高二数学上学期期中试题
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２017－20１８学年上期期中考试
高二年级数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共６0分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共6０分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1. 已知集合Ｍ＝{x｜x2-4ｘ＋３〈0｝,N＝｛x｜2x≤８｝,则Ｍ∩Ｎ=( ﻩ)
A、(1,３] Ｂ。 (０,3］ C。 (-∞,3] D、 (１,3)
２、在△AＢC中,ａ＝,ｂ=,Ｂ=45°,则A等于(ﻩ )
A、30° ﻩ Ｂ、60° Ｃ。６０°或120°ﻩD、 ３0°或1５0
3、中国古代数学著作《算法统宗》中有如此一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公认真算相还、”其意思为:有一个人走３７8里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )
Ａ、1９2里 B。96里C、48里 ﻩD、2４里
4、在△AＢＣ中,若,则(ﻩﻩ)
A B Ｃ D
5、等差数列｛}的前ｎ项和为,若a1=－11,a4+a6＝—6,则当取最小值时,ｎ等于
Ａ、９ B。8 C、7 Ｄ。6
6等比数列{}的各项均为正数,且a5a６＋a3a8=１6,则＋＋…+=
A、1５ B、－15 Ｃ。３ D、－3
7、在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是
A、４ B。4Ｃ、２Ｄ。2
８、我舰在敌岛A处南偏西５0°的B处,且ＡＢ距离为12海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行,若我舰要用２小时追上敌舰,则速度大小为( )
A、28海里/小时 B、14海里/小时C、1４2海里/小时 ﻩＤ、2０海里／小时
9若＼f(1,a)<１b<0,则下列不等式:①1ａ＋b＜1ab;②｜a｜+b＞0;③a－＼f(1,a)>b-１ｂ;④ln
a2〉ｌn b2中,正确的不等式是( )
A、①④ B、②③ Ｃ、①③ﻩD、②④
１0。若２m+2ｎ<４,则点(ｍ,ｎ)必在( )
Ａ、直线ｘ＋ｙ－２＝０的左下方B、直线x＋y－2＝０的右上方
Ｃ。直线x+２ｙ－2＝0的右上方Ｄ、直线x＋2ｙ－2=0的左下方
11、设α∈错误!,β∈错误!,那么2α-错误!的取值范围是( )
C、(0,π) １２、在R上定义运算:ｘ⊗y=x(1－y)。若不等式(x-ａ)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立,则ａ 的取值范围为( )
A、－1＜a〈1 B。0〈ａ＜2C。-12〈a<＼ｆ(3,２) D、－32〈a<12
第Ⅰ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题５分,共2０分。把答案填在题中横线上、
13设ｘ,y满足约束条件错误!,则z=2ｘ+3y－5的最小值为＿____＿＿＿。
14、若实数x,y满足ｘy＝１,则+的最小值为＿＿____＿__＿____。
15、在锐角三角形中,角A,B,C对边分别为a,ｂ,c,若3(sinBsinA+ｓｉnAsinB)＝8cosC,则ａ2+b２ｃ2=____
1６·已知幂函数y=f(x)的图象过点(４,2),令an＝错误!,n∈N＊、记数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn,则Ｓ2 019＝＿_＿__＿_＿、
三、解答题:本大题共６小题,共7０分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17解下列不等式
(1)-３x2-２x＋８≥0; (2)1－x2+x≥0。
18、(本题满分1２分)在中,内角的对边分别为,且、(1)求角的大小;
(2)若,求的面积。
1９。(本题满分12分)已知数列满足,,等比数列满足,、
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和、
20、 (本题满分１２分)等比数列｛aｎ｝中,ａ1,a２,ａ3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a１,a2,ａ３中的任何两个数不在下表的同一列、
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 ８ １8
(1)求数列错误!的通项公式;
(２)若数列错误!满足:ｂn=aｎ+(－1)ｎln ａn,求数列错误!的前n项和Sｎ。
21。(本小题满分12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热屋,每厘米厚的隔热层建造成本为６万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:ｃm)满足关系C(ｘ)＝k3x＋５(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元、设ｆ(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(1)求ｋ的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(ｘ)达到最小,并求最小值、
22。如图,三棱锥P。ABＣ中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABＣ＝π2,点D,E在线段ＡC上,且AD＝DE＝EC=2,PＤ＝PC＝4,点F在线段AＢ上,且EF∥ＢＣ。
①证明:AＢ⊥平面PFＥ;
②若四棱锥PDFBＣ的体积为7,求线段BＣ的长、
高二数学期中答案
1D ２C 3B ４Ｃ ５D 6 B 7B 8B 9C 10 A 11 D 1２ Ｃ
13 —１０。 １４
１5 ４ 1６ —1
1７解:(1)原不等式可化为3x2+2x-８≤0,
即(3x-4)(x＋2)≤0、
解得—2≤x≤,
因此原不等式的解集为、
(2)原不等式变为⇔—2
因此原不等式解集为｛ｘ|－2〈x≤1｝、
18解(1)由及余弦定理或正弦定理可得
因此 ……5分
(2) 由余弦定理a2＝ｂ2+c2－2bｃcos A,得b2+c2-bｃ=36、又b＋c＝8,因此bc=、
由三角形面积公式S=ｂcsin Ａ,得△ABＣ的面积为、 ……１2分
1９(Ⅰ)an=2n－1,--—－－———--－——-—2分 b1=1, ｂ4=8, ∴ｑ=２ －——-－—－———5分
∴ｂｎ=２n---—-－-－——6分
(Ⅱ)Cn=(2n－1)２ｎ－１,－－－－－-7分 -—-－－—－—8分
上述两式作差得
－-—--－—--－——－——-－９分
—-—－--－--－—-------－——－——-－－—－-－———-—--－11分
。---—－——-—－-—-—--—－－———-－－——－－———-－-—－-－——－-———----—---—－－—－-12分
20[解］ (1)当ａ1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2＝6,a3＝18时,符合题意;
当ａ1＝1０时,不合题意、
因此a1=2,a2＝６,a3=18。因此公比ｑ=３。
故ａn=2·３ｎ—1、
(２)因为bn=aｎ＋(—1)nln an
=2·3n－1＋(－1)nｌn(2·3n—１)
=2·3ｎ－1+(－１)n［ln 2+(n－1)ln 3］
＝２·3n-1＋(—1)n(lｎ 2－ｌn 3)＋(—1)ｎnlｎ 3,
因此Ｓｎ=2(1+3＋…＋3n-1)＋[—１＋1－1＋…＋(-1)ｎ]·(ln 2—ln 3)+[—1+2-3＋…＋(－１)ｎn]·lｎ ３、
因此当ｎ为偶数时,
Sｎ＝2×+ｌn ３=3ｎ＋ln 3－1;
当n为奇数时,
Sｎ=2×－(lｎ 2－lｎ 3)＋·ln 3
＝3n—·ln 3－ｌｎ ２－1、
综上所述,Sn=
2１解:(１)由已知条件得C(0)=8,则k=40,
因此f(x)＝6x＋20C(x)=6x+(0≤x≤１0)、
(２)ｆ(x)=６x+10+—1０≥2－10
＝70(万元),
当且仅当6x+１０=,即x=5时等号成立。
因此当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元、
２2解:①证明:由ＤE=ＥC,PD＝PＣ知,E为等腰△ＰDＣ中DC边的中点,故PE⊥AＣ、又平面PAＣ⊥平面ＡBC,平面PＡC∩平面AＢC＝AC,PE⊂平面PAＣ,ＰＥ⊥ＡC,因此ＰE⊥平面ABＣ,从而PE⊥AＢ。
因为∠ABＣ＝,EF∥BC,因此AB⊥EF、
从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,
因此AB⊥平面ＰFＥ。
②设BC=x,则在Rt△ＡBＣ中,
AB＝＝,
从而S△AＢC＝AB·BC=x、
由EＦ∥BC知,=＝,得△AFE∽△ABC,
故＝2=,即S△AFE=Ｓ△ABC、
由AD=AE,S△AFD=Ｓ△AＦＥ＝×S△AＢC
=S△AＢC＝x,
从而四边形DFBC的面积为
SＤFBC=Ｓ△ＡBC－S△AFD
＝x—x
=x、
由①知PE⊥平面ABC,因此PE为四棱锥P。DＦBＣ的高、
在Rt△ＰEC中,PE=＝＝２,
因此VPDＦBC＝SDFBC·PE=×ｘ×２=7,
因此x4-3６ｘ2＋2４３＝０,解得x2＝9或x2=２7。
由于ｘ>０,因此ｘ=3或ｘ=3、因此ＢC=3或ＢC＝3。
