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一元二次不等式及其解法导学案 问题1.会不会解一元二次方程？ (1)0132=++-x x (2)0122=+-x x (3)0322=+-x x问题2. 二次函数的图像和性质，如62--=x x y 的开口方向、顶点坐标、与x 轴的交点坐标及对称轴分别是什么？并作出它的草图.（1）开口方向： ；（2）顶点坐标： ；（3）与x 轴的交点坐标： ；（4）对称轴为： .问题3. 根据草图填空：1. 当x = 或 时，0y =，即062=--x x ；2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即62--x x 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式062<--x x 的解集是 ；3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即62--x x 0； （填≥、>、≤或<）. 所以不等式062>--x x 的解集是 ；例1：解下列不等式：（1）01522≥--x x （2）0132>++-x x例2：解下列不等式：（1）032)2( 012)1(22<+->+-x x x x总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a > 的解集； ac b 42-=∆ 0>∆0=∆ 0<∆ 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程 02=++c bx ax ()0>a 的根的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤步骤是：（1）（2）________________________（3）________________________巩固练习22>32++x-x1、0 12、012≥-x．-x．。
奇优教育辅导讲义年级初升高辅导科目数学学科教师刘兴华课次数 1 学员姓名顾涧昀备课时间授课时间8-20 课题一元二次不等式的解法主管审核教学目标1，掌握用区间来表示变量取值范围的方法；2，熟练掌握一元二次不等式求解步骤及方法，并能联系图像进行理解；3，能由一元二次不等式解的情况反推系数取值情况；4，能利用一元二次不等式分析一些问题如二次函数取值范围；重、难点熟练掌握一元二次不等式求解步骤及方法，并能联系图像进行理解；能由一元二次不等式解的情况反推系数取值情况；教学内容知识点及例题精讲重点提示与记录取值范围的表示——区间满足a≤x≤b 的实数x 的全体，叫做闭区间，记作[a，b]，如图．a，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1用区间记法表示下列不等式的解集：(1) 9≤x≤10；(2) x≤0.4．(3) －2≤x＜3；(4) －3＜x＜4；( 5) x＞3总结：完成下列表格填制表格：例2 用集合的性质描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]注意：以后关于什么参数或变量的取值范围一般要求用区间或集合表示。
一元二次不等式的解法[1]定义：形如 为关于x 的一元二次不等式．[2]一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象． ①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．则②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2ba-，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x bx x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断) ．则： 集合 区间区间名称 数轴表示{x |a ＜x ＜b } {x |a ≤x ≤b } {x |a ≤x ＜b } {x |a ＜x ≤b }集合 区间数轴表示{x | x ＞a } {x | x ＜a } {x | x ≥a } {x | x ≤a }③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ．则：（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；（Ⅲ）、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：（数形结合）判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅2．简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.【例题选讲】例3 解下列不等式：(1) 260x x +->(2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解． 例4 解下列不等式： (1) 2280x x --<(2) 2440x x -+≤(3) 220x x -+<例5 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．例6 解下列不等式： (1) 2301x x -<+ (2)132x ≤+例7 求关于x 的不等式222m x mx m +>+的解．例8 。
第七讲：其他不等式的解法知识点一 二次不等式的应用例1 已知关于x 二次方程230x mx -+=，当m 为何值时： （1）方程有两个正根？（2）一个正根和个负根？ 例2 已知关于x 一元二次方程220x ax ++=， （1）若两根都小于1，求实数a 的取值范围；（2）若两根中，一根大于2，一根小于2，求a 的取值范围.练习1（1）关于x 的方程222230x mx m ++-=的两实根都大于2，求实数m 的取值集合. （2）m 为何值时，关于x 的方程2(1)2(21)(13)0m x m x m ++++-=有两个异号的实根？ （3）若方程2(21)30kx k x -+-=在(1,1)-和(1,3)内各有一个实根，则实数的取值范围如何？练习2 关于x 的不等式组22202(25)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的所有整数解组成的集合为{2}-，求k 的取值范围.例3 已知某种商品的定价上涨x 成（1成即为110，x 成即为10x ）其销售量便相应减少2x成.按规定，税金是从销售额中按一定比例缴纳，如果这种商品的定价无论怎么变化，从销售额中扣除税金后所得金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率P 的取值范围.练习3 市场上常有这样一个规律：某种商品价格越高，购买的人越少；价格低，购买人较多，现有某种杂志若以每本2元的价格可以发行10万本，若每本价格每提高0.2元，发行量就减少5000本，要使中收入不低于22.4万元，则该杂志定价应是多少元？课堂练习1. 不等式组2103624x x ≤-+<的解集为_______________. 2. 已知2{|230}A x x x =-->，2{|0}B x x ax b =++≤，若A B R =，(3,4]A B =，则________a =，________b =.3. 若1x =在不等式2220k x kx +-<的解集内，则k 的取值范围为_______________.4. 若2()1f x x ax =-+有负值，则常数a 的取值范围为 （ ）A ．{|2a a <-或2}a >；B ．{|22}a a -<<；C ．{|a a R ∈且2}a =±；D ．{|13}a a <<.5. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均是非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） A ．充分不必要条件； B ．必要不充分； C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件.6. 若不等式210mx mx -+>的解集为实数集R ，求实数的取值范围. 7.解关于x 的不等式：2(2)20mx m x -++<（m R ∈）.8. 某产品总成本c （万元）与产量x （台）之间有函数关系23000200.1c x x =+-，其中(0,240)x ∈，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本（即销售收入不小于总成本）时最低产量为多少台？知识点二 分式不等式解法（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解，或数轴穿根法. 一般地，分式不等式分为两类：（1）()()0f x g x >（0<）⇔()()0f x g x >（0<）； （2）()()0f x g x ≥（0≤）⇔()()()()000f x g x g x ≥≤⎧⎪⎨≠⎪⎩. 例1 解下列不等式： （1）1232x x +>-；（2）352x <-； 例2 把下列分式不等式转化为有相同解集的整式不等式（组），并求解：（1）203x x ->+；（2）105xx ->-；（3）2103x x+≤-. 例3 解下列不等式：（1）(2)(2)(3)0x x x +-->；（2）23(2)(2)(3)0x x x +-->；（3）23(5)(12)(3)0x x x -+-≤；（4）23(1)(2)05x x x -+≥- 高次不等式的解法：先因式分解，再使用穿根法。
一元二次不等式解法【教学目标】1、通过图形计算器探究一元二次不等式的解法。
2、经历一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，体会数形结合、化归、函数的数学思想。
3、体验一般与特殊的关系，形成辩证的观点。
【教学重点】一元二次不等式的解法。
【教学难点】利用二次函数的图像解一元二次不等式。
【教学过程】一、 自学提问------从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，引入新课。
在交通繁忙的路段，交通管理部门出于车辆安全和畅通的考虑，对汽车的行驶速度有一定的限制，超速行驶被视为违规。
因为汽车在遇到紧急情况时，即使司机马上刹车，但由于惯性的作用，刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。
车速越快，刹车距离越长，事故发生的可能性越大。
实验表明，某种型号的汽车当速度每小时小于100千米时，若行驶在水泥路面上，则汽车的刹车距离s （米）与汽车的车速x （千米/时）有如下关系：s=0.00526x 2+0.000078x(x ≤100)。
在某次交通事故中，测得一肇事汽车的刹车距离大于45.5米，问这辆汽车的车速每小时至少为多少千米。
根据题意得：5.45000078.000526.02>+x x ………… ①二、交流引导1、一元二次不等式的定义①是一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般形式是：)0(0022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或)0(0022≠≤++≥++a c bx ax c bx ax 或2、探究一元二次不等式016102≤+-x x 的解集下面请同学们应用手中的计算器求解下列不等式.(1) 016102≤+-x x (2) 0)3)(2(≤+-x x （3）0222≤--x x016102>+-x x 0)3)(2(>+-x x 0222>--x x探究1:（1）您能发现这些不等式的解集有什么特点?（2）那不等式的解集与其相应的方程的实根之间的关系是怎样的? 学生用计算器进行讨论验证，给出结论。
2.2 (3)一元二次不等式的解法一、教学目标设计掌握用区间表示集合的方法；通过变式教学，学会用一元二次不等式解决几种类型的数学问题，体会数学知识之间的内在联系，形成逻辑思维能力；初步会用不等式解决一些简单的实际问题，增加数学学习的兴趣和用已学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点及难点用区间表示不等式组的解集；会用不等式解决一些简单的实际问题。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、学习如何用区间来表示不等式的解集1． 用区间来表示不等式的解集设a ，b 都为实数，并且a<b,我们规定:(1)集合{x b x a ≤≤}叫做闭区间,表示为[]b a ,； (2)集合{x b x a <<}叫做开区间,表示为()b a ,； (3) 集合{x b x a <≤}或{x b x a ≤<}叫做半开半闭区间,分别表示为[)b a ,, (]b a ,。
（4） 把实数集R 表示为（-∞，+∞）；把集合{x a x ≥}表示为[a ，+∞)；把集合{x a x >}表示为(a,+∞)；把集合{x b x ≤}表示为（-∞，b]；把集合{x b x <}表示为（-∞，b ）；在上述所有的区间中，a ，b 叫做区间的端点，以后我们可以用区 间表示不等式的解集。
2．区间在数轴上的表示[a ，a ，b ） [a ，b ）（a ，b][a ，+∞）（a ，+∞）-∞，（-∞，b ）3．练习将上节课中不等式的解集用区间表示。
二、典型例题例1．解不等式组：3x 2-7x-10≤0, ①2x 2-5x+2>0 ② 解：由不等式①的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-310,1,不等式②的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,⋃()+∞,2，可知原不等式组的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-310,221,1，它在数轴上的表示如图：[说明]：解由两个或两个以上的不等式组成的不等式组的解，可以将解集表示在同一条数轴上，这样更直观和清晰。
高中数学沪教版高一上册第2章《2.2 一元二次不等式的解法》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案【省
级名师教案】
1教学目标
1.掌握常见的三种不等式的解法:分式不等式,一元二次不等式,绝对值不等式。
2.会对含参数的不等式进行讨论。
3.理解不等式的恒成立与有解的区别,并会解决难度适中的该类问题
2学情分析
本校学生是普通中学的学生,学生学习习惯与学习能力都不是很突出,遇到思维含量高,解题步骤复杂的问题感到棘手,从不同实例中抽象出一般思维流程的能力弱
3重点难点
理解一元二次方程的一般流程,学会讨论含参数的一元二次不等式的解法
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】基础自测
(2014上海高考)设 ,则“”是“”的_______条件。
已知为实数,命题甲: ,命题乙: ,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
的解集是_____________, 的解集是______________。
不等式的解是_____________。
关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是_____________。
2【导入】课堂精讲。
一元二次不等式解法（3）教学设计说明
（一）教学内容分析：
一元二次不等式的解法既是二次函数的下位概念，也是同位概念一元二次方程的延续。
它的求解过程中要贯穿与二次函数图像、一元两次方程之间的内在联系，即利用对应的函数图像帮助确定一元二次不等式的解集，并由对应方程的根，确定解集区间的端点，使“数”与“形”有机结合。
本节课是一元二次不等式解法的第三节课，即一元二次不等式的应用，其中一方面是结合二次函数的图像对一元二次不等式解集为R 的情况进行了规律性的总结；另一方面更重要的是会用一元二次不等式解决实际问题，学会确定量与量之间的关系，并能用“符号语言”和“图形语言”将实际问题抽象成数学问题，对后继的函数建模起到铺垫作用。
（二）教学目标：
1. 知识与技能： 掌握一元二次不等式在0∆>，0∆=，0∆<情况下的解法，能够利用一元二次不等式解决实际问题。
2. 过程与方法：体会一元二次不等式，一元二次方程和二次函数之间的内在联系，从中领悟“数形结合”，“化归”等数学思想方法，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并加以解决的全过程，使学生从中感受到用不等式模型解决实际问题的必要性和趣味性。
3. 情感、态度、价值观：通过对一元二次不等式解法的总结培养学生的归纳总结能力；在实际问题的应用中，培养学生的理解问题，分析问题，探究问题, 解决问题的能力,提升学生的思维品质；在师生对话中培养学生的数学表达能力，同时通过题目情景的创设激发学生学习数学的兴趣。
（三）教学重难点：
1. 重点：能把简单的实际问题抽象成数学问题，并建立一元二次不等式的模型求解。
2. 难点：能把简单的实际问题抽象成一元二次不等式的模型。
（四）学情分析
上课的对象是七宝中学高一的学生，是市重点学校，学生的数学基础较好。
（五）课堂教学设计的依据：
依据教学内容，教学的重难点及学情，本堂课的流程为：先结合二次函数的图像对一元二次不等式解集为R的情况进行了规律性总结，然后重点解决实际问题。
我们进行了如下的教学设计：
1.将教科书中的例8作为课堂教学第一个例题，并将一元二次不等式解集为一切实数的等价条件留作为学生的课后习题。
2.我们将教科书中的例7作为本节课中实际问题的第一题，考虑到本题的关键是通过不等关系进行建模求解，而不是怎样建立直角坐标系，因此我们借鉴了2012年上海高考第21题的叙述方式将直角坐标系直接给出。
同时,考虑到近期(9月12日-9月16日)“莫兰蒂”台风登陆我国福建省，我们将此题的题目背景设置为“莫兰蒂”台风并采用了“莫兰蒂”台风实际的移动速度20km/h.
3.我们将教科书中的例6作为本节课中实际问题的第二题，考虑到学生对经济领域问题的背景了解不足，在阅读的过程中会影响学生的理解，因此，我们设置梯度，增加第一小问，帮助学生分析。
因为在上一题中解一元二次不等式的过程是由学生自主完成，所以此题中解不等式的过程是由师生互动完成。
为了更好的帮助学生理解本题的实际背景，我们设计了例题3中的第三小问。
旨在通过生生互动激活学生探究实际问题的动机，同时对后继经济问题中的函数建模起到铺垫作用。
我们设置r=10希望同学能联想到第（2）小题中解关于r的不等式在此时对应的代理费为16万元。
由于本题相对较难，所以我们在作业布置中设置了相似问题，以便学生巩固。
（六）教学过程(见PPT ）
（七）作业布置（任务单）
（八）教学反思
1．在本教学设计中，我们变换了教科书中两道应用题的位置，是为了让学生更好的理解经济类问题的现实情境，让学生对于经济类阅读理解性应用题有更好的把握。
这两道应用题的编排也可以按照书中的教学顺序，并适当的对于台风这类列不等式解应用题的题目进行变式和深化。
2.在设计第三道例题的第二小问的过程中，我们结合在静安区市西中学各班级试讲的情况，安排了小组讨论。
在每一次试讲中，小组讨论都是气氛热烈，效果良好，但是没有考虑到最后上课的七宝中学是在阶梯教室中进行教学，同时因为是换班上课，教师和学生并不熟悉，所以在讨论的过程中气氛并没有想象中的热烈，大部分学生的讨论只局限于同桌之间，甚至很多是自己独立思考完成。
在之后的教学设计中，我要更多的考虑到一些客观因素因素以及不同学校学生的学习特点。
附：
一元二次不等式解法（3）任务单
1.关于x 的一元二次不等式2(1)40x k x +-+>
1）当4k =-或5k =时，分别求出它的解.
2）当k 为何值时，它的解集为(,)-∞+∞
2.距离某码头南偏东60︒的400千米处是“莫兰蒂”台风的台风中心，已知台风以每小时20
千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米及其范围内都受台风影响.如果以码头为坐标原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴（以千米为单位），建立平面直角坐标系，问从现在起多少小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间大约多久
.
3．某服装公司生产的衬衫，每件定件80元，某城市年销售8万件，现该公司在该市通过代理商来销售衬衫，代理商要收取代理费.代理费为销售金额的%
r(即每销售100元收取r元).
为此，该衬衫每件价格要提高到
80
1%
r
-
元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r
万件.
1）在通过代理商进行销售并保证服装公司利润的前提下，当
100
31
r=时，请填写下表:
每件定价（元）年销售量（万件）年代理费（万元）
2）如果代理商每年收取代理费不少于16万，求r的取值范围.
3）思考：衬衫每件定价为80元，在某城市年销售8万件，此时的年销售成本为124万元，若每件衬衫的生产成本为x元，年利润为A万元（A=年销售金额-年生产成本-年销售成本）；现服装公司通过代理商进行销售，在保证服装公司利润的前提下，以销售金额的%
r支付代理费，其中10
r=（服装公司不再承担销售成本），此时，服装公司年利润为B万元（B=年销售金额-年生产成本-代理费），当A B
=，求x的值。
作业：
1.完成下表：
2. 教科书38页练习2.2（3）1,2,3
3.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实现征收附加税政策。
现知某种酒每瓶80元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫R），则每年的产销量将减少10R万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税不少于做税率%
128万元，问R应怎样确定？。
