2024年高考数学建模案例解析

2024年数学建模a 题一、单选题1.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．103．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位5．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.306.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞7.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．568．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]9.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.2525 5 D.511.已知双曲线C 的渐近线方程为230x y ±=，且C 经过点(6,22-，则C的标准方程为（ ）A. 221188x y -=B. 22194x y -= C. 221818y x -= D. 22149y x -=二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2024高考数学空间几何综合应用在中国高考数学试卷中，空间几何是一个重要的知识点。

空间几何涵盖了点、线、面的性质和相互关系，以及在三维空间中的几何问题。

在2024年的高考数学试卷中，空间几何的综合应用题将占据一定比重，要求学生综合运用所学知识，解决实际问题。

本文将探讨2024高考数学空间几何综合应用的相关内容。

一、球面的应用球面是空间几何中的一个重要概念，其应用十分广泛。

在高考数学试卷中，经常会出现涉及球面的综合应用题。

例如：【例题】某公司生产的球形水波机，吹气后能形成直径为3米的水波，每台水波机能同时覆盖20平方米的水面。

现在有一个泳池，它的底面长10米、宽8米，深2米，请问最少需要多少台水波机才能将泳池中的水面完全覆盖？解析：泳池的底面面积为10米×8米=80平方米，而每台水波机的覆盖面积为20平方米。

因此，我们可以计算出覆盖泳池所需的水波机数量为80÷20=4台。

答案是最少需要4台水波机。

二、平面和直线的交点在空间几何中，平面和直线的相交问题也经常出现在高考数学试卷中。

考生需要全面了解平面和直线的性质，并能够运用相关公式和定理解决问题。

例如：【例题】已知空间直线l的对称式方程为x-2=y+3=z-4，请问过直线l且垂直于z轴的平面的方程是什么？解析：首先，我们可以通过对称式方程得到直线l的一个点P(-2, -3, 4)。

由于该平面与z轴垂直，那么该平面上的任意一点Q的坐标可以表示为Q(x, y, 0)。

由于点Q在平面上，所以平面上的任意一点Q满足直线l和点Q联立方程组：x-2=(y+3)=-4x-2=y+3由此，我们可以得到平面的方程为x-2=y+3。

三、空间图形的投影问题在高考数学试卷中，空间图形的投影问题是一个重要的考点。

考生需要了解图形投影的概念和性质，并能够根据给定条件解决相关问题。

例如：【例题】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，顶点A1在平面(x+y+z=5)上，则正方体的投影在该平面上的形状是什么？解析：首先，我们可以通过正方体的特性得到A点坐标为(0, 0, 0)，A1点坐标为(1, 0, 4)。

2024年高考数学概率论的数学模型历年真题2024年高考数学概率论的数学模型历年真题导入数学概率论作为高中数学的一部分，在高考中占有重要的分值，对于考生来说具有一定的挑战性。

了解历年高考数学概率论的数学模型真题，可以帮助考生更好地掌握概率论知识，并提升解题能力。

本文将就2024年高考数学概率论的数学模型历年真题进行分析和解答，让考生对考试内容有更深入的了解。

第一部分：选择题1. (2020年浙江卷) 在一个特定的环境中, 一种真菌N的存活率是0.6, 其他真菌的存活率是0.8, 只要存活了就生长, 那么在这种环境下，一种真菌的存活率和生长率是0.4。

则在这种环境下，一种真菌既存活又生长的概率是多少？解析：根据条件，真菌N的存活率是0.6，其他真菌的存活率是0.8。

由于只要存活了就生长，所以一种真菌的存活率和生长率可以相乘，即 0.6 * 0.8 = 0.48。

因此，一种真菌既存活又生长的概率是0.48。

2. (2018年天津卷) 一部小说分上中下三卷出版。

如果第一卷卖出13本，第二卷卖出9本，则第三卷将卖出多少本才能使得这三卷小说的平均销量达到10本？解析：假设第三卷卖出x本。

根据题意，平均销量为10本，即 (13 + 9 + x) / 3 = 10。

整理得到 22 + x = 30，解方程得到 x = 8。

所以，第三卷需要卖出8本才能使得这三卷小说的平均销量达到10本。

第二部分：填空题1. (2019年上海卷) 已知事件A、B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.6，则事件“A且B”发生的概率为___解析：根据独立事件的概念，事件“A且B”发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B发生的概率的乘积，即 0.3 * 0.6 = 0.18。

2. (2017年北京卷) 在一次抽奖活动中，小明购买了5张彩票，别人总共购买了20张彩票。

其中，有一个彩票是特等奖，那么小明获得特等奖的概率是___解析：由于小明购买了5张彩票，总共有25张彩票。

2024年数学建模f题解法2024年数学建模F题解法题目：F题气候变化对人类历史的影响问题：1. 气候变化对人类历史产生了哪些影响？2. 气候变化与人类文明的发展有何关联？3. 未来气候变化对人类历史和文明的影响可能有哪些？分析：气候变化对人类历史的影响是一个复杂的问题，涉及到多个领域，如地理、历史、环境科学等。

为了回答这个问题，我们需要综合运用这些领域的知识，从不同的角度进行分析和探讨。

首先，我们需要明确气候变化对人类历史的具体影响。

这包括但不限于农业、经济发展、人口迁移、政治格局等方面。

例如，气候变化可能导致农作物的生长季节和产量的变化，从而影响人类的农业生产；同时，气候变化也可能导致自然灾害的频发，对人类的生命财产造成威胁。

其次，我们需要探讨气候变化与人类文明发展的关联。

气候变化对人类文明的发展产生了深远的影响，如古代文明的兴衰、城市的兴起与衰落等。

例如，气候变化可能导致古代文明的农业基础受到破坏，进而影响文明的发展；同时，气候变化也可能影响城市的选址和布局，从而影响城市的发展和规划。

最后，我们需要预测未来气候变化对人类历史和文明的影响。

这需要基于现有的气候变化趋势和预测数据，结合历史上的气候变化对人类历史的影响进行分析。

例如，未来气候变化可能导致海平面的上升和极端天气事件的频发，对人类的生存和发展造成威胁；同时，未来气候变化也可能导致资源争夺的加剧，从而引发地区冲突和战争。

总结：气候变化对人类历史产生了深远的影响，涉及到多个领域和方面。

为了全面深入地理解这个问题，我们需要综合运用多学科的知识进行分析和探讨。

同时，我们也需要关注未来的气候变化趋势，预测其对人类历史和文明的影响，为未来的发展提供参考和借鉴。

2024数学建模美赛a题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2024年数学建模美赛A题的题目是一个挑战性的问题，需要参赛选手在短时间内进行思考和分析，然后给出一个合理的解决方案。

这个题目涉及到了数学建模、数据分析和计算机编程等多个领域，需要选手具备较强的逻辑思维能力和解决问题的能力。

题目要求参赛选手利用给定的数据集，对某个特定问题进行建模和分析，然后给出解决方案。

选手需要根据现有的数据集进行数据清洗和预处理，然后利用统计学和数学建模的方法对数据进行分析和建模，最终提供一个可行的解决方案。

在解题过程中，选手需要运用各种数学工具和编程语言来处理数据和进行计算，例如Python、R语言等。

选手还需要结合实际问题的背景知识和专业知识，对数据进行合理的解释和分析。

在解题过程中，选手需要注意数据的质量和可靠性，同时还需要对模型的准确性和稳定性进行评估。

最终，选手需要给出一个详细的报告，说明解决问题的方法和步骤，以及给出相关的结论和建议。

参加数学建模比赛可以锻炼选手的团队合作能力和解决问题的能力，同时也能够提高选手的数学建模和数据分析能力。

希望参赛选手在比赛中能够充分发挥自己的潜力，充分展现出自己的优势和才华，最终取得优异的成绩。

【字数不足，正在努力补充中……】第二篇示例：2024数学建模美赛a题分析数学建模是一门涵盖数学、计算机科学和工程等多学科知识的综合性学科，应用广泛，涉及领域广泛。

每年举办的数学建模比赛更是为广大热爱数学和挑战智力的学生提供了一个展示自己才华的舞台。

今天我们就来分析一下2024年数学建模美赛的a题。

让我们来看一下2024年数学建模美赛a题的具体问题描述：根据指定信息，设计出最佳的实体投资组合。

实体投资组合包括个人、公司、政府、银行等单位所投资的资金和资产，投资的目的是为了获得更高的回报率。

在实际投资中，投资者需要根据市场行情、经济形势等因素来选择不同的投资产品，以实现最大化的利润。

我们需要通过收集数据来分析市场行情和经济形势，以确定合适的投资产品。

2024年数学建模——线性回归分析实用精彩教案一、教学目标1.让学生理解线性回归分析的基本概念和方法。

2.培养学生运用线性回归分析解决实际问题的能力。

3.培养学生的团队协作精神和创新意识。

二、教学内容1.线性回归分析的基本概念2.线性回归方程的求解3.线性回归模型的检验4.实际案例分析与讨论三、教学过程1.导入同学们，大家好！今天我们要学习的是数学建模中的一种重要方法——线性回归分析。

在实际生活中，我们经常会遇到一些变量之间的关系，如何用数学的方法来描述这些关系呢？让我们一起学习线性回归分析的基本概念和方法。

2.线性回归分析的基本概念（1）线性回归模型：描述两个变量之间关系的数学模型，其中一个变量是自变量，另一个变量是因变量。

（2）线性回归方程：描述线性回归模型的数学方程，形式为y=a+bx，其中a是常数项，b是回归系数。

3.线性回归方程的求解（1）最小二乘法：求解线性回归方程的一种方法，通过使实际观测点到回归直线的距离平方和最小来确定回归系数。

（2）计算步骤：a.收集数据，绘制散点图。

b.根据散点图，初步判断变量之间是否存在线性关系。

c.利用最小二乘法求解回归系数。

d.写出线性回归方程。

4.线性回归模型的检验（1）拟合优度检验：通过计算判定系数R²来评估回归模型的拟合程度。

（2）假设检验：利用t检验和F检验来评估回归系数的显著性。

5.实际案例分析与讨论案例1：某地区房价与收入关系的研究（1）收集数据：收集某地区近年来的房价和收入数据。

（2）绘制散点图：观察房价和收入之间的关系。

（3）求解线性回归方程：利用最小二乘法求解回归系数。

（4）模型检验：计算判定系数R²，进行假设检验。

（5）结论：根据线性回归方程和模型检验结果，分析房价与收入之间的关系。

案例2：某企业产量与广告费用关系的研究（1）收集数据：收集某企业近年来的产量和广告费用数据。

（2）绘制散点图：观察产量和广告费用之间的关系。

立体几何立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。

考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。

2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。

题型一：空间异面直线夹角的求解1(2023·上海长宁·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)求证：AO⊥CD；(2)若BD⊥DC,BD=DC,AO=BO，求异面直线BC与AD所成的角的大小.【思路分析】(1)利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.(2)分别取AB,AC的中点M,N，利用几何法求出异面直线BC与AD所成的角.【规范解答】(1)在三棱锥A-BCD中，由AB=AD,O为BD的中点，得AO⊥BD，而平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，因此AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.(2)分别取AB,AC的中点M,N，连接OM,ON,MN，于是MN⎳BC,OM⎳AD，则∠OMN是异面直线BC与AD所成的角或其补角，由(1)知，AO ⊥BD ，又AO =BO ，AB =AD ，则∠ADB =∠ABD =π4，于是∠BAD =π2，令AB =AD =2，则DC =BD =22，又BD ⊥DC ，则有BC =BD 2+DC 2=4，OC =DC 2+OD 2=10，又AO ⊥平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，则AO ⊥OC ，AO =2，AC =AO 2+OC 2=23，由M ,N 分别为AB ,AC 的中点，得MN =12BC =2,OM =12AD =1,ON =12AC =3，显然MN 2=4=OM 2+ON 2，即有∠MON =π2，cos ∠OMN =OM MN =12，则∠OMN =π3，所以异面直线BC 与AD 所成的角的大小π3.1、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．3、异面直线所成角：若n 1 ,n 2分别为直线l 1,l 2的方向向量，θ为直线l 1,l 2的夹角，则cos θ=cos <n 1 ,n 2 > =n 1 ⋅n 2n 1 n 2.1(2023·江西萍乡·高三统考期中)如图，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是BB 1,CD 的中点.(1)证明：EF ⎳平面AB1C 1D ；(2)若AB =2A 1B 1，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为22，O 为ABCD 的中心，求异面直线OB 1与CC 1所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)45【分析】(1)根据中位线定理，结合线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用面面平行的性质，可得答案；(2)根据题意，结合正四棱台的几何性质，求得各棱长，利用线线角的定义，可得答案.【解析】(1)取CC 1中点G ，连接GE ,GF ，如下图：在梯形BB 1C 1C 中，E ,G 分别为BB 1,CC 1的中点，则EG ⎳B 1C 1，同理可得FG ⎳C 1D ，因为EG ⊄平面AB 1C 1D ，B 1C 1⊂平面AB 1C 1D ，所以EG ⎳平面AB 1C 1D ，同理可得GF ⎳平面AB 1C 1D ，因为EG ∩FG =G ，EG ,FG ⊆平面EFG ，所以平面EFG ⎳平面AB 1C 1D ，又因为EF ⊆平面EFG ，所以EF ⎳平面AB 1C 1D ；(2)连接AC ,BD ，则AC ∩BD =O ，连接A 1O ,A 1C 1,B 1O ,在平面BB 1C 1C 中，作B 1N ⊥BC 交BC 于N ，在平面BB 1D 1D 中，作B 1M ⊥BD 交BD 于M ，连接MN ，如下图：因为AB =2A 1B 1，则OC =A 1C 1，且OC ⎳A 1C 1，所以A 1C 1CO 为平行四边形，则A 1O ⎳CC 1，且A 1O =CC 1，所以∠A 1OB 1为异面直线OB 1与CC 1所成角或其补角，同理可得：B 1D 1DO 为平行四边形，则B 1O =D 1D ，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知对角面BB 1D 1D ⊥底面ABCD ，因为平面ABCD ∩平面BB 1D 1D =BD ，且B 1M ⊥BD ，B 1M ⊂平面BB 1D 1D ，所以B 1M ⊥平面ABCD ，由内切球的半径为22，则B 1M =2，在等腰梯形BB 1C 1C 中，BC =2B 1C 1且B 1N ⊥BC ，易知BN =14BC ，同理可得BM =14BD ，在△BCD 中，BN BC=BM BD =14，则MN =14CD ，设正方形ABCD 的边长为4x x >0 ，则正方形A 1B 1C 1D 1的边长为2x ，MN =x ，由正四棱台的侧面积为9，则等腰梯形BB 1C 1C 的面积S =94，因为B 1M ⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，所以B 1M ⊥MN ，在Rt △B 1MN ，B 1N =B 1M 2+MN 2=2+x 2，可得S =12⋅B 1N ⋅B 1C 1+BC ，则94=12×2+x 2×4x +2x ，解得x =12，所以BC =2，B 1C 1=1，BN =14BC =12，B 1N =32，则A 1B 1=1，在Rt △BB 1N 中，BB 1=B 1N 2+BN 2=102，则CC 1=DD 1=102，所以在△A 1OB 1中，则cos ∠A 1OB 1=A 1O 2+B 1O 2-A 1B 212⋅A 1O ⋅B 1O=1022+102 2-12×102×102=45，所以异面直线OB 1与CC 1所成角的余弦值为45.2(2023·辽宁丹东·统考二模)如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，二面角D 1-AD -C 的大小为120°，E 为棱C 1D 1的中点．(1)证明：CD ⊥AE ；(2)点F 在棱CC 1上，AE ⎳平面BDF ，求直线AE 与DF 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)37【分析】(1)根据面面垂直可得线面垂直进而得线线垂直，由二面角定义可得∠D 1DC =120°，进而根据中点得线线垂直即可求；(2)由线面平行的性质可得线线平行，由线线角的几何法可利用三角形的边角关系求解，或者建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.【解析】(1)因为平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，且两平面交线为DC ,AD ⊥DC ，AD ⊂平面ABCD , 所以AD ⊥平面CDD 1C 1，所以AD ⊥D 1D ,AD ⊥DC ，∠D 1DC 是二面角D 1-AD -C 的平面角，故∠D 1DC =120°．连接DE ，E 为棱C 1D 1的中点，则DE ⊥C 1D 1,C 1D 1⎳CD ，从而DE ⊥CD ．又AD ⊥CD ，DE ∩AD =D ，DE ,AD ⊂平面AED ，所以CD ⊥平面AED ，ED ⊂平面AED ,因此CD ⊥AE ．(2)解法1：设AB =2，则DE =D 1D 2-12D 1C 1 2=3，所以CE =AE =AD 2+DE 2=7．连AC 交BD 于点O ，连接CE 交DF 于点G ，连OG ．因为AE ⎳平面BDF ，AE ⊂平面AEC ,平面AEC ∩平面BDF =OG ，所以AE ∥OG ，因为O 为AC 中点，所以G 为CE 中点，故OG =12AE =72．且直线OG 与DF 所成角等于直线AE 与DF 所成角．在Rt △EDC 中，DG =12CE =72，因为OD =2，所以cos ∠OGD =722+72 2-(2)22×72×72=37．因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为37．解法2；设AB =2，则DE =D 1D 2-12D 1C 1 2=3，所以CE =AE =AD 2+DE 2=7．取DC 中点为G ，连接EG 交DF 于点H ，则EG =DD 1=2．连接AG 交BD 于点I ，连HI ，因为AE ⎳平面BDF ，AE ⊂平面AGE ，平面AGE ∩平面BDF =IH ，所以AE ∥IH ．HI 与DH 所成角等于直线AE 与DF 所成角．正方形ABCD 中，GI =13AG ，DI =13DB =223，所以GH =13EG ，故HI =13AE =73．在△DHG 中，GH =13EG =23，GD =1，∠EGD =60°，由余弦定理DH =1+49-1×23=73．在△DHI 中，cos ∠DHI =732+73 2-223 22×73×73=37．因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为37．解法3:由(1)知DE ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，DA为x 轴正方向，DA为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ．由(1)知DE =3，得A 2,0,0 ,B 2,2,0 ,C 0,2,0 ,E (0,0,3)，C 1(0,1,3)．则CC 1=(0,-1,3)，DC =(0,2,0)，AE =(-2,0,3)，DB =(2,2,0)．由CF =tCC 1 0≤t ≤1 ，得DF =DC +CF =(0,2-t ,3t )．因为AE ⎳平面BDF ，所以存在唯一的λ，μ∈R ，使得AE =λDB +μDF=λ2,2,0 +μ(0,2-t ,3t )=2λ,2λ+2μ-tμ,3μt ，故2λ=-2,2λ+2μ-tμ=0,3μt =3，解得t =23，从而DF =0,43,233 ．所以直线AE 与DF 所成角的余弦值为cos AE ,DF =AE ⋅DF|AE ||DF |=37．题型二：空间直线与平面夹角的求解2(2024·安徽合肥·统考一模)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1,BCC 1B 1均为正方形，D ,E 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，N 为C 1E 上一点.(1)证明：BN ⎳平面A 1DC ；(2)若AB =AC ,C 1E =3C 1N，求直线DN 与平面A 1DC 所成角的正弦值.【思路分析】(1)连接BE ,BC 1,DE ,则有平面BEC 1⎳平面A 1DC ，可得BN ⎳平面A 1DC ；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.【规范解答】(1)连接BE ,BC 1,DE .因为AB ⎳A 1B 1，且AB =A 1B 1，又D ,E 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，所以BD ⎳A 1E ，且BD =A 1E ，所以四边形BDA 1E 为平行四边形，所以A 1D ⎳EB ，又A 1D ⊂平面A 1DC ,EB ⊄平面A 1DC ，所以EB ⎳平面A 1DC ，因为DE ⎳BB 1⎳CC 1，且DE =BB 1=CC 1，所以四边形DCC 1E 为平行四边形，所以C 1E ⎳CD ，又CD ⊂平面A 1DC ,C 1E ⊄平面A 1DC ，所以C 1E ⎳平面A 1DC ，因为C 1E ∩EB =E ,C 1E ,EB ⊂平面BEC 1，所以平面BEC 1⎳平面A 1DC ，因为BN ⊂平面BEC 1，所以BN ⎳平面A 1DC .(2)四边形ACC 1A 1,BCC 1B 1均为正方形，所以CC 1⊥AC ,CC 1⊥BC ，所以CC 1⊥平面ABC .因为DE ⎳CC 1，所以DE ⊥平面ABC ，从而DE ⊥DB ,DE ⊥DC .又AB =AC ，所以△ABC 为等边三角形.因为D 是棱AB 的中点，所以CD ⊥DB ，即DB ,DC ,DE 两两垂直.以D 为原点，DB ,DC ,DE 所在直线为x ,y ,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设AB =23，则D 0,0,0 ,E 0,0,23 ,C 0,3,0 ,C 10,3,23 ,A 1-3,0,23 ，所以DC =0,3,0 ,DA 1=-3,0,23 .设n=x ,y ,z 为平面A 1DC 的法向量，则n ⋅DC=0n ⋅DA 1 =0，即3y =0-3x +23z =0 ，可取n=2,0,1 .因为C 1E =3C 1N ，所以N 0,2,23 ,DN =0,2,23 .设直线DN 与平面A 1DC 所成角为θ，则sin θ=|cos ‹n ,DN ›|=|n ⋅DN ||n |⋅|DN |=235×4=1510，即直线DN 与平面A 1DC 所成角正弦值为1510.1、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点A ，过点A 向平面α做垂线，确定垂足O ；(2)连结斜足与垂足为斜线AB 在面α上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；(3)把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。

数学建模基础与应用 2024高考数学数学建模是一门综合性学科，通过将数学方法和技术应用于实际问题的建模过程，从而解决或理解这些问题。

在2024年的高考数学中, 数学建模已成为一个重要的考点。

本文将介绍数学建模的基础知识和实际应用，帮助考生提高数学建模能力，为高考做好准备。

一、数学建模基础知识1.1 数学建模的定义数学建模是指将实际问题转化为数学问题，通过数学分析和求解，得到对问题的理解、描述和解决方案的过程。

数学建模需要有良好的数学基础，包括代数、几何、概率与统计等知识。

同时，还需要具备一定的实际问题分析和抽象能力。

1.2 数学模型的构建过程数学模型的构建过程包括问题的分析、建立数学模型、模型求解和结果的验证等几个步骤。

具体而言，问题的分析包括对问题的背景和要求进行理解和梳理；建立数学模型是将实际问题转化为数学问题，并提出假设和约束条件；模型求解是根据所建立的数学模型进行计算和求解；结果的验证是将求得的解通过实际情况进行检验和验证。

1.3 常用的数学建模方法数学建模有多种方法和技巧，常用的包括数理统计、微积分、最优化、概率论等。

在不同的问题情境下，适用的方法和技巧也有所不同。

因此，学生需要根据问题的性质和要求选择合适的数学方法和技巧。

二、数学建模的应用2.1 物理建模物理建模是数学建模的一个重要领域。

物理建模的研究对象包括各种物理现象和工程问题，如天体力学、流体力学、热传导等。

通过建立数学模型，可以对物理问题进行描述和求解，并为工程设计和科学研究提供理论依据。

2.2 经济建模经济建模是将数学方法应用于经济学领域的建模过程。

经济建模研究的问题包括市场分析、货币政策、经济增长等。

通过建立数学模型，可以对经济问题进行预测和分析，为决策提供参考和支持。

2.3 生物建模生物建模是在生物学领域应用数学方法进行建模的过程。

生物建模的研究内容包括生物进化、生物群体行为、生物传播等。

通过建立数学模型，可以对生物系统进行分析和研究，并为生物学研究提供新的思路和方法。

2024年高考数学概率模型的构建与分析历年真题在2024年的高考数学考试中，概率模型是一个重要的考点。

本文将通过分析历年真题，来构建和分析2024年高考数学概率模型。

一、选择题选择题是高考数学中常见的题型之一，也是考核学生对基本概率概念和计算的掌握程度。

下面是几道典型的选择题，我们通过它们来构建概率模型。

例题1：某班学生的身高服从正态分布，均值为165cm，标准差为5cm。

则某个学生的身高大于170cm的概率是多少？解析：首先，我们知道正态分布曲线可以通过均值和标准差来确定。

假设X是某个学生的身高，则X服从正态分布N(165, 25)。

我们需要求解P(X > 170)，即求出170对应的标准正态分布的累积概率值。

通过查表或使用计算器，我们可以得到P(Z > 1) ≈ 0.1587。

所以，某个学生的身高大于170cm的概率约为0.1587。

例题2：有5个不同色子，每个色子的6个面分别标有1至6的整数。

现随机抽取一个色子，把它掷一次，设色子的数字为X，求P(X ≤ 3)。

解析：每个色子的数字都是等可能出现的，所以每个数字出现的概率都是1/6。

我们只需要统计出1、2、3这三个数字出现的概率即可。

由于只有一个色子，所以取得这三个数字的概率相加就是所求的结果，即P(X ≤ 3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2。

通过以上两个例题，我们可以看到概率模型用来解析选择题时通常涉及到概率分布的计算。

我们可以通过给定的条件来构建概率分布，并利用已知的概率分布进行计算。

二、填空题填空题是另一种常见的高考数学题型，它要求学生根据已知条件计算出特定的概率值。

以下是两个例题。

例题3：某班级有60人，其中30人擅长足球，20人擅长篮球，10人既擅长足球又擅长篮球。

从中随机选取一名学生，则这名学生既擅长足球又擅长篮球的概率是多少？解析：根据题目给出的条件，我们可以利用集合的概念来计算概率。

设A表示擅长足球的学生，B表示擅长篮球的学生，我们需要求解P(A∩B)。