新教材高中数学第十一章立体几何初步章末质量检测含解析新人教B版必修第四册

第十一章测评（时间:120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是（)A.平行B。

相交C。

平行或相交D。

不相交,各侧棱的延长线交于一点，所以选B. 2。

一直线l与其外三点A,B,C可确定的平面个数是（）A.1 B.3C.1或3D.1或3或4A，B,C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A,B，C共线且与l异面时,可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面。

3。

若三个平面两两相交，有三条交线,则下列命题中正确的是(）A。

三条交线为异面直线B。

三条交线两两平行C。

三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点2条平行，由线面平行性质定理知三条都平行，如三棱柱三侧棱;三条交线也可以交于一点，如三棱锥三侧棱.4.（2020全国Ⅰ，理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A。

√5-14B.√5-12C.√5+14D。

√5+12,设正四棱锥的高为h,底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h’，则有{ℎ2=12aℎ',ℎ2=ℎ'2-(a2) 2 ,因此有h'2-(a2)2=12ah’,化简得4(ℎ'a)2—2(ℎ'a)-1=0，解得ℎ'a=√5+14。

(负值舍去)5.设α,β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A 。

α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面内有无数直线与β平行是α∥β的必要不充分条件，A 不符合；α内有两条相交直线与β平行是α∥β的充要条件，B 符合;α,β平行同一条直线是α∥β的必要不充分条件，C 不符合； α，β垂直同一平面是α∥β的必要不充分条件,D 不符合.6.（2020天津)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（ ) A 。

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。

单元素养检测(三)(第十一章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能【解析】选D.如图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况.【补偿训练】下列说法不正确的是( )A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】选D.A,B,C显然正确.易知当直线与平面垂直时,过这条直线有无数个平面与已知平面垂直.2.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为( )A.3∶πB.2∶πC.1∶2πD.1∶3π【解析】选B.设正方体的棱长为a,则外接球的直径为2R=a,所以R= a.正方体的表面积为6a2.外接球的表面积为4πR2=4π·=3πa2,所以它们的表面积之比为6a2∶3πa2=2∶π.3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α【解析】选B.因为已知两条不相交的空间直线a和b,所以可以在直线a上任取一点A,则A∉b,过A作直线c∥b,则过a,c必存在平面α且使得a⊂α,b∥α.4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱锥A1-ABCD的体积与长方体的体积的比值为( )A. B. C. D.【解析】选C.设长方体过同一顶点的棱长分别为a,b,c,则长方体的体积为V1=abc,四棱锥A1-ABCD的体积为V2=abc,所以棱锥A1-ABCD的体积与长方体的体积的比值为.【补偿训练】已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,由题意知另一底面的半径R=3r.所以S侧=π(r+R)l=π(r+3r)×3=84π,解得r=7.5.如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是( )A.平行B.垂直C.异面D.相交成60°【解析】选D.如图所示,△ABC为正三角形,故AB,CD相交成60°.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则异面直线CE与BD所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选D.连接AC,因为底面是正方形,则AC⊥BD,由几何体是正方体,可知BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,所以BD⊥平面C1CAA1,因为CE⊂平面C1CAA1,所以BD⊥CE,所以异面直线BD,CE所成角是90°.7.(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π【解析】选A.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,得πr2=4π,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin 60°=2,所以OO1=AB=2,根据球截面性质得OO1⊥平面ABC,所以OO1⊥O1A,R=OA===4,所以球O的表面积S=4πR2=64π.8.在等腰Rt△A′BC中,A′B=BC=1,M为A′C的中点,沿BM把它折成二面角,A′折到A的位置,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°【解析】选C.如图所示,由A′B=BC=1,∠A′BC=90°,得A′C=.因为M为A′C的中点,所以MC=AM=.且CM⊥BM,AM⊥BM,所以∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.因为AC=1,MC=AM=,所以∠CMA=90°.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.m是一条直线,α,β是两个不同的平面,以下命题不正确的是( )A.若m∥α,α∥β,则m∥βB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥α,α⊥β,则m⊥βD.若m∥α,m⊥β,则α⊥β【解析】选ABC.A.若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β,A错;B.若m∥α,m∥β,则α∥β或α∩β=l,B错;C.若m∥α,α⊥β,则m与β相交或m∥β或m⊂β,C错;D.因为m∥α,存在直线n,使m∥n,n⊂α.因为m⊥β,所以n⊥β.又因为n⊂α,所以α⊥β.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,则过A,Q,B1三点的截面图形可以是( )A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.直角三角形【解析】选ABC.当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形AB1D1,如图(1);当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图(2);当点Q不与点D,D1重合时,令Q,R分别为DD1,C1D1的中点,则截面图形为等腰梯形AQRB1,如图(3).11.如图所示,在三棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中能成立的是( )A.AC=BCB.VC⊥VDC.AB⊥VCD.S△VCD·AB=S△ABC·VO【解析】选ACD.因为VA=VB,AD=BD,所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以VO⊥AB.又因为VO∩VD=V,VO⊂平面VCD,VD⊂平面VCD,所以AB⊥平面VCD,又CD⊂平面VCD,VC⊂平面VCD,所以AB⊥VC,AB⊥CD.又因为AD=BD,所以AC=BC(线段垂直平分线的性质).因为VO⊥平面ABC,所以V V-ABC=S△ABC·VO.因为AB⊥平面VCD,所以V V-ABC=V B-VCD+V A-VCD=S△VCD·BD+S△VCD·AD=S△VCD·(BD+AD)=S△VCD·AB,所以S△ABC·VO=S△VCD·AB,即S△VCD·AB=S△ABC·VO.12.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是( )A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.AC1⊥BD1【解析】选ABC.正方体中由BD∥B1D1,易知A正确;由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1,从而BD⊥AC1,即B正确;由以上可得AC1⊥B1D1,同理AC1⊥D1C,因此AC1⊥平面CB1D1,即C正确;由于四边形ABC1D1不是菱形,所以AC1⊥BD1不正确.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·浙江高考)已知圆锥的侧面积为2π,且侧面展开图为半圆,则底面半径为________.【解析】题中圆锥展开图如图,半径为2,所以半圆弧长为2π,即圆锥底面圆周长为2π,所以底面半径为1.答案:114.已知a,b表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面.①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b,则α⊥β;②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,则a⊥b;④若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述命题中,正确命题的序号是__________.【解析】对①可举反例,如图,需b⊥β才能推出α⊥β;对③可举反例说明,当γ不与α,β的交线垂直时,即可知a,b不垂直;根据面面、线面垂直的定义与判定定理知②④正确.答案:②④15.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E是SA上一点,当SE∶SA=________时,SC∥平面EBD.【解析】连接AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.因为SC∥平面EBD.且平面EBD∩平面SAC=EO,所以SC∥EO,所以点E是SA的中点,此时SE∶SA=1∶2.答案:1∶216.已知直二面角α-l-β,A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离为__________.【解析】如图,作DE⊥BC于点E,由α-l-β为直二面角,AC⊥l,得AC⊥β,进而AC⊥DE,又BC⊥DE,BC∩AC=C,于是DE⊥平面ABC,故DE为D到平面ABC的距离.在Rt△BCD中,利用等面积法得DE===.答案:四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,E,F分别为边长是4的正方形ABCD的边BC,CD的中点.沿AE,EF,FA把△ABE,△ECF,△FDA折起,使B,C,D重合于点P.(1)求三棱锥P-AEF的侧面积;(2)求三棱锥P-AEF的体积.【解析】(1)由折叠前后的图形可知,棱锥的侧面积等于三个直角三角形的面积和, 即S侧=×4×2+×4×2+×2×2=10.(2)由题意可知,PA,PE,PF两两垂直,且PA=4,PE=PF=2,所以三棱锥P-AEF的体积V=××2×2×4=.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PB=PD.(1)求证:BD⊥PC;(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l,求证:BC∥l.【证明】(1)连接AC,交BD于点O,连接PO.因为四边形ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又因为PB=PD,O为BD的中点,所以BD⊥PO.因为PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.(2)因为四边形ABCD为菱形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD.所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC,平面PBC与平面PAD的交线为l,所以BC∥l.19.(12分)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥B1C;(2)求证:AC1∥平面CDB1.【证明】(1)因为C1C⊥平面ABC,所以C1C⊥AC.因为AC=9,BC=12,AB=15,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又BC∩C1C=C,所以AC⊥平面BCC1B1,而B1C⊂平面BCC1B1,所以AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点,连接OD.如图,因为O,D分别为BC1,AB的中点,所以OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1.所以AC1∥平面CDB1.20.(12分)如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC 的中点.(1)求证:PA∥平面BDE;(2)求证:平面PAC⊥平面BDE.【证明】(1)连接OE,如图所示.因为O,E分别为AC,PC的中点,所以OE∥PA.因为OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)因为PO⊥平面ABCD,所以PO⊥BD.在正方形ABCD中,BD⊥AC,又因为PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.21.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.【解析】(1)连接AC1交A1C于点F,连接DF,则F为AC1的中点.又D是AB中点,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.因为AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,所以CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3, 故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以=××××=1.22.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,M为棱AC的中点,AB=BC,AC=2,AA1=.(1)求证:B1C∥平面A1BM;(2)求证:AC1⊥平面A1BM;(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)连接AB1交A1B于O,连接OM.如图所示.在△B1AC中,因为M,O分别为AC,AB1的中点,所以OM∥B1C.又OM⊂平面A1BM,B1C⊄平面A1BM,所以B1C∥平面A1BM.(2)因为侧棱AA1⊥底面ABC,BM⊂平面ABC,所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点,AB=BC,所以BM⊥AC.又AA1∩AC=A,所以BM⊥平面ACC1A1,所以BM⊥AC1.因为M为棱AC的中点,AC=2,所以AM=1.又AA1=,所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,tan∠AC1C=tan∠A1MA=,所以∠AC1C=∠A1MA,所以∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M=M,所以AC1⊥平面A1BM.(3)存在点N,且当点N为BB1的中点,即=时,平面AC1N⊥平面AA1C1C.设AC1的中点为D,连接DM,DN.如图所示.因为D,M分别为AC1,AC的中点,所以DM∥CC1,且DM=CC1.又N为BB1的中点,所以DM∥BN,且DM=BN,所以四边形DMBN是平行四边形,所以BM∥DN. 因为BM⊥平面ACC1A1,所以DN⊥平面ACC1A1.又DN⊂平面AC1N,所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.。

第十一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交,各侧棱的延长线交于一点,所以选B.2.一直线l与其外三点A,B,C可确定的平面个数是()A.1B.3C.1或3D.1或3或4A,B,C共线且与l平行或相交时,确定一个平面;当A,B,C共线且与l异面时,可确定3个平面;当A,B,C三点不共线时,可确定4个平面.3.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是()A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点,交线如有2条平行,由线面平行性质定理知三条都平行,如三棱柱三侧棱;三条交线也可以交于一点,如三棱锥三侧棱.4.(2020全国Ⅰ,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.√5-14B.√5-12C.√5+14 D.√5+12,设正四棱锥的高为h ,底面边长为a ,侧面三角形底边上的高为h',则有{ℎ2=12a ℎ',ℎ2=ℎ'2-(a 2)2,因此有h'2-(a 2)2=12ah',化简得4(ℎ'a)2-2(ℎ'a)-1=0,解得ℎ'a =√5+14.(负值舍去) 5.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面内有无数直线与β平行是α∥β的必要不充分条件,A 不符合;α内有两条相交直线与β平行是α∥β的充要条件,B 符合;α,β平行同一条直线是α∥β的必要不充分条件,C 不符合;α,β垂直同一平面是α∥β的必要不充分条件,D不符合.6.(2020某某)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.24πC.36πD.144π2R=√(2√3×√2)2+(2√3)2=6,∴球的表面积为4πR2=36π.故选C.7.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线,连接BD,BE.在△BDE 中,N 为BD 的中点,M 为DE 的中点,∴BM ,EN 是相交直线,排除选项C 、D .作EO ⊥CD 于点O ,连接ON.作MF ⊥OD 于点F ,连接BF.∵平面CDE ⊥平面ABCD ,平面CDE ∩平面ABCD=CD ,EO ⊥CD ,EO ⊂平面CDE ,∴EO ⊥平面ABCD.同理,MF ⊥平面ABCD.∴△MFB 与△EON 均为直角三角形.设正方形ABCD 的边长为2,易知EO=√3,ON=1,MF=√32,BF=√22+94=52,则EN=√3+1=2,BM=√34+254=√7,∴BM ≠EN.故选B .8.设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P-AC-B 的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<βG为AC中点,连接VG,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AC于点E,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D 作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,结合△PFB,△BOH,△POB均为直角三角形,可得cosα=PFPB =EGPB=DHPB<BDPB=cosβ,所以α>β,在Rt△PEO中,tanγ=PDED>PDBD=tanβ,所以γ>β.综上所述,故选B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中错误的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β中α,β也可相交,A不正确;由垂直同一直线的两平面平行.10.(2020某某实验中学高三月考)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,且AA1=AB=2.下列说法正确的是()A.四棱锥B-A1ACC1为“阳马”B.四面体A1-C1CB为“鳖臑”C.四棱锥B-A1ACC1体积最大为23D.过A点分别作AE⊥A1B于点E,AF⊥A1C于点F,则EF⊥A1BABC-A1B1C1中,AC⊥BC,侧棱AA1⊥平面ABC.在选项A中,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又AC⊥BC,且AA1∩AC=A,所以BC⊥平面AA1C1C.所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”,故A正确.在选项B中,由AC⊥BC,即A1C1⊥BC,又A1C1⊥C1C且C1C∩BC=C,所以A1C1⊥平面BB1C1C.所以A1C1⊥BC1,则△A1BC1为直角三角形.又由BC⊥平面AA1C1C,得△A1BC为直角三角形.由“堑堵”的定义可得△A1C1C为直角三角形,△CC1B为直角三角形.所以四面体A1-C1CB为“鳖臑”,故B 正确.在选项C中,有4=AC2+BC2≥2AC·BC,即AC·BC≤2,当且仅当AC=BC时取等号.V B-A1ACC1=13S A1ACC1×BC=13AA1×AC×BC=23AC·BC≤43,故C不正确.在选项D中,已知BC⊥平面AA1C1C,则BC⊥AF,AF⊥A1C且A1C∩BC=C,则AF⊥平面A1BC,所以AF⊥A1B.又AE⊥A1B且AF∩AE=A,则A1B⊥平面AEF,则A1B⊥EF,故D正确.11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是()A.异面直线A1D与AB1所成的角为60°B.直线A1D与BC1垂直C.直线A1D与BD1平行D.三棱锥A-A1CD的体积为16a31D与AB1所成角即A1D与DC1成的角,再连接A1C构成等边△A1DC1,即A正确;A1D与BC1成的角即A1D与AD1成的角,由A1D⊥AD1即B正确;由BD1⊥平面A1DC1,∴BD1⊥A1D,即C不正确;V三棱锥A-A1CD =V三棱锥A1-ACD=13a·12a2=a36,即D正确.12.已知空间中两条直线a,b所成的角为50°,P为空间中给定的一个定点,直线l过点P且与直线a 和直线b所成的角都是θ(0°<θ≤90°),则下列选项正确的是()A.当θ=15°时,满足题意的直线l不存在B.当θ=25°时,满足题意的直线l有且仅有1条C.当θ=40°时,满足题意的直线l有且仅有2条D.当θ=60°时,满足题意的直线l有且仅有3条,过点P作a1∥a,b1∥b,则相交直线a1,b1确定一平面α.a1与b1的夹角为50°,设直线PA与a1,b1的夹角均为θ,如图l绕P转动始终与a1,b1夹角相等,当l在α内为a,b夹角平分线时,θ最小为25°,所以AB正确,当θ为40°和60°时直线l都有2条,所以C正确,D错.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.l⊥α,m∥α,则l⊥m,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l⊥α,m∥α,则l⊥m,正确;(2)如果l⊥α,l⊥m,则m∥α,不正确,有可能m在平面α内;(3)如果l⊥m,m∥α,则l⊥α,不正确,有可能l与α斜交,l∥α.14.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,过对角线BD'的一个平面交AA'于点E,交CC'于点F,则:①四边形BFD'E一定是平行四边形;②四边形BFD'E有可能是正方形;③四边形BFD'E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④平面BFD'E有可能垂直于平面BB'D.以上结论正确的为.(填序号)∵BE和D'F,BF和D'E分别是正方体两平行平面被平面BFD'E所截,所以BE∥D'F,D'E∥BF,∴四边形BFD'E为平行四边形.∴①正确.②不正确,当E,F分别为AA',CC'中点时,四边形BFD'E为菱形,a2,BD'2=3a2,设正方体棱长为a,则BF2=D'F2=54即BF2+D'F2≠BD'2,四边形BFD'E不可能为正方形.③正确(其射影是正方形ABCD).④正确.当E,F分别是AA',CC'中点时,平面BFD'E⊥平面BB'D.15.(2020某某)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.∵∠B 1C 1D 1=∠B 1A 1D 1=∠BAD=60°且B 1C 1=C 1D 1,∴△B 1C 1D 1为等边三角形.∴B 1D 1=2.设O 1是B 1C 1的中点,则O 1D 1=√3,易证D 1O 1⊥平面BCC 1B 1,设P 是球面与侧面BCC 1B 1交线上任意一点,连接O 1P ,则O 1D 1⊥O 1P ,∴D 1P 2=D 1O 12+O 1P 2,即5=3+O 1P 2,∴O 1P=√2.即P 在以O 1为圆心,以√2为半径的圆上.取BB 1,CC 1的中点分别为E ,F ,则B 1E=C 1F=O 1B 1=O 1C 1=1,EF=2,∴O 1E=O 1F=√2,O 1E 2+O 1F 2=EF 2=4,∴∠EO 1F=90°,∴交线EPF ⏜=14×2√2×π=√22π. 16.已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC=2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离均为√3,那么P 到平面ABC 的距离为.√2PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,由题意知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,∴CD⊥OD.∵PD=PE=√3,PC=2,∴sin∠PCE=sin∠PCD=√3,2∴∠PCB=∠PCA=60°.又易知PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=√2.又PC=2,∴PO=√4-2=√2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图,已知E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.点E,F,G,H分别为所在棱的中点,连接BC1,GF,如图.∴GF是△BCC1的中位线,∴GF∥BC1.∵BE∥C1H,且BE=C1H,∴四边形EBC1H是平行四边形.∴EH∥BC1,∴GF∥EH.∴E,F,G,H四点共面.∵GF≠EH,故EF与HG必相交.设EF∩HG=I.∵I∈GH,GH⊂平面CC1D1D,∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在平面ABCD和平面CDD1C1的交线DC上.即EF,HG,DC三线共点.18.(12分)(2020全国Ⅰ)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;(2)设DO=√2,圆锥的侧面积为√3π,求三棱锥P-ABC的体积.,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC.r,母线长为l.由题设可得rl=√3,l2-r2=2.解得r=1,l=√3.从而AB=√3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=√62.所以三棱锥P-ABC的体积为13×12×PA×PB×PC=13×12×(√62)3=√68.19.(12分)(2020全国Ⅱ)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和点P的平面交AB于E,交AC于点F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)设O为△A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=π3,求四棱锥B-EB1C1F的体积.M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B 1C 1⊥MN ,故B 1C 1⊥平面A 1AMN.所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F.∥平面EB 1C 1F ,AO ⊂平面A 1AMN ,平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F=PN ,故AO ∥PN.又AP ∥ON ,故四边形APNO 是平行四边形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=√3,PM=23AM=2√3,EF=13BC=2.因为BC ∥平面EB 1C 1F ,所以四棱锥B-EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离.作MT ⊥PN ,垂足为T ,则由(1)知,MT ⊥平面EB 1C 1F ,故MT=PM sin ∠MPN=3.底面EB 1C 1F 的面积为12×(B 1C 1+EF )×PN=12(6+2)×6=24.所以四棱锥B-EB 1C 1F 的体积为13×24×3=24.20.(12分)(2020全国Ⅲ)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别在棱DD 1,BB 1上,且2DE=ED 1,BF=2FB 1.证明:(1)当AB=BC 时,EF ⊥AC ;(2)点C 1在平面AEF 内.如图,连接BD ,B 1D 1.因为AB=BC ,所以四边形ABCD 为正方形,故AC ⊥BD.又因为BB 1⊥平面ABCD ,于是AC ⊥BB 1.所以AC ⊥平面BB 1D 1D.由于EF ⊂平面BB 1D 1D ,所以EF ⊥AC.(2)如图,在棱AA 1上取点G ,使得AG=2GA 1,连接GD 1,FC 1,FG.因为D 1E=23DD 1,AG=23AA 1,DD 1 AA 1,所以ED 1 AG ,于是四边形ED 1GA 为平行四边形,故AE ∥GD 1.因为B 1F=13BB 1,A 1G=13AA 1,BB 1 AA 1,所以FG A 1B 1,FG C 1D 1,四边形FGD 1C 1为平行四边形,故GD 1∥FC 1.于是AE ∥FC 1.所以A ,E ,F ,C 1四点共面,即点C 1在平面AEF 内.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.(1)证明:BD ⊥平面PAC ;(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥BD ,∵PC ⊥平面BDE ,∴PC ⊥BD ,PA ⊂平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,PA ∩PC=P.∴BD ⊥平面PAC.AC 与BD 交点为O ,连接OE.∵PC⊥平面BDE,即PC⊥平面BOE,∴PC⊥BE,PC⊥OE,∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角.∵BD⊥平面PAC,∴BD⊥AC,∴四边形ABCD为正方形,∴BO=√2.在△PAC中,OEOC =PAPC,即√2=13,则OE=√23,∴tan∠BEO=BOOE=3,∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为3.22.(12分)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.(1)证明:PQ∥平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.高考21 / 21P ,Q 分别为AE ,AB 的中点,所以PQ ∥EB.又DC ∥EB ,因此PQ ∥DC ,又PQ ⊄平面ACD ,从而PQ ∥平面ACD.,连接CQ ,DP ,因为Q 为AB 的中点,且AC=BC ,所以CQ ⊥AB.因为DC ⊥平面ABC ,EB ∥DC ,所以EB ⊥平面ABC ,因此CQ ⊥EB. 故CQ ⊥平面ABE.由(1)有PQ ∥DC ,又PQ=12EB=DC , 所以四边形CQPD 为平行四边形,故DP ∥CQ.因此DP ⊥平面ABE ,∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角,在Rt △DPA 中,AD=√5,DP=1,sin ∠DAP=√55,因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为√55.。

学习资料第十一章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论课后篇巩固提升基础达标练1。

空间中，可以确定一个平面的条件是（）A。

两条直线B。

一点和一条直线D.三个点2.（2020黑龙江牡丹江一中高一月考)下列命题正确的是()A。

三点确定一个平面B。

圆心和圆上两个点确定一个平面C。

如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点,则这两条直线平行，故A错误；当圆上的两个点恰为直径的端点时,不能确定一个平面，故B错误；如果两个平面相交有一个交点，则这两个平面相交于过该点的一条直线，故C正确；如果两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面，故D错误。

3.若平面α和平面β有三个公共点A，B，C，则平面α和平面β的位置关系为(）A。

平面α和平面β只能重合B。

平面α和平面β只能交于过A,B，C三点的一条直线C。

若点A，B，C不共线，则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A，B，C的一条直线A，B,C共线与不共线两种情况讨论.4（多选题）（2020江苏响水中学高一月考）已知A，B，C表示不同的点,l表示直线，α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是()A。

如果A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂αB。

如果l⊄α，A∈l，则A∉αC。

如果A∈α，A∈l，l⊄α，则l∩α=AA∈α,A∈β,B∈α，B∈β，则α∩β=ABA,由A∈l,A∈α，B∈l，B∈α,根据平面的基本事实2，可得l⊂α,所以A正确；对于B，由l⊄α，A∈l，根据直线与平面的位置关系,则A∉α或A∈α，所以B不正确;对于C，由A ∈α，A∈l，l⊄α，根据直线与平面位置关系，则l∩α=A，所以C正确;对于D，由A∈α,A∈β，B∈α，B∈β,根据平面的基本事实3，可得α∩β=AB，所以D正确.5。

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是（）A。

第十一章单元质量评估一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．如图，四边形A ′B ′C ′D ′为各边与坐标轴平行的正方形ABCD 的直观图,若A ′B ′＝3，则原正方形ABCD 的面积是（ A ）A ．9B ．3C 。

94D ．36 解析：由题意知，正方形ABCD 的边长为3，其面积S ＝9。

故选A 。

2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是（ B ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．不相交解析:由棱台的定义可知选B.3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的（ A )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：设球半径为R ，截面圆半径为r 。

（）R 22＋r 2＝R 2，r 2＝错误!R 2,错误!＝错误!＝错误!.4．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ C ）A．120°B．150°C．180°D．240°解析：S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，即2πr2＝πrl，得2r＝l.设侧面展开图的圆心角为θ,则错误!＝2πr，∴θ＝180°.5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(B）A．π B.错误!π C.错误! D.错误!解析:设圆柱的底面半径为r，球的半径为R,且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝错误!＝错误!.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝错误!π×1＝错误!。

故选B。

6．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C在圆周上（异于点A，B），点D，E分别是点A在PC，PB上的射影,则(B）A．∠ADE是二面角A。

PC。

B的平面角B．∠AED是二面角A-PB.C的平面角C．∠DAE是二面角B。

PA。

C的平面角D．∠ACB是二面角A.PC。

人教B 版（2019）高中数学必修第四册第十一章《立体几何初步》检测卷一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1．如图，已知平面α，β，且l αβ=，设梯形ABCD 中，//AD BC ，且AB α⊂，CD β⊂，则下列结论一定正确的是（ ）．A ．AB CD =B ．直线AB 与CD 可能为异面直线C ．直线AC 与BD 可能为异面直线D ．直线AB ，CD ，l 相交于一点2．如图所示，在斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面ABC 中，∠CAB =90∘，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H,则点H 在（ ）A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部3．已知三个不同的平面α，β，γ，三条不同的直线m ，n ，l ，满足m αβ=，n βγ=，l αγ=，则下列命题不一定正确的为（ ）A ．若//m n ，则//m lB ．若点A m ∈，A n ∈，则∈A lC ．若αγ⊥，βγ⊥，则m γ⊥D ．若m n ⊥，m l ⊥，则n l ⊥4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 为异面直线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 2PA PB PC PD ====．若点E 、F 、G 分别为棱PB 、PC 、PD 上的动点（不包含端点P ），则AE EF FG GA +++的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．46．在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB =BD =DA =3，CD =则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．154π B ．15πC ．32πD ．6 π7．已知正四面体ABCD ，点M 为棱AB 上一个动点，点N 为棱CD 上靠近点C 的三等分点，记直线MN 与BC 所成角为θ，则sin θ的最小值为（ ）A B C D 8．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3，E 为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC D D ''上运动，当平面B EP '与平面ABCD 和平面CC D D ''所成的角相等时，则D P '的最小值为（ ）AB C D 9．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为，则该几何体的体积为（ ）A B C ．23πD ．3π 10．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为（ ）A B CD ．2311．下列说法错误的是（ ） A ．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 B ．任意n 面体都可以分割成n 个棱锥 C ．棱台的侧棱的延长线必交于一点 D ．一个八棱柱有10个面12．在正方体1111ABCD A BC D -各条棱所在的直线中，与直线1BC 异面且垂直的可以是（ ） A ．1AA B ．BCC ．11A DD ．CD二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且3OA '=，1B C ''=，则该平面图形的面积为________.14．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，1AA =11A B 与1AC 所成角的大小为________.15．已知球O 内有3个半径为3的小球，则球O 的表面积的最小值为________. 16．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E F G ，，分别为11BC CC BB ，，的中点 ①直线1AG 与平面AEF 平行； ②直线1D D 与直线AF 垂直；③经过点A E F 、、的平面截正方体所得的截面面积为92；④点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等. 以上结论正确的是________.（填序号）三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA AB =，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．（1）求证：EF CD ⊥；（2）求证：平面SCD ⊥平面SCE ．18．（12分）如图，AB ，CD 均为O 的直径，CE O ⊥所在的平面，//BF CE .求证：（1）BC DF ⊥； （2）直线//DF 平面ACE .19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，1AA ⊥平面ABC ，已知2AB =D 是11A B 的中点，E 、F 、G 分别是AC ，BC ，CD 的中点.（1）求FG 与1BB 所成角的大小； （2）求证：平面//EFG 平面11ABB A20．（12分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，121AB AA AD E F ===，，，分别是1AA 和1BB 的中点，G 是DB 上的点，且2DG GB =.（1）求三棱锥1B EBC -的体积；（2）作出长方体1111ABCD A BC D -被平面1EBC 所截的截面（只需作出，说明结果即可）； （3）求证：GF ∥平面1EBC .21．（12分）如图， 在三棱锥P ABC -中，4PA PB AC BC ====， 2AB PC ==;（1）求二面角P AB C --的大小； （2）求三棱锥P ABC -的体积.22．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，4AB BC PB PC AC ======，O 为AC的中点（1）证明: PO 平面ABC（2）若点M为BC的中点，求PC与平面POM所成的角的正弦值.参考答案1．D 【分析】由梯形ABCD 的定义、平面的基本性质和异面直线的定义结合图形可判断ABC ；设AB 、CD 交点为P ，可得P 在α内且P 在β内，则P 在平面αβ、的交线上可判断D. 【详解】梯形ABCD 中，//AD BC ，且AB α⊂，CD β⊂， 则AB CD =不一定成立，故A 错误；因为//AD BC ，所以A B C D 、、、在同一平面内，所以直线AB 与CD 不可能为异面直线，直线AC 与BD 不可能为异面直线，故BC 错误；由AB 、CD 相交，设交点为P ，可得P 在AB 上，又AB α⊂，可得P 在α内，同理可得P 在CD 上，又CD β⊂，可得P 在β内，则P 在平面αβ、的交线上，即直线AB ，CD ，l 相交于一点，故D 正确. 故选：D. 2．B【分析】证明AC ⊥平面ABC 1，得平面ABC ⊥平面ABC 1，由面面垂直的性质定理得结论． 【详解】如图，连接C 1A ，因为BC 1⊥AC ，AC ⊥AB ，BC 1∩AB =B ，BC 1,AB ⊂平面ABC 1， 所以AC ⊥平面ABC 1，又AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABC 1， C 1在平面ABC 1内，过C 1作C 1H 1⊥AB 于H 1，则C 1H 1⊥平面ABC ， 又C 1H ⊥平面ABC ，所以C 1H 与C 1H 1重合，所以H 与H 1重合，所以H ∈AB ， 故选：B ．【分析】由直线与平面平行的判定与性质判断A ，由三平面两两相交，交线要么相交于一点，要么互相平行判断B ，直接证明C ，由垂直于同一直线的两条直线的位置关系判断D 【详解】 解：对于A ，如图若m n ，则m γ∥，因为,m l ααγ⊂=，所以m l ，所以A 正确，对于B ，若点,A m A n ∈∈，又,m n αγ⊂⊂，所以,A A αγ∈∈，而l αγ=，所以∈A l ，所以B 正确， 对于C ，如图，若αγ⊥，βγ⊥，则在γ内任取一点A （,A n A l ∉∉），在γ内过点A 分别作,AB l AC n ⊥⊥，由面面垂直的性质可得,AB AC αβ⊥⊥，则,AB m AC m ⊥⊥，所以m γ⊥，所以C 正确， 对于D ，若m n ⊥，m l ⊥，则n 与l 一定相交，但不一定垂直，所以D 错误， 故选：D 4．C 【分析】根据异面直线的概念分析即可求出所有符合条件的棱，进而得到结果. 【详解】与直线1BC 成异面直线的有111,,A B AC AA ，共3条， 故选：C.【分析】把四棱锥P ABCD -沿PA 展开，根据展开图知AE EF FG GA +++的最小时，点,,E F G 与,A A '共线时，所以在展开图中求出AA '的长度即可.【详解】把四棱锥P ABCD -沿PA 展开，得到如图所示图形：AE EF FG GA +++的最小时，点,,E F G 与,A A '共线时，所以求AE EF FG GA +++的最小值即求AA '的长度，因为2PA PB ==，AB ，所以在ABP △中，结合余弦定理得222cos 222AP BP AB APB +-==⨯⨯6APB π∠=，因为ABP BCP CDP DA P '≅≅≅，所以23APA π'∠=，在APA '中，AA '===故选：C. 6．B【分析】根据题设给定的条件作出三棱锥A BCD -的外接球球心O ，计算OB 长即可得解. 【详解】三棱锥A BCD -中，取BC ，BD 中点O 1，E ，连接O 1E ，AE ，如图，于是得1//O E CD ，而CD BD ⊥，则1O E BD ⊥，又AB =BD =DA =3，则有AE BD ⊥， 因平面ABD ⊥平面BCD ，从而得1O E ⊥平面ABD ，AE ⊥平面BCD ，在AE 上取点O 2，使21133O E AE ===，显然点O 1，O 2分别为Rt BCD 、正ABD △的外接圆圆心，设三棱锥A BCD -的外接球球心O ，连12,,OO OO OB ，因此有1OO ⊥平面BCD ，2OO ⊥平面ABD ，从而得121//,//OO AE OO O E ，得12OO EO ，12OO O E ==1Rt BOO 中，112BO BC ===O 半径OB所以三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为2415S OB ππ=⋅=. 故选：B 【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 7．A 【分析】设正四面体ABCD 的棱长为3，求出所需线段的长度，将问题转化为求解直线BC 与平面ABN 所成的角，利用等体积法求解点到平面的距离，从而由边角关系求解线面角，即可得到答案． 【详解】解：不妨设正四面体ABCD 的棱长为33=为BN AN ==要求直线MN 与BC 所成的最小角，即为直线BC 与平面ABN 所成角，记点C 到平面ABN 的距离为h ，由C ABN A BCN V V --=，得11633ABNBCNSh S =，解得h =，所以直线BC 与平面ABN 所成角的正弦值为193h BC =sin θ故选：A ．8．A【分析】作出过,B E '且与平面ABCD 和平面CC D D ''所成角相等的截面，则P 位于截面与平面CC D D ''的交线上，进而求得答案.【详解】如图1，F 为棱D C ''上靠近C '的三等分点，由正方体的对称性可知平面B FE '与平面ABCD 和平面CC D D ''所成角相等，取棱AB 上靠近B 的三等分点E ，取棱DC 上的三等分点N ,M ，容易证明：EN BM B F '∥∥，则,,,B F E N '共面，即平面B FEN '与平面ABCD 和平面CC D D ''所成角相等，于是点P 在线段FN 上.如图2，过点D 作D Q '垂直于FN 于D ，容易知道当P 位于D 时，D P '最小.如图3，由勾股定理可以求得D N FN '=11123222FN D Q D Q D Q '''⨯⨯=⨯⨯=⇒=故选：A. 【点睛】对于动点问题，通常做法是先找到动点的轨迹，以本题为例就是先作出与平面ABCD 和平面CC D D ''所成角相等的截面，从而找到截面与CC D D ''的交线，做题时要充分利用图形的特征，平常注意总结截面的做法. 9．C 【分析】给定的几何体是以等腰直角三角形斜边上的高为底面圆半径，两条直角边分别为母线的两个共底面的圆锥组合而成，求出底面圆半径即可作答. 【详解】依题意，这个几何体是以等腰直角三角形斜边上的高为底面圆半径，两条直角边分别为母线的两个共底面的圆锥组合而成，设其中的一个圆锥底面圆半径为r ，则每个圆锥的高为r ，则该几何体的表面积为2r π⋅=，解得1r =， 所以该几何体的体积为212233r r ππ⋅⋅=. 故选：C 10．D【分析】连接BE ，可以证明BAE ∠为异面直线AE 与CD 所成的角. 设棱长为2，在直角三角形BAE 直接求出cos BAE ∠. 【详解】连接BE ，因为//CD AB ，所以BAE ∠为异面直线AE 与CD 所成的角.设棱长为2，易知AB BE ⊥，3AE =， 所以2cos 3AB BAE AE ∠==. 故选：D 11．A 【分析】由旋转体的性质可判断A ；由n 面体的几何特征可判断B ；由棱台的定义可判断C ； 由八棱柱的几何特征可判断D. 【详解】矩形以所在的边为旋转轴旋转一周一定形成一个圆柱，若以对角线为轴旋转一周不是圆柱，故A 错误；从n 面体内一点连接每个顶点，可以得到n 个棱锥，故B 正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，所以侧棱的延长线必交于一点，故C 正确； 八棱柱有8个侧面，有2个底面，共有10个面，故D 正确. 故选：A. 12．D 【分析】与1BC 垂直的棱有4条，没有公共点的就是异面直线． 【详解】正方体1111ABCD A BC D -各条棱所在的直线中，与直线1BC 垂直的有1111,,,AB CD A B C D ，其中异面的有11A B 和CD ， 故选：D ．13．【分析】先在直观图求出'OC 的长，然后利用原图与直观图的关系求出原图的面积 【详解】作C D OA ''⊥，B E OA ''⊥，因为45C OA ''∠=︒，1B C ''=，3OA '=所以''1DE B C ==，'1OD A E ==.因此cos 45ODOC '==︒又根据斜二测画法的特征可得，在原图中AB BC ⊥，//AD BC ，即原图为直角梯形，且高为直观图中'OC 的2倍，所以该平面图形的面积为 1(13)2S =+⨯=故答案为：14．3π 【分析】由于11A B ∥AB ，可得1BAC ∠是异面直线11A B 与1AC 所成角，然后在1BAC 中求解即可 【详解】 解：连接1BC ，因为11A B ∥AB ，所以1BAC ∠是异面直线11A B 与1AC 所成角，在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，1AA1BC ==因为AB ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，在直角三角形1ABC 中，11tan BC BAC AB∠== 因为10,2BAC π⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，所以13BAC π∠=，所以异面直线11A B 与1AC 所成角的大小为3π，故答案为：3π15．(84π+【分析】根据题设条件可知，3个小球必为两两相切，并且都与球O 相切，由此确定球心O 的位置求出半径即可作答.【详解】设3个半径为3的小球的球心分别为1O ，2O ，3O ，则球O 的表面积最小时，3个小球两两相切，每个小球都与球O 相切，此时123O O O 的中心即为球O 的球心O ，1223316OO O O O O ===，则1OO =球O 的半径最小值为3，所以球O 的表面积的最小值为()(24π384π=+.故答案为：(84π+ 16．①④ 【分析】首先利用平行关系确定平面AEF 和平面是同一平面，即可判断①③④，利用反证法判断②.【详解】①连结1D F ，1AD ，因为1//EF AD ，所以四点1,,,A E F D 共面，又因为11//AG D F ，1AG ⊄平面AEF ，1D F ⊂平面AEF ，所以1//AG 平面AEF ，故①正确；②假设1DD AF ⊥，又1DD AE ⊥，且AE AF A ⋂=，所以1DD ⊥平面AEF ，又因为1DD ⊥平面ABCD ，所以平面//AEF 平面ABCD ，很显然，这两个平面不平行，所以假设不成立，故②不成立；③由①可知截面为等腰梯形1AEFD ，1F M 为高，如图，EF =1D A 1D F ==所以高4FM =所以截面面积是1928⨯+=⎝，故③错误；④如图，1A D 和截面交于点O ，O 是1A D 的中点，所以点1A 和D 到截面AEF 的距离相等，故④正确.故答案为：①④17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连结AC 、AF 、BF ，利用中位线结合正方形证得CB AB ⊥，利用线面垂直的性质定理证得CB SB ⊥，利用中线证得AFB △为等腰三角形，利用平行证得结论；（2）利用三角形全等和等腰三角形证得EF ⊥平面SCD ，然后利用线面垂直的判定定理证得结论. 【详解】（1）连结AC 、AF 、BF ， ∵SA ⊥平面ABCD ，∴AF 为Rt SAC △斜边SC 上的中线，∴12AF SC =． 又∵四边形ABCD 是正方形，∴CB AB ⊥． 而由SA ⊥平面ABCD ，得CB SA ⊥， ∴CB ⊥平面SAB ，∴CB SB ⊥， ∴BF 为Rt SBC △斜边SC 上的中线， ∴12BF SC =，∴AFB △为等腰三角形， ∵E 为AB 的中点，∴EF AB ⊥． 又//CD AB ， ∴EF CD ⊥．（2）由已知易得Rt SAE Rt CBE ≌， ∴SE EC =，即SEC 是等腰三角形， ∴EF SC ⊥．又∵EF CD ⊥，SC CD C ⋂=， ∴EF ⊥平面SCD ． 又EF ⊂平面SCE ， ∴平面SCD ⊥平面SCE ．18．（1）证明见详解；（2）证明见详解 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得BC ⊥平面BDF ，再由线面垂直的性质定理即可证明. （2）利用面面平行的判定定理证出平面//ACE 平面BDF ，再由面面平行的性质定理即可证明.【详解】（1）//BF CE ，CE O ⊥所在的平面， ∴BF O ⊥所在的平面，BC ⊂O 所在的平面，BC BF ∴⊥，CD 均为O 的直径， 90DBC ∴∠=，BC BD ∴⊥， BD BF B ⋂=，BC ∴⊥平面BDF ，DF ⊂平面BDF ， ∴BC DF ⊥.（2）AB ，CD 均为O 的直径， 90DBC ACB ∴∠=∠=，//AC BD ∴，BD ⊂平面BDF ，AC ⊄平面BDF ，//AC ∴平面BDF ， //BF CE ，BF ⊂平面BDF ，CE ⊄平面BDF ，//CE ∴平面BDF ，AC CE C =，∴平面//ACE 平面BDF ， DF ⊂平面BDF ，∴直线//DF 平面ACE .19．（1）30； （2）证明见解析. 【分析】（1）连接DB ，证得//GF BD ，把异面直线FG 与1BB 所成角转化为直线DB 与1BB 所成的角，在直角1DB B 中，即可求解；（2）由（1）知//GF BD ，证得//GF 平面11ABB A ，再由E 是AC 的中点，得到//EF AB ，证得//EF 平面11ABB A ，结合面面平行的判定定理，即可证得平面//EFG 平面11ABB A . 【详解】（1）连接DB ，因为,G F 分别是,DC BC 的中点，所以//GF BD ， 所以异面直线FG 与1BB 所成角即为直线DB 与1BB 所成的角，在直角1DB B中，由111,DB BB =111tan DB DBB BB ∠==, 所以130DBB ∠=.（2）由（1）知//GF BD ，BD ⊂平面11ABB A GF ⊄，平面ABB 1A 1，所以//GF 平面11ABB A ， 因为E 是AC 的中点，所以//EF AB ， 因为AB平面11ABB A ，且EF ⊄平面11ABB A ，所以//EF 平面11ABB A ，又因为EF FG F ⋂=，且,EF FG ⊂平面EFG ， 所以平面//EFG 平面11ABB A .20．（1（2）详见解析；（3）详见解析. 【分析】（1）将三棱锥1B EBC -的体积转化为三棱锥1E B BC -的体积即可；（2）取AD 的中点M ，连接EM ，MC ，则1EMCB 就是长方体1111ABCD A BC D -被平面1EBC 所截的截面； （3）设MC DB N =，连接1B N ，由线面平行的判定定理转化为只需证明1//GF NB 即可.【详解】（1）三棱锥1B EBC -的体积11111232B EBC E B BC V V --⎛⎫==⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭. （2）取AD 的中点M ，连接EM ，MC ，则1EMCB 就是长方体1111ABCD A BC D -被平面1EBC 所截的截面.（3）设MC DB N =，连接1B N ，因为//AD BC ，则DM N BCN ，所以12DN DM BN BC ==，又2DG GB =，所以DN NG GB ==，又1B F FB =，所以1//GF NB ，又GF ⊄平面1EBC ，1NB ⊂平面1EBC ，故//GF 平面1EBC .21．（1）60︒；（2）4.【分析】（1）取AB 的中点M ，可证得PMC ∠就是二面角P AB C 的平面角，进而可得结果；（2）证得AB ⊥平面PMC ，则三棱锥P ABC -的体积13PMC V S AB =⋅⋅，由此可得结果.【详解】（1）取AB 的中点M ，连接PM ，CM .依题意知PM AB ⊥，CM AB ⊥，所以PMC ∠就是二面角P AB C 的平面角.依题意可得2MP MC ===，又2PC =，则PMC △是边长为2的等边三角形，所以60PMC ∠=.故二面角P AB C 的大小为60.（2）由（1）知PM AB ⊥，CM AB ⊥，且PM CM M ⋂=，所以AB ⊥平面PMC . 又PMC △是边长为2的等边三角形，所以三棱锥P ABC -的体积2112433PMC V S AB ⎫=⋅⋅=⨯⨯⎪⎪⎝⎭.22．（1）证明详见解析；（2【分析】 （1）易得PO CA ⊥，再由勾股定理逆定理证明PO OB ⊥，即可证得结果；（2）由（1）可证明CM ⊥平面POM ，所以CPM ∠就是PC 与平面POM 所成的角，进而可得结果．【详解】（1）连接OB ，∵PA PC =，O 为AC 中点，∴PO AC ⊥；PO =4AB BC AC ===，则222AB CB AC +=，∴AB BC ⊥， 所以122OB AC ==，而4PB =，则222PB BO OP =+，所以PO OB ⊥. 又AC OB O =，所以PO ⊥平面ABC .（2）由（1）PO ⊥平面ABC ，可得PO CB ⊥，又M 是BC 中点，∴//OM AB ，而AB BC ⊥，∴OM CB ⊥，又OM PO O =，所以CB ⊥平面POM ，所以CPM ∠就是PC 与平面POM 所成的角.在直角三角形PMC 中，12CM CB ==sin CM CPM PC ∠==故PC 与平面POM。

单元综合测试三(第十一章)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．垂直于同一条直线的两条直线一定(D)A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝22，则异面直线BD与AC所成的角为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝2，所以∠BDE＝60°.3．下列说法正确的是(D)①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．A．①③B．②③C．②③④D．④解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③也不对．4．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．5．已知P A⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是(C)A．PB⊥BC B．PD⊥CDC ．PD ⊥BD D ．P A ⊥BD解析：如图所示，由于P A ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以P A ⊥BD (即D 正确)，BC ⊥P A ，BC ⊥BA ，而P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥PB (即A 正确)．同理PD ⊥CD (即B 正确)，PD 与BD 不垂直，所以C 不正确．6．三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( C )A ．1倍B ．2倍 C.95倍 D.74倍 解析：设最小球的半径为r ，则另两个球的半径分别为2r,3r ，则各球的表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比值为36πr 24πr 2＋16πr2＝95. 7．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( B )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：本题考查正方体中长度的运算问题．不妨设P 是靠近B的一个三等分点，正方体棱长a ，则P 到B 、D 1距离分别为33a ，233a ，由对称性知，P 到A ，C ，B 1的距离都为63a ，而P 到A 1，D ，C 1的距离都是a ，故选B.本题对学生的空间想象能力提出了较高要求．8．若一个n 面体中有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为m n .如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四面体A 1-ABC 的直度为( D )A.14B.12C.34 D ．1解析：由已知n ＝4，∵A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB .又∵BC ⊥平面A 1AB ，∴BC ⊥AB ，BC ⊥A 1B ，∴m ＝4.故直度m n ＝1.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．以下命题中假命题的序号是( BCD )A ．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台C ．用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台D ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 解析：对于A ，若棱柱被与底面不平行的平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，所以A 正确；对于B ，有两个面平行，其余各面都是梯形，并且侧棱的延长线交于同一点的几何体叫棱台，所以B 错误；对于C，当截面与底面不平行时，截得的底面和截面之间的几何体不是圆台，所以C错误；对于D，根据棱柱定义可知，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，所以D错误．故选BCD.10．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是(BD) A．若m∥β，n∥β，m，n⊂α，则α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥nC．若m⊥α，α⊥β，α∩β＝n，那么m∥nD．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，那么m∥n解析：A选项中没有说明两条直线是否相交，结论错误，B选项中能推出m⊥γ，所以结论正确，C选项能推出m⊥n，推不出m∥n，结论错误，D选项根据线面平行的性质可知正确．11．如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论正确的有(ABD)A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90°D．ON⊥PB解析：选项A，连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON，由线面平行的判定定理可得，PD∥平面OMN；选项B，由M，N分别为侧棱P A，PB的中点，得MN∥AB，又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN，又选项A得PD∥平面OMN，由面面平行的判定定理可得，平面PCD∥平面OMN；选项C，因为MN∥CD，所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠PDC＝60°，故直线PD与直线MN所成角的大小为60°；选项D，因底面为正方形，所以AB2＋AD2＝BD2，又所有棱长都相等，所以PB2＋PD2＝BD2，故PB⊥PD，又PD∥ON，所以ON⊥PB，故选ABD.12．如图，矩形ABCD，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM 翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是(BD)A．存在某个位置，使得CN⊥AB1B．翻折过程中，CN的长是定值C．若AB＝BM，则AM⊥B1DD．若AB＝BM＝1，当三棱锥B1-AMD的体积最大时，三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π解析：对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，如图1.则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，则EN⊥CN，由于AB1⊥MB1，则EN⊥NF，由于三线NE，NF，NC共面且共点，故这是不可能的，故不正确；对于B，如图1，由∠NEC＝∠MAB1，，AM＝EC，且NE＝12AB1∴在△CEN中，由余弦定理得：NC2＝NE2＋EC2－2NE·EC·cos∠NEC，也是定值，故NC是定值，故正确；对于C，如图2，∵AB＝BM，即AB1＝B1M，则AM⊥B1O，若AM⊥B1D，由于B1O∩B1D＝B1，且B1O，B1D⊂平面ODB1，∴AM⊥平面ODB1，OD⊂平面ODB1，∴OD⊥AM，则AD＝MD，由于AD≠MD，故AM⊥B1D不成立，故不正确；对于D，根据题意知，只有当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最大，取AD的中点为E，连接OE，B1E，ME，如图2.∵AB＝BM＝1，则AB1＝B1M＝1.且AB1⊥B1M，平面B1AM∩平面AMD＝AM.∴B1O⊥AM，又B1O⊂平面B1AM.∴B1O⊥平面AMD，OE⊂平面AMD，∴B1O⊥OE，则AM＝2，B1O＝12AM＝2 2.OE＝12DM＝12AM＝22.从而EB1＝(22)2＋(22)2＝1，易知EA＝ED＝EM＝1，∴AD的中点E就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D正确．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且P A＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是垂直．解析：∵P A＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，又外心在BC上，设为O，则PO⊥平面ABC.又PO⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.14．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，解析：由题意知V 球＝43πR 3＝9π2，R ＝32.设正方体的棱长为a ，则3a 2＝2R ，a ＝3，所以正方体的棱长为 3.15．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各棱长为1 m ，圆锥SO 的底面圆是正方形A 1B 1C 1D 1的内切圆，顶点S 是正方形ABCD 的中心，则圆锥SO 的体积为112πm 3，侧面积为54πm 2.解析：圆锥的高为1，底面半径为12，母线长为1＋14＝52，所以体积为π3×(12)2×1＝π12.侧面积为π×12×52＝54π.16．如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是(6，＋∞)．解析：由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥平面P AE ，又AE ⊂平面P AE ，∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD ，即3a －x＝x 3. ∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，a >0.解得a >6.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明：(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.18．(12分)(1)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明EF∥平面P AD；(2)如图(2)，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是P A，BD，PD的中点，求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：(1)E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥AD，又AD⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.(2)∵点M，N，Q分别是P A，BD，PD的中点，∴MQ∥AD，QN∥PB，∵底面ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴MQ∥BC，∵MQ∩QN＝Q，PB∩BC＝B，MQ，QN⊂平面MNQ，PB，BC⊂平面PBC，∴平面MNQ∥平面PBC.19．(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，F A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面ABF.解：(1)因为四边形ADEF是正方形，所以F A∥ED，故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为F A⊥平面ABCD，所以F A⊥CD，故ED⊥CD，在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝22，所以CE＝CD2＋ED2＝3，所以cos∠CED＝EDCE ＝223.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为223.(2)证明：如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°，由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.又因为CD⊥F A，F A∩AB＝A，F A，AB⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF.20．(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA ＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．解：(1)证明：∵P A⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴P A⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，又∵AC∩P A＝A，AC，P A⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC.(2)存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角．理由：∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC，又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC. 这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角．21．(12分)如图所示，在正三棱柱(底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D.(1)求证：A1B∥平面AC1D；(2)在棱CC1上是否存在一点P，使直线PB1⊥平面AC1D？若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD.又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∴D是BC的中点．如图，连接A1C，与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点．连接DE，则在△A1BC中，∵D、E分别是BC、A1C的中点，∴A1B∥DE.又DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.(2)存在这样的点P，且点P为CC1的中点．下面给出证明：由(1)知AD⊥平面BCC1B1，故B1P⊥AD.设PB1与C1D相交于点Q，如图，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，因为∠QC1B1＝∠CDC1，从而△QC1B1∽△CDC1，所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，所以B1P⊥C1D.因为AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D.22．(12分)如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD.(1)若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED；(2)求证：平面DAF⊥平面BAF；(3)若AE＝AD＝1，AB＝2，求三棱锥D-AFC的体积．解：(1)证明：∵点G是DC的中点，AB＝CD＝2EF，AB∥EF，四边形ABCD是矩形，∴EF∥DG且EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形．∴FG∥DE，又FG⊄平面AED，ED⊂平面AED，∴FG∥平面AED.(2)证明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面BAF.又AD⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF.(3)∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∠EAB＝90°，EA⊂平面ABFE，∴EA⊥平面ABCD.∵EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，∴F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，∴V三棱锥D-AFC＝V三棱锥F-ADC＝13·S△ADC·EA＝13×12×1×2×1＝13.。

第十一章章末质量检测(三) 立体几何初步本试卷分第1卷(选择题)和第2卷(非选择题)两局部．总分为150分，考试时间120分钟．第1卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每一小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系( )A．一定是异面B．一定是相交C．不可能相交D．不可能平行2．直线m，n，平面α，β，给出如下命题：①假如m⊥α，n⊥β，且m⊥n，如此α⊥β②假如m∥α，n∥β，且m∥n，如此α∥β③假如m⊥α，n∥β，且m⊥n，如此α⊥β④假如m⊥α，n∥β，且m∥n，如此α⊥β其中正确的命题是( )A．②③B．①③C．①④D．③④3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为A1D1中点，如此异面直线AM与CD1所成角的余弦值为( )A.105B.55C.1010D.524．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，E 为棱CC 1上的点，且CE ＝13CC 1，三棱锥E －BCD 的体积为V 2，如此V 2V 1＝( )A.13B.16C.19D.1185.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π6．假如l 、m 、n 是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，如此如下命题中为真命题的是( )A ．假如α⊥β，l ⊂α，n ⊂β，如此l ⊥nB ．假如l ⊥α，l ∥β，如此α⊥βC ．假如l ⊥n ，m ⊥n ，如此l ∥mD ．假如α⊥β，l ⊂α，如此l ⊥β7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积与为米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛8．长方体的长、宽、高分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，如此这个球的外表积是( )A．25πB．50πC．125πD．都不对9．如下列图，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，如此EF与HG的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面10．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，假如CD＝2AB＝4，EF ⊥BA，如此EF与CD所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，如此如下4个命题中，所有正确命题的序号是( )①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ②△BPQ的面积为定值③当PA>0时，直线PB1与直线AQ一定异面④无论P，Q运动到何位置，均有BC⊥PQA．①②④B．①③C．②④D．①③④12．用长度分别是2,3,5,6,9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，如此能够得到的长方体的最大外表积为( )A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2第2卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每一小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．14．如下列图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的外表积与球的外表积之比为________．15．一个正方体纸盒展开后如下列图，在原正方体纸盒中有如下结论①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________.16．球O是三棱锥P－ABC的外接球，△ABC是边长为23的正三角形，PA⊥平面ABC，假如三棱锥P－ABC的体积为23，如此球O的外表积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分为10分)如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥面ABCD，E是PC的中点．求证：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE.18．(本小题总分为12分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．19．(本小题总分为12分)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)△ACD是直角三角形，AB＝BD.假如E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．(本小题总分为12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D，E，F分别是棱BC，CC1，B1C1的中点．求证：(1)直线A1F∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面BCC1B1.21．(本小题总分为12分)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；(3)求三棱锥B1－A1C1B的体积．22．(本小题总分为12分)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱锥V－ABC的体积．第十一章章末质量检测(三) 立体几何初步1．解析：空间直线存在的位置关系为异面、平行、相交．c∥a, a，b是两条异面直线那么一定不会平行，应当选D.答案：D2．解析：①假如m⊥α，n⊥β，且m⊥n，如此α⊥β，正确．∵n⊥β，且m⊥n，可得出m∥β或m⊂β，又m⊥α，故可得到α⊥β.②假如m∥α，n∥β，且m∥n，如此α∥β，不正确．两个面平行与同一条直线平行，两平面有可能相交．③假如m⊥α，n∥β，且m⊥n，如此α⊥β，不正确．m⊥α且m⊥n，可得出n∥α或n⊂α，又n∥β，故不能得出α⊥β.④假如m⊥α，n∥β，且m∥n，如此α⊥β，正确．m⊥α且m∥n，可得出n⊥α，又n∥β，故得出α⊥β.应当选C.答案：C3.解析：取AD的中点N，连结，D1N，易知AM∥ND1，故∠ND1C(或其补角)即为异面直线AM与CD1所成的角．不妨设AB＝1，如此＝D1N＝52，CD1＝2，故cos∠ND1C＝54＋2－542×2×52＝105.应当选A. 答案：A4．解析：由题意，V 1＝S ABCD ·CC 1，V 2＝13S △BCD ·CE ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12S ABCD ⎝ ⎛⎭⎪⎫13CC 1＝118S ABCD ·CC 1，如此V 2V 1＝118.应当选D.答案：D5．解析：设圆柱底面积半径为r ，如此高为2πr ，全面积:侧面积＝[(2πr )2＋2πr 2]:(2πr )2 这个圆柱全面积与侧面积的比为1＋2π2π，应当选A.答案：A6．解析：假如α⊥β，l ⊂α，n ⊂β，设α∩β＝m ，只要l ，n 与m 都不垂直，如此l ，n 不垂直，A 项错误；l ∥β，过l 的平面与β的交线为m ，如此l ∥m ，又l ⊥α，如此m ⊥α，∴β⊥α，B 项正确；l ⊥n ，m ⊥n ，l 与m 可能相交，可能异面，也可能平行，C 项错误；α⊥β，l⊂α时，l 与β可能垂直，也可能不垂直，甚至可能平行，D 项错误．应当选B.答案：B7．解析：设圆锥底面半径为r ，如此14×2×3r ＝8，所以r ＝163，所以米堆的体积为14×13×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1632×5＝3209，故堆放的米约为3209≈22，应当选B. 答案：B8．解析：设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R ＝32＋42＋52，解得R 2＝252，所以球的外表积为S 球＝4πR 2＝4π×252＝50π.应当选B. 答案：B9．解析：∵E 、F 分别是SN 和SP 的中点， ∴EF ∥PN .同理可证HG ∥PN ， ∴EF ∥HG .应当选A. 答案：A 10.解析：如图，取CB 中点G ，连接EG ，FG .如此EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG (或其补角)，又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°. 应当选A. 答案：A11．解析：①当P ，Q 分别为棱AD 1，B 1C 的中点时满足，正确；②当P 与A 重合时：S △BPQ ＝12a 2；当P 与D 1重合时：S △BPQ ＝22a 2(a 为正方体边长)，错误；③当PA >0时，假设直线PB 1与直线AQ 是共面直线，如此AP 与B 1Q 共面，矛盾，正确；④如下列图：F ，G 分别为P ，Q 在平面内的投影，易证BC ⊥平面PFGQ ，正确． 应当选D. 答案：D12．解析：设长方体的三条棱的长度为a ，b ，c ，所以长方体外表积S ＝2(ab ＋bc ＋ac )≤(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(a ＋c )2， 取等号时有a ＝b ＝c ，又由题意可知a ＝b ＝c 不可能成立，所以考虑当a ，b ，c 的长度最接近时，此时对应的外表积最大，此时三边长：8,8,9， 用2和6连接在一起形成8，用3和5连接在一起形成8，剩余一条棱长为9， 所以最大外表积为：2(8×8＋8×9＋8×9)＝416cm 2. 应当选C. 答案：C13．解析：设球的半径为r ，如此V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3，V 圆锥＝13πr 2×2r ＝2πr 33，V 球＝43πr 3，所以V 圆柱:V 圆锥:V 球＝2πr 3:2πr 33:43πr 3＝3:1:2，故答案为3:1:2. 答案：3:1:214．解析：由题意，圆柱底面半径r ＝球的半径R ， 圆柱的高h ＝2R ，如此V 球＝43πR 3，V 柱＝πr 2h ＝π·R 2·2R ＝2πR 3.∴V 柱V 球＝2πR 343πR 3＝32. S 球＝4πR 2，S 柱＝2πr 2＋2πrh ＝2πR 2＋2πR •2R ＝6πR 2.∴S 柱S 球＝6πR 24πR 2＝32.故答案为32，32.答案：323215.解析：把正方体的平面展开图复原成原来的正方体，如图：如此AB ⊥EF ，EF 与MN 异面，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确． 故答案为①③. 答案：①③16．解析：∵三棱锥P －ABC 的体积为23，∴13×34×(23)2×PA ＝23，∴PA ＝2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心， 球心到底面的距离d 等于三棱柱的高PA 的一半， ∵△ABC 是边长为23的正三角形，∴△ABC 外接圆的半径r ＝2， ∴球的半径为22＋12＝5，∴球O 的外表积为4π×5＝20π. 故答案为20π 答案：20π 17.解析：(1)连接OE∵O 是正方形ABCD 的中心 ∴O 为AC 中点，又E 为PC 中点 ∴OE ∥PA∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ∴PA ∥平面BDE .(2)∵O 是正方形ABCD 的中心，∴AC ⊥BD ∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥BD∵AC，PO⊂平面PAC，AC∩PO＝O，∴BD⊥平面PAC∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.18．解析：(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM. 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.19．解析：(1)取AC的中点O，连结DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.又DO∩BO＝O.从而AC⊥平面DOB，又BD⊂平面DOB，故AC⊥BD.(2)连结EO.由(1)与题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为11.20.解析：证明：(1)连结DF ，∵D ，F 分别是棱BC ，B 1C 1的中点，∴DF 綊BB 1綊AA 1， ∴四边形ADFA 1为平行四边形， ∴A 1F ∥AD ，∵AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， ∴A 1F ∥平面ADE .(2)∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD ， ∵AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴BC⊥AD，又BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1.21.解析：证明：(1)∵在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，且AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1.又BC1⊂平面C1BD，AD1⊄平面C1BD，∴D1A∥平面C1BD；(2)∵AA1∥BB1，∴异面直线BC1与AA1所成的角即为BC1与BB1所成的角，∵∠B1BC1＝45°，∴异面直线BC1与AA1所成的角的大小为45°.(3)三棱锥B1－A1C1B的体积：VB1－A1C1B ＝VB－A1B1C1＝13S△A1B1C1×BB1＝13×12×1×1×1＝16.22．解析：(1)证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；(2)证明：∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，又∵平面VAB ⊥平面ABC ，平面ABC ∩平面VAB ＝AB ，且OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面VAB ，∵OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面VAB ；(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C －VAB 的体积等于13×OC ×S △VAB ＝33. 又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33.。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市海淀区高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-章节测试(11)姓名：____________ 班级：____________学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A. B.C.D. 面对角线中与直线 所成的角为 的有8条直线 与 垂直直线 与 平行三棱锥 的体积为2. 如图，正方体 的棱长为 ，以下结论错误的是（ ）A. B. C. D. 则则则则3. 已知不重合的两条直线和不重合的两个平面 ， 下列命题正确的是（ ）A. B. C. D.4. 在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱B 1C 1、AD 的中点，直线AD 与平面BMD 1N 所成角的余弦值为 （ ）A. B. C. D.5. 棱长为3的正方体的8个顶点均在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A. B. C. D.β内一定能找到与l 平行的直线β内一定能找到与l 垂直的直线若β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行若β内有无数条直线与l 垂直，则β与α垂直6. 已知α，β是两个相交平面，其中l ⊂α，则（ ）A. B. C. D. ①②②③②④③④7. 已知下列四个命题，其中真命题的序号是（ ）① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③ 若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直；④ 若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直；A. B. C. D. 水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形平行四边形的直观图仍是平行四边形两条相交直线的直观图可能是平行直线两条垂直的直线的直观图仍互相垂直8. 下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（ ）A. B. C. D.若 ， 则异面直线BP与所成角的余弦值为若三棱锥的体积是定值若 ， 有且仅有一个点P ，使得平面10.已知正方体棱长为2，P 为空间中一点，下列论述正确的是（）A. B. C.若 ， 则异面直线BP 和所成角取值范围是D. 311. 已知三棱锥的高为1，底面为等边三角形， ， 且P ，A ，B ，C 都在体积为的球O 的表面上，则该三棱锥的底面的边长为（ ）A. B. C. D.α内有无数条直线与β平行α内有两条直线与β平行α，β平行于同一条直线α，β垂直与同一条直线12. 设α、β为两个不同平面，则α∥β的充要条件是（ ）A. B. C. D. 13. 把一个大金属球表面涂漆，共需2.4公斤油漆，若把这个大金属球融化成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，把这些小金属球表面都涂漆，需要这种油漆 公斤.14. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为 ， 则球的表面积为 ．15. 2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY 手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O ，半径为 ， 该纸片上的正六边形ABCDEF 的中心为O ， ， ， ， ，， 为圆O 上的点，如图（2）所示． ， ， ， ， ， 分别是以AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 为折痕折起， ， ， ， ， ， 使 ， ， ， ， ， 重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形ABCDEF 的边长为 cm ．16. 给出下列五个命题：①已知直线 、 和平面 ，若a b ，则；②双曲线 ，则直线 与双曲线有且只有一个公共点；③若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；④过的直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 中点为 ，设直线 斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 等于 ．其中，正确命题的序号为 ．17. 如图，在四棱锥P-ABMN 中，△PNM 是边长为2的正三角形，AN ⊥NP ，， ， ， ， C，D 分別是线段AB ，PN 的中点．(1) 求证：平面PBM；(2) 求直线CD与平面ABP所成用的正弦值．18. 如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．19. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，PA⊥平面ABCD，AC⊥CD，且AB=PA，点E，F分别是PD，PB的中点.证明：(1) PB 平面AEC；(2) 平面AFC⊥平面AEC.20. 如图1，菱形中，，，于．将沿翻折到，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；（Ⅲ）设为线段上一点，若平面，求的值．21. 如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面底面，为的中点.(1) 求证：；(2) 在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.19.(1)(2)20.21.(1)(2)。