人教A版选修2-2第2章2.1.1.docx

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桑水

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

2．1.1 合情推理

课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．

1．归纳推理和类比推理

定义 特征

归纳推理 由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理． 归纳推理是由____________，由____________的推理．

类比推理 由两类对象具有某些____特征和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理． 类比推理是____________的推理.

2.合情推理

(1)含义

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过________、________、________、______，再进行________、________，然后提出________的推理，我们把它们统称为合情推理．

(2)合情推理的过程 —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑水 从具体问题出发→观察、分析比较、联想→归纳、类比→提出猜想

一、选择题

1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为( )

A．28 B．32 C．33 D．27

2．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值( )

A．一定是零

B．不一定是偶数

C．一定是偶数

D．是整数但不一定是偶数

3．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，计算a2，a3，猜想an等于( )

A．n B．n2 C．n3 D.n＋3－n

4．当a，b，c∈(0，＋∞)时，由a＋b2≥ab，a＋b＋c3≥3abc，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是( )

A.a1＋a2＋…＋an2≥a1a2…an(ai>0，i＝1,2，…n)

B.a1＋a2＋…＋an3≥3a1a2…an(ai>0，i＝1,2，…n)

C.a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an(ai∈R，i＝1,2，…n)

D.a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an(ai>0，i＝1,2，…n)

5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(8)＝3，对任意的正实数x1，x2，f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，猜想f(x)的表达式为( )

A．f(x)＝2x B．f(x)＝2x

C．f(x)＝log2x D．f(x)＝0

题 号 1 2 3 4 5

答 案

二、填空题

6．观察下列等式：

1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为__________________________． —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑水 7．设n≥2，n∈N，(2x＋12)n－(3x＋13)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝123－133，T4＝0，T5＝125－135，…，Tn，…，其中Tn＝________.

8．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”；这个类比命题的真假性是__________．

三、解答题

9．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，试求f(n)．

10．观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋

tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，

此推广是什么？并证明你的推广．

能力提升

11．观察下列等式：

①cos 2α＝2cos2α－1；

②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；

③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；

④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；

⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.

可以推测，m－n＋p＝________. —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑水 12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．

(1)求f(4)；

(2)当n>4时，用n表示出f(n)．

1．归纳推理的一般步骤

(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质．

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．

2．类比推理的一般步骤

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．

3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．

答案

知识梳理

1.

定义 特征

归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理. 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.

类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其类比推理是特殊到特殊的推理. —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑水 中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.

2.(1)观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想

作业设计

1．B [∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，

∴x－20＝12，∴x＝32.]

2．C [(1)当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数．

(2)当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，

18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．

由①②知，18(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．]

3．B [计算得a2＝4，a3＝9，∴猜想an＝n2.]

4．D [a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an(ai>0，i＝1,2，…n)是基本不等式的一般形式，这里

等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．]

5．C [由于log28＝log223＝3，

即满足f(8)＝3.

log2(x1·x2)＝log2x1＋log2x2，

即满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．]

6．12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2

＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)

7. 0 n为偶数12n－13n n为奇数

解析 观察Tn表达式的特点可以看出T2＝0，T4＝0，……，∴当n为偶数时，Tn＝0；

又∵T3＝123－133，T5＝125－135，……，∴当n为奇数时，Tn＝12n－13n.

8．夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题

9．解 ∵f(n)表示n个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n个圆相交，则

增加2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区

域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n，

亦即f(n＋1)－f(n)＝2n，

又f(1)＝2，由递推公式得 —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑水 f(2)－f(1)＝2×1，

f(3)－f(2)＝2×2，

f(4)－f(3)＝2×3，

……，

f(n)－f(n－1)＝2(n－1)．

将以上n－1个等式累加得

f(n)＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋2.

10．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且

α，β，γ都不为kπ＋π2 (k∈Z)，

则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.

证明：①γ＝0时，等式显然成立．

②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2，

得α＋β＝π2－γ，

所以tan(α＋β)＝1tan γ.

又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，

所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)

＝1tan γ(1－tan α·tan β)，

所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α

＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)

＝tan αtan β＋tan γ·1 tanγ(1－tan αtan β)＝1.

综上所述，等式成立．

11．962

解析 观察得：式子中所有项的系数和为1，

∴m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，

∴m＋n＋p＝162，又p＝10×5＝50，m＝29＝512，

∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.

12．解

(1)