第1章流体力学的基本概念

第1章流体力学的基本概念

流体力学是研究流体的运动规律及具与物体相互作用的机理的一门专门学科。本章叙述

在以后章节中经常用到的一些基础知识，对于具它基5岀内容在本科的流体力学或水力学中已 作介绍,这里不再叙述。

1.1连续介质与流体物理量

111连续介质

流体^任何物质一样，都是由分子组成的，分子与分子之间是不连续而有空隙的。例如, 常温下每立方厘米水中约含有3x1022个水分子，相邻分子间距离约为3x10-8厘米。因而， 从微观结构上说,流体是有空隙的、不连续的介质。

但是，详细研究分子的微观运动不是流体力学的任务，我们所关心的不是个别分子的微 观运动,而是大呈分子"集体"所显示的特性,也就是所谓的宏观特性或宏观星,这是因为 分子间的孔隙与实际所研究的流体尺度相比是极其微小的。因此，可以设想把所讨论的流体 分割成为无数无限小的基元个体,相当于微小的分子集团,称之为流体的"质点"。从而认 为，輕体就是由这样的一个紧挨看f 的连那质点所组成的，没有任何空隙的够体，即 所谓的"连续介质"。［同时认为，流体的物理力学性质，例如密度、速度、压强和育僵等， 具有随同位置而连续变化的特性,即视为空间坐标和时间的连续函数。因此，不再从那些永 远运动的分子岀发，而是在宏观上从质点岀发来硏究流体的运动规律，从而可以利用连续函

数的分析方法。长期的实践和科学实验证明，利用连续介质假走所得出的有关流体运动规律 的基本理论与客观实际是符合的。

所谓流体质点，是J旨微小体积內所有流体分子的总体而该微小体积是几何尺寸很（N但 远大于分子平均自由行程）但包含足够多分子的特征体积，其宏观特性就是大呈分子的统计 平均特性,且具有确定性。

1.1.2流体物理量

根据流体连续介质模型，任一时刻流体所在空间的每一点都为相应的流体质点所占据。

流体的物理量是指反映流体宏观特性的物理臺,如密度、速度、压强、温度和能呈等。对于

流体物理呈，如流体质点的密度何以地定义为微小特征体积内大呈数目分子的统计质星除 以该特征体积所得的平均值,即

r AM p = Inn

AV 式中，表示体积AV中所含流体的质呈。

按数学的走义,空间一点的流体密度为

p = lun ---------

r 屮T（）AV

由于特征体积很小，按式（1-1）定义的流体质点密度，可以视为流体质点质心（几何 点）的流体密度，这样就应予式（1-2 ）定义的空间点的流体密度相一致。为把物理概念与 数学概念统一起来,方便利用有关连续函数的数学工具，今后均采用如式（1-2 ）所表达的

流体物理呈定义。所谓某一瞬时空间任意一点的物理呈，是指该瞬时位于该空间点的流体质 点的物理呈。在任一时刻，空间任一点的流体质点的物理量都有确走的值，它们是坐标点 （九” z）和时间t的函数。例如，某一瞬时空间任意一点的密度是坐标点和时间

t的函数,即

p = p（x, 乙/） （ 1-3 ）

1.2描述流体运动的两种方法

描述流体运动的方法有拉格朗日（Lagrange ）法和欧拉（Euler）法。 (1-D

(1-2) 12.1拉格朗日法

拉格朗日法是以个别的流体运动质点为对象，研究这些指定质点在整个运动过程中的轨 迹以及运动要素随时间变化的规律。各个质点运动状况的总和就构成了整个流体的运动。这 种方法又称为质点系法。

在某直角坐标系Oxyz中，将/ =⑴时的某流体质点在空间的位置坐标作为该质 点的标记。在此后的瞬间/，该质点运动到空间位置(x,y,z)。不同的质点在①时, 具有不同的位置坐标，如3"',c')、 这样就把不同的质点区别开来。同

—质点在不同瞬间处于不同位置；各个质点在同一瞬间f也位于不同的空间位置。因而，任 —瞬时t质点(a,b, c)的空间位置(X, y, Z)可表为

x = x(a、b,c,f)

y = y(aj^c,t) (l-4a)

Z = Z(a,b,cyt)

式中a.b.c称为拉格朗日变数。若给走式中的aJ^c值,可以得到某一特定质点的轨迹 方程。将某质点运动的空间位置的时间历程描绘出来就得到该质点的迹线。

将式(l-4a )对时间t取偏导数,可得该流体质点在任意瞬间的速度u在轴向 的分星

= uy{a.b,c9t) > (l-5a )

= u：(a,b,c.t)

若坐标用兀表示，i = 1,2,3 r即用xpx2,x3代替x.y.z ；用"…

即ul,u2,u3 ■代替 “My叫；用％ r k = 1,23 r 即XOPXO2,XO3 ■代替讪c ;则式(l-4a ) ~ (l-5a)可写

(l-4b) axar^¥比一0r

兀=“(曲) (l-5b )

对于某一特走质点，给走aJ^c值，就可利用式(1-4 ) - (15)确走不同时刻流质点的

坐标和确

1.2.1欧拉法

欧拉法是以考察不同流体质点通过固走的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的 流动情况,即看眼于研究各种运动要素的分布场。这种方法又叫做流场法。

采用欧拉法，流场中任何一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数。在直角坐标 系中，流速是随空间坐标(x,y,z)和时间/而变化的。因而，流体质点的流速在各坐标轴上 的投影可表示为

itx =ux(x,y,zj)

it, =uY(x9y,zJ)> (l-6a )

=uz(x,y,z,t)

或

=% (无 J) (l-6b )

式中x,J = 1,2,3，代表自变星x,y,z。若令上式中为常数「为变数，即可求 得在某一空间点(x,y,z)上，流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。若令f为常数, 为变数,则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速分布情况(即流 速场 ‘velocity field X

流速「是一个矢呈，所以流速场是一个矢星场。流速虽是流动的一个重要参数,但只有 流场不足以完全说明流动的全部情况，还应知道其他表达流动的各个参数的分布情况。一个

标臺，如流体的密度°，温度7’等，在空间和时间上的连续分布就成为一个标呈场。应力勺

是一个二阶张量■所以应力在空间和时间上的分布是一个张星场。表述流动的各种场的综合

成为流场（flow field ）,如流速场乙0 ,密度场p（x, y,乙/）等。

13质点的加速度公式和随体导数

1.3.1质点加速度公式

质点加速度是质点速度向呈随时间的变化率。在Lagrange法中是以单个流体质点作为

研究对象,因此位移函数（1-4 ）式对时间求二次偏导数可得流体质点的加速度“在各轴向

的投影：

g / R X

—r = 6/v C7)

d2y . —^ = av(a,b.c.t) du

dh (,八

—=G.(G,〃,Cj) dV (l-7a )

ot (l-7b )

欧拉法不追踪质点运动而看眼于流场，由速度场血山丿丿计算匕』）处的质点加速度

①时必须求出该质点在&时间内的速度增星，在求其极值,即

厂 ig( xk +dxk,t + )-1^( xkJ)

a： = inn (1-8)

式中兀 是质点在刀时间内的位移。利用Taylor1 s Series展开r则

Uj( Xk +3xk,t + ^t ) = 1^( xk,t) + ( 3xk 4—A + ($ 孚人 +03'，|&『,肝陆|丿 OX r Cl

略去高阶微小量f所以

du du. du du

ui( xk +^k>t + ^)-ui(xk,t) = (3xk—-)l+(^—- )Xt =^f( — h — \

du- du. 5x. a： = —- + ———- dt dxk &

注意到近是质点位移，因而

则得欧拉法描述流体质点加速度的表达式

du. du. du. du. a： = —- + u, —- + —- + a,—- dt dxl ■ dx2 dx3

以矢呈表不为

ci ---- (E・ V )v

dt

在直角坐标系下，加速度表述为

du, du r dur dut dur

dt dt dx > dy 心 dz.

duv duy du duv duv = —— =—-+ u v —— +叭.一-+ 0仁—— dt dt dx dy - dz

du. du^ du7 die

ci. = —- = — +u v — +u v — ―-

' dt dt x dx > 6 4 dz

以已式中等号右边第—项晋、才、晋表示在每个固走点上極对时间的变化 率，称为时变加速度(当地加速度)。等号右边的第二项至第四项之和

dur duT duT 加、 du7 die du, ra=t=

ir— +//..— +“・一-s ut ----------- uv ------ + u. ---- 、ur— +“、一 +“•一^是表

ox dy “ dz. dx > dy 4 dz dx > 勿 “ dz.

示流速随坐标的变化率，称为進加速度(迁移加速度\因此，一个流体质点在空间点上 的全加速度应为上述两加速度之和。代入式(—8) f得

或写为 (l-9a )

(l-9b )

(l-9c )

(_9d )