凸包 扩展系数-概述说明以及解释

凸包算法公式凸包是计算几何中的一个重要概念，而凸包算法公式则是解决相关问题的关键工具。

咱先来说说啥是凸包。

想象一下，你面前有一堆散落在地上的钉子，然后你拿一个橡皮筋把最外层的钉子圈起来，让橡皮筋形成的形状能够完全包住所有钉子，这个形状就是这堆钉子的凸包。

凸包算法有好几种，比如 Graham 扫描法、Jarvis 步进法等等。

咱就拿 Graham 扫描法来说说它涉及的公式。

Graham 扫描法里，首先要找到一个基准点。

通常找纵坐标最小的点，如果有多个这样的点，就选横坐标最小的那个。

找到这个点后，其他点就按照和这个基准点的极角大小进行排序。

这里就涉及到计算极角的公式啦。

对于两个点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，极角θ 可以通过反正切函数来计算，公式是：θ = atan2(y2 - y1, x2 - x1)。

计算出极角后，就可以开始扫描了。

从基准点开始，依次检查相邻的三个点，如果这三个点构成的转向是逆时针的，那就保留中间那个点；如果是顺时针的，就把中间那个点去掉。

这里判断转向的公式就比较关键了。

对于三个点 A(x1, y1)、B(x2,y2)和 C(x3, y3)，可以通过计算向量叉积来判断转向。

如果叉积大于 0 ，就是逆时针；小于 0 ，就是顺时针。

向量叉积的公式是：(x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) 。

我记得之前有一次参加数学建模比赛，题目就和凸包算法有关。

当时我们小组几个人，一开始对这些公式和算法都不太熟悉，急得像热锅上的蚂蚁。

大家一起熬夜查资料、讨论，一遍遍地推导公式，尝试不同的方法。

特别是在计算极角和判断转向的时候，总是出错。

但经过不断地尝试和纠错，我们终于搞清楚了这些公式的应用，成功解决了问题，还拿到了不错的名次。

总之，凸包算法公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了其中的原理和规律，多做练习，就能熟练运用啦。

不管是在数学研究中，还是在实际的计算机图形学、地理信息系统等领域，凸包算法都有着广泛的应用。

凸包面积和周长的计算凸包是在平面上给定的一组点中构成的最小凸多边形。

凸包的面积和周长是计算凸包重要的指标，可以用来分析数据分布的紧密程度和形状特征。

本文将介绍凸包的定义和生成算法，并详细说明如何计算凸包的面积和周长。

一、凸包的定义凸包是指在平面上给定的一组点中，由这些点构成的最小凸多边形。

凸多边形的特点是：任意两点之间的线段都在多边形内部。

凸包是凸多边形中的最小面积的凸多边形，即是在所有凸多边形中，面积最小的凸多边形。

二、凸包的生成算法1. Jarvis算法（也叫作包裹算法或者旋转卡壳算法）：该算法基于以下思想：从一组点中找到一个起始点，将其作为凸包的一个顶点。

然后，从这个点开始，寻找下一个能保证凸包深度最大的点，并将其加入凸包。

不断重复这个过程，直到回到起始点为止。

该算法的时间复杂度为O(nh)，其中n是点的个数，h是凸包的顶点数。

2.快速凸包算法：该算法基于Graham扫描算法改进而来。

首先选择一个y坐标最小的点，将其他点按照与这个点的连线的极角进行排序。

然后依次处理排序后的点，对每个点进行判断，如果点在逆时针方向上，则加入凸包，否则舍弃。

最后得到凸包。

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，是一种高效的凸包生成算法。

三、凸包面积的计算凸包的面积可以用以下公式进行计算：S = (x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xny1 - x2y1 - x3y2 - ... - xnyn-1 - x1yn) / 2其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)是凸包的顶点的坐标。

计算凸包的面积可以通过以上公式进行求解，公式中的坐标是有顺序的，要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入。

四、凸包周长的计算凸包的周长可以通过计算凸包顶点之间的距离之和来得到。

对于凸包的n个顶点，可以依次计算相邻顶点之间的距离，并将其累加得到凸包的周长。

保证计算的正确性需要注意以下几点：1.凸包的顶点要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入，以保证计算出的面积和周长的结果正确。

凸包算法模型想象在⼀个平⾯上钉下了n个钉⼦。

现在有⼀根橡⽪筋，我们把它撑开，期望在松⼿之后橡⽪筋可以收缩，包住所有的n个钉⼦。

事实上，这正是⼀个凸包。

如下图：引⼊凸包的概念：凸包，定义为周长最⼩的包含点集中所有点的凸多边形。

即使存在某个凹多边形的周长与凸包相等且可以包含所有点，这个凹多边形也⼀定不是凸包。

如下图，这个凹多边形不是该点集的凸包：凸包问题属于计算⼏何，通常可以使⽤Andrew,Graham,Jarvis，斜率逼近等算法求解。

本⽂将着重介绍其中思想通俗、代码简单的Andrew算法。

由于求解凸包需要⼀些前置的计算⼏何知识，本⽂将会介绍⼀些基础计算⼏何知识。

前置知识引进向量的概念。

在数学中，向量指同时具有⼤⼩和⽅向的量，与之相对的量称为数量。

数量只有⼤⼩，没有⽅向。

向量可以⽤⼀条带箭头的线段来形象地表⽰：箭头代表⽅向，线段的长度代表向量的⼤⼩。

如果向量的起点为A，终点为B，则这个向量可以记作→ab。

两个向量→x1,y1和→x2,y2的外积称之为叉积，它的结果是⼀个向量。

叉积的计算⽅法是 (x1y2)−(x2y1) ，记为→x1,y1×→x2,y2。

对于两个向量→ab,→bc，如果它们的叉积>0 ，说明→ab在→bc的顺时针⽅向；如果它们的叉积=0，说明→ab和→bc共线；如果它们的叉积<0，说明→ab在→bc的逆时针⽅向。

算法思想凸包Andrew算法的思想⾮常简单。

我们⾸先把点集按照以x坐标为第⼀关键字，以y坐标为第⼆关键字的⽅式进⾏双关键字从⼩到⼤排序，排序后的第⼀个点就是我们选出的极点。

两个关键字的顺序可以调换。

如下图，点 1 就是该点集的极点。

接着，我们从极点开始逆时针考虑将每⼀个点都加⼊凸包。

显然我们排序后的第⼀个点和最后⼀个点⼀定在凸包上。

从第⼆个点开始，我们假设当前点可以加⼊凸包。

设凸包上此时有m个点，第m−1 个点和第m个点分别是a,b，当前要加⼊凸包的点为c。

凸包知识简要概括（构造凸包）什么是凸包，简单来说就是⼀个凸多边形。

场景现在有⼀些点，让你画⼀个包含所有点的圈，要求图形的周长最短，很明显，⽤这些点上的⼀部分点作为节点连城直线是最短的，⽽最后的图形就是⼀个凸多边形。

我们如何来找到凸多边形上的点，第⼀我们可以发现最边缘的点⼀定位于最后的凸包上，例如y值最⼩（最⼤），x值最⼩（最⼤）的点，我们可以利⽤这些点作为我们构造凸包的起点。

⾸先，对所有点进⾏排序，找到y值最⼩的点，如果存在多组y相同，取最左边的点。

找到起点之后，进⾏极⾓排序，就是数学上的⽐较直线的斜率值（k），显然, arctan(k) 就是到x轴的⾓度，起点与其他的点连线求出⾓度值，从⼩到⼤排序，排序出的第⼀个点很显然也在凸包上，因为不存在更右的点。

还可以⽤叉积的⽅法去判断是否在左在右。

1double cross(ff a,ff b,ff c)2 {3return (b.x - a.x)*(c.y-a.y)-(c.x - a.x)*(b.y - a.y);4 }5bool cmp(ff a,ff b)6 {7double m = cross(f[0],a,b);8if(m>0)9return1;10if(m==0&&dis(f[0],a)-dis(f[0],b)<=0)11return1;12return0;13 }//⽤叉积去判断顺序，如果m==0,说明两点在同⼀直线上，则距离近的排在前⾯⽤排好的点⼀个个判断是不是凸包上的点，现在我们有两个数组，⼀个g数组存放凸包上的点，⼀个f数组放排好序的点，刚开始时，g数组上有两个点，起点和排序后的第⼀个点。

现在点是否属于凸包。

设置⼀个cnt值，指向g数组的尾节点。

如果下⼀个点于g[cnt]的连线相对g[cnt]和g[cnt-1]的连线偏左，该点加⼊g数组，cnt++;如果偏右，cnt--,该点继续重复⽐较的步骤，直到找到相对偏左的点（该过程相当于就是删去s数组凸包内的点）当最后⼀个点判断完成后，g数组就储存了从起点逆时针⼀圈凸包上的点求凸包的周长顺序枚举g数组上的点累加dis(g[i],g[i+1]),最后再加上dis(g[cnt],g[0])完整代码1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cmath>4 #include<algorithm>5 #include<cstring>6using namespace std;7struct ff8 {9double x,y;10bool operator < (ff b)const11 {12if(y == b.y)13return x<b.x;14return y<b.y;15 }16 }f[100005],g[100008];double xx,yy;17double dis(ff a,ff b)18 {19return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));20 }21double cross(ff a,ff b,ff c)22 {23return (b.x - a.x)*(c.y-a.y)-(c.x - a.x)*(b.y - a.y);24 }//求叉积25bool cmp(ff a,ff b)26 {27double m = cross(f[0],a,b);28if(m>0)29return1;30if(m==0&&dis(f[0],a)-dis(f[0],b)<=0)31return1;32return0;33 }34int main()35 {36int n;37 scanf("%d",&n);38for ( int i = 0;i<n;++i) scanf("%lf%lf",&f[i].x,&f[i].y);39 sort(f,f+n);//找到最左最下的点40if(n == 1)41 printf("%.2f\n",0.00);42else if(n == 2)43 printf("%.2f\n",dis(f[0],f[1]));44else45 {46 g[0] = f[0];//凸包数组放⼊起点47 xx = g[0].x;48 yy = g[0].y;49 sort(f+1,f+n,cmp);//极⾓排序50 g[1] = f[1];//第⼆个点也在凸包内51int cnt = 1;//指向凸包数组的尾结点52for(int i = 2;i<n;++i)53 {54while(i>=1&&cross(g[cnt-1],g[cnt],f[i])<0)55 cnt--;//如果新加进来的节点相对最后两点连线偏右，减去最后⼀个点，循环判断56 g[++cnt] = f[i];//加⼊新节点57 }58double s = 0;5960for (int i = 1;i<=cnt;++i)61 s+=dis(g[i-1],g[i]);62 s+=dis(g[cnt],f[0]);//计算每条边的长度63 printf("%.2lf",s);64 }65return0;66 }View Code。

第一章 凸集1、仿射集1.1、定义：任意 x 1,x 2∈C 以及 θ∈R 都有θx 1+(1−θ)x 2∈C ；直观上，如果两点在仿射集内，那么通过任意两点的直线位于其内；1.2、仿射集的关联子空间：如果是C 仿射集，且x 0∈C ，则集合 V =C −x 0={x −x 0|x ∈C } 是一个子空间（关于加法和数乘封闭）,因此仿射集可以表示为一个子空间加上一个偏移，C =V +x 0={v +x 0|v ∈V }，x 0可以是C 中任意一点；定义C 的维数为子空间V 的维数（向量基的个数）;1.3、线性方程组 Ax =b 的解集:等价于仿射集且其关联的子空间是就是的 A 的零空间即ker (A )= {x|Ax =0};1.4、仿射组合：如果θ1+⋯+θk =1，称θ1x 1+⋯+θk x k 为x 1,⋯,x k 的仿射组合；如果C 是仿射集，x 1,⋯,x k ∈C ，且θ1+⋯+θk =1，那么θ1x 1+⋯+θk x k ∈C ；集合C 是仿射集⟺集合包含其中任意点的仿射组合；1.5、仿射包：集合C 中的点的所有仿射组合组成的集合记为C 的仿射包aff C ={θ1x 1+⋯+θk x k |x 1,⋯,x k ∈C ，θ1+⋯+θk =1}；仿射包 aff C 是包含 C 的最小的仿射集合；1.6、仿射维数：集合仿射维数为其仿射包维数, 即仿射包相关联子空间的维数，即是其子空间最大线性无关基；如果集合C ⊂R n 的仿射维数小于n ， 那么这个集合在仿射集合 aff C ≠R n 中;1.7、集合相对内部：定义为 aff C 的内部，记为relint C ， 即relint C ={x ∈C | ∃r >0,B (x,r )∩aff C ⊆C };集合内部：由其内点构成，内点为{x ∈C | ∃r >0,B (x,r )⊆C };1.8、集合的相对边界：集合C 的相对边界定义 cl C\relint C 为，cl C 为C 的闭包；集合C 的边界定义为{x ∈C | ∀δ>0,B (x,r )∩C ≠∅,B (x,r )∩C c ≠∅};------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.凸集：如果x 1，x 2∈C ，0≤θ≤1，都有θx 1+(1−θ)x 2∈C ；直观上，如果两点在凸集内，则两点间的线段也在凸集内；仿射集是凸集；2.1、凸组合：如果θ1+⋯+θk =1，θi ≥0，i =1,⋯,k ，称θ1x 1+⋯+θk x k 为x 1,⋯,x k 的凸组合；点的凸组合可以看做他们的混合或加权平均，θi 代表混合时 x i 所占的份数。

《算法导论》第33章凸包问题目录1.凸包问题的定义和背景2.凸包问题的应用3.凸包问题的解决方案4.凸包问题的算法分析5.凸包问题的实际应用案例正文一、凸包问题的定义和背景凸包问题是计算机图形学和计算几何中的一个经典问题。

它指的是给定一组二维或三维空间中的点，寻找一个最小的凸多边形，使得这个多边形包含了所有的点。

也就是说，任意一个点只要在凸包内部，就能被凸包上的某一点所见到，反之则不能。

二、凸包问题的应用凸包问题在计算机图形学和计算几何中有广泛的应用，例如：1.几何优化：通过凸包可以得到一组点的最小包围，可以应用于几何形状的优化和压缩。

2.碰撞检测：在计算机图形学中，凸包可以用于检测物体的碰撞，只要两个物体的凸包有交集，就说明两个物体发生了碰撞。

3.可视化：在数据可视化中，凸包可以帮助我们快速找到一组数据的主要分布区域。

三、凸包问题的解决方案凸包问题的解决方案主要有以下几种：1.基于三角剖分的方法：该方法通过将凸包分解成若干个三角形，然后利用三角形的性质来求解凸包。

2.基于团问题的方法：该方法将凸包问题转化为求解团问题，然后再将团问题转化为组合优化问题进行求解。

3.基于 Graham 扫描的方法：该方法是一种基于扫描线的方法，通过扫描线逐点扫描点集，可以快速得到凸包。

四、凸包问题的算法分析以上三种方法都有对应的时间复杂度和空间复杂度。

例如，基于三角剖分的方法的时间复杂度为 O(nlogn)，空间复杂度为 O(n)；基于团问题的方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)；基于 Graham 扫描的方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

五、凸包问题的实际应用案例以碰撞检测为例，假设我们有两个物体 A 和 B，每个物体由多个点组成。

我们可以通过计算物体 A 和 B 的凸包，然后检测两个凸包是否有交集，如果有，就说明两个物体发生了碰撞。

凸包算法详解凸包算法是解决最小生成树问题的一种有效算法，它可以在不生成环的情况下找到树的最好构造。

在计算机科学中，最小生成树问题是广义图论中的一个经典问题，它涉及到如何在给定一个有向图中找到一个最小生成树。

生成树是指保留图中所有节点，但只保留足以生成该节点的所有边的集合。

凸包算法详解主要从两个方面进行阐述：算法原理和实现过程。

一、算法原理凸包算法的基本思想是首先找到一个凸多面体，将该多面体内部的所有点都看作是图中的节点，然后将这些节点按照某种次序连接起来，生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

具体实现过程中，凸包算法会根据给定的有向图，找到一个凸多面体，将图中的每个节点都映射到该多面体内部的一个点，然后将这些点连接起来，生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

凸包算法的时间复杂度为$O(n+m)$，其中$n$是图的节点数，$m$是图的边数。

这个时间复杂度可以通过递归的方式计算，也可以使用静态数据结构来存储。

二、实现过程1.选择一个凸多面体在凸包算法中，我们需要找到一个凸多面体，使得该多面体内部的所有点都适合作为图中的节点。

具体实现过程中，可以使用任意一种搜索算法，如深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来枚举所有的凸多面体。

在搜索的过程中，我们需要记录每个凸多面体的边数，以及该多面体内部的所有节点。

2.将节点连接起来在凸包算法中，我们需要将图中的节点连接起来，以生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

具体实现过程中，可以按照以下步骤将节点连接起来：（1）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体，并将该节点连接到该凸多面体内部。

（2）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体内部的一个点，并将该点与该节点连接起来。

（3）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体内部的一个点，并将该点与该节点连接起来。

3.递归搜索凸多面体在凸包算法中，我们需要递归地搜索所有的凸多面体，以找到符合要求的凸多面体。

三维凸包生成算法解释说明以及概述1. 引言1.1 概述三维凸包生成算法是计算机图形学和计算几何领域的一个重要研究方向。

它涉及到在三维空间中找到能够完全包围给定点集的最小可见表面，这个表面被称为凸包。

三维凸包在计算机图形学、虚拟现实、遥感技术、立体成像等领域都有广泛的应用。

本文将对三维凸包生成算法进行解释说明，并对常见的算法进行概述和比较评估。

首先会介绍凸包的定义和生成问题，然后详细阐述Graham扫描算法、Jarvis 步进算法和QuickHull算法的原理和实现方法。

接下来将对这些算法进行性能评估，并比较它们的优缺点。

最后，我们还将分析三维凸包生成算法在各个应用领域中的具体应用情况，并展望未来发展趋势。

1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、三维凸包生成算法、算法解释与说明、算法概述和评估比较以及结论。

引言部分概述了整篇文章的主题内容以及研究背景，介绍了凸包生成算法在实际应用中的重要性。

接下来的三维凸包生成算法部分将解释凸包的定义和生成问题，并列举常见的算法。

在算法解释与说明部分，详细介绍了Graham扫描算法、Jarvis步进算法和QuickHull算法的原理和流程。

随后，在算法概述和评估比较部分，我们将对这些算法进行性能指标评估，并比较它们的优缺点。

最后，在结论部分，对整篇文章进行总结，并展望未来三维凸包生成算法的发展趋势。

1.3 目的本文旨在提供读者对三维凸包生成算法的全面了解和深入认识。

通过解释说明和概述常见的三维凸包生成算法，读者可以掌握每种算法的原理、实现方法以及其在不同应用领域中的优缺点。

文章还将对这些算法进行评估比较，帮助读者选择适合自己需求的具体实现方法。

同时，本文也希望为未来研究提供一定参考价值，探讨三维凸包生成算法在更广泛领域中可行性和改进方向，促进该领域的发展和创新。

2. 三维凸包生成算法：2.1 凸包定义：凸包是指一个闭集合内的所有点都位于该集合的边界或内部，形成一个多面体。