线段C D'的位置关系是平行；因为∠DCE=∠DC E'=∠D'CA=∠α，因为∠BAC=∠DCE=∠α，所以∠BAC=∠D'CA，所以AB∥C D'；（b）因为四边形ABC D'是等腰梯形，所以∠ABC=∠D'AB=2∠α，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=2∠α．在三角形ABC中，因为∠ABC+∠ACB+∠BAC =180º，所以2∠α+2∠α+∠α=180º，解得∠α=36º．九、探求符合一定条件的最小旋转角例9 已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图14放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90º，∠E=∠ABC=30º，AB=DE=4．（1）求证：△EGB是等腰三角形；（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小_____度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形如图15，求此梯形的高．分析：最小的旋转角从何处入手求解呢？对，从梯形的入手，AC，DE变成了梯形的底，所以二者一定是平行的，所以同旁内角一定是互补的，而∠C=90º，∠EDF=60º，其和为150º，所以还差30º就满足互补的条件了．因此这就是所求得最小角．解：略同学们自己来完成余下步骤的补充吧．。

【中考数学专题】三大变换之旋转（旋转的性质）
旋转是三大几何变换中考察最多、难度最大的，平移、对称从图像观察角度来说直接显然，对应的结论也很容易用到．而旋转变换得到的图形相对复杂些，有时候解题的突破口隐藏得更深，导致无从下手．本篇将从基本的性质开始，到一些常见的模型，最后说说关于构造旋转能给我们带来什么，全方位了解旋转在中考题中的考察．01基本性质
如下图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE．
性质一：对应边相等
结论：AB=AD，AC=AE．
补充：当然还可以得到BC=DE，但这并没有什么用，因为BC与DE并没有特殊位置关系．
性质二：对应角相等
结论：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE．
补充：如果不是特殊角，此性质并没有什么用，但由性质二可以推性质三．
性质三：旋转角都相等
结论：∠BAD=∠CAE=∠BFD．
补充：∠BAD=∠CAE易证，
∠BAD=∠BFD可用“8字”模型证明：
∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D，且∠B=∠D，
∴∠BAD=∠BFD．
且第三组夹角往往用得最多．
02真题速览
2019眉山中考-三角形的旋转
2019内江中考-旋转得等边
2019阜新中考-特殊角的旋转
2019包头中考-旋转角都相等
2018镇江中考-隐藏的特殊角
2019山西中考-解三角形2017吉林中考-矩形的旋转2019梧州中考-菱形的旋转2018陇南中考-正方形的旋转2019贺州中考-旋转的思考2019营口中考-动态的旋转来源：有一点数学，作者刘岳。

【模型概述初三数学旋转之半角模型及解题方法探究】全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.【经典例题】——方法整合，对接中考1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，M N →的长比路线M A N →→的长少_________m （结果取整数，参考数据：1.7≈）．2．（2022·河北邢台·模拟演练）学完《旋转》，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．（1）【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF，BE，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB＝AD,∠B＋∠D＝180°,12EAF BAD ∠=∠,求证：EF＝BE＋DF．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级模拟）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系（不要求证明）.②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，35AE =AF 的长．【讲练结合】——开发思维，熟能生巧【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD 中，E、F 分别是AB、BC 边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC 之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE 的长．【拓展提高】(3)如图3，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠ABC 与∠ADC 互补，点E、F 分别在射线CB、DC 上，且∠EAF=12∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF 的周长等于．(4)如图4，正方形ABCD 中， AMN 的顶点M、N 分别在BC、CD 边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD 分别交AM、AN 于点E、F，若2EF 的长．(5)如图5，已知菱形ABCD 中，∠B=60°，点E、F 分别是边BC，CD 上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD 分别与边AE、AF 交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN 2+DN 2=BM 2．【专项训练】——举一反三，巩固提高1.（2022·江西九江·一模）如图(2),在四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,AB AD =,以点A 为顶点作EAF ∠,且12EAF BAD ∠=∠,连接EF．(1)【观察猜想】如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE，DF，EF 之间的数量关系为______．(2)【类比探究】如图（1），线段BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)【问题解决】如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若2BD =，求DE 的长．2．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=12∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．3．（2022·重庆市育才中学二模）（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．。

在各种考试的几何压轴题压轴题中，平移，轴对称，旋转中，旋转考查的最多，但是很多题目之间，都有很多类似的地方，也就是“共性”问题，充分的掌握这些“共性”问题的分析思路和解决方法，能够使学生快速的发现解决问题的关键因素。

本讲会给出与旋转有关，且经常在考试中出现的几种基本模型模型一：共顶点旋转模型模型说明：本模型是由全等三角形中一道最基本，最经典的题型，由此题型可演变出很多变化，注意让学生体会，各种变化之间相同点和不同点。

下面给出基本模型，此部分内容系个人总结，如果还有不完善的地方，或者还有其他补充，亦或者还有更好的命名方式，易于学生记忆和理解，请到教师论坛→初数版块→疑难交流区进行反馈，大家一起讨论以下图形虽然很多，但都是一个基本模型，共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形例题精讲旋转与几何探究共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化而我们都知道，“全等三角形”是“相似三角形”的一种特殊情况，因此此模型进一步延伸，可引出相似三角形，也就是此模型的最一般的情况，也就是“通法”“共性”，下面也会给出几组连续变化的图形，注意仔细体会各种变化之间的区别与联系共性：ADAB=AEACCEEDCBA共顶点相似的直角三角形共顶点相似的一般三角形共顶点相似的直角三角形各部分阴影三角形相似的判定方法，均是：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，类比“SAS”真题体验【例1】以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD∆和等腰Rt ACE∆，90BAD CAE∠=∠=︒.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．⑴如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的数量关系是 ；⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．【答案】此题方法不唯一⑴AM DE ⊥，12AM DE =; ⑵结论仍然成立。