2018年天津市南开中学高三模拟考试数学(文)(精编含解析)

2018年天津市南开中学高三模拟考试

数学（文）

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数等于（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果.

【详解】，故选：C

【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题．

2. 命题：“”的否定形式是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．一般形式为：全称命题：，；特称命题，．

【详解】命题“”的否定形式是特称命题；

“”，故选C.

【点睛】通常像“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“”表示“对任意”；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“”表示“存在”．

3. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

试题分析：程序执行的数据变化如下：

成立，输出

考点：程序框图

4. 已知，则下列关系正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用对数的运算法则，化简，推导出的范围，然后推出与的范围并比较大小，从而可得答案．

【详解】∵，，，

因为，即，∴，故选A.

【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用，对数值大小的比较，着重考查对数函数的单调性，属于基础题.

5. 在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积大

于的概率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）

矩形的面积S=x（12-x）＞20

∴x2-12x+20＜0

∴2＜x＜10

由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率

考点：几何概型

视频

6. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．

考点：双曲线的标准方程．

视频

7. 设，若函数在区间上有三个零点， 则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：当时,,设直线与的切点为,因,故,则代入可得,所以，解之得,结合图象可知,当,即,所以当,即当时,函数与直线有三个交点,故应选D.

考点：函数的图象和零点．

【易错点晴】本题考查的是函数的图象与零点的综合运用问题.解答时可依据题设条件将问题进行合理有效的转化与化归,画出函数的图象,结合图象不难看出, 函数在区间上有三个零点等价于函数与直线有三个交点.然后以导数为工具,求出切点的坐标,,数形结合求出参数的取值范围是.

8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为（ ）

A. B. 1 C. D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值．

【详解】

，（其中，），

将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到

，

∴，，解得，故选D.

【点睛】本题主要考查辅助角公式，的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9. 已知集合，则__________．

【答案】.

【解析】

【分析】

由，，根据集合确定出，根据定义求出与的交集即可．

【详解】∵集合中，，，

∴，3，9，即，∴，

故答案为.

【点睛】本题主要考查了交集及其运算，熟练掌握集合的定义及交集的定义是解本题的关键.

10. 若变量满足约束条件，则的取值范围是__________．

【答案】.

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移求出的取值范围.

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；

由得，即直线的截距最大，也最大；平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，即；经过点A时，截距最小，由，得，即，此时最小，为；即的取值范围是，故答案为．

【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

11. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的体积为__________．

【答案】.

【解析】

【分析】

由三视图知该几何体是左边为横放的直三棱柱，右边是横放的半圆柱，结合图中数据求出它的体积．

【详解】由三视图知，该几何体是由左右两部分组成的，左边的是横放的直三棱柱，高为3，底面是边

长为2的等腰直角三角形，右边是一个半圆柱，高为3，底面半径为1；

∴该几何体的体积为（）．

故答案为.

【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的体积问题，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键，是基础题．

12. 设函数是定义在上的以5为周期的奇函数，若，则的取值范围是__________．

【答案】.

【解析】

【分析】

根据函数是以5为周期的奇函数，得，结合函数为奇函数，得由此结合建立关于的不等式，解之可得的取值范围．

【详解】∵函数以5为周期，∴，

又∵，函数是奇函数，∴，

因此，解之得或，故答案为．

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题．

13. 如图，已知正六边形的边长为，点为的中点，则__________．

【答案】.

【解析】

【分析】

根据题意，建立直角坐标系，进而可得、、、、、的坐标，由中点坐标公式可得的坐标，由向量的坐标公式可得向量，的坐标，进而由数量积的坐标计算公式计算可得答案

【详解】根据题意，如图建立直角坐标系，则，

则，，，，，，

又由点为的中点，则，则有，，则，故答案为.

【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是建立直角坐标系，求出点的坐标，属于基础题.

14. 若二次函数的值域为，则的最小值为__________．

【答案】.

【解析】

【分析】

由题意可知，，，从而求出，将所求式子中的4代换成，利用裂项法进行整理，进而利用均值不等式求出最小值．

【详解】∵二次函数（）的值域为，

∴，，∴，，，

∴

，

当且仅当时取等号，故答案为．

【点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中

“正”“定”“等”的条件．

三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 在中，角的对边分别为.已知的面积为，周长为，且.

（1）求及的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；.

（2）.

【解析】

【分析】

（1）由已知及三角形面积公式可求，进而可求，利用余弦定理即可得解的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可得解．

【详解】（1） ∴

∴ ∴.

.

（2）由（1）得，，∴

∴，

【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

16. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：后得到如图的频率分布直方图.

（1）求图中实数的值.

（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校髙一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

【答案】（1）.

（2）544人.

（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；

（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求；

（3）成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．

试题解析：

(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.

解得a=0.03

(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人

(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.

若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.…(9分)