正态分布(公开课)

正态分布

（normal distribution）

一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。

概率密度函数

， -∞

二、 参数

1、可变参数（1）位置参数 μ

E（x）=μ

表达正态曲线在横轴的位置：μ3>μ2>μ1

μ1 μ2 μ3

(2) 形态参数 σ

表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1

V(x)= σ2

固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0

(2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3

* 样本偏度系数g1与样本峰度系数g2公式复杂，可参阅其他教材。

三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律

P{μ-σ

P{μ-1.96σ

P{μ-2.58σ

221()()exp()22XfX-6-5-4-3-2-10123456-3-2-10123

四、 应用

1、描述资料分布

2、依据面积分布规律求医学参考值范围

3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和控线

4、标准正态分布的U值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验的基础。而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n、x、s）已计算出

例：已知x=50，S=10,N=200,求45

解：令x1=45 x2=65

U1=(45-50)/10=-0.5， U2=(65-50)/10=1.5

正态分布

[编辑本段]

正态分布

normal distribution

一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。 正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。

正态分布

1.正态分布

数据计算结果

93.8平均数μ94.08

89.8标准差σ3.906270436

91

98.5计算结果

88.5组（区间个数+1）25

99.4组距1.302090145

94上下限与平均数距离x(多少个σ)4

96.8组坐标下限（μ-x*σ）78.45491826

100组坐标上限（μ+x*σ）109.7050817

94.6

95最大值100

88.75最小值81

94.8极差19

91.8样本数40

96峰度1.950815968

98偏度-1.025025964

97.8中位数94.3

95.2众数94

96.8

93

97

92.5

92.5

86

93.75

91.2

91.5

96.2

81

98.6

97.6

99

97.4

92.4

97

91

94

94

91.4

95.6

48

49

50

51

52

530 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

频数

组坐标 正态分布曲线

频数 正态曲线 54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

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89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107108

109

110

111

112

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196

197

198

199

200组组坐标频数正态曲线

178.4500.0000343

多元正态分布

、多元正态分布

1.多元正态分布的概率密度函数

多元是指样本以多个变量来描述，或具有多个属性，在此一般用d维特征向量表示，X＝[x1，…，xd]T。d维特征向量的正态分布用下式表示

(2-32)

其中μ是X的均值向量，也是d维，

μ＝E{X}＝[μ1，μ2，…，μd]T (2-33)

Σ是d×d维协方差矩阵，而Σ－1是Σ的逆矩阵，|Σ|是Σ的行列式

Σ＝E{(X－μ)(X－μ)T} (2-34)

Σ是非负矩阵，在此我们只考虑正定阵，即|Σ|＞0。

多元正态分布与单态量正态分布在形式上尽管不同，但有很多相似之处，实际上单变量正态分布只是维数为1的多元分布。当d=1时，Σ只是一个1×1的矩阵，也就是只有1个元素的矩阵，退化成一个数，|Σ|1/2也就是标准差σ，Σ－1也就是σ-2，而(X－μ)T(X－μ)也变成(X-μ)2，因此(2-32)也就演变成(2-29)。但是多元正态分布要比单变量时复杂得多，具有许多重要的特性，下面只就有关的特性加以简单叙述。 多元正态分布的概率密度函数中的元就是我们前面说得特征向量的分量数，也就是维数。为了方便我们着重讨论二维向量，是一个随机向量，其中每一个分量都是随机变量，服从正态分布。但是一个二维随机向量不仅要求考虑每个分量单独的分布，还要考虑两个随机变量之间的关系。下图的例子中的两个二元正态分布的各个分量是相同的，即它们的期望(μ1和μ2)方差σ1和σ2都相同，但这两个特征向量在空间的分布却不相同。从下图： 对右图来说，x1和x2有很大的相关性，而对左图来说，随机变量x1与x2之间的相关性很小。这可以从两者的区别看出来。对于右图可以看出一个随机变量的x1分量较小时，另一分量x2也必然较小。而当随机变量的x1较大时，则其相应的x2分量也较大。换句话说，如果x1分量小于其均值μ1,则其相应的分量x2也很可能小于它的均值μ2。因此当x1-μ12-μ2这两项相乘来看就有倾向化。对整个随机变量样本集取期望值，就会使有非零值。反过来看左图中的随机变量分布，就没有这种规律，一个随机变量x1分量小于其均值 ,并不对其相应分量x2与