1 圆的基本性质
记忆导图 对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质
考点1 圆的相关概念
1、圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（3）固定的端点O叫做圆心。
（4）线段OA的长为r叫做半径。
2、圆弧
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3、弦
（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）经过圆心的弦叫做直径。
4、弓形
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
5、半圆、等圆
（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
考点2 点与圆的位置关系
平面上一点P与⊙O（半径为r）的位置关系有以下三种情况： 2 （1）点P在⊙O上OP=r；
（2）点P在⊙O内OP
（3）点P在⊙O外OP>r。
考点3垂径分弦
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
2021年九年级数学中考复习专题之圆：
切割线定理综合运用（一）
一．选择题
1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（ ）
A．9 B．3 C． D．18
2．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（ ）
A． B． C．7 D．24
4．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（ ）
A． B． C．6 D．
5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（ ）
A．16π B．8π C．4π D．2π
8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（ ）
A． B． C． D．4
10．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（ ）
A．16 B． C． D．
二．填空题
11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝ ．
1 / 19 2021年九年级数学中考复习专题之圆：
切线长定理综合运用（一）
一．选择题
1．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
2．如图，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（ ） 2 / 19
A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE
4．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（ ）
A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°
5．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长（ ）
A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定
6．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．8
7．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（ ） 3 / 19
A．PA＝PB B．∠APO＝20° C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
9．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若AB＝10，BC＝4，则AD的长（ ）
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【学习目标】 九年级数学上册
第 24 章《圆》知识点梳理
1. 理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，
探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2. 了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3. 了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4. 了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
5. 结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；
通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1. 圆的定义
(1) 线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2. 圆的性质
(1) 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心 2 / 41 1 2 n 是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
