高二上期半期考试数学试题

高二上期半期考试数学试题

高二上半期考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

一、选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．直线l的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )

A．1 B．3 C．233

D．－3

2．以圆0222yxx的圆心为圆心，半径为2的圆的方程( )

A．2122yx

B． 2214xy

C．2122yx

是（ ）

A．12

B．12 C．33 D．63

8．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )

A．－12 B．1 C．2 D．12

9．已知点P(x，y)满足 x－1≤0，2x＋3y－5≤0，4x＋3y－1≥0，点Q(x，y)在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最大值与最小值为( )

A．6,3 B．6,2 C．5,3

D．5,2

10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )

A．线段B1C

B．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段

D．BC中点与B1C1中点连成的线段

第Ⅱ卷

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填在答题卷中的横线上.

11．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________________；若l1∥l2，则b＝________________．

12．过点M(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，且直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是____________________．

13．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____________________．

14．已知变量,xy满足约束条件1,31xyyxy，若zkxy的最大值为5，则实数k ．

15．已知m、n为直线，α、β为平面，下列命题：① m⊥αm⊥n⇒n∥α；② m⊥βn⊥β⇒m∥n；③ m⊥αm⊥β⇒α∥β；④ m⊂αn⊂βα∥β⇒m∥n． 其中正确的命题是 （写出所有正确命题）

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）三角形的三个顶点是(4,0)A,(2,4)B,(0,3)C.

(1) 求AB边的中线所在直线1l的方程；

(2) 求BC边的高所在直线2l的方程；

(3) 求直线1l与直线2l的交点坐标.

17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

(1) 证明：直线PA∥面DEF；

(2) 证明：平面BDE⊥平面ABC.

18．（本小题满分12分）已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为27，求圆C的方程．

19．（本小题满分12分）如图，

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，

(1) 证明：PD⊥平面ABCD；

(2) 求异面直线PB与CD所成的角的余弦值；

(3) 求二面角P－BC－D的正切值．

20．（本小题满分13分）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点．

(1) 化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；

(2) 是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4

(1) 若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

数学参考答案评分标准

一、选择题

BDDCC、DBCBA

二、填空题

11. 2，－98 12. 125 13．x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20 14．1或12 15. ②③

三、解答题

16．解：（1）390xy

（4分）

（2）280xy

（8分）

（3）(3,2)

（12分）

17．证明：(1)在△PAC中，D、E分别为PC、AC

中点，

则PA∥DE，PA面DEF，DE⊂面DEF，

因此PA∥面DEF

（6分）

(2)△DEF中，DE＝12PA＝3，EF＝12BC＝4，DF＝5，

∴DF2＝DE2＋EF2，∴DE⊥EF，

又PA⊥AC，∴DE⊥AC.

∴DE⊥面ABC，∴面BDE⊥面ABC.

（12分）

18.分析：设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可．

解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，

∴可设圆心为C(3t，

t)． （2分）

又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.

（4分）

再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形

可得(|3t－t|2)2＋(7)2＝|3t|2. 解得t＝±1.

（8分）

∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.

（10分）

故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. （12分）

19.证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，

∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.

（3分）

同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD.

（6分）

(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD,即∠PBA是异面直线PB与CD所成的角，由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB. 由DA⊥AB.∴AB⊥面PAD. 即AB⊥PA, （8分）

在Rt△PAB中, PA＝2a，AB＝a，∴COS∠PBA=33 （9分）

(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.

∴BC⊥PC. ∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面

角． （11分）

在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.

∴二面角P－BC－D的正切值是1．

（12分）

20．解：(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3. （6分）

(2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因此直线AB的圆过原点O，

所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.

（7分）

 y＝x＋m，x2＋y2－2x＋4y－4＝0

消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.

Δ＞0得－32－3＜m＜32－3.

（9分）

由根与系数关系得：

x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝m2＋4m－42，

y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.

∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0. 解得m＝1或－4. （12分）

直线l方程为y＝x＋1或y＝x－4.

（13分）

21．解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以

直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心C1(－3,1)到直线l的距离为d＝|1－k－3－4|1＋k2， 2分

因为直线l被圆C1截得的弦长为23，

∴4＝(3)2＋d2，∴k(24k＋7)＝0，

即k＝0或k＝－724，

4分

所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0

6分

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)，因为C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离