动能定理的推导及示例

动能定理及应用实例动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动能与外力做功之间的关系。

本文将介绍动能定理的基本原理，并通过应用实例来进一步说明其在实际问题中的应用。

一、动能定理的基本原理动能定理是基于牛顿第二定律和功的定义得出的。

牛顿第二定律表明，物体受到的合力等于物体的质量乘以加速度，即F=ma。

功的定义是力在物体运动方向上的投影乘以物体在该方向上的位移，即W=Fs。

根据物体的质量、速度和加速度的关系——v=at，以及速度和位移的关系——s=vt，我们可以推导出动能定理的表达式：E_k = 0.5mv^2 = Fs。

动能定理说明了物体的动能与外力做功之间存在着直接的关系。

当一个物体受到外力作用时，外力对物体做功，改变了物体的动能，使其增加或减小。

二、应用实例1. 汽车刹车示例假设一个汽车以恒定速度行驶，在某一时刻司机突然踩下刹车。

刹车时，汽车受到刹车系统提供的逆向力，这个力与汽车的速度方向相反。

根据动能定理，刹车系统所做的反向功将减小汽车的动能。

由于动能减小，汽车的速度也会相应降低。

2. 自由下落示例考虑一个物体自由下落的情况，只受到重力的作用。

重力对物体产生向下的力，与物体的下落方向一致。

根据动能定理，重力所做的功将增加物体的动能。

由于物体在下落过程中速度不断增加，它的动能也会不断增加。

三、结论与意义动能定理揭示了物体的动能与外力做功之间的关系，说明了动能变化的原因。

通过应用实例，我们可以更好地理解动能定理在实际问题中的应用。

对于机械能守恒的情况，即只有重力做功或只有切向力做功的情况，动能定理可以派生出更简洁的形式。

在工程学和物理学中，动能定理的应用非常广泛。

例如，在力学、运动学和工程力学领域，动能定理被广泛用于分析和解决各种实际问题。

总而言之，动能定理是物体的动能与外力做功之间关系的描述，通过理论推导和实际应用实例的分析，我们可以更好地理解和应用这一重要的物理定理。

动能定理的推导与动能转化问题分析动能定理是物理学中一个重要的定理，用于描述物体的动能与力的关系。

通过对动能定理的推导和动能转化问题的分析，我们可以深入理解它在物理学中的应用和意义。

一、动能定理的推导动能定理描述了一个物体的动能与外力对其所做的功之间的关系。

下面我们将推导动能定理的过程。

首先，假设质量为m的物体在力F作用下，作一段位移s。

根据牛顿第二定律F=ma可知，物体所受合力F等于物体质量m乘以加速度a。

由于加速度a与物体的速度v和位移s之间的关系为v^2=2as（该公式可以通过积分加速度关于时间的关系得到），我们可以将合力F代入该公式中得到F=mv^2/(2s)。

然后，根据功的定义可知，功W等于力F乘以位移s，即W=Fs。

代入上述得到的F=mv^2/(2s)公式，可以得到W=mv^2/2。

最后，根据动能的定义可知，动能K等于物体的质量m乘以速度v的平方除以2，即K=mv^2/2。

由此可得，动能定理的表达式为：W=ΔK，其中W是合力对物体所做的功，ΔK是物体动能的变化量。

二、动能转化问题的分析动能转化问题是指当一个物体的动能发生变化时，其产生和消耗动能的过程。

下面我们将从几个例子入手，分析动能转化问题。

1. 自由落体当一个物体自由落体时，它沿重力方向下落，动能由势能转变为动能。

在物体下落的过程中，重力对物体做负功，将物体的势能转化为动能。

根据动能定理，重力对物体所做的负功等于动能的增量。

当物体落地时，它的动能达到最大值，势能完全转化为动能。

2. 弹性碰撞在弹性碰撞中，两个物体之间发生相互作用，动能可以从一个物体转移到另一个物体。

当两个物体碰撞时，动能守恒定律成立，即总的动能在碰撞前后保持不变。

例如，当一个球在水平台上撞击另一个静止的球时，动能会从撞击球转移到静止球上，使静止球开始运动。

3. 摩擦力的做功当一个物体在平面上运动时，摩擦力会对其做功，并将物体的动能转化为热能。

由于摩擦力是一个非保守力，它的功不会完全恢复为动能。

动能定理及应用动能及动能定理 1 动能表达式：221υm E K =2 动能定理（即合外力做功与动能关系）：12K K E E W -=3理解：①F 合在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

F 合做正功时，物体动能增加；F 合做负功时，物体动能减少。

②动能定理揭示了合外力的功与动能变化的关系。

4适用范围：适用于恒力、变力做功；适用于直线运动，也适用于曲线运动。

5应用动能定理解题步骤：a 确定研究对象及其运动过程b 分析研究对象在研究过程中受力情况，弄清各力做功情况c 确定研究对象在运动过程中初末状态，找出初、末动能d 列方程、求解。

例1、一小球从高出地面H 米处，由静止自由下落，不计空气阻力，球落至地面后又深入沙坑h 米后停止，求沙坑对球的平均阻力是其重力的多少倍。

例2．一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为15m 的斜坡滑下，到达底部时速度为10m/s 。

人和雪橇的总质量为60kg ，下滑过程中克服阻力做的功。

基础练习1、一个质量是0.20kg 的小球在离地5m 高处从静止开始下落，如果小球下落过程中所受的空气阻力是0.72N ，求它落地时的速度。

2、一辆汽车沿着平直的道路行驶，遇有紧急情况而刹车，刹车后轮子只滑动不滚动，从刹车开始到汽车停下来，汽车前进12m 。

已知轮胎与路面之间的滑动摩擦系数为0.7，求刹车前汽车的行驶速度。

3、一辆5吨的载重汽车开上一段坡路，坡路上S=100m ，坡顶和坡底的高度差h=10m ，汽车山坡前的速度是10m/s ，上到坡顶时速度减为5.0m/s 。

汽车受到的摩擦阻力时车重的0.05倍。

求汽车的牵引力。

4、质量为4×103Kg 的汽车由静止开始以恒定功率前进，经1003 s,前进了425m ，这时它达图 6-3-1到最大速度15m/s ，设阻力不变，求机车的功率。

5：如图过山车模型，小球从h 高处由静止开始滑下，若小球经过光滑轨道上最高点不掉下来， 求h 的最小值？6、如图所示，半径R = 0.4m 的光滑半圆轨道与粗糙的水平面相切于A 点，质量为 m = 1kg 的小物体（可视为质点）在水平拉力F 的作用下，从C 点运动到A 点，物体从A 点进入半圆轨道的同时撤去外力F ，物体沿半圆轨道通过最高点B 后作平抛运动，正好落在C 点，已知AC = 2m ，F = 15N ，g 取10m/s2，试求：（1）物体在B 点时的速度以及此时半圆轨道对物体的弹力． （2）物体从C 到A 的过程中，摩擦力做的功．7、如图所示，质量m=1kg 的木块静止在高h=1.2m 的平台上，木块与平台间的动摩擦因数 =0.2，用水平推力F=20N ，使木块产生位移S 1=3m 时撤去，木块又滑行S 2=1m 时飞出平台,求木块落地时速度的大小？（空气阻力不计，g=10m/s 2）拓展提升1. 一物体质量为2kg ，以4m/s 的速度在光滑水平面上向左滑行。

动能定理一、动能定理的推导：1、动能定理的内容：________________________________________表达式：_____________________________________________________________________ 2、合力功的几种求解方法：(1)通过力的合成求出合外力，再由求功公式求的合力功，适合________做功 (2)先求出物体所受到的每个力的功，然后代数求和(3)整个过程中外力发生变化，先求出各阶段外力的功，然后代数求和 练习1、关于动能的理解，下列说法正确的是（ ） A 、动能不变的物体，一定处于平衡状态 B 、动能不可能是负的C 、一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化D 、物体的加速度为零，其动能不变练习2、下列关于运动物体所受的合外力、合外力做功和动能变化的关系正确的是( ) A ．如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做的功一定为零 B ．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零 C ．物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化 D ．物体的动能不变，所受合外力必定为零二、动能定理的应用（一）计算变力功1、如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过O 孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F 时，圆周半径为R ，当绳的拉力增大到8F 时，小球恰可沿半径为R/2的圆周做匀速圆周运动，在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对小球做的功为（ ） A ．4FR ； B ．FR 23； 列式： C ．FR ； D ．FR 21。

2、如图所示，质量m ＝2kg 的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O 处。

将橡皮条拉直至水平位置OA 处（橡皮条无形变）然后将小球由A 处静止释放，小球到达O 点正下方h ＝0.5m 处的B 点时的速度为v ＝2m/s 。

不计空气阻力，求小球从A 运动到B 的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。

动能定理的推导与实验验证动能定理是经典力学中的一条重要定理，它描述了物体运动过程中动能的变化与力的关系。

本文将对动能定理进行推导，并通过实验验证来证明其正确性。

一、动能定理的推导动能定理是通过对物体的运动进行分析，结合牛顿第二定律和功的概念推导而得到的。

首先，我们来回顾一下牛顿第二定律的表达式：\[F = m \cdot a\]其中，F代表物体所受的净力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。

其次，我们引入功的概念。

功可以定义为力在物体上所做的功。

当物体在力的作用下发生位移时，力对物体进行了功。

功的表达式可以表示为：\[W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)\]其中，W代表力所做的功，F代表力的大小，s代表物体的位移大小，θ代表力与位移之间的夹角。

根据牛顿第二定律和功的概念，我们可以对动能定理进行推导。

根据牛顿第二定律，物体所受的净力可以表示为：\[F = ma\]将上式代入功的表达式中，可以得到：\[W = mas \cdot \cos(\theta)\]由于动能可以定义为物体的能量，可以表示为：\[K = \frac{1}{2}mv^2\]其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。

根据物体的速度和位移之间的关系，我们知道：\[v = \frac{s}{t}\]将上式代入动能的表达式中，可以得到：\[K = \frac{1}{2}m\left(\frac{s}{t}\right)^2\]将动能的表达式代入功的表达式中，可以得到：\[W = ma \cdot s \cdot \cos(\theta)\]由于功等于动能的变化，即\(W = \Delta K\)，可以得到：\[ma \cdot s \cdot \cos(\theta) = \frac{1}{2}m\left(\frac{s}{t}\right)^2\]经过简化和化简，可以得到动能定理的最终表达式：\[mv^2 = 2a \cdot s\]这就是动能定理的推导过程。

动能定理解析动能定理是物理学中一个重要的定律，用于描述一个物体的动能与作用力之间的关系。

它是基于牛顿第二定律，通过将物体的质量、速度和加速度联系在一起，推导出了动能的表达式。

本文将对动能定理的物理原理进行解析，并探讨其在实际应用中的意义。

一、动能定理的基本原理动能定理是指一个物体的动能（Kinetic Energy，简称KE）等于它所受的合外力（F）对其做功（W）的结果。

可以用以下公式表示：KE = W = Fd其中，KE为物体的动能，W为外力对物体做的功，F为作用力的大小，d为物体在作用力方向上的位移。

二、动能定理的推导过程1. 根据牛顿第二定律 F = ma，将作用力F代入公式中，得到W = mad。

2. 将物体的加速度a表示为速度v和时间t的函数，即a = (v - u) / t，其中u为物体的初速度。

3. 将上述表达式代入W = mad中，得到W = m(v - u) / t。

4. 由定义可知，速度v = d / t，其中d为位移，将此代入公式中，得到W = m(d / t - u) / t。

5. 将W化简后得到W = md / t - mu / t。

6. 根据功的定义，可以将W表示为Fd，即Fd = md / t - mu / t。

7. 经过整理后，可得到动能定理的公式 KE = W = Fd。

三、动能定理的物理意义动能定理揭示了物体的动能与作用力之间的量化关系，其物理意义主要体现在以下几个方面：1. 动能的转化：动能定理说明了作用力对物体做功时，物体的动能会发生变化。

若作用力对物体做正功（即物体速度增加），则物体的动能增加；若作用力对物体做负功（即物体速度减小），则物体的动能减小。

2. 动能与速度的关系：动能定理表明，物体的动能与其速度的平方成正比。

当速度增加时，动能的增加速率更快。

这一关系也反映了动能对物体运动状态的敏感程度。

3. 动能守恒定律：根据动能定理，当外力对物体的做功为零时，动能保持不变。

高中物理必修2动能定理、机械能守恒定律复习考纲要求1、动能定理 （Ⅱ）2、做功与动能改变的关系 （Ⅱ）3、机械能守恒定律 （Ⅱ）知识归纳1、动能定理（1）推导：设一个物体的质量为m ，初速度为V 1，在与运动方向相同的恒力F 作用下，发生了一段位移S ，速度增加到V 2，如图所示。

在这一过程中，力F 所做的功W=F ·S ，根据牛顿第二定律有F=ma ；根据匀加速直线运动的规律，有：V 22－V 13=2aS ，即aV V S 22122-=。

可得：W=F ·S=ma ·2122212221212mV mV a V V -=- （2）定理：①表达式 W=E K2－E K1 或 W 1＋W 2＋……W n =21222121mV mV - ②意义 做功可以改变物体的能量—所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。

ⅰ、如果合外力对物体做正功，则E K2＞E K1 ，物体的动能增加；ⅱ、如果合外力对物体做负功，则E K2＜E K1 ，物体的动能减少；ⅱ、如果合外力对物体不做功，则物体的动能不发生变化。

（3）理解：①外力对物体做的总功等于物体动能的变化。

W 总=△E K =E K2－E K1 。

它反映了物体动能变化与引起变化的原因——力对物体做功的因果关系。

可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能减少。

外力可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他力，但物体动能的变化对应合外力的功，而不是某一个力的功。

②注意的动能的变化，指末动能减初动能。

用△E K 表示动能的变化，△E K ＞0，表示动能增加；△E K ＜0，表示动能减少。

③动能定理是标量式，功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解，故动能定理无分量式。

（4）应用：①动能定理的表达式是在恒力作用且做匀加速直线运动的情况下得出的，但它也适用于减速运动、曲线运动和变力对物体做功的情况。

②动能定理对应的是一个过程，并且它只涉及到物体初末态的动能和整个过程中合外力的功，它不涉及物体运动过程中的加速度、时间和中间状态的速度、动能，因此用它处理问题比较方便。

动能定理的应用实例在物理学中，动能定理是一个非常重要的概念，它描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。

动能定理的表达式为：合力对物体所做的功等于物体动能的变化，即 W 合＝ΔEk 。

这个定理在解决很多实际问题中发挥着关键作用，下面我们就来看看一些具体的应用实例。

先来说说汽车的加速过程。

当汽车发动机的牵引力推动汽车前进时，牵引力对汽车做功。

假设一辆汽车的质量为 m ，牵引力为 F ，汽车在牵引力作用下行驶的距离为 s ，初速度为 v₁，末速度为 v₂。

根据动能定理，牵引力做的功 W ＝ Fs 等于汽车动能的变化，即 1/2mv₂²1/2mv₁²。

通过这个定理，我们可以计算出汽车达到一定速度所需的牵引力或者行驶一定距离时速度的变化。

再看一个物体在斜面上运动的例子。

一个质量为 m 的物体从斜面顶端由静止开始下滑，斜面的高度为 h ，长度为 l ，斜面的倾角为θ ，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ 。

在这个过程中，重力对物体做功mgh ，摩擦力对物体做功μmgcosθ·l 。

根据动能定理，重力做的功与摩擦力做的功之和等于物体动能的变化。

因为物体初速度为 0 ，所以末动能 1/2mv²就等于重力做的功减去摩擦力做的功，从而可以求出物体滑到底端时的速度 v 。

在体育运动中，动能定理也有广泛的应用。

比如跳高运动员。

运动员起跳时，腿部肌肉发力做功，使运动员获得一定的初速度。

在上升过程中，只有重力做功。

根据动能定理，运动员起跳时肌肉做功等于运动员到达最高点时的重力势能增加量和动能减少量之和。

通过对这个过程的分析，教练可以根据运动员的身体素质和技术特点，制定更科学的训练方案，以提高运动员的跳高成绩。

还有篮球投篮的过程。

当运动员投篮时，手臂对篮球做功，使篮球获得初速度。

篮球在空中飞行的过程中，受到重力和空气阻力的作用。

根据动能定理，手臂做功等于篮球在空中飞行过程中动能和势能的变化量之和。

第2讲 动能定理及应用一、动能1．定义：物体由于运动而具有的能。

2．公式：E k ＝12m v 2。

3．单位：焦耳，1 J ＝1 N·m ＝1 kg·m 2/s 2。

4．动能是标量，是状态量。

5．动能的变化：ΔE k ＝12m v 22－12m v 21。

二、动能定理1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

2．表达式：W ＝E k2－E k1＝12m v 22－12m v 21。

3．物理意义：合力做的功是物体动能变化的量度。

4．适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。

(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功。

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用。

【自测 关于运动物体所受的合力、合力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是( )A ．合力为零，则合力做功一定为零B ．合力做功为零，则合力一定为零C ．合力做功越多，则动能一定越大D ．动能不变，则物体所受合力一定为零答案 A命题点一 动能定理的理解1．两个关系(1)数量关系：合力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合力做的功。

(2)因果关系：合力做功是引起物体动能变化的原因。

2．标量性动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题。

当然动能定理也就不存在分量的表达式。

【例1 随着高铁时代的到来，人们出行也越来越方便，高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。

在启动阶段，列车的动能( )图1A ．与它所经历的时间成正比B ．与它的位移成正比C ．与它的速度成正比D ．与它的加速度成正比答案 B解析 列车在启动阶段做v 0＝0的匀加速直线运动，列车的动能E k ＝12m v 2＝12m (at )2＝12m ·(2ax )，可见B 正确，A 、C 、D 错误。

【针对训练1】 (多选)用力F 拉着一个物体从空中的a 点运动到b 点的过程中，重力做功－3 J ，拉力F 做功8 J ，空气阻力做功－0.5 J ，则下列判断正确的是( )A ．物体的重力势能增加了3 JB ．物体的重力势能减少了3 JC ．物体的动能增加了4.5 JD ．物体的动能增加了8 J答案 AC解析 因为重力做负功时重力势能增加，所以重力势能增加了3 J ，A 正确，B 错误；根据动能定理W 合＝ΔE k ，得ΔE k ＝－3 J ＋8 J －0.5 J ＝4.5 J ，C 正确，D 错误。