分解多项式

- 1 - 多项式的因式分解

多项式因式分解是数学中一个重要的概念，在很多领域都有广泛的应用。它把复杂的多项式通过求根或乘积的方式，分解成更简单的多项式。本文将就多项式因式分解的定义、性质以及应用等方面进行介绍，以期使读者更好地了解这一概念，并能够更加有效地使用多项式因式分解法。

一、定义

多项式因式分解是指将多项式根据一定的规律拆解开来，拆成几个因式的过程，多项式位于实数范围内。多项式因式分解可以用两种方法实现：一种是用求根的方法，另一种是用乘积的方法。

1.1根方法

用求根的方法实现多项式因式分解，就是把一个多项式拆分成几个因式，而每个因式的根等于一个多项式的根。例如：

P（x）＝x^3+2x^2+3x+4

经过求根的方法实现多项式因式分解后，可以得到：

P（x）＝（x+1）（x+2）（x+3）

也就是说，这个多项式的三个因式的根等于：-1，-2，-3。

1.2 乘积方法

使用乘积方法实现多项式因式分解，就是把一个多项式写成几个因式的乘积，每个因式的因子等于一个多项式的因子。例如：

P（x）＝x^3+2x^2+3x+4

经过乘积的方法实现多项式因式分解后，可以得到： - 2 - P（x）＝（x+1）（x^2+2x+2）

也就是说，这个多项式的两个因式分别为：

（x+1）和（x^2+2x+2）

而每个因式的因子等于：1，x，2。

二、性质

多项式因式分解有许多性质，因为它是多项式分解的过程，所以任何多项式都可以被因式分解。另外，使用求根法实现多项式因式分解后，多项式的根数是因式的个数；使用乘积方法实现多项式因式分解时，多项式中的因子数等于因式的个数。

还有，多项式因式分解也有可逆性，也就是说，从分解出来的因式可以重新组成原来的多项式。例如：

露江山中学七年级数学科导学案P23

备课日期：4月6日 上课日期：__月__日设计人：李严辉 审核：_____ 班级 学生姓名：_____

课题：3.1多项式的因式分解

学习

目标 1．了解分解因数和因式的概念、意义

2．通过对比与联想比较得出分解因数和分解因式的异同；

3．培育学生养成对比和联想的意识。

学习重点：因式分解的概念

学习难点：对因式分解与整式乘法关系的理解。

学 习 过 程

方法措施 t 学习内容及预见性问题

一、复习回顾

乘法公式

(1)平方差公式:

(2)完全平方公式：

二、自主学习：

（预习教材P55至57）

1、因式的概念：

2、一般地，把一个 表示成若干个多项式的 的形式，称把这个多项式因式分解。

3、由(a+1)(a-1)得到a2-1的变形是什么运算?由a2-1得到(a+1)(a-1)的变形与前面的变形有什么不同?

知识点一：因式分解的定义

1.下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

知识点二：因式分解与整式乘法的关系

提醒：因式分解是多项式的恒等变形，可以用整式的乘法来检验。

方法措施 t 学习内容及预见性问题

知识点三：最大公因数

4 ，6， 14的最大公因数是怎样求的?

三、浏览巩固

四、抽测达标

3.计算下列各式:

①(m＋4)(m－4)= ； ②(y－3)2= ；

③3x(x－1)= ； ④m(a+b+c)= ；

⑤a(a+1)(a－1) = .

多项式的因式分解方法

在代数学中，多项式因式分解是将一个多项式拆分成一些乘积的形式，以便更好地理解和求解问题。多项式因式分解是代数中重要的解题方法之一，它可以帮助我们简化计算，寻找方程的解，以及进行数学模型的建立等。本文将介绍几种常见的多项式因式分解方法。

一、公式法

公式法是多项式因式分解中最常见的方法之一。它基于一些常见的应用公式和恒等式，通过将多项式转化为已知的因式形式进行分解。

1. 平方差公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

平方差公式可以用来因式分解具有平方项的多项式。例如，对于多项式 $x^2+6x+9$，我们可以将其看作是 $(x+3)^2$，因此可以分解为

$(x+3)(x+3)$。

2. 差平方公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

差平方公式和平方差公式相似，只是符号相反。例如，对于多项式

$x^2-10x+25$，可以将其看作是 $(x-5)^2$，因此可以分解为 $(x-5)(x-5)$。

3. 因式分解公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

因式分解公式适用于具有差平方形式的多项式。例如，对于多项式

$x^2-4$，我们可以将其分解成 $(x+2)(x-2)$。

二、提公因式法 提公因式法是另一种常用的多项式因式分解方法，它利用多项式中的公因式进行分解。

1. 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，并将剩余部分分解为简单的因式形式。例如，对于多项式 $3x^2+6x$，我们可以提取公因式 $3x$，然后将剩余部分 $x+2$ 进行分解，最终得到 $3x(x+2)$。

2. 分组分解：对于某些特殊的多项式，可以将其通过分组分解的方法进行因式分解。例如，对于多项式 $3x^3+3x^2+4x+4$，我们可以将其分成两组，然后提取公因式，得到 $3x^2(x+1)+4(x+1)$，进而将

$(x+1)$ 提取出来，得到最终的因式分解形式 $(x+1)(3x^2+4)$。

浅谈多项式分解的几种方法

摘要：多项式分解是数学中极为重要的一类问题，具有广泛的应用。本文将介绍几种常见的多项式分解方法：因式分解、配方法、综合除法和提取公因式法，并比较它们的优缺点，帮助读者更好地理解多项式分解问题。

关键词：多项式、因式分解、配方法、综合除法、提取公因式法

正文：多项式分解是数学中重要的一类问题，对于求解方程、展开式、计算复杂度等都有极大的帮助。本文将介绍几种常见的多项式分解方法。

第一种方法是因式分解。这个方法比较简单，即将多项式表示成乘积的形式。例如，对于x2-4x+4这个多项式，可以进行因式分解为(x-2)2。这种方法的优点是简单明了，但是只适用于特定形式的多项式，对于一些复杂的多项式不一定适用。

第二种方法是配方法。这个方法可以将多项式化简成更可分解的形式。例如，对于x2+2x+1这个多项式，可以进行配方法(x+1)2。这种方法比因式分解适用范围更广，但是需要有一定的技巧。

第三种方法是综合除法。这个方法通过将多项式除以一次式，得到商和余数，继续对余数进行除法，直到得到一次式或零。例如，对于x3-2x2+3x-6这个多项式，可以进行综合除法(x-3)。这种方法适用于任何多项式，但是需要进行多次除法运算，比较繁琐。

第四种方法是提取公因式法。这个方法是通过将多项式中的公因式提取出来，得到一个更简化的多项式。例如，对于3x3+6x2+9x，可以将其提取公因式3x得到3x(x2+2x+3)。这种方法简单易懂，但是需求有一定的观察力。

综上所述，多项式分解是数学中的一个很重要的问题，本文介绍了其中的几种方法，并比较它们的优缺点。我们可以根据具体情况选择不同的方法，以实现更快速、更准确的多项式分解。除以上四种方法外，还有其他的多项式分解方法，如用幂级数展开的方法、有理方法、变量替换法等，但这些方法的适用范围较窄，不予深入讨论。

在实际应用中，我们需要根据不同的情况来选择不同的方法进行多项式分解。例如对于一次式、二次式或者三次式，可以直接采用因式分解方法；对于一些二次式，可以用配方法；对于高次式，可以用综合除法或提取公因式法。当然，在实际运用中，可能会出现较为复杂的多项式，需要结合以上多种方法进行分解。比如，对于不是特别规则的四次式、五次式，可以采用先提取公因子再综合除法，把较高次项变成二次或一次来实现分解。