《小波分析》PPT课件

时间序列-小波分析

时间序列（Time Series）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理

1. 小波函数

小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R(L)t(2且满足：

0dt)t( （1）

式中，)t(为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：

)abt(a)t(2/1b,a 其中，0aR,ba, （2）

青海湖地区近50年降水量周期变化分析

杨沈斌，张弥，吕开龙

1．问题

青海湖位于青海省东北部的青海湖盆地内，既是中国最大的内陆湖泊，也是中国最大

的咸水湖。近年来有多篇关于青海湖面积受气候变化影响的研究报告，认为温度升高，降水

减少和蒸发量大是造成面积下降的几个重要原因。为此，本实验拟采用连续小波分析方法对

青海湖地区年降水量周期变化进行分析，探讨降水量变化与青海湖面积变化的关系。

2. 资料

考虑到刚察气象观测站正好处于青海湖边上，所得数据对反映青海湖周边降水变化具有

较好的代表性。因此，以青海湖西北位置的刚察气象台站1961-2007年年降水量资料为例，

对该站年降水资料进行小波分析，获取其周期变化特征。同时，获取了青海湖1961-2007年

的面积变化资料。从资料发现，青海湖面积近50年呈现下降趋势，平均下降3 km2/a。图1

和图2分别显示了1961-2007年刚察气象站年降水量和青海湖面积的变化，以及对应的趋势

线。

图1 1961-2007年刚察气象台站年降水量及趋势线

图2 1961-2007年青海湖面积及趋势线

3. 小波分析方法

小波变换具有多分辨率分析的特点，并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内，从而得出时间系列的显著的波动模式，即周

期变化动态，以及周期变化动态的时间格局（Torrence and Compo, 1998）。小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的、长度有限，平均值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，

二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。小波分析是时间（空间）频率的局部化

分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，能自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节。小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些

小波函数都是由一个母小波（mother wavelet）函数经过平移与尺度伸缩得来的。用这种不

小波分析原理

1.1 小波变换及小波函数的多样性

小波是函数空间2()LR中满足下述条件的一个函数或者信号()x：

2ˆ().RCd

式中，*{0}RR表示非零实数全体，ˆ()是()x的傅里叶变换，()x成为小波母函数。

对于实数对(,)ab，参数a为非零实数，函数

1(,)()xbabxaa

称为由小波母函数()x生成的依赖于参数对(,)ab的连续小波函数，简称小波。其中：a称为伸缩因子；b称为平移因子。

对信号()fx的连续小波变换则定义为

,1(,)()(),()fabRxbWabfxdxfxxaa

其逆变换（回复信号或重构信号）为

*1()(,)fRRxbfxWabdadbCa

信号()fx的离散小波变换定义为

2(2,2)2()(2)jjjjfWkfxxkdx

其逆变换（恢复信号或重构信号）为

(2,2)()(2,2)()jjjjfkjkftCWkx

其中，C是一个与信号无关的常数。

显然小波函数具有多样性。在MATLAB小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr小波，Daubecheies（dbN）小波系，Symlets（symN）小波系，ReverseBior（rbio）小波系，Meyer（meyer）小波，Dmeyer（dmey）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie（lem）小波系等。实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。

1.2 小波的多尺度分解与重构

1988年Mallat在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()fxLR都可以根据分辨率为2N的()fx的低频部分（近似部分）和分辨率为2(1)jjN下()fx的高频部分（细节部分）完全重构。多尺度分析时只对低频部分作进一步分解，而高频部分则不予考虑，分解具有关系：

时间序列-小波分析

时间序列（Time Series）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理

1. 小波函数

小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R(L)t(2且满足：

0dt)t( （1）

式中，)t(为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：

)abt(a)t(2/1b,a 其中，0aR,ba, （2）