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高考中三角函数题型和解题方法
作者：陶为民
来源：《中学生数理化·学研版》2014年第04期
一、三角函数的地位
在高考中，三角函数每年必考，分值一般占10%，对本章知识的考查，一般在选择、填空和解答题的17、18题中出现，其难度中等偏下.对本章知识的考查，主要体现在：三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇.
二、三角函数考纲要求
1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．
2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
三、三角函数典例分析
1.考查纯三角函数函数知识
例1（陕西卷17）已知函数f(x)=2sinx4cosx4－23sin2x4+3．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令g(x)=fx+π3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
解：（Ⅰ）因为f(x)=sinx2+31－2sin2x4=sinx2+3cosx2=2sinx2+π3．
所以f(x)的最小正周期T=2π12=4π． 龙源期刊网
当sinx2+π3=－1时，f(x)取得最小值－2；
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三角函数
一、知识整合
1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方
法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式
在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．
2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦
函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()yAx的图象；理解图象
平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．
二、高考考点分析
2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度
分，我认为有以下几个层次：
第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周
期、判断奇偶性等。
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较
复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。
三、方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，
β=2－
2等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的
值由tan=
ab确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
、饕 ．考试策略 ２０１４年第４期
甲 掌 生 数 理 丫匕 掌 研 版 －＿＿ Ｉ＿＿一 Ｃｊ 同 考中三角函数题型和解题方法 ■陶为民 一、三角函数的地位 在高考中，三角函数每年必考，分值一般占１０ ，对本章 知识的考查，一般在选择、填空和解答题的１７、１８题中出现， 其难度中等偏下．对本章知识的考查，主要体现在：三角函数 的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性 质与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模 之间都有着不同程度的交汇． 二、三角函数考纲要求 １．理解任意角的正弦、余弦、 切的定义．掌握同角三角函 数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与 最小正周期的意义． ２．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍 角的正弦、余弦、正切公式． ３．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求 值和恒等式证明． ４．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会 用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 —Ａｓｉｎ（ｗｘ＋ ）的 简图，理解Ａ， ， 的物理意义． ５．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三 角形． 三、三角函数典例分析 １．考查纯三角函数函数知识 例１ （陕西卷１７）已知函数ｆ（ｚ）一２ｓｉｎ寻ｃｏ 亍一 ２ ｓｉｎ２ ＿＿ ． （Ｉ）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期及最值； （１Ｉ）令ｇ（ｚ）一，（ｚ＋号），判断函数ｇ（ｚ）的奇偶性，并 说明理由． 解：（Ｉ）因为厂（ｚ）一ｓｉｎ詈＋ （１—２ｓｉｎ 寻）一ｓｉｎ詈 ＋ ｃ。ｓ詈一ｚｓｉｎ（詈＋詈）． 所以，（ｚ）的最小正周期Ｔ一－ ７—４ ． ２ 当ｓｉｎ（詈＋号） 一１时，，（－ｚ）取得最小值一２； 当ｓｉｎ（詈＋詈）一１时，－厂（ｚ）取得最大值２． （Ｉ）由（工）知 ） ｉｎ（詈＋詈）． 又 ）一，（ｚ＋詈）， 所以ｇ ｃ－ｚ 一ｚｓｉｎ［÷（ｚ＋号）＋詈］＝２ｓｉｎ（詈＋詈） ｚｃ。ｓ专． 因为ｇ（ｚ）一２ｃ。ｓ（一詈）一２ｃ。ｓ ３７一ｇ（ｚ）， 所以函数ｇ（ｚ）是偶函数． 本题主要考查三角函数的二倍角公式，三角函数的周期、 最值及奇偶性，关键在三角函数的化简． ２．三角函数与平面向量的模的综合 例２ 已知向量口＝（ｃｏｓ ，ｓｉｎ口）， ＝（ＣＯＳ ，ｓｉｎ ｐ）， Ｉｎ一６】一÷ ． （Ｉ）求ｃｏｓ（￣一口）的值； （１Ｉ）若一Ｔ ＜／３＜ｏ＜ａ＜号，且ｓｉｎ 一一素，求ｓｉｎ ａ 的值． 解：（Ｉ）因为ｌ ａ－６Ｉ一 ／ ，所以ｎ ｚ一２ｎ．ｂ＋ｂ ｚ一＿＝＿４， 将向量口一（ｃｏｓ口，ｓｉｎ ａ），６一（ＣＯＳ Ｊ９，ｓｉｎ Ｊ９）代入上式，得 １ －－２（ＣＯＳ ６￣ＣＯＳ Ｊ８＋ｓｉｎ ａｓｉｎ｜９）＋１ 一÷，所以ｃｏｓ（ａ一卢）一 ３ ‘ （Ⅱ）因为一号＜卢＜ｏ＜ａ＜号，所以ｏ＜ａ Ｊ９＜ ． 由ｃ。ｓ（ａ一卢）一一ｉ３，得ｓｉｎ（ａ一卢）一了４． 又ｓｉｎ卢一一熹，所以ｃ。ｓ Ｊ９一面１２． 所以ｓｉｎ ａ—ｓｉｎ［（ 一卢）＋卢］一ｓｉｎ（口一』９）ＣＯＳ卢＋ ｃ。ｓ（ａ一卢）ｓｉｎ卢一 ３３． 本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、 同角三角函数的基本关系．解答中要注意两点：（１）化Ｉ口一ｂＩ 为向量运算ｌ ｎ—ｂＩ 一（口一６） ；（２）注意ａ一 的范围．整个解 答过程体现方程及转化的思想． ３．三角函数与正余弦定理的综合 例７（浙江卷１８）在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分 别为ｎ，６，ｆ，已知ｃｏｓ ２Ｃ一一 １． （Ｉ）求ｓｉｎ Ｃ的值； （Ⅱ）当ａ一２，２ｓｉｎ Ａ—ｓｉｎ Ｃ时，求ｂ及ｆ的长． 解：（Ｉ）因为ｃｏｓ ２Ｃ一１—２ｓｉｎ。Ｃ一一÷，及Ｏ＜Ｃ＜ｎ． 所以ｓｉｎ ｃ一 ，广ｌ／Ｙ０－． （１Ｉ）当ａ一２，２ｓｉｎ Ａ＝ ，得ｃ一４． Ｓ１１１ Ｌ 由ｃＯＳ ２Ｃ一２ｃｏｓ Ｃ一１＝ ㈣ｃ一±等． 由余弦定理Ｃ 一口 ＋６ ｓｉｎ Ｃ时，由正弦定理 ａ ＝ １，及。＜ｃ＜Ⅱ得： ２ａｂｃｏｓＣ，得ｂ。±／
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全方位教学辅导教案
学科：数学 任课教师： 授课时间：2012- - 星期日
姓 名 性 别 年 级 总课时：第 次课
教 学
内 容 三角恒等变换
教 学
目 标 1. 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
2.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
重 点
难 点 教学重点：灵活运用两角和、差正弦解题
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
教
学
过
程 课前检查与
交流 作业完成情况：
交流与沟通:
针
对
性
授
课
三角恒等变换
一、公式回顾
1.两角和与差公式
sin+ sin-
cos+ cos-
tan+ tan-
2.倍角公式
sin2
cos2 = = .
tan2
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4.二弦规一公式
22sincossin(),(tan,bababa所在的象限由a,b的符号而定)
例1. 求函数sin3cosyxx的周期，最大值和最小值．
二、典型例题
