人教A版选修2-2第3章3.2.1.docx
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马鸣风萧萧
高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
§3.2 复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课时目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意
义，能够利用“数形结合”的思想解题．
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝__________，
z1－z2＝________.
(2)对任意z1，z2，z3∈C有z1＋z2＝____________，(z1＋z2)＋z3＝____________.
2．复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1
＋z2对应的向量OZ→，与z1－z2对应的向量是________．
一、选择题
1．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于( )
A．－1 B．3 C.12 D．－1或3 马鸣风萧萧 2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
3．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则BC→表
示的复数为( )
A．2＋8i B．－6－6i
C．4－4i D．－4＋2i
4．设向量OP→、PQ→、OQ→对应的复数分别为z1、z2、z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
5．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
6．复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序
作平行四边形ABCD，则|BD→|等于( )
A．5 B.13
C.15 D.17
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝____________.(x，y∈R)
8．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且ABCD为
平行四边形，则z＝________.
9．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋22＋i|的最大值是________．
三、解答题
10．计算
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i (a，b∈R)．
马鸣风萧萧
11.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
能力提升
12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，
－i,2＋i，求点D对应的复数．
13．若z∈C，且|z|＝1，求|z－i|的最大值．
马鸣风萧萧
1．复数代数形式的加减运算类似于多项式的加减运算，满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
3．|z1－z2|的几何意义就是复数z1，z2在复平面上对应的点Z1，Z2之间的距离．
答案
知识梳理
1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i
(2)z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
2.Z2Z1→
作业设计
1．C [z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i.
令 2m2＋m－1＝03＋2m－m2≠0，得m＝12.]
2．B [z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.]
3．C [BC→＝OC→－OB→＝OC→－(AB→＋OA→)
＝(3,2)－(1,5)－(－2,1)＝(4，－4)．]
4．D [∵OP→＋PQ→－OQ→＝OQ→－OQ→＝0，
∴z1＋z2－z3＝0.]
5．B [∵|z－1|＝|z＋1|，
∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．]
6．B [由复数加法的几何意义，知BD→＝BA→＋BC→.
∵BA→对应的复数为zA－zB＝i－1，BC→对应的复数为zC－zB＝(4＋2i)－1＝3＋2i， 马鸣风萧萧 ∴BD→对应的复数为(i－1)＋(3＋2i)＝2＋3i.
∴|BD→|＝22＋32＝13.]
7．(y－x)＋5(y－x)i
解析 原式＝(2x－3x＋y)＋(3y＋2y－2x－3x)i
＝(y－x)＋5(y－x)i.
8．3－6i
解析 由于AB→＝DC→，
∴2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，
∴z＝3－6i.
9．4
解析 复数z满足条件|z|＝1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋22＋i|即表示单位
圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．
从图形上可得|z＋22＋i|的最大值是4.
10．解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)
＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
11．解 方法一 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝a2＋b2，
代入方程得a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i.
∴ a＋a2＋b2＝2b＝8，解得 a＝－15b＝8.
∴z＝－15＋8i.
方法二 原式可化为：z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部．
于是|z|＝2－|z|2＋82，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，
∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i
得：z＝－15＋8i. 马鸣风萧萧 12．解 方法一 设D点对应复数为x＋yi (x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．
∴AC中点为32，2，BD中点为x2，y－12.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴ 32＝x22＝y－12，∴ x＝3y＝5.
即点D对应的复数为3＋5i.
方法二 设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)．
则AD→对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又BC→对应的复数为(2＋i)－(－i)
＝2＋2i，由已知AD→＝BC→.
∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴ x－1＝2y－3＝2，∴ x＝3y＝5.
即点D对应的复数为3＋5i.
13．解 方法一 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z－i|＝a2＋b－12.
∵a2＋b2＝1，∴|z－i|＝2－2b.
又∵|b|≤1，∴0≤2－2b≤4，
∴当b＝－1时，|z－i|＝2为最大值．
方法二 因为|z|＝1，所以点Z是单位圆x2＋y2＝1上的点，|z－i|＝x2＋y－12表示点Z
与点(0,1)之间的距离，当点Z位于(0，－1)时，|z－i|有最大值2.
