电磁场与电磁波复习提纲

《电磁场与电磁波》复习提纲基本定义、基本公式、基本概念、基本计算一、场的概念（§1-1） 1. 场的定义2. 标量场与矢量场：等值面、矢量线 二、矢量分析1.矢量点积与叉积的定义：（第一次习题） a)θcos AB B A =⋅ρρb) θsin AB e B A n ρρρ=⨯2. 三种常用正交坐标系3. 标量的梯度（§1-3）a) 等值面：例1-1 b) 方向导数：例1-2c) 梯度定义与计算：例1-3 4. 矢量场的通量与散度（§1-4）a) 矢量线的定义：例1-4b) 矢量场的通量：()()S e r F S r F n SSd d ρρρρρρ⋅=⋅=⎰⎰ψc) 矢量场的散度定义与计算：例1-5d) 散度定理（高斯定理）：⎰⎰⋅=⋅∇SVS F V F ρρρd d5. 矢量场的环量与旋度（§1-5）a) 矢量场的环流（环量）：⎰⋅=ll F ρρd Γb) 矢量场的旋度定义与计算：例1-6 c) 旋度定理（斯托克斯定理）：()⎰⎰⋅=⋅⨯∇CSl F S F ρρρρd d6. 无源场与无散场a) 旋度的散度()0≡⨯∇⋅∇A ρ，散度处处为0的矢量场为无源场，有A F ρρ⨯∇=b)梯度的旋度()0≡∇⨯∇ϕ，旋度处处为0的矢量场为无旋场，有u F -∇=ρ；c) 矢量场的分类 7. 拉普拉斯算子8. 亥姆霍兹定理：概念与意义 基本概念：1. 矢量场的散度和旋度用于描述矢量场的不同性质a) 矢量场的旋度是矢量，矢量场的散度是标量；b) 旋度描述矢量场中场量与涡旋源的关系，散度描述矢量场中场量与通量源的关系；c) 无源场与无旋场的条件；d) 旋度描述场分量在与其垂直方向上的变化规律；散度描述场分量沿各自方向上的变化规律 2. 亥姆霍兹定理概括了矢量场的基本性质a) 矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定；b) 由于矢量的散度和旋度分别对应矢量场的一种源，故分析矢量场总可以从研究其散度和旋度着手； c) 散度方程和旋度方程是矢量场的微分形式，故可以从矢量场沿闭合面的通量和沿闭合路径的环流着手，得到基本方程的积分形式。

3. 标量场的性质可由其梯度描述a) 标量场的梯度是一个矢量场，且()0≡∇⨯∇ub) 标量场在给定点沿任意方向l e ρ的方向导数等于梯度在该方向上的投影u e lu l ∇⋅=∂∂ρc) 标量场()r u ρ中每一点的梯度垂直于等值面，且指向()r u ρ增加的方向。

三、 电磁场的基本规律1. 电荷守恒定律a) 电荷分布：电荷体密度、电荷面密度、电荷线密度——是空间坐标的点函数 b) 电流密度：电流密度、面电流密度——矢量点函数c) 电荷守恒定律：积分形式⎰⎰-=⋅V S V t S J d d dd ρρρ、微分形式0=∂∂+⋅∇t J ρρ电荷不能创造，不能消灭；在电磁场作用下，发生移动，即重新分布；数学表示式是电流连续方程。

2. 真空中静电场方程a) 库仑定律：R Rq q R q q e F Rρρρ3021********π4π4εε== b) 电场强度：i. 定义 ii. 已知电荷分布求解电场强度（式2-13） iii. 表征电场特性的基本矢量 c) 静电场方程：积分形式()()0d 1d 0=⋅=⋅⎰∑⎰CiiSl r E q S r E ρρρρρρε 微分形式()()00=⨯∇=⋅∇r E r E ρρρρερd) 高斯定理、环路定理i. 静电场散度与高斯定理：利用高斯定理求解电场强度 ii. 静电场旋度与环路定理3. 真空中磁场方程a) 安培力定律：⎰⎰⨯⨯=21312121122012)d (d π4C C R R l I l I F ρρρρμb) 磁感应强度i. 定义ii.也可以通过运动电荷受到的磁场力定义B qv F ρρ⨯=（洛仑兹力）iii. 表征磁场特性的基本矢量 c) 静磁场方程积分形式()()Il r B S r B CS0d 0d μ=⋅=⋅⎰⎰ρρρρρρ 微分形式()()()r J r B r B ρρρρρρ00μ=⨯∇=⋅∇ 4. 电磁感应定律a) 积分形式⎰⎰⋅-=⋅S C S B tl E ρρρρd d d d 表示为闭合回路中的感应电动势与穿过回路的磁通量地变化率的负值成正比b) 微分形式tBE ∂∂-=⨯∇ρρc) 导体回路中的感应电流的方向与感应电动势的方向相同； d) 导体回路中的感应电流产生的磁通总是要阻止磁通的变化，实质是电磁感应现象必须遵守电磁能量守恒定律；e) 感应电动势存在与否不依赖导体回路；f) 电磁感应定律的重要意义：揭示了电与磁相互联系的一个方面，即变化的磁场产生电场。

5. 位移电流密度a)tD J d ∂∂=ρρ 是矢量点函数，某点的位移电流密度等于该点的电位移矢量随时间的变化率；b) 位移电流表明：变化的电场也是一种“电流”，可以激发磁场； c) 位移电流不表示电荷的宏观定向运动，在介质中会引起热效应； d) 引入位移电流的概念，安培定律修正为t D J H S t D J l H S C∂∂+=⨯∇⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰ρρρρρρρρd d e) 位移电流概念的重要意义：揭示了电与磁相互联系的另一个方面，即变化的电场产生磁场。

6. 媒质的电磁特性a) 电介质的极化 b) 磁介质的磁化c) 导电媒质的传导特性 7. 麦克斯韦方程组a) 积分形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰S V S C S C S ρdV S D S B S t B l E S t D J l H ρρρρρρρρρρρρρd 0d d d d )(d ⎰⎰-=⋅VS V S J d d ρρρb) 微分形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD B t B E t D J H ρρρρρρρ0 均匀媒质条件下 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ερμεγE H t H E t E E H ρρρρρρρ0c) 媒质的电磁特性方程（本构关系）E D ρρε=H B ρρμ=E J ρργ=d) 麦克斯韦方程的相关概念i. 两个基本假设：有旋电场的假设、位移电流的假设 ii. 高斯定律在时变情况下也成立 iii. 磁通连续性原理在时变情况下也成立8. 电磁场的边界条件a) 一般形式：()()()()Sn n n Sn D D e B B e E E e J H H e ρ=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯212121210ρρρρρρρρρρρρρ式中，n e ρ为媒质分界面法线方向的单位矢量，选定为离开分界面指向媒质1 i. 磁感应强度法向分量连续 ii.电场强度切向分量连续b) 两种理想介质分界面(0,0==s SJ ρρ)的边界条件()()()()21212121=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯D D e B B e E E e H H e n n n n ρρρρρρρρρρρρc) 理想导体的边界条件（设定媒质2为理想导体）Sn n n S n D e B e E e J H e ρ=⋅=⋅=⨯=⨯111100ρρρρρρρρρ四、 静态电磁场1. 静电场a) 基本方程和边界条件i.基本方程微分形式 0=⨯∇=⋅∇E D ρρρii.基本方程积分形式 0d d d =⋅=⋅⎰⎰⎰CVS l E V S D ρρρρρiii. 边界条件 ()()021212121=-=-⨯=-=-⋅t t n sn n S n E E or E E e D D or D D e ρρρρρρρρ iv. 积分方程表示穿过任一闭合面S 的电位移矢量D 的通量等于该闭合面包围的自由电荷的总量； v.高斯定律积分式和微分式表明静电场是有源场，电荷是产生静电场的源；电力线从正电荷出发，终止于负电荷； vi. 环路定律积分式和微分式表明静电场是无旋场； vii. 在不同媒质的边界上，场矢量E 和D 一般是不连续的，故微分形式基本方程在边界面上不再适用，积分形式基本方程仍然适用；b) 电位函数i. 电位函数及其微分方程⎰⋅=-∇=l E E ρρd ϕϕ在均匀、线性和各向同性电介质中，已知电荷分布求解位函数点电荷()∑'-=r r q r iρρρπεϕ41体密度分布电荷()()V r r r r V''-'=⎰d 41ρρρρρπεϕ面密度分布电荷 ()()S r r r r SS ''-'=⎰d 41ρρρρρπεϕ线密度分布电荷 ()()l r r r r l''-'=⎰d 41ρρρρρπεϕ 在均匀、线性和各向同性电介质中，电位函数满足泊松方程()()ερϕrr ρρ-=∇2 或拉普拉斯方程（0=ρ时） ()02=∇r ρϕii.电位的边界条件snnρϕεϕεϕϕ-=∂∂-∂∂=221121 iii.电位的定义是从静电场的无旋性引入的，但有明确的物理意义，表示电场中，将单位正电荷从P 点移动到参考点Q 时电场力所做的功，表示为⎰⋅==QPPQ P l E q W ρρd 0ϕiv. 点电荷的电位计算公式提供了求解任何索要计算的场点r 处电位的一种方法，再求电场强度E ，容易实现；v. 电位是相对量，在电场一定情况下，空间各点的电位值与参考点的选择有关；选择适当的参考点，使电位表达式具有最简单的形式； vi.电位参考点选择原则：（1）不能选择点电荷所在的点为电位参考点，否则会使场中各点电位为无穷大；（2）只有当电荷分布在有限区域时，才可以选择无限远处位电位参考点；（3）对一些具有轴对称性的问题，通常也不能选择无穷远为电位参考点，而是选择半径a =ρ的圆柱面作为电位参考点；（4）同一问题只能选择一个电位参考点；vii. 静电场中，电位相等的点组成的面为等位面；点电荷产生的电场的等位面是一个以点电荷所在点为中心的同心球面族；viii. 可以利用泊松方程和拉普拉斯方程求解电位； c) 电场能量i. 能量及能量密度分布电荷的电场能量 ⎰=V e V W d 21ρϕ——表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式；但不能认为静电场能量之储存在有电荷区域；此公式只能应用于静电场；多导体系统电场能量 ∑==Ni i i e q W 121ϕ——表示点电荷系的互有能，即总静电能能量密度E D w e ρρ⋅=21 ——V E D W Ve d 21⎰⋅=ρρ表示静电场能量储存在整个电场区域中，适用于静电场和时变场； ii.电容在线性和各向同性电介质中，两导体间的电容为Uq C =计算电容方法：（1）假设导体上的带电量（电荷或分布电荷密度），推导出空间的电荷分布，确定导体间的电压，再计算电容；（2）假设在导体间施加电压，求出空间电场的分布，利用介质中电位移或电位与导体电荷面密度的关系，确定导体上的电荷，进而计算电容。