分段低阶多项式

谱元法应用分析

汪大伟;李南生

【摘 要】首先推导了谱元法在Helmholtz方程和热传导方程中的计算方法,然后以一个规则区域上的Laplace方程和路堤温度场分布的简化模型为算例,对比了有限元法和谱元法的计算效果,显示了谱元法在解决特定实际工程问题中的优越性.

【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2016(034)003

【总页数】3页(P338-340)

【关键词】有限元法;谱单元;h-型;p-型;高精度;谱收敛性

【作 者】汪大伟;李南生

【作者单位】同济大学土木工程学院,上海200092;同济大学土木工程学院,上海200092

【正文语种】中 文

【中图分类】TV312

1 Helmholtz方程

Helmholtz方程广泛的应用价值。该方程表示如下：

2u(x1,x2 )-λ2u(x1,x2 )=f(x1,x2)

其中∂Ω表示区域边界。

由于Helmholtz方程满足自耦性，由这一性质立即可以得到其等价形式，即该问题等价于求其变分形式的极值[1]，但这里直接由该方程的弱形式出发，即：找到u∈S，使得∀w∈V，有

-∫Ωw·udΩ-λ2∫ΩwudΩ=∫ΩwfdΩ

其中|u(x1,x2 )=0(x1,x2)∈∂Ω}

由于考虑齐次Dirichlet边界条件，所以S,V属于相同的函数空间。

传统的有限元算法，在每个单元上采用低阶多项式来构造分段多项式空间，通过细化网格，缩小单元尺寸，增加基函数个数，扩大搜索空间的方法，来尽可能地逼近原函数，减小逼近误差，而不考虑基函数的类型，显然这种方法的效率是比较低的(当然该方法在某些方面，如复杂边界条件下，有其灵活性)。而谱(元)方法的有效性在于，其选择的基函数为奇异Sturm-liouville问题的特征函数，所谓奇异Sturm-Liouville问题，即满足一定边界条件的下述微分方程：(p(x)y′)′+(q(x)+λr(x) )y=0,x∈(a,b)

多项式短除法是指用于求解多项式的一种除法方法。它的基本思

路是通过多项式插值法，构造出一个低阶多项式$Q(x)$，使得

$Q(x)$能够较好地拟合待求解多项式$P(x)$，然后利用$Q(x)$来近似求解$P(x)$。

多项式短除法的基本步骤如下：

• 确定待求解的多项式$P(x)$和拟合多项式的低阶$Q(x)$。

• 求解$Q(x)$的系数，使得$Q(x)$能够较好地拟合$P(x)$。

• 计算$R(x)=P(x)-Q(x)$，其中$R(x)$是多项式$P(x)$和$Q(x)$的差。

• 判断$R(x)$是否满足终止条件，如果满足则终止，否则计算

$R(x)$的低阶多项式$S(x)$，并将$S(x)$代入$Q(x)$，得到新的多项式$T(x)=Q(x)+S(x)$。

• 使用新的多项式$T(x)$代替$Q(x)$，回到步骤2，继续求解。 多项式短除法是一种高效的多项式求解方法，可以用来计续求解

多项式的值、求解多项式的零点、求解多项式的单位根等问题。

它的优点在于能够快速求解多项式，并且在求解过程中可以控制

精度。

多项式短除法的应用领域很广，广泛应用于数值计算、计算机科

学、工程技术等领域。它是一种重要的多项式求解工具，在多项

式计算中有着广泛的应用。

Bogdanov-Takens系统在分段低次多项式扰动下极限环个数的上确界

崔文喆;李宝毅;张永康

【摘 要】将平面分为左右2个区域,研究Bogdanov-Takens系统在分段n(n=1、2)次多项式扰动下极限环个数的上确界B2(n).利用广义幂级数和二阶微分算子估计一阶Melnikov函数M1(h)的孤立零点个数的上确界,得到当M1(h)不恒为0时,在一次分段多项式扰动下有2≤B2(1)≤3,在连续的一次分段多项式扰动下极限环个数的上确界为B2c(1)=1;在二次分段多项式扰动下有5≤B2(2)≤7,在连续的二次分段多项式扰动下极限环个数的上确界满足3≤B2(2)≤5.

【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2019(039)003

【总页数】7页(P16-22)

【关键词】Bogdanov-Takens系统;分段多项式扰动;一阶Melnikov函数;广义幂级数;微分算子;极限环个数

【作 者】崔文喆;李宝毅;张永康

【作者单位】天津师范大学数学科学学院,天津300387;天津师范大学数学科学学院,天津300387;天津师范大学数学科学学院,天津300387

【正文语种】中 文

【中图分类】O175.12

1 引言与主要结果

Hamilton 系统在扰动下极限环个数的估计是常微分方程定性理论研究的热门课题之一，它不仅与弱Hilbert 第16 问题密切相关，而且还有很强的实用价值.Bogdanov-Takens 系统在常微分方程定性理论中具有极其重要的地位，相关学者对其扰动系统进行了大量研究[1-9]，如，文献[7]证明了在n 次多项式扰动下，当一阶Melnikov函数M（1h）0 时，极限环个数的上确界为n-1；文献[8]证明了在n 次多项式扰动下，当M（1h）≡0，而M（2h）0 时，极限环个数的最小上界为2n-2（n 为正偶数）或2n-3（n 为大于1 的奇数）；文献[9]证明了当Mk0，而Mi≡0（1≤i≤k - 1）时，M（kh）的零点个数的上界为k（n-1）.近年来，非光滑系统由于在控制理论、冲击摩擦力学等许多领域有重要应用，因而受到相关学者的关注[10-13].文献[10]利用Picard-Fuchs 方程和Chebyshev 准则证明了2 类非连续Hamilton 系统分别可以存在5 个和6 个极限环.文献[11]证明了一类具有双同宿闭轨的分段Hamilton 系统在扰动下可以存在14 个极限环.文献[12]证明了一类分段系统在n 次多项式扰动下最多存在n 个极限环.文献[13]证明了Bogdanov-Takens 系统在分段n 次多项式扰动下极限环个数的上界为12n+6.

第２７卷第１期　２　０　１　２年３月　青岛大学学报（工程技术版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＱＩＮＧＤＡＯ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｅ＆Ｔ）　Ｖｏ１．２７　ＮＯ．１　Ｍａｒ．２　０　１　２　

文章编号：１００６—９７９８（２０１２）０１—００７９—０６　

基于分段数值分析和多项式　

拟合的织物染料配色研究　

许　倩，张秉森，潘玉丽　

（青岛大学信息工程学院，山东青岛２６６０７１）　

摘要：为了克服传统配色的诸多缺陷，提高配色速度和精度，本文将分段数值分析和多项　式拟合的思想引入到织物的配色染色过程中。以色彩混合原理及理论为基础，分析和处　

理大量的实验数据，并以Ｍａｔｌａｂ数学工具箱为建模辅助工具，阐述了在计算机配色过程　中不同染料浓度与染色小样的三刺激值Ｃ，Ｍ，ｙ之间的数学关系。经过大量的数学验　证，应用上述方法建立的数学关系模型，其绝对误差大多数在±５．０　以内，效果比较理　

想，可以应用到实际的织物染色生产中。　关键词：织物染色；织物配色；分段数值分析；曲线拟合；计算机配色　

中图分类号：ＴＰ３９１．７５；ＴＳ１９３．１　３　文献标识码：Ａ　

计算机配色兴起于２Ｏ世纪３Ｏ年代，经过４Ｏ多年的发展，各个国家均推出了自己的配色系统。我国也　

于１９８７年开始进行国产电子测配色系统的研究，相继推出了一系列配色软件，但由于从事测配色方面的研　究还很少，远未适应我国经济发展的需要。为解决当前计算机配色中存在的色差大、修色能力差等缺点＿１］。　

本文旨在通过应用数学工具，依托Ｋｕｂｅｌｋａ—Ｍｕｎｋ理论，分析总结国内外现有的计算机配色方法的基础上，　

运用数值分析和多项式拟合的手段，对计算机测配色进行研究。通过对工厂提供的样本数据进行分析和处　理，运用数学建模手段建立数学模型，并使用牛顿迭代法求解织物染料浓度，实验结果符合期望值，可以满足　

实际的生产需求。　

１计算机配色　

计算机配色法是通过光学仪器获取色样本的光学信息，利用计算机进行有关配色计算，从而得到与目标　颜色参数匹配的配色样调色配方的方法　］。计算机配色与传统的人工目测配色相比具有配色速度快、对色