推荐-高二数学人教A版必修5课件2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用

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1 人教版高二数学必修5第二章等差数列的前n项和知识点

2015-2016新学期学习一定注意知识点的积累，为此整理了数学必修5第二章等差数列的前n项和知识点，希望帮助大家学习。 求和公式 若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为： S=(a1+an)n÷2 即(首项+末项)×项数÷2 前n项和公式 注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和) 等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用： 上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。 即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2. 小故事编辑 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。 高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习,1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想

等差数列的前n项和

(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？

(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？

(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？

[新知初探]

1．数列的前n项和

对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.

2．等差数列的前n项和公式

已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数

选用

公式 Sn＝na1＋an2 Sn＝na1＋nn－12d

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和( )

(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式( )

(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1( )

解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．

(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.

又∵a1＝S1＝3，

∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．

(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.

答案：(1)√ (2)× (3)× 预习课本P42～45，思考并完成以下问题 2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )

A．n B．n(n＋1)

C．n(n－1) D.nn＋12

解析：选D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12，故选D.

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于( )

A．16 B．24

C．36 D．48

解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，

经典小初高讲义

小初高优秀教案 课时训练10 等差数列前n项和的性质与应用

一、等差数列前n项和性质的应用

1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于( )

A.12 B.18 C.24 D.42

答案:C

解析:S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24.

2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )

A.5 B.4 C.3 D.2

答案:C

解析:由题意得S偶-S奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组{5𝑎1+20𝑑=15,5𝑎1+25𝑑=30求得d=3,故选C.

3.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2 015,𝑆20152015−𝑆20132013=2,则S2 015=( )

A.2 015 B.-2 015 C.0 D.1

答案:B

解析:由等差数列前n项和性质可知,数列{𝑆𝑛𝑛}是等差数列,设公差为d,

则𝑆20152015−𝑆20132013=2d=2,所以d=1.

所以𝑆20152015=𝑆11+2014d=-2015+2014=-1,

所以S2015=-2015.

二、等差数列前n项和中的最值问题

4.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题中错误的是( )

A.若d<0,则数列{Sn}有最大项

B.若数列{Sn}有最大项,则d<0

C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0

D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列

答案:C

解析:由等差数列的前n项和公式Sn=na1+12n(n-1)d=𝑑2n2+(𝑎1-𝑑2)n知,Sn对应的二次函数有最大值时d<0.

故若d<0,则Sn有最大值,A,B正确.

又若对任意n∈N*,Sn>0,则a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,D正确.

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精心校对 等差数列的前n项和说课稿

一、 背景分析

1． 教学内容分析

《等差数列的前n项和》是按照从特殊到一般的探究方式 ，引导学生采用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式，并体会公式的一些应用，同时让学生探究等差数列的前n项和公式与关于n的二次函数之间的联系。

2．

在教材中的地位

等差数列前n项和是进一步学习数列、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

3． 重点、难点定位

重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用。

难点：等差数列前n项和公式推导方法及它与二次函数的关系。

二、 学生学情分析

1、 知识准备

学生已经学习了等差数列的通项公式和性质，数列的和等有关内容。

2、 能力储备

学生经过初高中的数学学习，已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力，但学生对于倒序求和的思想还初次见到。

3、 学生情况

我所在的学校是省示范性高中，学生基础还不错，经过近几年的课改，已经形成了较浓的自主探究氛围与合作交流意识。这些都为本节课突破难点提供了有利条件。

三、 教学目标

1、 知识与技能

（1）理解等差数列前 项和的定义以及等差数列前 项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前 项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个量；

（3）会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

2、过程与方法

（1）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.