几何初步、相交线与平行线、命题知识点演练(讲练)(原卷版)-2023年中考数学一轮复习

4.1几何初步、相交线与平行线、命题核心考点演练类型题举例类型体系（本专题共42题35页）考点1：最短路径问题典例：（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（）A．（1，2）B．（－0.5，－0.5）C．＋3，3）D．（－2，－2）方法或规律点拨本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得P的位置是解题的关键．巩固练习1．（2021·河北秦皇岛市·七年级期末）如图所示，从A到B有①②③三条路可以走，每条路长分别为L，M，N，则L，M，N的大小关系是()．A ．L M N >>B ．L M N =>C ．M N L >>D ．L N M>>2．（2021·山西运城市·八年级期末）如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A ．20B ．24C ．25D ．263．（2020·郑州市·河南省实验中学八年级期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB ＝8cm ，BC ＝4cm ，BF ＝6cm ，点M 在棱AB 上，且AM ＝2cm ，点N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为（ ）A ．10cmB ．C ．cmD ．cm4．（2021·武汉二中广雅中学九年级期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝AC ＝8，BC ＞6，点E ，F 分别在BC ，AC 边上，且AF ＝CE ，则AE +BF 的最小值为_____．5．（2020·天津和平区·九年级期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．6．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是_____．7．（2021·河南郑州市·八年级期末）如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm的B处的米粒，若圆柱的高为12cm，底面周长为24 cm．则蚂蚁爬行的最短距离为_______．A B C是平面内三点．8．（2021·浙江杭州市·杭州外国语学校七年级期末）如图，,,（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深．①作射线BC，过点B作直线l，使,A C两点在直线l两旁；②过点A作直线l的垂线段，垂足为E；,．③点P为直线l上任意一点，点Q为射线BC上任意一点，连结线段AP PQ（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到射线BC的距离为5，点A、B之间的距离的最小值为__________，依据是___________．为8，点,A C之间的距离为6，则AP PQ9．（2021·四川成都市·成都实外八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，8BC =，30ABD Ð=°，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为________．11．（2020·浙江八年级期末）已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是长方形，点A ､C ､D 的坐标分别为(9,0) A ，(0,4)C ，(5,0)D ，点P 从点O 出发，以每秒1单位长度的速度沿O C B A ®®®运动，点P 的运动时间为t 秒．（1）当5t =时，P 点坐标为___________；（2）当4t >时，OP PD +有最小值吗？如果有，请算出该最小值，如果没有，请说明理由；（3）当t 为何值时，ODP V 是腰长为5的等腰三角形？若存在，直接写出t 的值，若没有，请说明理由．12．（2021·江苏金湖县·八年级期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A 坐标为（4，3），点C 坐标为（﹣1，﹣2）；（2）在（1）的条件下．①画出△ABC 关于x 轴对称的△A ′B ′C ′；②点D 是y 轴上的一个动点，连接BD 、DC ，则△BCD 周长的最小值为 ．考点2：方位角问题典例：（2021·怀宁县石牌初级中学九年级月考）如图，某风景区有三个景点A ，B ，C ，景点C 在A 的北偏西60°方向、且在B 的北偏西15°方向上，景点B 在A 的正西方向上，160AB =千米，求景点B 到C 的距离（结果保留根号）．方法或规律点拨本题考查方位角的概念，以及解直角三角形的实际应用，灵活结合题意构造直角三角形是解题关键．巩固练习1．（2020·河北九年级其他模拟）如图，下列判断正确的是（ ）．A ．B 看B 的仰角是1148¢°B ．A 看B 的俯角是45°C ．C 看B 的俯角1148¢°D ．B 在C 的南偏西'7852°2．（2020·河北衡水市·九年级一模）如图所示，海岛B 在海岛A 的方向是（）．A．北偏西20°B．北偏西70°C．南偏东20°D．南偏东70°3．（2020·河北九年级其他模拟）嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上．若嘉嘉行走的速度为1m/s，则淇淇行走的速度为（）A．0.5 m/s B．0.8 m/s C．1 m/s D．1.2 m/s4．（2020·石家庄市第二十八中学九年级二模）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶35海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶相同的距离到达C地，则A、C两地相距（）A．海里B．C．35海里D．25海里6．（2020·河北保定市·九年级一模）如图，OA是表示北偏东55°方向的一条射线，则OA的反向延长线OB 表示的是（）A．北偏西55°方向上的一条射线B．北偏西35°方向上的一条射线C．南偏西35°方向上的一条射线D．南偏西55°方向上的一条射线7．（2020·山东日照市·九年级其他模拟）如图，快艇从点A 处向正北方向航行到B 处时，向右转60°航行到C 处，再向左转40°继续航行，此时的航行方向在点C 的（ ）A ．北偏东20°B ．北偏西20°C ．北偏东40°D ．北偏西40°8．（2020·河北唐山市·九年级三模）如图，有A ，B ，C 三个地点，且AB ⊥BC ，从A 地测得B 地在A 地的北偏东43°的方向上，那么从B 地测得C 地在B 地的（ ）A ．南偏西43°B ．南偏东43°C ．北偏东47°D ．北偏西47°10．（2021·广东茂名市·七年级期末）如图，在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西55°的方向，同时轮船B 在南偏东15°的方向，那么AOB Ð的大小为（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°11．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·七年级期末）在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西55°的方向，同时轮船B 在南偏西6548¢°的方向，那么AOB Ð的大小为__________．12．（2021·安徽九年级专题练习）如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处.则点C 与点A 的距离约为_______________km （精确到1km ）≈1.414）.考点3：余角和补角典例：．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，直线CD 经过AOB Ð的顶点O ，OE 平分AOB Ð，OF 平分BOD Ð．（1）若COE Ð＝4DOE Ð，求DOE Ð的度数．（2）若BOD Ð＝13AOB Ð，且AOB EOF Ð+Ð=160°，求BOD Ð和EOF Ð的度数．方法或规律点拨本题主要考查角平分线的定义、补角及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义、补角及角的和差关系是解题的关键．巩固练习1．（2021·河北保定市·七年级期末）若1Ð，2Ð互为补角，且12Ð>Ð，则下列表示2Ð的余角的式子中正确的是（ ）①()1122Ð+Ð；②190Ð-°；③()1122Ð-Ð；④()1212Ð-Ð.A ．①B ．②C ．②③D ．②④2．（2021·浙江杭州市·杭州外国语学校七年级期末）已知一个锐角的度数为71.52°，则这个角的余角为__________．（结果用度、分、秒来表示）3．（2020·浙江绍兴市·七年级期中）已知一个角的余角比这个角的补角的一半小25°，那么这个角的度数为________．4．（2021·湖南株洲市·七年级期末）若35A Ð=°，则A Ð的余角等于______度．5．（2021·河北保定市·七年级期末）如图，把APB Ð放在量角器上，读得射线PA 、PB 分别经过刻度117和153，把APB Ð绕点P 逆时针方向旋转到A PB ¢¢Ð，下列三个结论：①APA BPB ¢¢Ð=Ð；②若射线PA ¢经过刻度27，则B PA ¢Ð与A PB ¢Ð互补；③若12APB APA ¢¢Ð=Ð，则射线PA ¢经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号）6．（2023·沙坪坝区·重庆南开中学七年级期中）若角a 的补角等于它的余角的3倍，则角a 等于___________度．7．（2020·浙江杭州市·七年级期中）列方程，求角度数．（1）如果1Ð的余角是1Ð的2倍，求1Ð的度数．（2）如果a Ð的补角是是a Ð的3倍，求a Ð的度数．8．（2021·河北秦皇岛市·七年级期末）如图，O 是直线AB 上的一点，OC 为任意一条射线，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ．（1）指出图中∠AOD 的补角（2）若∠BOC =68°，求∠EOC 的度数（3）直接写出∠BOD 与∠AOE 的数量关系．9．（2021·河北石家庄市·七年级期末）已知，如图，O 为直线AB 上一点，∠DOE ＝90°．若∠AOC ＝130°，OD 平分∠AOC ．（1）求∠BOD 的度数；（2）通过计算说明OE 是否平分∠BOC ．10．（2020·浙江七年级期末）如图，射线OB 在钝角AOC Ð的内部，且180,AOB AOC OP Ð+Ð=°分AOB Ð，OQ 平分AOC Ð．（1）当OB 与OQ 重合时，求AOC Ð得度数；（2）若100AOC Ð=°，求POQ Ð的度数；（3）若AOC n Ð=°，求POQ Ð的度数（用含n 的代数式表示）．考点4：平行线和相交线典例：（2020·河北张家口市·八年级期中）已知：三角形ABC 和同一平面内的点D ．（1）如图1，点D 在BC 边上，DE ∥BA 交AC 于E ，DF ∥CA 交AB 于F ．若∠EDF ＝85°，则∠A 的度数为_______°．（2）如图2，点D 在BC 的延长线上，DF ∥CA ，∠EDF ＝∠A ，证明：DE ∥BA ．（3）如图3，点D 是三角形ABC 外部的一个动点，过D 作DE ∥BA 交直线AC 于E ，DF ∥CA 交直线AB 于F ，直接写出∠EDF 与∠A 的数量关系（不需证明）．方法或规律点拨本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．巩固练习1．（2021·浙江杭州市·杭州外国语学校七年级期末）如图，下列条件中，①45Ð=Ð；②24180Ð+Ð=°；③623Ð=Ð+Ð；④13Ð=Ð，能判断直线 12l l //的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2020·广东广州市·七年级期末）如图，AD 平分CAB Ð，//DE AC ,130Ð=°，求2Ð的度数 ．3．（2020·呼和浩特市·内蒙古农业大学附属小七年级期末）如图，已知直线//AB CD ，100A C Ð=Ð=°，E 、F 在CD 上，且满足DBF ABD Ð=Ð，BE 平分CBF Ð．（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由．（2）求DBE Ð的度数．（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，存在使BEC ADB Ð=Ð的情况，求ADB Ð的度数．5．（2020·浙江九年级期末）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：90BAO ODC Ð=Ð=°，45B Ð=°，C 30Ð=°．（1）如图1，两个三角尺的直角边OA 、OD 摆放在同一直线上．求出此图中BOC Ð的度数；（2）如图2，如果把图1所示的OAB V 以O 为中心顺时针旋转得到OA B ¢¢△，当OB ¢平分COD Ð时，求AOA ¢Ð为多少度；（3）如图3，两个三角尺的直角边OA 、OD 摆放在同一直线上，另一条直角边OB 、OC 也在同一条直线上，如果把OAB V 以O 为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边//AB CD ，请直接写出答案．6．（2020·北京海淀区·人大附中七年级期末）已知：如图，∠AOB=α，OC 平分∠AOB ，D 是边OA 上一点，将射线OB 沿OD 平移至射线DE ，交OC 于点F ，E 在F 右侧．M 是射线DA 上一点（与D 不重合），N 是线段DF 上一点（与D ，F 不重合），连接MN ，∠OMN=β．（1）请在图1中根据题意补全图形；（2）求∠MNE 的度数（用含α，β的式子表示）；（3）点G 在线段OF 上（与O ，F 不重合），连接GN 并延长交OA 于点T ，且满足2∠NGO ＋∠OMN=180°，画出符合题意的图形，并探究∠ENM 与∠ENG 的数量关系．。

1.12平面几何初步及相交线与平行线目录知识梳理 (1)核心考点归纳 (3)考点1：直线、射线、线段 (3)考点2：角 (5)考点3：对顶角和余角、（邻）补角 (7)考点4：平行线的性质 (8)考点5：平行线的判定 (9)考点6：平行线有关的辅助线问题 (11)考点7：平行线与方位角 (12)易错点纠错 (13)★★★真题达标演练★★★ (16)一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．考点1：直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．1.（2021•河北）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是()A．a B．b C．c D．d2.（2022春•文登区期末）下列说法错误的是()A．直线AB和直线BA表示同一条直线B．直线AB比射线AB长C．线段AB和线段BA表示同一条线段D．过一点可以作无数条直线3.（2022秋•奎文区期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是()A．如图1所示，延长线段BA到点CB．如图2所示，射线CB不经过点AC．如图3所示，直线a和直线b相交于点AD．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点4.（2022秋•莘县校级月考）下列描述中，正确的是()A．延长直线AB B．延长射线AB C．延长线段AB D．射线不能延长5.（2022秋•聊城月考）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票()A．20种B．42种C．10种D．84种6.（2021秋•八公山区期末）已知线段60AB=，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段5EB=，则线段CD的长为()A．20B．30C．40D．20或407.（2021秋•大同期末）如图，点C，D在线段AB上，且AC CD DBAD=，==，点E是线段AB的中点．若8则CE的长为．考点2：角1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=13∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．8.（2022•青龙县一模）如图，AOB∠的一边OB经过的点是()A．P点B．Q点C．M点D．N点9.（2022•石家庄一模）将量角器按图方式放置，其中角度为45︒的角是()A ．AOB ∠B ．BOC ∠C ．COD ∠D ．DOE∠10.（2022秋•天山区校级期中）如图，下列说法中不正确的是()A ．1∠与AOB ∠是同一个角B ．α∠与COB ∠是同一个角C ．AOC ∠可以用O ∠来表示D ．图中共有三个角：AOB ∠，BOC ∠，AOC∠11.（2022秋•怀柔区校级月考）下列说法正确的是()A ．一个数不是正数就是负数B ．大于90︒的角都是钝角C ．是6的倍数的数也一定是3的倍数D ．5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率是5%12.（2022春•冠县期中）如图所示，90AOC ∠=︒，点B ，O ，D 在同一直线上，若128∠=︒，则2∠的度数为()A ．118︒B ．108︒C ．62︒D ．152︒13.（2022•河北二模）如图，AOB COD ∠=∠，则()A ．12∠=∠B ．12∠<∠C ．12∠>∠D ．无法比较1∠与2∠的大小14.（2022春•岱岳区期末）如图AOB ∠，以OB 为边作BOC ∠，使2BOC AOB ∠=∠，那么下列说法正确的是()A ．3AOC AOB∠=∠B ．AOB AOC ∠=∠或3AOC AOB ∠=∠C ．AOC BOC∠>∠D ．AOC AOB∠=∠考点3：对顶角和余角、（邻）补角1．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．15.（2022•甘肃）若40A ∠=︒，则A ∠的余角的大小是()A ．50︒B ．60︒C ．140︒D ．160︒16.（2022秋•思明区校级月考）已知2530α'∠=︒，则它的补角为()A ．2530︒'B ．64︒30'C ．164︒30'D ．15430︒'17.（2022秋•泰山区校级月考）如图，已知90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足是D ，则图中与B ∠互余的角有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18.（2021秋•肥东县期末）互为补角的两个角的比是3:2，则较小角的余角等于()A ．18︒B ．54︒C ．108︒D ．144︒19.（2022•苏州）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，75AOC ∠=︒，125∠=︒，则2∠的度数是()A ．25︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒20.（2022•自贡）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若130∠=︒，则2∠的度数是()A．30︒B．40︒C．60︒D．150︒21.（2022秋•南岗区校级月考）如图中，1∠和2∠是对顶角的是() A．B．C．D．22.（2022秋•南岗区校级月考）如图，共有对顶角()A．3对B．6对C．12对D．16对23.（2022春•重庆月考）下面四个图形中，1∠与2∠是邻补角的是() A．B．C．D．α=︒，则α的余角是︒．24.（2022•玉林）已知：60考点4：平行线的性质平行线的性质：1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．25.（2022•内蒙古）如图，直线//∠=︒'，则2∠的度数是()a b，截线c，d相交成30︒角，114633A．6327︒'︒'B．6427︒'D．6333︒'C．643326.（2022•东营）如图，直线//∠=︒，a b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，140则2(∠=)A．40︒B．50︒C．60︒D．65︒27.（2022秋•瑞安市期中）如图，直线a，b分别与黑板边缘形成1∠，2∠，小明量出171∠=︒，∠=︒，278则可以算出直线a，b形成的锐角的度数是()A．30︒B．31︒C．41︒D．40︒28.（2022秋•江北区校级期中）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知1110∠=︒，则2∠为() A．105︒B．110︒C．55︒D．130︒29.（2022秋•开福区校级期中）如图，//AB CD ，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ．若50C ∠=︒，则AEC ∠的大小为()A ．55︒B ．65︒C ．70︒D ．80︒考点5：平行线的判定平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．30.（2022•吉林）如图，如果12∠=∠，那么//AB CD ，其依据可以简单说成()A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．同位角相等，两直线平行31.（2022•台州）如图，已知190∠=︒，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是()A ．290∠=︒B ．390∠=︒C ．490∠=︒D ．590∠=︒32.（2022秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到//AB CD 的是()A ．13∠=∠B ．24∠=∠C ．B D ∠=∠D ．12180B ∠+∠+∠=︒33.（2022秋•闵行区期中）已知ABC ∆中，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，下列各式中，不能判断//DE AB的是()A ．DE CE AB AC =B ．AE BD AC BC =C ．AC EC BC DC =D ．AE BD EC DC=34.（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，下列条件中，一定能判断//AB CD 的是()A ．13∠=∠B ．24∠=∠C ．B C ∠=∠D ．1D ∠=∠考点6：平行线有关的辅助线问题35.如图，已知AB ∥DE ，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为（）A ．70°B ．65°C ．35°D ．5°36.如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝54°，∠E ＝18°，则∠C 的度数是（）A ．36°B ．34°C ．32°D ．30°37.如图，四边形ABCO 是矩形，点D 是BC 边上的动点（点D 与点B 、点C 不重合），则BAD DOC ADO∠+∠∠的值为（）A ．1B ．12C ．2D ．无法确定38.在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A．16°B．28°C．44°D．45°考点7：平行线与方位角39.（2022•烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40︒方向，C在B的南偏东35︒方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是()A．北偏东70︒B．北偏东75︒C．南偏西70︒D．南偏西20︒40.（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34︒，公路PB的走向是南偏东56︒，则这两条公路的夹角APB∠=︒．41.（2022秋•甘井子区期中）如图，C处在B处的北偏西40︒方向，在A处的北偏西75︒方向，则C∠的度数为()A．35︒B．38︒C．40︒D．45︒42.（2022秋•闵行区期中）如图，一艘船从A处向北偏东30︒的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶16千米到C处，这时这艘船与A的距离()A．15千米B．14千米C．103千米D．53千米43.（2022春•长安区校级期中）如图，B地在A地的()A．北偏东60︒，相距200m处B．北偏西60︒，相距200m处C．南偏西60︒，相距200m处D．北偏东30︒，相距200m处01直线、线段的性质1.（2021秋•滦州市期末）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2021秋•青山区期末）下列说法：①画射线6=；②设a表示一个数，则a-一定不是正数；③射线ABAB cm与射线BA是同一条射线；④用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是两点确定一条直线．其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2022春•惠州期末）如图M、N两点是小凡同学体育课上两脚在B、C两点起跳后跳远留下的脚印，体育老师测量他的跳远成绩是线段BN的长度而不是CN的长度，这样测量的依据是()A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．平行线之间的距离处处相等4.（2021秋•城固县期末）木匠在木料上画线，先确定两个点的位置，就能把线画得很准确，其依据是() A．两点之间线段最短B．过一点有无数条直线C．两点确定一条直线D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离5.（2022秋•诸城市校级月考）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有()A．①②B．①③C．②④D．③④6.（2021秋•乌当区期末）如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是()A．①B．②C．③D．④7.（2021秋•云岩区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是()A．两点之间，线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，直线最短D．两点确定一条直线02比较线段的长短突破8.（2022春•南岗区期末）下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是()A ．用两个钉子就可以把木条固定在上B ．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C ．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D ．植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上9.（2021秋•邢台期末）小华认为从A 点到B 点的三条路线中，②是路程最短的，他做这个判断所依据的是()A ．线动成面B ．两点之间，线段最短C ．两点确定一条直线D ．连接两点之间的线段的长度叫做两点间的距离10.（2022秋•夏邑县月考）请你量一量如图ABC ∆中BC 边上的高的长度，下列最接近的是()A ．0.5cmB ．0.7cmC ．1.5cmD ．2.3cm11.（2021秋•惠安县期末）在一条直线上依次有E 、F 、G 、H 四点．若点F 是线段EG 的中点，点G 是线段FH 的中点，则有()A ．EF GH =B ．EG GH >C ．2GH FG >D ．12FG GH =12.（2022春•杨浦区校级期末）如图，AC BD >，比较线段AB 与线段CD 的大小()A ．AB CD =B ．AB CD >C ．AB CD <D ．无法比较03度分秒的换算突破13.（2022春•东平县期中）把401236︒'''化为用度表示，下列正确的是()A ．40.11︒B ．40.21︒C ．40.16︒D ．40.26︒14.（2022秋•晋州市期中）下列运算正确的是()A ．34.5345︒=︒'B ．9023456615︒-︒'=︒'C ．123422518︒'⨯=︒'D ．242424.04︒'=︒15.（2021秋•新乐市期末）若 5.12α∠=︒，则α∠用度、分、秒表示为()A ．512'︒B ．5712'''︒C ．572'''︒D ．5102'''︒16.（2022春•聊城期末）已知374940α∠=︒'''，521020β∠=︒'''，则αβ∠+∠和βα∠-∠的大小分别为()A ．90︒；142040︒'''B ．80︒；142040︒'''C ．90︒；132040︒'''D ．80︒；152040︒'''17.（2021•兴安盟）741930︒'''．★★★真题达标演练★★★1.（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（）A ．B ．C ．D ．2.（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3.（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（）A ．B ．C ．D ．4.（2022·山东东营·中考真题）如图，直线ab ，一个三角板的直角顶点在直线a 上，两直角边均与直线b相交，140∠=︒，则2∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．65︒5.（2022·四川资阳·中考真题）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若140∠=︒，则2∠度数是()A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒6.（2022·四川资阳·中考真题）如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是()A ．文B ．明C ．城D ．市7.（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④8.（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．49.（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，45A ∠=︒，30E ∠=︒，DE AC ∥，则1∠=_________︒．10.（2022·山东济宁·中考真题）如图，直线l 1，l 2，l 3被直线l 4所截，若l 1∥l 2，l 2∥l 3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．11.（2022·湖南益阳·中考真题）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34︒，公路PB的走向是南偏东56︒，则这两条公路的夹角∠APB＝_____°．∠12.（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，C岛在A岛的北偏东50︒方向，C岛在B岛的北偏西35︒方向，则ACB的大小是_____．∥，交AB于点E．13.（2022·浙江温州·中考真题）如图，BD是ABC的角平分线，DE BC(1)求证：EBD EDB∠=∠．=时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．(2)当AB AC14.（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．（参考数据：≈1.414）(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？15.（2022·四川自贡·中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O 处，另一端系小重物G ．测量时，使支杆OM 、量角器90°刻度线ON 与铅垂线OG 相互重合（如图①），绕点O 转动量角器，使观测目标P 与直径两端点,A B 共线（如图②），此目标P 的仰角GON ∠=∠．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K 处测得顶端P 的仰角60POQ ∠=，观测点与树的距离KH 为5米，点O 到地面的距离OK 为1.5米；求树高PH ． 1.73≈，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距离地面高度PH （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点,E F （,,E F H 在同一直线上），分别测得点P 的仰角,αβ，再测得,E F 间的距离m ，点12,O O 到地面的距离12,O E O F 均为1.5米；求PH （用,,m αβ表示）．。

第13课时　几何初步知识及相交线、平行线1.如图,直线c与直线a,b相交,若a∥b,∠1=55°,则∠2=( )A.60°B.55°C.50°D.45°2.如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是( )3.两个直角三角板如图摆放,其中∠BAC=∠EDF=90°,∠E=45°,∠C=30°,AB与DF交于点M.若BC∥EF,则∠BMD的大小为( )A.60°B.67.5°C.75°D.82.5°4.如图,AB∥DF,AC⊥CE于点C,BC与DF交于点E.若∠A=20°,则∠CEF等于( )A.110°B.100°C.80°D.70°5.如图①,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如图②.则下列说法正确的是( )A.点M在AB上B.点M在BC的中点处C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远6.若A,B,C在同一条直线上,线段AB=6 cm,BC=2 cm,则A,C两点间的距离是( )A.8 cmB.4 cmC.8 cm或4 cmD.无法确定7.将一三角板与两边平行的纸条如图放置.下列结论:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠2+∠4=90°;④∠4+∠5=180°,其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.48.如图,两直线交于点O,若∠1+∠2=76°,则∠1= .9.如图,AB∥CD,AB⊥AE,∠CAE=42°,则∠ACD的度数为 .10.如图,在下列条件中:①∠DAC=∠ACB;②∠BAC=∠ACD;③∠BAD+∠ADC=180°;④∠BAD+∠ABC=180°.其中能使直线AB∥CD成立的是 .(填序号)11.把一副三角尺放在同一水平面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1的度数为 .12.如图,把矩形ABCD沿EF对折后使点A落在点G处.若∠1=50°,则∠AEG= .13.由一副三角板拼成的图形如图所示,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证:CF∥AB;(2)求∠DFC的度数.参考答案1.B2.A3.C4.A5.C6.C7.D8.38°9.132°10.②③11.75°12.130°∠DCE.∵∠DCE=90°,∴∠1=45°.13.CF平分∠DCE,∴∠1=∠2=12∵∠3=45°,∴∠1=∠3,∴CF∥AB.D=30°,∠1=45°,∴∠DFC=180°-30°-45°=105°.。

考点13 线段、角、相交线与平行线有关线段、角、相交线与平行线的考点，在中考数学中属于基础考点，对其考察的难度及常见度都不大，而且大多都集中在相交线与平行线中。

但是该考点是几何图形学习的基础，任何复杂图形都是在该考点只上一步步积累起来的，所以，该考点的性质常融合在其他几何图形的考察之中，对该考点的复习也直接影响后期对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。

一、点与线二、角三、相交线四、平行线考向一：点与线点线相关定义及其性质1．下列说法错误的是（ ）A ．直线AB 和直线BA 表示同一条直线B ．过一点能作无数条直线C ．射线AB 和射线BA 表示不同射线D ．射线比直线短2．已知线段AB ＝6cm ，在线段AB 所在的直线上截取BC ＝4cm ，点D 为BC 中点，则AD ＝（ ）A ．8cmB ．2cmC ．4cm 或2cmD ．4cm 或8cm3．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在线段MN 上，则图中共有 条线段．4．济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）A ．20种B ．42种C ．10种D ．84种5．如图有a 条直线，b 条射线，c 条线段，则a +b ﹣c ＝ ．考向二：角角的定义、性质及其他相关：°，°，①锐角α：；②直角α：；③钝角α：④平角α：；⑤周角α：.1．一副三角板如图所示放置，则∠AOB的度数为（ ）A．75°B．90°C．105°D．120°2．如图所示，将一块直角三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC＝22°，那么∠BOD＝（ ）A．68°B．58°C．78°D．22°3．如图，O是直线AC上的一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，．下列四个结论：①∠BOD＝20°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（ ）A．①③④B．②③④C．②③D．②④4．已知∠2是∠1的余角，且∠1＝35°，则∠2的补角等于（ ）A．145°B．125°C．115°D．65°5．下列运算正确的是（ ）A．34.5°＝34°5′B．90°﹣23°45′＝66°15′C．12°34′×2＝25°18′D．24°24′＝24.04°6．如图所示，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝13°，则∠AOD的度数为（ ）A．70°B．65°C．60°D．52°考向三：相交线相交线相关定义及其性质1．为了测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，王明设计了如下方案：作AO、BO的延长线OD、OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB的度数，王明这样做的依据是 ．2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°48′，则∠AOE的度数是 ；∠AOC的补角度数是 ；与∠AOD相等的角有 ．3．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝72°，那么∠BOD的度数等于（ ）A．30°B．36°C．20°D．40°4．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（ ）A．30°B．36°C．45°D．72°5．如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．0个考向四：平行线一．平行线的性质与判定则有：①；②二．两平行线间的距离平行线间的距离处处相等三.平移的性质∶（1）平移不改变图形的形状和大小.（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。

几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。

立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。

2023年中考数学二轮专题复习——几何图形初步与相交线、平行线（测试时间：60分钟分数：100分）一、选择题（本题共8小题，共40分）1.（2021·四川巴中）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）A．B．C．D．2.（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．3.（2022·广西柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）A．50°B．60°C．70°D．110°4.如图，直线相交于点射线平分若，则等于（）A．B．C．D．5.（2022·辽宁营口）如图，直线的顶点B，C分别在上，若，则的大小为（ ）A．B．C．D．6.两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB 与DF交于点M．若，则的大小为（）A．B．C．D．7.如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（）A．60°B．70°C．75°D．85°8.（2021·四川德阳）如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠CEF＝120°，则∠MPB＝（ ）A．30°B．60°C．120°D．150°二、填空题（本题共5小题，每空3分，共15分）9.（2022·广西玉林）已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．10.如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．11.如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A ＝ ．12.（2021·湖南益阳）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．13.（2021·辽宁阜新）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD 上，EG平分，则的度数为_________°．三、解答题（本题共3小题，共45分）14.（2021·湖北武汉）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．15.如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．16.（2020·江苏镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．参考答案:1.A2.C3.C4.A5.C6.C7.B8.D9.3010.3811.20°12.6013.6014.证明：∵，∴．∵，∴．∴．∴．15.证明：∵，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴．16.证明：（1）在△BEF和△CD A中，，∴△BEF≌△CDA（SAS），∴∠D＝∠2；（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠D＝∠2＝78°，∵EF∥AC，∴∠2＝∠BAC＝78°．。