湖南省怀化市洪江市2024届九年级数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 交x 轴分别于点A （﹣3，0），B （1，0），交y 轴正半轴于点D ，抛物线顶点为C ．下列结论①2a ﹣b ＝0；②a+b+c ＝0；③当m≠﹣1时，a ﹣b ＞am 2+bm ；④当△ABC 是等腰直角三角形时，a ＝1-2；⑤若D （0，3），则抛物线的对称轴直线x ＝﹣1上的动点P 与B 、D 两点围成的△PBD 周长最小值为32+10，其中，正确的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．2ax bx c ++B ．211122x x +--=C 211x x -=D ．310x x ++= 3．如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 为AB 的中点，将ADE ∆沿DE 翻折得到FDE ∆，延长EF 交BC 于G ，FH BC ⊥，垂足为H ，连接BF 、DG .结论:①BFDE ；②DFG ∆≌DCG ∆；③FHB ∆∽EAD ∆；④43GEB ∠=；⑤ 2.6BFG S ∆=.其中的正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．小轩从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤3a b 2=． 你认为其中正确信息的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．如图,在ABCD 中，点,E F 分别在边AD BC 、上,且//, EF CD G 为边AD 延长线上一点,连接BG ,则图中与ABG ∆相似的三角形有( )个A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，△ABC 的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y ＝k x在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( )A ．1≤k≤4B ．2≤k≤8C ．2≤k≤16D ．8≤k≤167．下列运算中，计算结果正确的是（ ）A ．a 4•a ＝a 4B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（a 3）2＝a 6D ．（ab ）3＝a 3b8．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下：（单位：个）33，25，28，26，25，31，如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（ ）A ．900个B ．1080个C ．1260个D ．1800个9．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）．A ．B ．C ．D ．10．附城二中到联安镇为5公里，某同学骑车到达，那么时间t 与速度(平均速度)v 之间的函数关系式是( ) A ．v ＝5t B ．v ＝t ＋5 C ．v ＝5t D ．v ＝t 511．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（﹣2，3）C ．（2，3）D ．（﹣2，﹣3）12．△ABC 在网络中的位置如图所示，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．12B 2C 3D 3二、填空题（每题4分，共24分）13．若12,x x 是方程2210x x --=的两个根，则12122x x x x ++的值为________14．如图，在ABC ∆中45ACB ∠=，522AC =，12BC =，以AB 为直角边、A 为直角顶点作等腰直角三角形ABD ，则CD =______.15．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______．16．在平面直角坐标系中，点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是_____．17．若x ＜2，化简2(2)x -=_____________18．大润发超市对去年全年每月销售总量进行统计，为了更清楚地看出销售总量的变化趋势，应选用________统计图来描述数据.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知反比例函数k y x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点()1,4A k -+．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 取值范围．20．（8分）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系四边形OABC 的顶点A 的坐标为()3,2，顶点B 的坐标为()6,2，顶点C 的坐标为()3,0，请在图中画出四边形OABC 关于原点()0,0O .对称的四边形111OA B C ．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y x mx m =-+>与x 轴交于,O A 两点，点()04B ，-． (1)当6m =时，求抛物线的顶点坐标及线段OA 的长度；(2)若点A 关于点B 的对称点A '恰好也落在抛物线上，求m 的值．22．（10分）如图，△ABC 的顶点都在方格线的交点（格点）上．（1）将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转90°得到△A ′B ′C ′，请在图中画出△A ′B ′C ′；（2）将△ABC 向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A ″B ″C ″，请在图中画出△A ″B ″C ″；（3）若将△ABC 绕原点O 旋转180°，A 的对应点A 1的坐标是 ．23．（10分）已知关于x 的一元二次方程 2(1)(4)30m x m x -+--=(m 为实数且1m ≠)．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数．．．m 的值．24．（10分）如图,在△ABC 中，点D 在BC 上，CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD25．（12分）如图，在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =4，将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ，点B 经过的路线为弧BD 求图中阴影部分的面积．26．飞行员将飞机上升至离地面18米的F点时，测得F点看树顶A点的俯角为030，同时也测得F点看树底B点的俯角为045，求该树的高度(结果保留根号).参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；根据抛物线的顶点和最值即可判断③；求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④；根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.【详解】解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到930a b ca b c++=⎧⎨-+=⎩，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确；当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2），可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣12，故④正确，如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝∵AD ＝2233+＝32，BD ＝2231+＝10，∴△PBD 周长最小值为32+10，故⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.2、B【解析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】A.属于多项式，错误；B.属于一元二次方程，正确；C.未知数项的最高次数是2，但不属于整式方程，错误；D.属于整式方程，未知数项的最高次数是3，错误．故答案为：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的性质以及定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3、C【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵正方形ABCD 中，AB=6，E 为AB 的中点∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°∵△ADE 沿DE 翻折得到△FDE∴∠AED=∠FED ，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°∴∠EBF=∠EFB∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB∴∠DEF=∠EFB故结论①正确；∵AD=DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，DG=DG∴Rt△DFG≌Rt△DCG∴结论②正确；∵FH⊥BC，∠ABC=90°∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°∵∠EBF=∠BFH=∠AED∴△FHB∽△EAD∴结论③正确；∵Rt△DFG≌Rt△DCG∴FG=CG设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2解得：x=2∴BG=4∴tan∠GEB=4=3 BGBE，故结论④正确；∵△FHB∽△EAD，且1=2 AEAD，∴BH=2FH设FH=a，则HG=4-2a在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+（4-2a）2=22解得：a=2（舍去）或a=65，∴S△BFG=16425⨯⨯=2.4故结论⑤错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．4、D【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵对称轴xb12a3=-=-，∴2b a3=-＜1．∴ab＞1．故①正确．②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．∵b＜1，∴c﹣b＞1．∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．⑤如图，对称轴b12a3=-=-，则3a b2=．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．5、D【分析】根据平行四边形和平行线的性质，得出对应的角相等，再结合相似三角形的性质即可得出答案. 【详解】∵EF∥CD，ABCD是平行四边形∴EF∥CD∥AB∴∠GDP=∠GAB，∠GPD=∠GBA∴△GDP∽△GAB又EF∥AB∴∠GEQ=∠GAB，∠GQE=∠GBA∴△GEQ∽△GAB又∵ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠GDP=∠BCP，∠CBP=∠G∴∠BCP=∠GAB又∠GPD=∠BPC∴∠GBA=∠BPC∴△GAB∽△BCP又∠BQF=∠GQE∴∠BQF=∠GBA∴△GAB∽△BFQ综上共有4个三角形与△GAB相似故答案选择D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，此外，还需要掌握平行四边形和平行线的相关知识.6、C【解析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数kyx=经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数kyx=经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．7、C【分析】根据幂的运算法则即可判断.【详解】A、a4•a＝a5，故此选项错误；B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；C、（a3）2＝a6，正确；D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式.8、C【分析】先求出6名同学家丢弃塑料袋的平均数量作为全班学生家的平均数量，然后乘以总人数45即可解答．【详解】估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为3325282625314512606+++++⨯=（个）．【点睛】本题考查了用样本估计总体的问题，掌握算术平均数的公式是解题的关键．9、A【分析】根据几何体的三视图解答即可.【详解】根据立体图形得到：主视图为：，左视图为：，俯视图为：，故答案为：A.【点睛】此题考查小正方体组成的几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图的视图角度及三视图的画法.10、C【分析】根据速度＝路程÷时间即可写出时间t与速度(平均速度)v之间的函数关系式.【详解】∵速度＝路程÷时间，∴v＝5 t .故选C.【点睛】此题主要考查反比例函数的定义，解题的关键是熟知速度路程的公式.11、A【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】：∵y=（x﹣2）2﹣3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，∴抛物线的顶点坐标为（2，-3）．故选A.．【点睛】本题考查了将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12、B【解析】作AD⊥BC的延长线于点D,如图所示：在Rt △ADC 中，BD=AD ，则AB=2BD ． cos ∠ACB=1222AD AB ==， 故选B ．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】先由根与系数的关系得出12122,1x x x x +==-，然后代入即可求解．【详解】∵12,x x 是方程2210x x --=的两个根 12122,1x x x x ∴+==-∴原式=22(1)220+⨯-=-=故答案为：1．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14、1【分析】由于AD=AB ，∠CAD=90°，则可将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得△ABE ，如图，根据旋转的性质得∠CAE=90°，AC=AE ，BE=CD ，于是可判断△ACE 为等腰直角三角形，则∠ACE=45°，CE=2AC=5，易得∠BCE=90°，然后在Rt △CAE 中利用勾股定理计算出BE=1，从而得到CD=1．【详解】解：∵△ADB 为等腰直角三角形，∴AD=AB ，∠BAD=90°，将△ACD 绕点A 顺时针旋转90°得△AEB ，如图，∴∠CAE=90°，AC=AE ，CD=BE ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，5CE ===， ∵∠ACB=45°，∴∠BCE=45°+45°=90°，在Rt △BCE 中，13CE ==，∴CD=1．故答案为1．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识.旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键的利用旋转得到直角三角形CBE ．15、22(2)3y x =-+【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为22(2)3y x =-+，故答案为：22(2)3y x =-+【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．16、（﹣3，5）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得答案．【详解】点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的两个点的坐标变化规律，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，是解题的关键.17、2-x ．【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵x ＜2，∴x-2＜0，2x =-故答案是：2-x ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．18、折线【解析】试题解析：根据题意，得要求清楚地表示销售总量的总趋势是上升还是下降，结合统计图各自的特点，应选用折线统计图，三、解答题（共78分）19、（1）2y x=，1y x =＋；（2）x ＜－2，或0＜x ＜1 【分析】（1）把A （1，-k+4）代入解析式k y x=，即可求出k 的值；把求出的A 点坐标代入一次函数y x b =+的解析式，即可求出b 的值；从而求出这两个函数的表达式；（2）将两个函数的解析式组成方程，其解即为另一点的坐标．当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x 的取值范围．【详解】解：（1）由题意，得4k k =－＋，∴k ＝2，∴A （1，2），2＝b ＋1∴b ＝1，∴反比例函数表达式为：2y x=， 一次函数表达式为：1y x =＋． （2）又由题意，得21x x=+， 220x x +=－，解得121,2x x ==－∴B （－2，－1），∴当x ＜－2，或0＜x ＜1时，反比例函数大于一次函数的值．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，能正确看图象是解题的关键．20、答案见解析．【分析】根据中心对称的性质画出四边形111OA B C 即可.【详解】如解图所示，四边形111OA B C 即为所求．【点睛】本题考查的是作图-旋转变换，熟知中心对称图形性质是解答此题的关键．21、（1）顶点坐标为（3，9），OA =6；（2）m =2【解析】（1）把m 代入抛物线，根据二次函数的图像与性质即可求出顶点，与x 轴的交点，即可求解；（2）先用含m 的式子表示A 点坐标，再根据对称性得到A’的坐标，再代入抛物线即可求出m 的值．【详解】解：（1）当y =0时，260x x -+=10x =， 26x =即O （0，0），A （6，0）∴OA =6把x =3代入 y =-32+63⨯=9∴顶点坐标为（3，9）（2）当y =0时，20x mx -+=10x =，2x =m即A （m ，0）∵点A 关于点B 的对称点A ′∴A ′(-m ，-8)把A ′(-m ，-8)代入20y x mx m =-+>（）得m 1=2,m 2=-2（舍去）∴m =2.【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知坐标的对称性.22、（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（2，﹣3）．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用关于原点对称点的性质直接得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：△A″B″C″，即为所求；（3）将△ABC 绕原点O 旋转180°，A 的对应点A 1的坐标是（2，﹣3）．【点睛】考点：1.-旋转变换；2.-平移变换．23、 (1)证明见解析；(2)2m =或4m =．【解析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；（2）先求出x 的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m 是正整数求出m 的值即可．【详解】(1)依题意，得()()()24413m m =---⨯- 28161212m m m =-++-，244m m =++，()22m =+．∵()220m +≥，∴方程总有两个实数根．(2)∵()()1130x m x ⎡⎤+--=⎣⎦，∴11x =-，231x m =-． ∵方程的两个实数根都是整数，且m 是正整数，∴11m -=或13m -=．∴2m =或4m =．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．24、见解析【解析】试题分析：由等腰三角形三线合一得FA=FD．又由E是中点，所以EF是中位线，即得结论.∵CD=CA，CF平分∠ACB，∴FA=FD（三线合一），∵FA=FD，AE=EB，∴EF=12 BD．考点：本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中位线点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．25、2512π．【分析】根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，∴根据旋转可知：∠DAB=30°，△AED≌△ACB，∴S△AED=S△ACB，∴图中阴影部分的面积S=S扇形DAB+S△AED﹣S△ACB=S扇形DAB23052536012π⨯==π．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．26、（）米【分析】延长BA交过点F的水平线与点C，在Rt△BEF中求出BE的长，在Rt△ACF中求出BC的AC的长，即可求出树的高度.【详解】延长BA交过点F的水平线与点C，则四边形BCFE是矩形，∴BC=EF=18米，BE=CF，∠EBF=∠BFC=45°，∴BE=EF=18米，∴CF=18米，在Rt△ACF中，∵tan∠AFC=AC CF,∴AC=31863 3⨯=,∴AB=(18-63)米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．。

2020-2021学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．下式中表示y是x的反比例函数的是（）A．y＝﹣x﹣4B．y＝x2C．y＝D．y＝2．小明乘车从南充到成都，行车的速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（）A．B．C．D．3．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0 4．请你判断，x|x|﹣3|x|+2＝0的实根的个数为（）A．1B．2C．3D．45．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（）A．24B．35C．42D．536．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，7．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．58．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限9．2sin45°的值等于（）A．1B．C．D．210．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（）A．1万件B．19万件C．15万件D．20万件二、填空题（每小题4分，共24分）11．某县校服生产有甲、乙、丙三种方案，为了了解何种图案更受欢迎，随机调查了某校学生100名，其中有60位学生喜欢甲方案，若该校有学生3000名，根据你所学的统计知识，估计该校喜欢甲方案的学生有人．12．一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，则α+β+α•β＝．13．已知＝3，则＝．14．某楼梯的侧面如图所示，测得AC＝4m，∠ACB＝30°，则该楼梯的高度AB＝．15．点P（1，1）向左平移两个单位后恰好位于双曲线y＝上，则k＝．16．已知，则＝．三、解答题（86分）17．（8分）解方程（1）3x2﹣7x＝0（2）x2+4x＝218．（6分）计算：3tan30°﹣+cos45°+19．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0．（1）若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式？（2）当b＝1时，利用根的判别式判断方程根的情况．（3）若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根．20．（8分）若AE与BD相交于点C，AC＝3，BC＝6，CD＝10，CE＝5，证明AB∥OE．21．（10分）一艘船以40km/s的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上继续航行1h．到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？22．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．23．（10分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan ∠ACB＝；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．24．（10分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．种类A B C D E出行方式共享单车步行公交车的士私家车根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有人，其中选择B类的人数有人；（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．25．（14分）如图①，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E．（1）证明：∠E＝∠C．（2）如图②，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值．（3）如果∠ABC是锐角且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数．2020-2021学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．下式中表示y是x的反比例函数的是（）A．y＝﹣x﹣4B．y＝x2C．y＝D．y＝【分析】利用反比例函数定义进行解答即可．【解答】解：A、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；B、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；C、不是反比例函数，故此选项不符合题意；D、是反比例函数，故此选项符合题意；故选：D．2．小明乘车从南充到成都，行车的速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v＝，则v 是t的反比例函数，且t＞0．【解答】解：∵v＝（t＞0），∴v是t的反比例函数，故选：B．3．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．【解答】解：∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．故选：A．4．请你判断，x|x|﹣3|x|+2＝0的实根的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先去掉绝对值然后再根据二次函数的性质求出方程的根，从而求解．【解答】解：①x＞0，得x|x|﹣3|x|+2＝x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x＝1或2，满足条件；②x＜0，得x|x|﹣3|x|+2＝﹣x2+3x+2＝0，∴x2﹣3x﹣2＝0，∵△＝9﹣4×（﹣2）＝17，∴x＝，∵x＜0，∴x＝，∴方程实根的个数为3个，故选：C．5．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（）A．24B．35C．42D．53【分析】设十位上的数字为未知数，得到两位数个位上的数字，根据关系式两位数等于其各数位上数字的积的3倍列出方程求得十位上的数字，进而求得两位数即可．【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，10x+x+2＝3x（x+2），（x﹣2）（3x+1）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣（不合题意，舍去），故x＝2，∴这个两位数为2×10+4＝24．故选：A．6．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵△ABC三边长是，，2，∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，故选：A．7．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．8．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【分析】先根据一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根判断出m的取值范围，再判断出m+1的符号进而可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，∴△＝4+4m＜0，解得m＜﹣1，∴m+1＜0，∴反比例函数y＝的图象所在的象限是第二、四象限．故选：C．9．2sin45°的值等于（）A．1B．C．D．2【分析】根据sin45°＝解答即可．【解答】解：2sin45°＝2×＝．故选：B．10．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（）A．1万件B．19万件C．15万件D．20万件【分析】先计算出100件样本中合格品的百分比，约等于这20万件的合格率，再估计该厂这20万件产品中合格品．【解答】解：（100﹣5）÷100×100%×20＝19（万件），故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．某县校服生产有甲、乙、丙三种方案，为了了解何种图案更受欢迎，随机调查了某校学生100名，其中有60位学生喜欢甲方案，若该校有学生3000名，根据你所学的统计知识，估计该校喜欢甲方案的学生有1800人．【分析】用该校总人数乘以样本中喜欢甲学生人数占被调查人数的比例即可．【解答】解：估计该校喜欢甲方案的学生有3000×＝1800（人），故答案为：1800．12．一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，则α+β+α•β＝1．【分析】直接根据根与系数的关系得出α+β＝2；αβ＝﹣1，再代入计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，∴α+β＝2；αβ＝﹣1．则α+β+α•β＝2﹣1＝1．故答案为：1．13．已知＝3，则＝﹣2．【分析】直接利用已知将原式变形进而代入求出答案．【解答】解：∵＝3，∴＝＝﹣×3＝﹣2．故答案为：﹣2．14．某楼梯的侧面如图所示，测得AC＝4m，∠ACB＝30°，则该楼梯的高度AB＝．【分析】利用正切三角函数解直角三角形求出AB即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，AC＝4m，∠ACB＝30°，∴tan∠ACB＝＝∴AB＝AC•tan∠ACB＝4×＝，故答案为：．15．点P（1，1）向左平移两个单位后恰好位于双曲线y＝上，则k＝﹣1．【分析】根据点的平移规律，得出平移后的点的坐标，将该点坐标代入y＝中求k即可．【解答】解：点P（1，1）向左平移两个单位后点的坐标为（﹣1，1），将点（﹣1，1）代入y＝中，得k＝﹣1，故答案为﹣1．16．已知，则＝．【分析】直接利用已知变形，进而代入得出答案．【解答】解：∵，∴设x＝3a，则y＝4a，z＝5a，则＝＝．故答案为：．三、解答题（86分）17．（8分）解方程（1）3x2﹣7x＝0（2）x2+4x＝2【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解答】解：（1）∵3x2﹣7x＝0，∴x（3x﹣7）＝0，则x＝0或3x﹣7＝0，解得x＝0或x＝；（2）∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，则x+2＝，∴x＝﹣2．18．（6分）计算：3tan30°﹣+cos45°+【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．19．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0．（1）若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式？（2）当b＝1时，利用根的判别式判断方程根的情况．（3）若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根．【分析】（1）代入法可求a、b满足的关系式；（2）由方程的系数结合根的判别式、b＝1，可得出△＝12﹣2a，分三种情况判断；（3）由根的判别式△＝b2﹣2a＝0，可得出：若b＝2，a＝2，则原方程为2x2+2x+＝0，解之即可得出结论．【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得a+b+＝0；（2）△＝b2﹣4a×＝b2﹣2a，∵b＝1，∴△＝12﹣2a，∴当a≤时，方程有实数根；当a＞时，方程无实数根；（3）∵方程有两个相等的实数根，∴b2﹣2a＝0，即b2＝2a，取a＝2，b＝2，则方程为2x2+2x+＝0，解得x1＝x2＝﹣．20．（8分）若AE与BD相交于点C，AC＝3，BC＝6，CD＝10，CE＝5，证明AB∥OE．【分析】根据两边对应成比例且夹角相等，即可证得两三角形相似，根据相似三角形的性质可得∠A＝∠E，即可得出结论．【解答】证明：∵AC＝3，BC＝6，CD＝10，CE＝5，∴＝，∵∠ACB＝∠ECD，∴△ACB∽△ECD，∴∠A＝∠E，∴AB∥DE．21．（10分）一艘船以40km/s的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上继续航行1h．到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA＝30°，∠ACD＝60°，证∠ACB＝30°＝∠BAC，根据等角对等边得出BC＝AB＝40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：根据题意可知∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝40×1＝40（km），在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，∴CD＝40×sin60°＝40×＝20（km）＞30km，∴这艘船继续向东航行安全．22．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴＝，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，∴∠AEC＝∠AFD；（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC∥EG，∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∴△BDC∽△GCE，∴＝＝，∴CD•CG＝FC•BD．23．（10分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan ∠ACB＝；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．【分析】（1）如图，作∠BAC＝90°，且边AC＝3，才能满足条件；（2）作DE＝2，连接DF，则△DEF是以EF为边且面积为3的三角形，连接BD，CD，则∠CBD＝45°．【解答】解：（1）如图，由勾股定理得：AB＝＝2，AC＝＝3，BC＝＝，∴AB2+AC2＝（2）2+（3）2＝26，BC2＝（）2＝26，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，tan∠ACB＝＝＝；（2）如图，∵S△DEF＝×2×3＝3，∵BC＝，CD＝＝，BD＝＝，∴BC2+CD2＝52，BD2＝52，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∴∠CBD＝45°，∴CD＝．24．（10分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．种类A B C D E出行方式共享单车步行公交车的士私家车根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有800人，其中选择B类的人数有240人；（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；（3）该市约有12万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．【分析】（1）由C类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以B类别百分比即可得；（2）根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360°和总人数可分别求得；（3）总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案．【解答】解：（1）本次调查的市民有200÷25%＝800（人），∴B类别的人数为800×30%＝240（人），故答案为：800，240；（2）∵A类人数所占百分比为1﹣（30%+25%+14%+6%）＝25%，∴A类对应扇形圆心角α的度数为360°×25%＝90°，A类的人数为800×25%＝200（人），补全条形图如下：（3）12×（25%+30%+25%）＝9.6（万人），答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人．25．（14分）如图①，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E．（1）证明：∠E＝∠C．（2）如图②，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值．（3）如果∠ABC是锐角且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数．【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣∠C即可解决问题．（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC＝．（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．【解答】证明：（1）如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴△ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠E＝∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，综上所述，∠ABC＝30°或45°．。

2024-2025学年湖南省初三数学上册模拟试题班级：________________ 学号：________________ 姓名：______________一、单选题（每题3分）1.题目：下列各式中，是分式的是（）A.x2B.x+y5C.1x+yD.x 2−1π答案：C2.题目：若关于x的分式方程x−1x−2=m2−x有增根，则m的值为（）A.2B.−2C.1D.−1答案：B3.题目：若扇形的圆心角为120∘，半径为3，则该扇形的弧长为（）A.π3B.πC.2πD.2π3答案：B4.题目：下列函数中，图像经过原点的是（）A.y=1xB.y=x2−1C.y=2x+1xD.y=−12答案：D5.题目：已知点A(m,2)和点B(3,n)关于原点对称，则m+n=（）A.1B.−1C.5D.−5答案：D二、多选题（每题4分）1.下列说法中，正确的是（）A. 平方根是它本身的数只有0B. 任何数的平方都是正数C. 算术平方根一定是正数D. 立方根是它本身的数有-1，0，1答案：A，D解析：A选项，只有0的平方根是0，所以A正确；B选项，0的平方是0，不是正数，所以B错误；C选项，0的算术平方根是0，不是正数，所以C错误；D选项，-1、0、1的立方根分别是-1、0、1，所以D正确。

2.下列各式中，属于最简二次根式的是（）A. √(12)B. √(2a^3)C. √(8a)D. √(a^2 + b^2)答案：D解析：A选项，√(12) = 2√3，被开方数含有能开得尽方的因数4，所以A不是最简二次根式；B选项，√(2a^3) = a√(2a)，被开方数含有能开得尽方的因数a^2，所以B不是最简二次根式；C选项，√(8a) = 2√(2a)，被开方数含有能开得尽方的因数4，所以C不是最简二次根式；D选项，√(a^2 + b^2)的被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，所以D是最简二次根式。

3.下列函数中，自变量的取值范围错误的是（）A. y = 3x (x为任意实数)B. y = 1/x (x ≠ 0)C. y = √(x + 1) (x > -1)D. y = 1/(x^2 + 1) (x ≠ 0)答案：D解析：A选项，y = 3x是一次函数，x可以取任意实数，所以A正确；B选项，y = 1/x是分式函数，分母不能为0，所以x ≠ 0，B正确；C选项，y = √(x + 1)是二次根式函数，被开方数需非负，所以x + 1 ≥ 0，即x ≥ -1，但题目中给出x > -1，虽然范围略小，但并不错误（只是不全面），但此处我们按照严格意义来判断，x应≥-1，但D选项明显错误，因为x^2 + 1永远大于0，所以x可以取任意实数，D错误。

2023-2024学年湖南省怀化市九年级上学期期末数学试题1.下列函数中，是反比例函数的是（）A．B．C．D．2.如图，直线，若，则的长是（）A．B．18C．9D．123.将一元二次方程2x2＝1－3x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为()A．－3x，1B．3x，－1C．3，－1D．2，－14.对于函数，下列说法错误的是（）A．它的图象位于第二、四象限B．它的图象经过点C．当时，函数值随自变量的增大而增大D．当时，函数值随自变量的增大而减小5.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（）．A．B．C．D．6.如图，已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,DE∥BC,且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：8B．1：2C．1：9D．1：37.如图，直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（）．A．B．或C．或D．8.如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A．B．C．D．9.如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．10.如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．②④D．②③11.若，则=__________．12.若是方程的解，则代数式的值为___________．13.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_____.（结果保留根号）14.如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，连接．若的面积等于2.5，则k的值等于_________15.某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的200名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理成右表，请你估计这200名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是___________.节水量/0.51 1.52人数234116.为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为___________（列出方程即可，不化简，不要解方程）17.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数中最小的数.例如：，结合上述材料，可求得___________．18.如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，分别为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，，的面积为，则________．（用含的式子表示）19.解方程：(1).(2).20.为深入开展青少年毒品预防教育工作，增强学生禁毒意识，某校联合禁毒办组织开展了“青少年禁毒知识竞赛”活动，并随机抽查了部分同学的成绩，整理并制作成图表如下：分数段频数频率300.1900.4600.2根据以上图表提供的信息，回答下列问题：(1)此次调查抽查了多少名学生？并求；(2)请补全频数分布直方图；(3)若成绩在80分以上（包括80分）为“优秀”，请你估计该校名学生中竞赛成绩是“优秀”的有多少名？21.如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为，连接，为线段上一点，且．(1)求证：；(2)若，，，求线段的长．22.2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达A点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为30°；后飞船从A点到达处，此时从位于地面处的雷达站，测得仰角为45°．(1)求点A离地面的高度；(2)求飞船从A处到处的平均速度.（结果精确到，参考数据：）23.如图，在中，，，，点在上，且．(1)求的长；(2)求的值．24.已知关于的一元二次方程（为常数）．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．25.如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点．点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．26.26.如图1，在中，，，.点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动．图1图2(1)点、出发几秒后，的面积为面积的；(2)经过几秒后，以，，为顶点的三角形与相似?(3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，?。

2022-2023学年湖南省怀化市洪江市、溆浦县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1．（4分）下列函数不是反比例函数的是（ ） A ．y ＝3x ﹣1B ．y =−x3C ．xy ＝5D ．y =12x2．（4分）一元二次方程x 2﹣2x +3＝0的二次项系数是（ ） A ．0B ．1C ．﹣2D ．33．（4分）2cos60°的值等于（ ） A ．12B ．1C ．√32D ．√34．（4分）方程x 2﹣6x +5＝0的两个根之和为（ ） A ．﹣6B ．6C ．﹣5D ．55．（4分）如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（ ）A ．都相似B ．都不相似C ．只有甲中两个三角形相似D ．只有乙中两个三角形相似6．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，则cos B 的值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．437．（4分）若关于x 的方程mx 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＞﹣1D ．m ≥﹣1且m ≠08．（4分）如图，点A 在双曲线y =k x上，AB ⊥y 轴于B ，S △AOB ＝3，则k ＝（ ）A ．3B ．6C ．18D ．不能确定9．（4分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（ ）cm ．A ．4−2√5B ．4√5−4C ．4√5+4D ．4−4√510．（4分）函数y ＝kx ﹣3与y =kx（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）11．（4分）若点A （x ，y ）在反比例函数y =4x的图象上，则代数式xy 的值为 ． 12．（4分）已知ab =2，那么a+b b= ．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ． 14．（4分）已知x ＝1是方程x 2﹣ax +6＝0的一个根，则a ＝ ，另一个根为 ． 15．（4分）计算：2cos45°﹣（√3+π）0＝ ．16．（4分）对于两个不相等的数a、b，我们规定min{a、b}（a≠0）表示a、b中的较小的值．例min{2、3}＝2，按照这个规定，方程min{11−x，21−x}=2x−1−3的解为．三、解答题（本题共计8小题，共计86分）17．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）49x2﹣625＝0；（2）（2x﹣1）（2x+5）＝6x+4．18．（10分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：第1天第2天第3天第4天售价x（元/双）150200250300销售量y（双）40302420（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？19．（12分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．20．（12分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识检测，现从九年级学生中随机聘取50名学生进行测试，并将他们的测试成绩（百分制）进行整理，部分信息如下：a．参检学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，90≤x＜100）如图所示：b．参检学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79．c．参检学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数九76.9m80 d．参检学生甲的成绩为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，求学生成绩在75分以上（含75分）的人数及表中m的值；（2）在这次测试中，求参检学生甲的成绩得分排名名次（从高分到低分）；（3）该校九年级学生有500人，假设全部参加测试，请估计成绩超过平均分的人数．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=mx的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是（6，﹣1），D（n，3）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？22．（12分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）23．（10分）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？24．（10分）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠F AE＝β，求tanα+tanβ的值．2022-2023学年湖南省怀化市洪江市、溆浦县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1．（4分）下列函数不是反比例函数的是（ ） A ．y ＝3x ﹣1B ．y =−x3C ．xy ＝5D ．y =12x【分析】根据反比例函数与一次函数的定义进行解答即可． 【解答】解：A 、y ＝3x ﹣1=3x 是反比例函数，故本选项错误；B 、y =−x3是正比例函数，故本选项正确； C 、xy ＝5是反比例函数，故本选项错误； D 、y =12x 是反比例函数，故本选项错误． 故选：B ．2．（4分）一元二次方程x 2﹣2x +3＝0的二次项系数是（ ） A ．0B ．1C ．﹣2D ．3【分析】根据一元二次方程系数的定义解答即可． 【解答】解：方程x 2﹣2x +3＝0的二次项系数为1． 故选：B ．3．（4分）2cos60°的值等于（ ） A ．12B ．1C ．√32D ．√3【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【解答】解：2cos60°＝2×12=1． 故选：B ．4．（4分）方程x 2﹣6x +5＝0的两个根之和为（ ） A ．﹣6B ．6C ．﹣5D ．5【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为−ba ，再代入求出答案即可． 【解答】解：方程x 2﹣6x +5＝0的两个根之和为−b a =−−61=6，故选：B ．5．（4分）如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（ ）A ．都相似B ．都不相似C ．只有甲中两个三角形相似D ．只有乙中两个三角形相似【分析】在图甲中，根据三角形内角和定理求出∠C ，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；在图乙中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断． 【解答】解：在图甲中，∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝180°﹣75°﹣35°＝70°， 则∠A ＝∠D ，∠C ＝∠E ， ∴△ABC ∽△DFE ； 在图乙中，OA OD=34，OCOB=86=43，∴OA OD≠OC OB，∴△AOC 与△DOB 不相似， 故选：C ．6．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，则cos B 的值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【分析】根据勾股定理，可得BC 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5， 由勾股定理，得BC =√AB 2−AC 2=√52−32=4． cos B =BCAB =45， 故选：B ．7．（4分）若关于x 的方程mx 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＞﹣1D ．m ≥﹣1且m ≠0【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的方程mx 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴{m ≠0Δ=22−4×m ×(−1)＞0， 解得：m ＞﹣1且m ≠0． 故选：B ．8．（4分）如图，点A 在双曲线y =kx 上，AB ⊥y 轴于B ，S △AOB ＝3，则k ＝（ ）A ．3B ．6C ．18D ．不能确定【分析】根据反比例函数比例系数k 的几何意义即可直接求解． 【解答】解：设A 的坐标是（m ，n ），则mn ＝k ．AB ＝m ，OB ＝n ． ∵S △AOB =12AB •OB =12mn ＝3 ∴k ＝mn ＝6． 故选：B ．9．（4分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（ ）cm ．A．4−2√5B．4√5−4C．4√5+4D．4−4√5【分析】根据黄金分割的定义解答，即可得出答案．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP=√5−12AB=√5−12×8＝4√5−4（cm），故选：B．10．（4分）函数y＝kx﹣3与y=kx（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y＝kx﹣3和y=kx（k≠0）经过的象限，二者一致的即为正确答案．【解答】解：∵当k＞0时，y＝kx﹣3过一、三、四象限，反比例函数y=kx过一、三象限，当k＜0时，y＝kx﹣3过二、三、四象限，反比例函数y=kx过二、四象限，∴B正确；故选：B．二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）11．（4分）若点A（x，y）在反比例函数y=4x的图象上，则代数式xy的值为4．【分析】把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案．【解答】解：∵点A（x，y）在反比例函数y=4x的图象上，∴xy＝4，故答案为：4．12．（4分）已知ab =2，那么a+b b= 3 ．【分析】根据比例的性质求出a ＝2b ，把a ＝2b 代入a+b b，即可求出答案．【解答】解：∵ab =2，∴a ＝2b ， ∴a+b b=2b+b b=3b b=3，故答案为：3．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150 ． 【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案． 【解答】解：8400×150400=3150． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150． 故答案为：3150．14．（4分）已知x ＝1是方程x 2﹣ax +6＝0的一个根，则a ＝ 7 ，另一个根为 6 ． 【分析】将x ＝1代入原方程可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 值，再根据两根之积等于6，即可求出方程的另一个根为6． 【解答】解：将x ＝1代入原方程得1﹣a +6＝0， 解得：a ＝7．方程的另一个根为6÷1＝6． 故答案为：7；6．15．（4分）计算：2cos45°﹣（√3+π）0＝ √2−1 ．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式＝2×√22−1 =√2−1．16．（4分）对于两个不相等的数a 、b ，我们规定min {a 、b }（a ≠0）表示a 、b 中的较小的值．例min {2、3}＝2，按照这个规定，方程min {11−x ，21−x }=2x−1−3的解为 73．【分析】分情况讨论：①11−x＜21−x时，②11−x＞21−x时，根据新定义分别列分式方程，【解答】解：分情况讨论： ①11−x＜21−x时，根据题意，得2x−1−3=11−x，去分母，得2﹣3（x ﹣1）＝﹣1， 解得x ＝2，经检验，x ＝2是原方程的根， 但是11−2=−1，21−2=−2，∵﹣1＞﹣2，∴x ＝2不符合题意，要舍去； ②11−x＞21−x时，根据题意，得2x−1−3=21−x，去分母，得2﹣3（x ﹣1）＝﹣2， 解得x =73，经检验，x =73是原方程的根，11−73=−34，21−73=−32，∵−34＞−32， ∴x =73符合题意， 故答案为：73．三、解答题（本题共计8小题，共计86分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）49x 2﹣625＝0；（2）（2x ﹣1）（2x +5）＝6x +4．【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）49x 2﹣625＝0，x 2=62549， ∴x ＝±257，∴x 1=257，x 2=−257；（2）（2x ﹣1）（2x +5）＝6x +4， 4x 2+8x ﹣5＝6x +4， 4x 2+2x ﹣9＝0，∵a ＝4，b ＝2，c ＝﹣9，∴Δ＝22﹣4×4×（﹣9）＝148＞0， ∴x =−2±√1482×4=−1±√374，∴x 1=−1+√374，x 2=−1−√374． 18．（10分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：第1天 第2天 第3天 第4天 售价x （元/双） 150200250300销售量y （双）40 30 24 20（1）观察表中数据，x ，y 满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； （2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？ 【分析】（1）由表中数据得出xy ＝6000，即可得出结果； （2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验． 【解答】解：（1）由表中数据得：xy ＝6000， ∴y =6000x， ∴y 是x 的反比例函数， 故所求函数关系式为y =6000x；（2）由题意得：（x ﹣120）y ＝3000， 把y =6000x 代入得：（x ﹣120）•6000x=3000， 解得：x ＝240；经检验，x ＝240是原方程的根；答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．19．（12分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，连接DE ，且∠ADE ＝∠ACB ．（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）若AD ＝2DB ，AE ＝4，AC ＝9，求BD 的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）设BD ＝x ，则AD ＝2x ，AB ＝3x ，根据相似三角形的性质可知AD AC=AE AB，从而列出方程解出x 的值．【解答】（1）证明：∵∠ADE ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ；（2）解：由（1）可知：△ADE ∽△ACB ， ∴AD AC=AE AB，设BD ＝x ，则AD ＝2x ，AB ＝3x ， ∵AE ＝4，AC ＝9， ∴2x 9=43x，解得：x =√6（负值舍去）， ∴BD 的长是√6．20．（12分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识检测，现从九年级学生中随机聘取50名学生进行测试，并将他们的测试成绩（百分制）进行整理，部分信息如下： a ．参检学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，90≤x＜100）如图所示：b．参检学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79．c．参检学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数九76.9m80d．参检学生甲的成绩为79分．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，求学生成绩在75分以上（含75分）的人数及表中m的值；（2）在这次测试中，求参检学生甲的成绩得分排名名次（从高分到低分）；（3）该校九年级学生有500人，假设全部参加测试，请估计成绩超过平均分的人数．【分析】（1）将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；根据中位数的定义求解可得；（2）由90≤x≤100的频数为8、80≤x＜90的频数为15，据此可得答案；（3）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．【解答】解：（1）75分以上人数：8+15+8＝31（人），50人中25名26名成绩77分，78分，m=77+782=77.5，（2）从图中90≤x＜100频数是880≤x＜90频数是15．∴8+15＝23（名），∴参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名；（3）超平均数的人数是：70≤x＜80这组数中有4人；80≤x90这组数中有15人，90≤x ＜100这组数中有8人． ∴500×4+15+850=270（人）． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数y =mx的图象交于C 、D 两点，DE ⊥x 轴于点E ．已知C 点的坐标是（6，﹣1），D （n ，3）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？【分析】（1）把C 点坐标代入y =mx 求得m 的值，得到反比例函数的解析式；再求出D 点坐标，然后将C 、D 两点的坐标代入y ＝kx +b ，利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）观察函数图象，找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）把C （6，﹣1）代入y =mx，得m ＝6×（﹣1）＝﹣6， 则反比例函数的解析式为y =−6x， 把y ＝3代入y =−6x ，得x ＝﹣2， ∴D 点坐标为（﹣2，3）．将C （6，﹣1）、D （﹣2，3）代入y ＝kx +b ，得{6k +b =−1−2k +b =3，解得{k =−12b =2， 则一次函数的解析式为y =−12x +2；（2）根据函数图象可知，当x ＜﹣2或0＜x ＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值． 22．（12分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A 处观测对岸C 点，测得∠CAD ＝45°，小英同学在距A 处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，然后根据BE﹣AE＝50就能求得河宽．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE=√3CE=√3x，∴√3x＝x+50解之得：x＝25√3+25≈68.30．答：河宽为68.30米．23．（10分）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2＝4月份的盈利额列出方程求解即可．（2）5月份盈利＝4月份盈利×（1+增长率）．【解答】解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：2400（1+x）2＝3456，解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：3456×（1+20%）＝4147.2（元）．答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．（2）5月份盈利为4147.2元．24．（10分）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：△ABF ∽△FCE ；（2）若AB ＝2√3，AD ＝4，求EC 的长；（3）若AE ﹣DE ＝2EC ，记∠BAF ＝α，∠F AE ＝β，求tan α+tan β的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）设EC ＝x ，证明△ABF ∽△FCE ，可得AB CF=BF EC，由此即可解决问题．（3）首先证明tan α+tan β=BF AB +EF AF =BF AB +CF AB =BF+CF AB =BCAB，设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ，解直角三角形求出a ，b 之间的关系即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， 由翻折可知，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB +∠EFC ＝90°，∠EFC +∠CEF ＝90°， ∴∠AFB ＝∠FEC ， ∴△ABF ∽△FCE ．（2）设EC ＝x ，由翻折可知，AD ＝AF ＝4，∴BF =√AF 2−AB 2=√16−12=2， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝2， ∵△ABF ∽△FCE ， ∴AB CF=BF EC，∴2√32=2x， ∴x =2√33，∴EC =2√33．（3）∵△ABF ∽△FCE ， ∴AF EF=AB CF，∴tan α+tan β=BFAB +EFAF =BFAB +CFAB =BF+CF AB=BCAB ， 设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ， ∴AE ＝DE +2CE ＝x +2（a ﹣x ）＝2a ﹣x ，∵AD ＝AF ＝b ，DE ＝EF ＝x ，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴BF =√b 2−a 2，CF =√x 2−(a −x)2=√2ax −a 2， ∵AD 2+DE 2＝AE 2， ∴b 2+x 2＝（2a ﹣x ）2， ∴a 2﹣ax =14b 2， ∵△ABF ∽△FCE ， ∴AB CF=BF EC ，∴√x 2−(a−x)2=√b 2−a 2a−x，∴a 2﹣ax =√b 2−a 2•√2ax −a 2， ∴14b 2=√b 2−a 2•√a 2−12b 2，整理得，16a 4﹣24a 2b 2+9b 4＝0， ∴（4a 2﹣3b 2）2＝0， ∴ba =2√33， ∴tan α+tan β=BCAB =2√33．。

湖南省怀化市2021-2022学年9年级上学期期末考试数学试题2021-2022年九年级（上）期末数学答案一、选择题二、填空题11. 4 12. 3 13. 3150 14. 7、6 15.1 16. (674,3--三、解答题17.解：（1）等式两边同时加2可得2212x x ++=， 即2(1)2x +=，开方得：1x +=∴ x 1=−1+√2，x 2=−1−√2. （2）原式可化为：3(1)(1)0x x x -+-= 即(31)(1)0x x +-=， 解得113x =-，21x =. 18. 解：(1)猜测y 与x 之间的函数关系式为6000y x=， (2)根据题意，得：(120)3000x y -=把6000y x =代入得：6000(120)3000x x-⋅= 解得：240x =经检验，240x =是原方程得到解答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元. 19. （1）证明：∵ ∠ADE=∠ACB ，∠A=∠A ， ∴△ADE △△ACB（2）解：由（1）可知，△ADE ∽△ACB ，∴AD AEAC AB=． 设BD=x ，则AD=2x ，AB=3x ．∵AE=4，AC=9， ∴2493x x=，解得x =∴BD．20. 合格占132%16%12%40%---=．总人数＝816%50÷=．不合格的人数＝5032%16⨯=（人）， 扇形统计图，条形统计图如图所示：中位数落在合格等级里． 故答案为合格． 1400×1650=448（人）， 答：估计该校八年级体质为“不合格”的学生约有448人． 21. （1）把C （6，-1）代入my x=，得6(1)6m =⨯-=-， 则反比例函数的解析式为6y x=-， 把y ＝3代入6y x=-，得2x =-， ∴D 点坐标为（-2，3）．将C （6，-1）、D （-2，3）代入y kx b =+，得6123k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则一次函数的解析式为122y x =-+； （2）根据函数图象可知，当2x -＜或06x ＜＜时，一次函数的值大于反比例函数的值．22. 解：过C 作CE ⊥AD 于E ，如图所示，设CD=x米，在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x在Rt△BCE中：∠CBE=30°，，50x=+，解得：2568.30x=≈（米）23. 解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：2400（1+x）2=3456，解得：10.220%x==，22.2x=-（舍去）．答：每月盈利的平均增长率为20%.（2）3456×（1+20%）=4147.2（元）．答：5月份这家商店的盈利达到4147.2元. 24. 解：（1）∵AD=CD，∠A=44°∴∠ACD= ∠A=44°.∵CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，∴△BCD～△BAC，∴∠BCD=∠A=44°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=88°.（2）∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD～△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（3）由已知AC=AD=2.∵△BCD～△BAC，∴BC BD BA BC=.设BD x =，∴2(2)x x =+.∵x ＞0，∴1x =-.∵△BC D ～△BAC ，∴CD BD AC BC ==∴2CD =⨯=。

2020-2021学年怀化市洪江市九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如果x与y满足xy+1=0，则y是x的()A. 正比例函数B. 反比例函数C. 一次函数D. 二次函数2.已知三角形的面积一定，则它底边a上的高ℎ与底边a之间的函数关系的图象大致是()A. B.C. D.3.已知(m−n)2=8，(m+n)2=2，则m 2+n 2=()A. 10B. 6C. 5D. 34.关于x的方程(m2−1)x2+2(m−1)x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A. m<1B. m≤1C. m>1D. m≥15.为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为()A. 9B. 10C. 11D. 126.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是()A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABCC. AB2=AD⋅ACD. ADAB =ABBC7.已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是()A. 若△AEF与△ABC相似，则EF//BCB. 若AE×BE=AF×FC，则△AEF与△ABC相似C. 若AEAB =EFBC，则△AEF与△ABC相似D. 若AF⋅BE=AE⋅FC，则△AEF与△ABC相似8.如图，P，Q分别是双曲线y=kx在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y 轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC的面积为S3，则有()A. S1=S2≠S3B. S1=S3≠S2C. S2=S3≠S1D. S1=S2=S39.下列各数中，是无理数的是()A. 227B. π2C. 2D. sin30°10.在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中80次摸到黑球，则估计袋中大约有白球()A. 40个B. 32个C. 48个D. 24个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.15、小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支状况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表现显示的读数，由表可以估计第10天的电表读数很可能为________度．日期12345678电表读数(度)212427303335384112.已知一元二次方程x2=2x+1的两个实数根分别为x1，x2，则x1−x1x2+x2的值为______．13.已知a2=b3=c4，且2a−b+c=10，则3a+b−2c=______．14.在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡比i=______．15.如图，菱形ABCD顶点A在函数y=3x (x>0)的图象上，函数y=kx(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB=2，∠BAD= 30°，则k=______．16. 已知线段a =10cm ，b =2m ，则b a = ______ ． 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 计算：(1)(27−59+421)×(−63) (2)−12÷√273−√(−13)2 ．四、解答题（本大题共8小题，共80.0分）18. 解方程组和不等式组：(1){2x −y =44x −3y =2(2){3x −2>6−x x+24−x 2>−1．19. 已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k −4=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．20. 如阁，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点P 从点A 出发，沿折线AC −BC 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，当点P 不与点A 、B 重合时，在边AB 上取一点Q ，满足∠PQA =2∠B ，过点Q 作QM ⊥PQ ，交边BC 于点M ，以PQ 、QM 为边作矩形PQMN ，设点P 的运动时间为t 秒(1)用含t 的代数式表示线段PQ 的长；(2)当矩形PQMN 为正方形时，求t 的值；(3)设矩形PQMN 与△ABC 重叠部分图形的周长为l ，求l 与t 之间的函数关系式；(4)作点A 关于直线PQ 的对称点A′，作点C 关于直线PN 的对称点C′，当点A′、C′这两个点中只有一个点在矩形PQMN 内部时，直接写出此时的t 取值范围．21. 如图，流经某市的一条河流的两岸互相平行，河岸l 1上有一排观赏灯，已知相邻两灯之间的距离AB =10米，某人在河岸l 2的C 处测得∠ACE =60°，然后沿河岸向右走了90米到达D 处，测得∠BDC =30°.求河流的宽度．(结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)22.AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．(1)如图1，求证∠COB=2∠BCD；(2)如图2，弦BF与CD相交于点M，当OA=4，DE=√15，BM=√10时，求BF的长．23.如图：已知直角三角形一直角边a=8cm，斜边c=17cm，求这个直角三角形的周长．24.某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取10名学生的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题：(1)孔明同学这次测试的成绩是87分，则他的成绩等级是______ 等；(2)请将条形统计图补充完整；(3)已知该校所有参加这次测试的学生中，有60名学生成绩是A等，请根据以上抽样结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人．编号成绩等级编号成绩等级①95A⑥76B②78B⑦85A③72C⑧82B④79B⑨77B⑤92A⑩69C25.已知△ABC是边长为2的等边三角形，动点P在直线BC上运动(不与点B、C重合)．(1)如图1，当点P在线段BC上时，作∠APQ=∠ACB，PQ交AC于点Q，求证：△ABP∽△PCQ；(2)如图2，当点P在BC的延长线上时，作∠APQ=∠ACB，PQ的反向延长线与AC的延长线相交于点D，①△ABP与△PCD是否相似？请直接写出你的结论；②是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出CP的长度；若不存在，请说明理由；(3)如图3，当点P在CB的延长线上时，请用尺规作图，在图3上作出∠APQ=∠ACB，PQ与AC的延长线相交于点Q(不写作法，只保留作图痕迹)，并直接回答：①△ABP与△PCQ是否相似？②是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？参考答案及解析1.答案：B解析：解：xy+1=0，可化为y=−1x，所以y是x的反比例函数．故选B．根据题意对xy+1=0变形得出自变量与函数的关系，然后再判定函数类型．本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广．2.答案：D解析：试题分析：先写出三角形底边a上的高ℎ与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高ℎ与底边a之间的函数关系为S=12aℎ，即ℎ=2sa；是反比例函数，且2s>0，ℎ>0；故其图象只在第一象限．故选D．3.答案：C解析：本题考查两数和的平方、两数差的平方与两数的平方和之间的关系，难度较小．∵(m+n)2=8，(m−n)2=2，∴(m+n)2+(m−n)2=10，∴m 2+n 2=5．4.答案：A解析：解：当方程(m2−1)x2+2(m−1)x+1=0为一元二次方程时，m2−1≠0，即m≠±1．∵关于x的方程(m2−1)x2+2(m−1)x+1=0有实数根，∴△=[−2(m−1)]2−4(m2−1)=−8m+8≥0，解得m≤1；∴m<1，当方程(m2−1)x2+2(m−1)x+1=0为一元一次方程时，m2−1=0且2(m−1)≠0，则m=−1，综上，m<1时方程有实数根．故选：A．由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令△>0，即可求出m的取值范围，要注意，m2−1≠0.再令方程为一元一次方程，进行解答．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，注意要分类讨论，对一元一次方程和一元二次方程分别解答．5.答案：B解析：解：依题意，得：1+n+n2=111，解得：n1=10，n2=−11．故选：B．根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.答案：D解析：解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD⋅AC，∴ACAB =ABAD，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、ADAB =ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．7.答案：D解析：解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF=∠C，推不出EF//BC．选项B错误，由AE×BE=AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由AEAB =EFBC，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF⋅BE=AE⋅FC，∴AEBE =AFFC，∴EF//BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．根据三角形相似的判定定理一一判断即可．本题考查相似三角形的判定，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，属于中考常考题型．8.答案：D解析：解：延长QB与PA的延长线交于点D，如右图所示，设点P的坐标为(a,b)，点Q的坐标为(c,d)，∴DB=a，DQ=a−c，DA=−d，DP=b−d，∵DB⋅DP=a⋅(b−d)=ab−ad=k−ad，DA⋅DQ=−d(a−c)=−ad+cd=−ad+k=k−ad，∴DB⋅DP=DA⋅DQ，即DBDQ=DADP，∵∠ADB=∠PDQ，∴△DBA∽△DQP，∴AB//PQ，∴点B到PQ的距离等于点A到PQ的距离，∴△PAB的面积等于△QAB的面积，∵AB//QC，AC//BQ，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AC=BQ，∴△QAB的面积等于△QAC，∴S1=S2=S3，故选：D．根据题意可以证明△DBA和△DQP相似，从而可以求出S1，S2，S3的关系，本题得以解决．本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．9.答案：B分数，是有理数，选项不符合题意；解析：解：A、227B、π是无理数，选项符合题意；2C、2是整数，是有理数，选项不符合题意；D、sin30°=1是分数，是有理数，选项不符合题意．2故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10.答案：B解析：解：由题意可得：−8=32(个)8÷80400答：白球的个数大约有32个；故选：B．根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去黑球个数，即可得到白球的个数．本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，根据摸到黑球的概率求出总体．11.答案：47．解析：本题体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，难度适中．先计算出这7天一共用电的度数，再算出平均每天用电的度数，从而估计出第10天的电表读数．解：∵8天的度数是7天的用电量，∴平均每天的用电度数为：(41−21)÷7≈3(度)，∴第10天的电表读数可能为：41+3×2=47(度)．故答案为：47．12.答案：3解析：解：x2=2x+1，x2−2x−1=0，∵一元二次方程x2=2x+1的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=2，x1⋅x2=−1，∴x1−x1x2+x2=2−(−1)=3，故答案为：3．先变形方程，再根据根与系数的关系求出x1+x2=2，x1⋅x2=−1，代入求出即可．本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．13.答案：2解析：解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，∵2a−b+c=10，∴4k−3k+4k=10，解得k=2，∴a=4，b=6，c=8，3a+b−2c=2．故答案为2设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入2a−b+c=10进行计算，求出k的值，进而求解即可．本题考查了比例的性质，利用设“k”法表示出a、b、c是解题的关键，设“k”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用．14.答案：34解析：本题考查了坡比的概念，属于基础题．先求出水平方向上前进的距离，然后根据山坡的坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．解：如图所示：AC=5米，BC=3米，则AB=√AC2−BC2=√16=4(米)，则坡比i=BCAB =34．故答案为：34．15.答案：6+2√3解析：本题考查了反比例图象上点的坐标特征，菱形的性质，含30度角的直角三角形，关键是确定A点在第一象限的角平分线上．连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，∵函数y=kx(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称，∴O、A、C三点在同一直线上，且∠COE=45°，∴OE =AE ，不妨设OE =AE =a ，则A(a,a)，∵点A 在反比例函数y =3x (x >0)的图象上，∴a 2=3，∴a =√3，∴AE =OE =√3，∵∠BAD =30°，∴∠OAF =∠CAD =12∠BAD =15°，∵∠OAE =∠AOE =45°，∴∠EAF =30°，又AE =√3，AF =2EF ，∴Rt △AEF 中，AF =2，EF =1，∵AB =AD =2，AE//DG ，∴EF =EG =1，DG =2AE =2√3，∴OG =OE +EG =√3+1，∴D(√3+1,2√3)，则k =2√3(√3+1)=6+2√3．故答案为：6+2√3． 16.答案：201解析：解：根据题意，b =2m =200cm ，则b a =20010=201，故填201． 根据比例的定义即可直接写出(注意保持单位一致)．注意：求线段的比的时候，要统一单位．17.答案：解：(1)(27−59+421)×(−63)=−18+35−12=5；(2)−12÷√273−√(−13)2 =−1÷3−13=−13−13=−23． 解析：(1)根据乘法分配律简便计算；(2)本题涉及平方、二次根式化简、三次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、二次根式、三次根式等考点的运算． 18.答案：解：(1){2x −y =4 ①4x −3y =2 ②，①×2得，4x −2y =8③， ③−②得，y =6，将y =6代入①得，x =5，故该方程组的解集为{x =5y =6； (2){3x −2>6−x①x+24−x 2>−1②，解①得，x >2，解②得，x <6， 故不等式组的解集为：2<x <6．解析：(1)先用加减消元法求出y 的值，再用代入消元法求出x 的值即可；(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.答案：解：∵一元二次方程x 2+2x +2k −4=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4×1×(2k −4)>0，∴5−2k >0，∴k <52．解析：因为方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，所以Δ>0，据此求出k 的取值范围即可．此题考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ<0⇔方程没有实数根． 20.答案：解：(1)如图1中当0<t ≤3时，作QH ⊥AC 于H ．∵∠AHQ=∠C=90°，∴∠AQH=∠B，∵∠AQP=2∠B，∴∠AQH=∠PQH，∵QH=QH，∠QHA=∠QHP=90°，∴△QHA≌△QHP(ASA)，∴AH=PH=12t，QA=PQ，在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5，∵QH//BC，∴AHAC =AQAB，∴12t3=AQ5，∴AQ=56t，∴PQ=AQ=5 6 t.如图2中，当3<t<7时，作QK⊥BC，∵∠AQP=2∠B=∠B+∠QPB，∴∠QPB=∠B，∴PQ=QB，∵QK⊥BC，∴PK=BK=12(7−t)，∵∠BKQ=∠C=90°，∴QK//AC，∴BQBA =BKBC，∴BQ5=12(7−t)4，∴PQ=BQ=58(7−t)．(2)如图1中，当四边形PQMN是正方形时，作QK⊥BC于K．∵∠PQM=∠HQK=90°，∴∠HQP=∠KQM，∵∠QHP=∠QKM=90°，PQ=QM，∴△HQP≌△KQM(AAS)，∴HQ=QK，∴43⋅12t=3−12t，∴t=187，如图2中，四边形PQMN不可能是正方形，综上所述，t=187时，四边形PQMN是正方形．(3)如图3中，当0<t≤3时，重叠部分是四边形PQMT．由(1)可知：PQ =56t ，CH =KQ =3−12t ，QH =23t ， 由△QHP∽△QKM ，可得HQ QK =PQ QM ，∴23t 3−12t =56t QM ， ∴QM =154−58t ， 由△QHP∽△PCT ，∴PT PQ =PC QH ，∴PT56t =3−t 23t ，∴PT =154−54t ， 由△PCT∽△MNT ，∴TMPT =MN PC ， ∴TM 154−54t =56t 3−t， ∴MT =103t ，∴四边形PQMN 的周长=56t +154−58t +154−54t +103t =52t +152．如图4中，当3<t <7时，重叠部分是△PQM ，由(1)可知：PQ =58(7−t)，MQ =34PQ =1532(7−t)，PM =2532(7−t)，∴△PQM 的周长=85(7−t)+1532(7−t)+2532(7−t)=5720(7−t)．(4)①如图5中，当点C′在线段MQ 上时，作CK ⊥PN 于K ．由PQ =CK 可得：56t =35(3−t)， 解得t =5443，观察图象可知：当0<t <5443时，点A′这两个点中只有一个点在矩形PQMN 内部．②如图6中，当点A′在MN 上时，作AK ⊥PQ 于K ．由AK =MQ 可得：t⋅23t 56t =154−58t ， 解得t =5019， 观察图象可知：5019<t <3时，点C′这两个点中只有一个点在矩形PQMN 内部．综上所述，满足条件的t 的值为0<t <5443或5019<t <3．解析：(1)分两种情形分别求解即可解决问题．(2)如图1中，当四边形PQMN 是正方形时，作QK ⊥BC 于K.利用全等三角形的性质，构建方程即可解决问题．如图2中，四边形PQMN 不可能是正方形．(3)分两种情形分别画出图象解决问题即可．(4)①如图5中，当点C′在线段MQ上时，作CK⊥PN于K.求出t的值．②如图6中，当点A′在MN上时，作AK⊥PQ于K.求出t的值，由此即可判定．本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．21.答案：解：过点A作AF//BD交l2于点F．∵l1//l2，AF//DB，∴四边形AFDB是平行四边形．∴DF=AB=10，∠AFC=30°，∴CF=CD−DF=90−10=80．又∵∠ACE是△ACF的一个外角，∴∠CAF=∠ACE−∠AFC=60°−30°=30°，∴∠CAF=∠AFC．∴AC=CF=80．在Rt△AEC中，∠ACE=60°≈69.28≈69.3(米)．∴AE=AC⋅sin60°=80×√32答：河流的宽度AE约为69.3米．解析：过点A作AF//BD交l2于点F.利用l1//l2，AF//DB，得到四边形AFDB是平行四边形，利用平行四边形的性质得到DF=AB=10，∠AFC=30°从而得到CF=CD−DF=90−10=80，然后利用∠ACE是△ACF的一个外角，得∠CAF=∠ACE−∠AFC=60°−30°=30°，得到进而AC=CF=80.然后在Rt△AEC中求得AE的长即可．本题考查了解直角三角形的应用，规则图形可以通过作平行线转化为平行四边形与直角三角形的问题进行解决．22.答案：(1)证明：如图1中，连接OD．∵AB⊥CD，AB是直径，∴BC⏜=BD⏜，∴∠BOC=∠BOD，∵∠BOD=2∠BCD，∴∠BOC=2∠BCD．(2)解：如图2中，∵AB⊥CD，∴CE=DE，∠MEB=90°，∴OE=√OC2−EC2=√42−(√15)2=1，∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴∠AFB=∠MEB，∵∠MBE=∠ABF，∴△MBE∽△ABF，∴BMAB =BEBF，∴BF=AB⋅BEBM =√10=12√105．解析：(1)如图1中，连接OD.利用垂径定理证明∠BOC=∠BOD，再利用圆周角定理证明∠BOD= 2∠BCD即可．(2)证明△MBE∽△ABF，可得BMAB =BEBF，即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．23.答案：解：在直角三角形中，∵a=8cm，c=17cm，∴b=√c2−a2=√172−82=15(cm)，直角三角形周长为：8+15+17=40(cm)，答：这个直角三角形的周长为40cm．解析：首先利用勾股定理计算出b的长，然后再求周长即可．此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．24.答案：A解析：解：(1)由统计图可知A等是85≤x<100，∴孔明同学的成绩等级是A等；(2)如图：(3)60÷310=200，∴该校参加这次测试的学生总人数是200人．(1)根据题意确定各个等级的范围，得到答案；(2)根据频数将条形统计图补充完整；(3)计算A等的百分比，估计该校参加这次测试的学生总人数．本题考查的是统计表、条形图和用样本估计总体，从统计表中获取正确的信息并进行分析计算是具体点关键．25.答案：解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠APQ=∠ACB=60°，∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠QPC=120°，∴∠BAP=∠QPC，∴△ABP∽△PCQ；(2)①△ABP∽△PCD，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠PCD=60°，∵∠APQ=∠ACB=60°，∴∠BAP+∠APB=120°，∠CPD+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；②存在，∵∠ACB=60°，∴∠CAP+∠APC=60°，∵∠APQ=∠ACB=60°，∴∠CAP+∠D=60°，∴∠APC=∠D，∴△CAP∽△PAD，∴ACAP =PCPD，当AP=PD时，∴PC=AC=2；(3)如图3，①△ABP与△PCQ相似，理由：∵∠APQ=∠ACB=60°，∵∠ABC=60°，∴∠PAB+∠APB=∠APB+∠CPQ=60°，∴∠PAB=∠CPQ，∵∠ABP=∠PCQ=180°−120°=60°，∴△ABP∽△PCQ；②不存在点P，使△APQ是等腰三角形，∵∠APQ=60°，假设△APQ是等腰三角形，则△APQ是等边三角形，∠PAQ=∠Q=60°，而∠PAQ>60°，∠AQP<60°，∴不存在点P，使△APQ是等腰三角形．解析：(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=60°，证明∠BAP=∠QPC，根据相似三角形的判定定理证明结论；(2)①根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CAP∽△PAD，根据相似三角形的性质计算即可；②存在，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论；(3)如图3，①根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论；②根据等边三角形的性质即可得到结论．本题考查的是相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。

2024届湖南省怀化市第三中学九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知3x ＝4y （x ≠0），则下列比例式成立的是（ ）A ．34x y =B ．34y x =C ．34x y =D ．34x y = 2．下列是一元二次方程有（ ）①240x =；②20ax bx c ++=；③22332x x x =+；④210x -=.A ．1B ．2C ．3D ．43．以半径为2的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）A ．不能构成三角形B ．这个三角形是等腰三角形C ．这个三角形是直角三角形D ．这个三角形是钝角三角形4．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠ABC ＝60°，则∠AOC 的度数是（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°5．近视镜镜片的焦距y （单位：米）是镜片的度数x （单位：度）的函数，下表记录了一组数据，在下列函数中，符合表格中所给数据的是：（ ）x （单位：度） (100)250 400 500 … y （单位：米）… 1.00 0.40 0.25 0.20 …A ．y=1100xB ．y=100xC ．y=﹣1200x+32D ．y= 21131940008008x x -+ 6．圆锥的底面半径是3cm ，母线为5cm ，则它的侧面积是（ ）A ．215cm πB ．212cm πC ．29cm πD ．26cm π7．在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度数分别为（ ）A ．2，22.5°B ．3，30°C ．3，22.5°D ．2，30°8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2πC ．4D ．4π 9．将抛物线()2213y x =+-先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ）A ．22y x =B ．()222y x =+C ．226y x =-D ．()2226y x =+- 10．把二次函数2114y x x =+-化为2()y a x m n =++的形式是 A ．21(1)24y x =++ B ．21(2)24y x =+- C ．21(2)24y x =-+ D ．21(2)24y x =-- 二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知抛物线2y x c =+，过点（0，2），则c ＝__________． 12．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，1=2AD DB ，则ADE BCED 的面积四边形的面积＝_____．13．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______． 14．已知点A （2，4）与点B （b ﹣1，2a ）关于原点对称，则ab ＝_____． 15．反比例函数2m y x+=的图象在每一象限，函数值y 都随x 增大而减小，那么m 的取值范围是__________． 16．关于x 的方程2x 2－ax ＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________． 17．如图，反比例函数y=k x 的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k=_____．18．如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是__________海里．三、解答题(共66分)19．（10分）如图①，在ABC ∆中，3AB AC ==，100BAC ︒∠=，D 是BC 的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80︒，点B的∆．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E 对应点是点E，连接BE，得到BPE可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①BEP∠=；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是．∆，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明（2）请在图③中画出BPE理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．20．（6分）央视举办的《主持人大赛》受到广泛的关注.某中学学生会就《主持人大赛》节目的喜爱程度，在校内对部分学生进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A、B、C、D.根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次被调查对象共有人；扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为.（2）将条形统计图补充完整，并标明数据；（3）若选“不太喜欢”的人中有两个女生和两个男生，从选“不太喜欢”的人中挑选两个学生了解不太喜欢的原因，请用列举法（画树状图或列表），求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率.21．（6分）.如图，小明在大楼的东侧A处发现正前方仰角为75°的方向上有一热气球在C处，此时，小亮在大楼的西侧B处也测得气球在其正前方仰角为30°的位置上，已知AB的距离为60米，试求此时小明、小亮两人与气球的距离AC和BC．（结果保留根号）22．（8分）解不等式组：31563x x x +>⎧⎨≤+⎩23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝1．若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD ＝30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形OMCD 的面积为212时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值．24．（8分）解方程：x 2﹣x ﹣12=1．25．（10分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼老汉首先从鱼塘中打捞n 条鱼，并在每一条鱼身上做好记号，然后把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，让鱼儿充分游动，再从鱼塘中打捞a 条鱼，如果在这a 条鱼中有b 条是有记号的，那么养鱼老汉就能估计鱼塘中鱼的条数．请写出鱼塘中鱼的条数，并说明理由．26．（10分）已知关于x 的方程220x ax a ++-=。

湖南省洪江市2024-2025学年九年级数学第一学期开学教学质量检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）2的结果是（）A ．±3B ．﹣3C ．3D ．92、（4分）如图，在ABC ∆中，AC BC =，若有一动点P 从A 出发，沿A C B A →→→匀速运动，则CP 的长度s 与时间t 之间的关系用图像表示大致是（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（）A ．10.5，16B ．8.5，16C ．8.5，8D ．9，84、（4分）若等腰ABC ∆的周长是50cm ，一腰长为xcm ，底边长为ycm ，则y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围是()A ．502(050)y x x =-<<B ．1(502)(050)2y x x =-<<C ．25502(25)2y x x =-<<D ．125(502)(25)22y x x =-<<5、（4分）下列命题中，是真命题的是（）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．对角形相等的四边形是矩形C ．顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形D ．一组邻边相等的平行四边形是正方形6、（4分）如图所示，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上的两点，且45DAE ∠=︒，将ADC ∆绕点A 按顺时针方向旋转90︒后得到AFB ∆，连接EF ．有下列结论：①BE DC =；②BAF DAC ∠=∠；③FAE DAE ∠=∠；④BF DC =其中正确的有（）A ．①②③④B ．②③C ．②③④D ．②④7、（4分）不等式2x+1＞x+2的解集是（）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x≥1D ．x≤18、（4分）如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A ．AB=CDB ．AD=BC C ．AB=BCD ．AC=BD 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）将长为20cm 、宽为8cm 的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm ，设x 张白纸粘合后的总长度为ycm ，y 与x 之间的关系式为_______．10、（4分）已知A 地在B 地的正南方3km 处，甲、乙两人同时分别从A 、B 两地向正北方向匀速直行，他们与A 地的距离S （km ）与所行时间t(h)之间的函数关系如图所示，当他们行驶3h 时，他们之间的距离为______km.11、（4分）如图，在△ABC 中，AB＝5，BC＝7，EF 是△ABC 的中位线，则EF 的长度范围是________．12、（4分）实数a 在数轴上的位置如图示，化简：1a -=_____．13、（4分）若分式的值为零，则x 的值为________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，1．通过数据分析，列表如下：班级平均分中位数众数方差八（1）85b c 22.8八（2）a 858519.2（1）直接写出表中a ，b ，c 的值；（2）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．15、（8分）某学习小组10名学生的某次数学测验成绩统计表如下：成绩（分）60708090人数（人）13x 4（1）填空：x =；此学习小组10名学生成绩的众数是；（2）求此学习小组的数学平均成绩．16、（8分）已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，垂足为D ，交AB 于点E ，且222BE AE AC -=．（1）求A ∠的度数；（2）若3DE =,4BD =，求AE 的长．17、（10分）计算：（1）18、（10分）解下列一元二次方程（1）210210x x ++=（2）210x x --=B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，某小区有一块直角三角形绿地，量得直角边AC=4m，BC=3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 为一条直角边的直角三角形，则扩充的方案共有_____种．20、（4分）若一组数据1，3，x ，5，4，6的平均数是4，则这组数据的中位数是__________.21、（4分）如图，在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…、A n B n C n C n-1的顶点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在直线y ＝kx ＋b 上，顶点C 1、C 2、C 3、…、C n 在x 轴上，若点B 1的坐标为（1，1），点B 2的坐标为（3，2），那么点A 4的坐标为，点A n 的坐标为．22、（4分）如图所示，将直角三角形,,,沿方向平移得直角三角形，,阴影部分面积为_____________.23、（4分）如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A(32，3)，则不等式2x ＞ax+4的解集为___.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）四边形ABCD 中，，，DA=1，且AB ⊥CB 于B ．求∠BAD的度数；25、（10分）解方程：3（x ﹣7）＝4x （x ﹣7）26、（12分）如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x =的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选：C．本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．2、D【解析】该题属于分段函数：点P在边AC上时，s随t的增大而减小；当点P在边BC上时，s随t 的增大而增大；当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小；当点P在线段AD上时，s 随t的增大而增大．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在△ABC中，AC=BC，∴AD=BD．①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．故D正确．故选：D．本题考查了动点问题的函数图象．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．3、D【解析】将这组数据按从小到大的顺序排列后，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；众数是一组数据中出现次数最多的数，为1．故选D．4、C【解析】根据题意，等腰三角形的两腰长相等，即可列出关系式.【详解】依题意，y502x=-，根据三角形的三边关系得，x x y502x+>=-，得25x2>，x x y502x-<=-，得x25<，得，25x25 2<<，故y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是：25y502x(x25)2=-<<，故选C．本题考查了一次函数的应用，涉及了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，做此类题型要注意利用三角形的三边关系要确定边长的取值范围．5、C【解析】根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；B.对角形相等的平行四边形是矩形，此选项不符合题意；C.顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形，此选项符合题意；D.一组邻边相等的矩形是正方形，此选项不符合题意；故选：C．本题考查的知识点是菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理，熟记菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理内容是解此题的关键．6、C 【解析】利用旋转性质可得∠DAF=90°，△AFB ≌△ADC ．再根据全等三角形的性质对②④判断即可，根据45DAE ∠=︒可求45FAE ∠=︒，即可判断③正确．【详解】解：∵△ADC 绕A 顺时针旋转90°后得到△AFB ，∴△AFB ≌△ADC ，∴∠BAF=∠CAD ，BF=CD ，故②④正确；由旋转旋转可知∠DAF=90°，又∵45DAE ∠=︒，∴∠EAF=∠DAF-∠DAE=90°-45°=45°=∠DAE 故③正确；无法判断BE=CD ，故①错误．故选：C ．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握旋转的基本性质，找出图形对应关系．属于中考常考题型．7、A 【解析】试题分析：先移项，再合并同类项，把x 的系数化为1即可．解：移项得，2x ﹣x ＞2﹣1，合并同类项得，x ＞1，故选A 点评：本题考查的是在解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．8、C【解析】要使四边形ABCD 是菱形，根据题中已知条件四边形ABCD 的对角线互相平分可以运用方法“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“邻边相等的平行四边形是菱形”，添加AC ⊥BD 或AB=BC ．【详解】∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，故选：C．考查了菱形的判定方法，关键是熟练把握菱形的判定方法①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、y=17x+1【解析】由图可知，将x张这样的白纸粘合后的总长度=x张白纸的总长-(x-1)个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式．【详解】解：由题意可得：y=20x-1(x-1)=17x+1，即：y与x间的函数关系式为：y=17x+1．故答案为：y=17x+1．观察图形，结合题意得到：“白纸粘合后的总长度=x张白纸的总长-（x-1）个粘合部分的宽”是解答本题的关键．10、1.5【解析】因为甲过点（0，0），（2，4），所以S甲=2t．因为乙过点（2，4），（0，3），所以S乙=12t+3，当t=3时，S甲-S乙=6-92=3211、1＜EF＜6【解析】∵在△ABC中，AB＝5，BC＝7，∴7－5＜AC＜7＋5，即2＜AC＜12.又∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF=12AC ∴1＜EF ＜6.12、1.【解析】由数轴可知，1<a<2,从而得到a-1>0.a-2<0.再根据绝对值的性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩和二次a =化简即可.【详解】解：∵1<a<2,∴a-1>0.a-2<0.∴1a -+=a-1+2-a=1故答案为：1.本题考查了绝对值和二次根式的性质，掌握它们的性质是解题的关键.13、1【解析】试题分析：根据题意，得|x|-1=0，且x-1≠0，解得x=-1．考点：分式的值为零的条件．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）a=86，b=85，c=85；（2）八（2）班前5名同学的成绩较好，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念进行解答即可；（2）根据它们的方差进行判断即可解答本题．【详解】（1）a=78859285895++++，将八（1）的成绩排序77、85、85、86、92，可知中位数是85，众数是85，所以b=85，c=85；∴八（2）班前5名同学的成绩较好.【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、方差，解题的关键是明确题意，熟练掌握平均数、众数、中位数的求解方法.15、（1）2，90；（2）79分【解析】（1）①用总人数减去得60分、70分、90分的人数，即可求出x的值；②根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案；（2）根据平均数的计算公式分别进行计算即可．【详解】解：（1）①∵共有10名学生，∴x=10-1-3-4=2；②∵90出现了4次，出现的次数最多，∴此学习小组10名学生成绩的众数是90；故答案为2，90；（2）此学习小组的数学平均成绩是：1(60370280490)79x=+⨯+⨯+⨯=（分）10此题考查了众数和平均数，掌握众数和平均数的概念及公式是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．16、（1）90°（1）1.4【解析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；（1）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．【详解】（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．∵BE1−AE1＝AC1，∴AE 1＋AC 1＝CE 1．∴△AEC 是直角三角形，∠A ＝90°；（1）在Rt △BDE 中，BE 2．所以CE ＝BE ＝2．设AE ＝x ，则在Rt △AEC 中，AC 1＝CE 1−AE 1，所以AC 1＝12−x 1．∵BD ＝4，∴BC ＝1BD ＝3．在Rt △ABC 中，根据BC 1＝AB 1＋AC 1，即64＝（2＋x ）1＋12−x 1，解得x ＝1.4．即AE ＝1.4．本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．【解析】原式各项化为最简二次根式后，先算乘法后算加减，合并可得到结果．【详解】解：原式-此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18、（1）13x =-，27x =-；（2）112x +=，212x +=.【解析】（1）将方程左边因式分解，继而求解可得；（2）运用配方法求解即可.【详解】（1）∵（x+3）（x+7）=0，∴x+3=0或x+7=0，解得：13x =-，27x =-；（2）21x x -=22211+()1+(22x x --=-，215(24x -=，∴122x -=±∴1512x +=2512x +=.本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD ，则应分为①AB=AD ，②AB=BD ，③AD=BD ，1种情况进行讨论．【详解】解：如图所示：故答案是：1．本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，关键是正确进行分类讨论．20、4.5【解析】根据题意可以求得x的值，从而可以求的这组数据的中位数．【详解】解：∵数据1、3、x、5、4、6的平均数是4，∴1354646x+++++=解得：x=5，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6则中位数为54. 245 +=故答案为：4.5本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．21、A4（7，8）；A n（2n-1-1，2n-1）．【解析】∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2）∴由题意知：A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），∴直线A1A2的解析式是y=x+1．纵坐标比横坐标多1．∵A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20-1；A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21-1；A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22-1，A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23-1，即点A4的坐标为（7，8）．∴A n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1，即点A n的坐标为（2n-1-1，2n-1）．故答案为（7，8）；（2n-1-1，2n-1）．22、1【解析】根据平移的性质，对应点间的距离等于平移的距离求出CE=BF，再求出GE，然后根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ABC的面积等于△DEF的面积，从而得到阴影部分的面积等于梯形ACEG的面积，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【详解】∵△ACB平移得到△DEF，∴CE=BF=2，DE=AC=6，∴GE=DE-DG=6-3=3，由平移的性质，S△ABC=S△DEF，∴阴影部分的面积=S梯形ACEG=（GE+AC）•CE=（3+6）×2=1．故答案为：1．本题考查了平移的性质，熟练掌握性质并求出阴影部分的面积等于梯形ACEG的面积是本题的难点，也是解题的关键．23、x＞3 2【解析】由于函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（332），观察函数图象得到当x＞32时，函数y=2x的图象都在y=ax+4的图象上方，所以不等式2x＞ax+4的解集为x＞3 2．【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（332，），∴当x＞32时，2x＞ax+4，即不等式2x＞ax+4的解集为x＞3 2．故答案为：x＞3 2．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、∠BAD=135°.【解析】分析：连接AC ，则△ABC 是等腰直角三角形，用勾股定理求出AC ，再用勾股定理的逆定理判定∠DAC ＝90°.详解：如图，连接AC ，Rt △ABC 中，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝90°所以∠BAC ＝45°，由勾股定理得AC ＝2；△ACD 中，因为AC 2＝4，AD 2＝1，CD 2＝5，所以AC 2＋AD 2＝CD 2，所以∠DAC ＝90°，所以∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝45°＋90°＝135°.故答案为135°.点睛：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用，直角三角形中已知两边的长，可用勾股定理求第三边的长，三角形中，已知三边的长，可用勾股定理的逆定理判定它是不是直角.25、x 1=34，x 2=1．【解析】整体移项后，利用分解因式法进行求解即可.【详解】移项，得3(x －1)－4x(x －1)=0，因式分解，得(3－4x)(x －1)=0，由此得3－4x=0或x －1=0，解得x 1=34，x 2=1．本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据一元二次方程的特点灵活选用恰当的方法进行求解是关键.26、（1）4y x=；（2）5y x =-+；（3）P （175，0）．【解析】（1）把A 的坐标代入my x=即可求出结果；（2）先把B 的坐标代入4y x=得到B （4，1），把A 和B 的坐标，代入y kx b =+即可求得一次函数的解析式；（3）作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′交x 轴于P ，则AB′的长度就是PA+PB 的最小值，求出直线AB′与x 轴的交点即为P 点的坐标．【详解】（1）把A （1，4）代入my x=得：m=4，∴反比例函数的解析式为：4y x=；（2）把B （4，n ）代入4y x=得：n=1，∴B （4，1），把A （1，4），B （4，1）代入y kx b =+，得：414k bk b=+=+⎧⎨⎩，∴1{5k b =-=，∴一次函数的解析式为：5y x =-+；（3）作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′交x 轴于P ，则AB′的长度就是PA+PB 的最小值，由作图知，B′（4，﹣1），∴直线AB′的解析式为：51733y x =-+，当y=0时，x=175，∴P （175，0）．。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A．5714B．2114C．35D．2172．一元二次方程2x2+3x+5＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50°，则∠ADC为（）A．40°B．50°C．80°D．100°4．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．95．如图，以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF．若AD OA，则ABC与DEF的位似比为（）．A ．1:2B ．2:1C ．1:4D ．4:16．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处径直走到B 处这一过程中，他在地上的影子（ ）A ．逐渐变短B ．先变短后变长C ．先变长后变短D ．逐渐变长7．关于x 的一元二次方程2430x x +-=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根8．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，下列条件中不能判断△ABP ∽△ACB 的是（ ）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C ．AB 2＝AP •ACD ．CB 2＝CP •CA9．若将半径为12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm10．如图，ABC ∆是等边三角形，被一矩形所截，AB 被截成三等分，EH ∥BC ，则四边形EFGH 的面积是ABC ∆的面积的：( )A ．19B ．13C ．49D ．9411．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB ，则AB 的展直长度为（ ）A ．3πB ．6πC ．9πD ．12π二、填空题（每题4分，共24分）13．已知抛物线y ＝x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为(m ，0)，则代数式m 2﹣m +5＝_____．14．设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为_________15．已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）,C (1,y 3） 是反比例函数y =﹣4x图象上的三个点，把y 1与2y 、3y 的的值用小于号连接表示为________． 16．若⊙O 的直径是4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是_________．17．函数()2212m y m x -=-+是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的值为____________．18．若3a=2b ，则a:b=________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A B 、，点A B 、 的坐标分别是(1,0)(4,0)-、，与y 轴交于点C ．点P 在第一、二象限的抛物线上，过点P 作x 轴的平行线分别交y 轴和直线BC 于点D 、E ．设点P 的横坐标为m ，线段DE 的长度为d ．⑴求这条抛物线对应的函数表达式；⑵当点P 在第一象限的抛物线上时，求d 与m 之间的函数关系式；⑶在⑵的条件下，当2PE DE =时，求m 的值．20．（8分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被哦感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（3）n 轮（n 为正整数）感染后，被感染的电脑有________台．21．（8分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线23y ax x =-+（0a ≠）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且对称轴为直线x =-2 .（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若点P (0,t )是y 轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△PAD 的面积为S ，令W ＝t ·S ，当0＜t ＜4时，W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．22．（10分）如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点A 1，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1；（1）把△A 1B 1C 1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到△A 1B 1C 1，在网格中画出旋转后的△A 1B 1C 1．23．（10分）如图，已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3图象与x 轴分别交于点B 、D ，与y 轴交于点C ，顶点为A ，分别连接AB ，BC ，CD ，DA ．（1）求四边形ABCD 的面积；（2）当y ＞0时，自变量x 的取值范围是 ．24．（10分）如图，A 为反比例函数k y x =(x>0)图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，4OB =.连接OA ，AB ，且210OA AB ==.(1)求k 的值；(2)过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x=(x>0)的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，求AD DB 的值.25．（12分）先化简，再选择一个恰当的数代入后求值．2211x x x x x +-⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭26．已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】试题解析：延长BA 过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，∵∠CAB=120°， ∴∠DAC=60°， ∴∠ACD=30°， ∵AB=4，AC=2，∴AD=1，3BD=5，∴287，∴sinB=32127CD BC ==． 故选B ．2、D【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】由题意可知：△＝9﹣4×2×5＝﹣31＜0，故选：D ．【点睛】本题考查的是一元二次方程系数与根的关系，当0>时，有两个不相等的实数根；当0=时，有两个相等的实数根；当0<时，没有实数根.3、A【解析】试题分析：先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，再利用互余计算出∠B=40°，然后根据圆周角定理求解．解：连结BC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∴∠ADC=∠B=40°．故选A．考点：圆周角定理．4、B【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出CQAB＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．【详解】延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝12AB＝3，BF＝CF＝12BC＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，∴CQAB＝1，△AEI∽△QDI，∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（312）2＝116，∵AD＝10，∴△AEI中AE边上的高＝2，∴△AEI的面积＝12×3×2＝3，∵△ABF的面积＝12×5×6＝15，∵AD∥BC，∴△BFH ∽△DAH ， ∴BH DH ＝BF AD ＝12， ∴△BFH 的面积＝12×2×5＝5， ∴四边形BEIH 的面积＝△ABF 的面积﹣△AEI 的面积﹣△BFH 的面积＝15﹣3﹣5＝1．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．5、A【解析】以点O 为个位中心，将ABC 放大得到DEF ，AD OA =，可得::1:2AB DE OA OD ==，因此ABC 与DEF 的位似比为1:2，故选A.6、B【分析】小亮由A 处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B 处，他的影子则由短变长．【详解】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处径直走到B 处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长． 故选B ．【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．7、A【分析】先写出a b c ，，的值，计算24b ac -的值进行判断.【详解】143a b c ===-，，224441(3)1612280=b ac -=⨯⨯-=+=∴∆>-∴方程有两个不相等的实数根故选A【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当>0∆时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根，熟记公式并灵活应用公式是解题关键.8、D【分析】观察图形可得, ABP ∆与ACB ∆已经有一组角∠A 重合,根据三角形相似的判定定理,可以再找另一组对应角相等,或者∠A 的两条边对应成比例. 注意答案中的C 、D 两项需要按照比例的基本性质转化为比例式再确定.【详解】解: A 项, ∠ABP =∠C ,可以判定;B 项, ∠APB =∠ABC ,可以判定;C 项, 2AB AP AC =•,AB AP AC AB=,可以判定; D 项, 2CB CP CA =•,CB CP CA CB=,不能判定. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理,结合图形,按照定理找到条件是解答关键.9、D【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm ），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm ），故选D ． 10、B【分析】根据题意，易证△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，利用相似比，可求出S △AEH 、S △AFG 与S △ABC 的面积比，从而表示出S △AEH 、S △AFG ，再求出四边形EFGH 的面积即可．【详解】∵在矩形中FG ∥EH ，且EH ∥BC ，∴FG ∥EH ∥BC ，∴△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，∵AB 被截成三等分， ∴13AE AB =，23AF AB =， ∴S △AEH ：S △ABC =1：9，S △AFG ：S △ABC =4：9，∴S △AEH =19S △ABC ，S △AFG =49S △ABC ， ∴S 四边形EFGH = S △AFG －S △AEH =49S △ABC －19S △ABC =13S △ABC . 故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，明确面积比等于相似比的平方是解题的关键.11、B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故选B.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键. 12、B【解析】分析：直接利用弧长公式计算得出答案．详解：AB 的展直长度为：10810180π⨯=6π（m ）． 故选B ．点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】利用抛物线与x 轴的交点问题得到m 2﹣m ﹣1=0，则m 2﹣m =1，然后利用整体代入的方法计算m 2﹣m +5的值．【详解】∵抛物线y =x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为(m ，0)，∴m 2﹣m ﹣1=0，即m 2﹣m =1，∴m 2﹣m +5=1+5=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．14、27【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可知1x +2x =5，1x ·2x =-1，因此可知2212x x +=212()x x +-212x x =25+2=27.故答案为27.【点睛】 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时灵活运用根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，确定系数a ，b ，c 的值代入求解，然后再通过完全平方式变形解答即可.15、312y y y <<【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出y 1，y 2，y 3的值即可判断．【详解】∵A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）,C (1,y 3） 是反比例函数y =﹣4x 图象上的三个点， ∴1414y =-=-，2441y =-=-，3441y =-=-， ∴312y y y <<，故答案为：312y y y <<．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数确定函数值即可．16、相离【解析】r=2,d=3, 则直线l 与⊙O 的位置关系是相离17、2-【分析】由题意根据题意列出关于m 的不等式组，求出m 的值即可．【详解】解：∵函数()2212m y m x -=-+是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，∴21022m m ⎧⎨⎩--＞＝，解得m=-1． 故答案为-1．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地形如y=ax 1+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数是解答此题的关键．18、2:3【解析】试题分析：根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，可知a:b=2:3考点：比例的意义和基本性质点评：比例的基本性质是解题的关键三、解答题（共78分）10【分析】（1）由题意直接根据待定系数法，进行分析计算即可得出函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C 点坐标，根据待定系数法，可得BC 的解析式，根据E 点的纵坐标，可得E 点的横坐标，根据两点间的距离，可得答案；（3）由题意根据PE 与DE 的关系，可得关于m 的方程，根据解方程根据解方程，即可得出答案.【详解】解：（1）由题意得22(1)0440b c b c ⎧---+=⎨-++=⎩， 解得3,4.b c =⎧⎨=⎩∴这条抛物线对应的函数表达式是234y x x =-++．（2）当0x =时，4y =．∴点C 的坐标是(0,4)．设直线BC 的函数关系式为y kx n =+．由题意得4,40.n k n =⎧⎨+=⎩解得1,4.k n =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的函数关系式为4y x =-+．∵PD ∥x 轴，∴234P E y y m m ==-++．∴23E x m m =-．当03m <<时，如图①，23d m m =-+．当34m <<时，如图②，23d m m =-．（3）当03m <<时，23DE m m =-+，24PE m m =-+．∵2PE DE =，∴2242(3)m m m m -+=-+．解得10m =（不合题意，舍去），22m =．当34m <<时，23DE m m =-，24PE m m =-+．∵2PE DE =，∴2242(3)m m m m -+=-．解得10m =（不合题意，舍去），2103m =． 综上所述，当2PE DE =时，2m =或103m =． 【点睛】本题考查二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x 轴直线上点的纵坐标相等得出E 点的纵坐标是解题关键；利用PE 与DE 的关系得出关于m 的方程是解题的关键．20、（1）8；（2）会；（3）9n ．【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可．（2）根据题意计算出3轮感染后被感染的电脑数，与700进行比较即可．（3）根据题中规律，写出函数关系式即可．【详解】（1）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意得：()1181x x x +++=解得12810x x = =-，（舍去）（2）81881729700+⨯=>答：3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．（3）由（1）得每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑第一轮：被感染的电脑有9台；第二轮：被感染的电脑有29989+⨯=台；第三轮：被感染的电脑有239+989⨯=台；故我们可以得出规律：n 轮（n 为正整数）感染后，被感染的电脑有9n 台【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用和归纳总结题，掌握解一元二次方程的方法和找出关于n 的函数关系式是解题的21、（1）2134y x x =--+， D （-2，4）． （2）①当t=3时，W 有最大值，W 最大值=1．②存在．只存在一点P （0，2）使Rt △ADP 与Rt △AOC 相似．【解析】（1）由抛物线的对称轴求出a ，就得到抛物线的表达式了；（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A ，B ，C 三点的坐标，作DM ⊥y 轴于M ，再由面积关系：S PAD =S 梯形OADM -S AOP -S DMP 得到t 的表达式，从而W 用t 表示出来，转化为求最值问题．②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：（1）当∠P 1DA=90°时；（2）当∠P 2AD=90°时；（3）当AP 3D=90°时。