2001考研数学一试题及答案解析
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fpg
2001 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题 ( 本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上 .)
( 1) 设 x
y e (C sin x C cosx) ( C1,C2 为任意常数） 为某二阶常系数线性齐次微分方程の通
1 2
解,则该方程为 _____________.
( 2) 设 2 y z
2 2
r ,则 div ( gradr) (1, 2,2 ) =_____________.
x
( 3) 交换二次积分の积分次序 : 0 1 y
dy f (x, y)dx＝_____________.
1 2
( 4) 设矩阵 A满足 2 4 0
A A E ,其中 E 为单位矩阵 ,则 1
( A E) =_____________.
( 5) 设随 机变量 X の方差 是 2 ,则根据切比 雪夫不 等式 有估计
P{ X E(X) 2}
y
_____________.
二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.)
O ( 1) 设函数 f (x) 在定义域内可导 , y f (x) の图形如右图所示 ,
x
则 y f (x)の图形为
( 2) 设 f (x, y) 在点 (0,0) 附近有定义 ,且 fx (0,0) 3, f ( 0,0) 1,则
y
( A ) d | 3dx dy.
z (0,0)
( B ) 曲面 z f (x, y) 在(0,0, f (0,0)) 处の法向量为 {3,1,1}. fpg
( C) 曲线 z f
y (x,
0 y) 在(0,0, f (0,0)) 处の切向量为 {1,0,3}.
( D) 曲线 z f
y (x,
0 y) 在(0,0, f (0,0)) 处の切向量为 {3,0,1}.
( 3) 设 f (0) 0,则 f (x) 在 x=0 处可导の充要条件为
( A ) 1
lim f (1 cosh)
2
h 0
h 存在 . ( B) 1
h
lim f (1 e )
h 0
h 存在.
( C) 1
lim f (h sinh)
2
h 0
h 存在 . ( D) 1
lim [ f (2 h) f (h)]
h
0 h 存在.
1 1 1 1 4 0 0 0
( 4) 设 1 1 1 1 0 0 0 0 A ,B ,则 A 与 B 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
( A ) 合同且相似 . ( B) 合同但不相似 .
( C) 不合同但相似 . ( D) 不合同且不相似 .
( 5) 将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上の次数 , 则 X 和 Y の相关系
数等于
( A ) -1. ( B ) 0. ( C) 1
2 . ( D) 1.
三、 ( 本题满分 6 分 )
x
arctan e
求 dx
2x
e .
四、 ( 本题满分 6 分 )
设函数 z f (x, y) 在点 (1,1)处可微 ,且 f (1,1) 1, f
x | 2
(1,1) f
, | 3
y , (x) f (x,
d
f (x, x)) .求 x 1
3( )
x
dx . 五、 ( 本题满分 8 分 )
fpgfpg
设 f (x) = 2
x
1 x arctan x, x 0,
1, x 0, 将 f (x) 展开成 xの幂级数 ,并求级数
n 1 (
1 n
1)
2
4n の和.
六、 ( 本题满分 7 分 )
2 2 2 2 2 2
计算 I y z dx z x dy x y dz
( ) (2 ) (3 )
L ,其中 L 是平面 x y z 2 与柱
面 x y 1の交线 ,从 Z 轴正向看去 , L 为逆时针方向 .
七、 ( 本题满分 7 分 )
设 f (x) 在 ( 1,1)内具有二阶连续导数且 f (x) 0,试证:
(1) 对于 ( 1,1)内の任一 x 0,存在惟一の (x) ( 0,1) ,使 f ( x) = f (0) + xf ( (x)x) 成立;
(2) 1
lim (x) .
x 0
2
八、 ( 本题满分 8 分 )
设有一高度为 h(t ) ( t 为时间 ) の雪堆在融化过程 ,其侧面满足方程 2 2 2(x y ) z h(t ) ( 设
h(t)
长度单位为厘米 ,时间单位为小时 ) ,已知体积减少の速率与侧面积成正比 ( 比例系数为 0.9) ,问高度为
130 ( 厘米 ) の雪堆全部融化需多少小时 ?
九、 ( 本题满分 6 分 )
设 1 , 2 , , s 为线性方程组 Ax 0の一个基础解系 , 1 t1 1 t2 2 , 2 t1 2 t2 3, ,
s t s t ,其中 t1,t2 为实常数 .试问 t1,t2 满足什么条件时 , 1, 2, , s 也为 Ax 0 の一个
1 2 1
基础解系 .
十、 ( 本题满分 8 分 )
已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x,使得向量组 2 2
3 3 2 .
x, Ax, A x线性无关 ,且满足 A x Ax A x
2
( 1) 记 P =（ x, Ax, A x）,求 3 阶矩阵 B ,使 1
A PBP ;
( 2) 计算行列式 A E . fpg
十一、 ( 本题满分 7 分)
设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ( 0 ) の泊松分布 ,每位乘客在中途下车の概率为
p( 0 p 1) ,且中途下车与否相互独立 .以Y 表示在中途下车の人数 ,求:
( 1) 在发车时有 n个乘客の条件下 ,中途有 m 人下车の概率 ;
( 2) 二维随机变量 (X ,Y)の概率分布 .
十二、 ( 本题满分 7 分)
设 总 体 X 服 从 正 态 分 布 N( , 2 ) ( 0 ) , 从 该 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本
X1 ,X2 , , X2n ( n 2 ), 其样本均值为 X 1
2n 2n
i 1
X Y
,求统计量
i
i n
1 2
( X i X 2X ) の
n i
数学期望 E(Y ) .
2001 年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
( 1) 【分析 】 由通解の形式可知特征方程の两个根是 r1,r2 1 i ,从而得知特征方程为
2 2
(r r )(r r ) r (r r )r rr r 2r 2 0 .
1 2 1 2 1 2
由此,所求微分方程为 '' 2 ' 2 0
y y y .
( 2) 【分析 】 先求 grad r .
grad r= r , r , r x , y , z x y z r r r .
x y z
再求 div grad r= ( ) ( ) ( )
x r y r z r
= 2 2 2 2 2 2
1 x 1 y 1 z 3 x y z 2
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
r r r r r r r r r . fpg
于是 div grad r| 2 2
(1, 2,2) = |(1, 2,2)
r 3 .
( 3) 【分析 】 这个二次积分不是二重积分の累次积分 ,因为 1 y 0 时
1 y 2 .由此看出二次积分 0 2
dy f (x, y) dx是二重积分の一个累次
1 1 y
积分,它与原式只差一个符号 .先把此累次积分表为
0 2
dy f ( x, y )dx f (x, y) dxdy .
1 1 y
D
由累次积分の内外层积分限可确定积分区域 D :
1 y 0,1 y x 2 .
见图.现可交换积分次序
原式 = 0 2 2 0 2 1 x
dy f (x, y) dx dx f ( x, y)dy dx f (x, y)dy.
1 1 y 1 1 x 1 0
( 4) 【分析 】 矩阵 A の元素没有给出 ,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞 .应当考虑用
定义法 .
因为 2
( A E)( A 2E) 2E A A 4E 0 ,
故 ( A E)( A 2E) 2E ,即 A 2E
( A E) E .
2
按定义知 1 1
( A E) (A 2E) .
2
( 5) 【分析 】 根据切比雪夫不等式
D(x)
P{ X E( X ) } ,
2
于是 D(x) 1
P{ X E(X ) 2} .
2
2 2
二、选择题
( 1) 【分析 】 当 x 0 时, f (x) 单调增 f ' (x) 0,( A ) ,( C) 不对;
当 x 0 时, f ( x) :增——减——增 f x :正——负——正 ,( B) 不对,( D) 对.
'( ) '( )
应选( D) .
