第111128号新课标七年级数学竞赛培训第十六讲 不等式(组)的应用

竞赛讲座16－不等式不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档〞试题。

而且，不管是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题〔特别是有关不等式的证明〕在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

但它也有一些根本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些根本的常用方法开始。

一、不等式证明的根本方法1．比拟法比拟法可分为差值比拟法和商值比拟法。

〔1〕差值比拟法原理 A－ B＞0A＞B．【例1】〔l〕m、n是奇偶性相同的自然数，求证：〔a m＋b m〕〔a n＋b n〕＜2〔a m+n+b m+n〕。

〔2〕证明：··≤。

【例2】设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n，j1,j2,…,j n是1,2,…,n的任意一个排列，令S=a1+ a2+…+ a n，S0=a1b n+a2b n-1+…+a n b1，S1=a1b1+a2b2+…+a n b n。

求证：S0≤S≤S1。

〔2〕商值比拟法原理假设>1，且B>0，那么A>B。

【例3】a,b,c>0，求证：a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b。

2．分析法【例4】假设x,y>0，求证：>。

【例5】假设a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。

3．综合法【例6】假设a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

【例7】△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令S=，t=。

求证：t>S。

4．反证法【例8】a3+b3=2，求证：a+b≤2。

5．数学归纳法【例9】证明对任意自然数n，。

专题17 不等式(组)的应用阅读与思考许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在： 1．作差或作商比较有理数的大小． 2．求代数式的取值范围．3．求代数式的最大值或最小值． 4．列不等式(组)解应用题．列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”．例题与求解【例1】如果关于x 的方程210m x x --=只有负根，那么m 的取值范围是_________．(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)解题思路：由x ＜0建立关于m 的不等式．【例2】已知A ＝1998199920002001⨯-⨯，B ＝1998200019992001⨯-⨯，C ＝1998200119992000⨯-⨯，则有( )．A ．A ＞B ＞C B ．C ＞B ＞A C ．B ＞A ＞CD ．B ＞C ＞A (浙江省绍兴市竞赛试题)解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较【例3】已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值．(北京市竞赛试题)解题思路：设1a ＜2a ＜3a ＜···＜7a ，则1a +2a +3a +···+7a ＝159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含1a 的不等式．【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．(河北省竞赛试题)解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．【例6】已知n ，k 皆为自然数，且1＜k ＜n ．若123101n kn +++⋅⋅⋅+-=-，n k a +=．求a 的值．(香港中学数学竞赛试题)解题思路：此题可理解为在n 个连续自然数中去除其中一个数 k (且1＜k ＜n ，k 是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求n 和k 之和。

新课标七年级数学竞赛培训第16讲：不等式（组）的应用一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）1．（3分）给出四个自然数a，b、c、d，其中每三个数之和分别是180、197、208、222，则a，b、c、d中最大的数是_________．2．（3分）若方程只有负数根，则a的取值范围是_________．3．（3分）若方程组的解是正数，则m的取值范围是_________．4．（3分）某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时，收集了如下信息：（1）生产该种化肥的工人数不能超过200人；（2）每个工人全年工作时数不得多于2100个；（3）预计2002年该化肥至少可售销80000袋；（4）每生产一袋该化肥需要工时4个；（5）每袋该化肥需要原料20千克；（6）现库存原料800吨，本月还需用200吨，2002年可以补充1200吨．根据上述数据，确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是_________．5．大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于2003，中数减小数之差等于1000，那么这三个正整数的和为6．（3分）已知a+b+c=0，a＞b＞c，则的取值范围是_________．7．（3分）适合方程的正整数x的值是_________．8．（3分）设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1＜x2＜x3＜…x6＜x7，又x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=159，则x1+x2+x3的最大值是_________．9．（3分）正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲，乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过_________分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）10．（3分）甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是11．（3分）设，，则P、Q的大小关系是（）12．（3分）（2002•南京）某出租车收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米需付6元车费），超过3千米后，每增加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费17.2元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x13．（3分）（2002•重庆）韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未满；若全部安排B队的车，每辆车4人，车15．（3分）小林拟将1，2，…，n这n个数输入电脑，求平均数．当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了（n﹣1）个数，平均数为35，假设这（n﹣1）个数输入无误，则漏输入的≤a≤≤a≤三、解答题（共13小题，满分102分）17．已知a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数a1的最大值．18．（8分）（2003•广州）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车相每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省最少运费为多少元？19．（8分）某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．20．（8分）某校为了奖励获奖的学生，买了若干本课外读物，如果每人送3本，还余8本；如果前面第人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本．设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，试解：（1）用含x的代数式表示m；（2）求出获奖人数及所买课外读物的本数．21．（8分）（2002•黑龙江）为了迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表12场）时，A队共积分19分．（1）请通过计算，判断A队胜、平、负各几场；（2）若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元，设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．22．（8分）例题6：商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125%．现计划节日期间按原定销售价让利10%，售出至多100件商品，而在销售淡季按原定销售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品？23．（8分）货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10t，每只箱子的重量不超过1t，为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3t的汽车？24．（8分）（2002•浙江）为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2002年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电每千瓦时0.5 6元（“峰电”价），22：00至次日8：00每千瓦时0.28元（“谷电”价），而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元．（1）一居民家庭在某月使用“峰谷”电后，付电费95.2元，经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元，问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时？（2）当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时，使用“峰谷”电合算（精确到1%）．25．（8分）（2009•天水）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如右表：经预算，该企业购买（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）26．（8分）（2003•南通）某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现（1）若乙、丙两家公司的包装、装卸及运输的费用总和恰是甲公司的2倍，求A，B两市间的距离；（精确到个位）（2）如果A，B两市的距离为s（km），且这批水果在包装、装卸以及运输过程中的损耗为300元/小时，那么，要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？27．（8分）今有浓度为5%，8%，9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7%的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？28．（8分）某企业有员工300人生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）．为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品．根据评估，调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后企业生产A种产品的年利润为_________万元，生产B种产品的年利润为_________万元（用含rn的代数式表示）．若设调配后企业全年的总利润为y万元，则y 关于x的关系式为_________；（2）若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时运算过程可保留3个有效数字）．（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（m=2）继续投资开发新产品，现有六种产品可供品？请你写出两种投资方案．29．（8分）一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位．生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元？。

不等式组的解法和应用不等式组是由多个不等式组成的集合，其解为满足这些不等式的所有实数的集合。

解决不等式组可以通过图像法、代入法、消元法等多种方法进行，根据具体问题的特点选择合适的解法。

I. 图像法图像法是一种直观而简单的解决不等式组问题的方法。

首先，我们将每个不等式都表示在坐标系中的直线或曲线上，然后通过观察图像的交点或者不等式所在的区域来确定解的范围。

例如，考虑以下不等式组：1. 2x + 3y ≤ 62. x - y > 1我们可以将第一个不等式画成2x + 3y = 6的直线，并标记位于或位于直线下方的区域。

同时，将第二个不等式标记在图上，由于是一个不等式关系，我们只需要标记不等式所在的区域。

通过观察交点或者图像所覆盖的区域，我们可以确定不等式组的解。

II. 代入法代入法通过将一个变量的值代入不等式组，将其转化为只含有一个变量的不等式，从而求解。

这个方法适用于不等式组中的不等式较为简单，可以很容易地解出单个变量的值。

考虑以下不等式组：1. 3x - 2y ≤ 72. x + y > 4我们可以选择代入第一个不等式中的x，将其带入第二个不等式，得到 y > 4 - x。

然后，我们可以根据这个不等式确定x和y的取值范围，并进一步求解不等式组。

III. 消元法消元法通过消去一个或多个变量，将不等式组转化为只含有一个变量的不等式，从而求解。

这个方法适用于不等式组中的不等式关系较为复杂，无法简单地通过代入法进行求解。

考虑以下不等式组：1. 2x + 3y ≤ 102. 3x + 2y > 6我们可以通过乘以合适的系数，使得两个不等式的系数相等，从而可以利用相减或者相加的方式将变量消去。

通过这种方法，将两个不等式相减，可以得到一个只含有一个变量的不等式，然后求解这个不等式即可得到不等式组的解。

IV. 应用不等式组的解法在现实问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，可以利用不等式组的解法来优化生产成本和利润最大化。

专题16 不等式（组）例1 C 提示：解不等式组得3220t x -<<，则5个整数解为x ＝19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足14≤3－2t ＜15，故－6＜t ≤1162t -<≤-.例2 1345x < 提示：(2)5m n x m n ->+，20m n -<，51027m n m n +=-，0m <，1345m n =.例3 1m =或3m = 提示：解方程组得81621x m my m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由,0x y ≥⎧⎨≥⎩得－1≤m ≤0例4 提示：由已知条件得325213a b ca b c +=-⎧⎨+=+⎩ ,解得73711a c b c =-⎧⎨=-⎩,m=3c －2.由000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ 得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,解得37711c ≤≤,故m 的最大值为111-,最小值为57- 例5先用x 1和x 2表示x 3,x 4，…，x 7,得312423125341264512756122233558x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=+=+⎪⎪=+=+⎨⎪=+=+⎪=+=+⎪⎩,因此x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7= 2 010. 于是得121201013113100()20220xx x -==+-.因为x 2是自然数,所以1113()220x -是整数，所以x 1是10的奇数倍.又因为x 1＜x 2，故有三组解:x 1=10,x 2=94,或x 1=30,x 2=81,或x 1=50,x 2=68. 因此x 1+x 2的最大值为50+68=118,所以x 1+x 2 +x 3的最大值为2(x 1+x 2)=2×118=236. 例6解法一 ：∵0≤a －b ≤1①，1≤a +b ≤4 ②，由②知－4≤－a －b ≤－1③， ①+③得－4≤－2b ≤0，即－2≤－b ≤0④，①+④得－2≤a －2b ≤1要使a —2b 最大，只有a －b =1且－b =0. ∴a =1 且b =0，此时8a +2003b =8.解法二 ：设a －2b=m(a+b)+n(a －b)=(m+n)a+ (m －n)b,知12m n m n +=⎧⎨-=-⎩,解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 而()11222a b -≤-+≤-,()33022a b ≤-≤,∴a －2b=()12a b -++()32a b -∴－2≤a －2b ≤1当a —2b 最大时，a +b=1，a －b=1∴b=0，a=1，此时8a +2003b =8.A 级 1.9102.11. 1提示:原不等式组变形为4252x a b x >-+<由解集是0＜x ＜2知40502a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=-⎩故a +b =2+(－1)=13.a ＜－b ＜b ＜－a4.52＜m ＜75.B 提示：由ax +3a ＞3+x ,得(a －1)(x +3)＞0,.由不等式的解集为x ＜－3知x +3＜0, 所以a －1＜0,得a ＜1.6.C7.B8.C9.k =2或3.10. 提示：由非负数性质求得a =2,b =5,原不等式组的解集为x ＜－3.11.原不等式组等价于322ax b b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现， 所以其解不可能是22bbx -<<必有32ab x ≤<，由整数解的情况可知213a -<≤-,232b<≤得a =－5,－4,－3;b =5,6.故整数对(a ,b )共有2×3=6对.B 级 1.314a -≤<- 提示:由题意可知:3x a ≤-.由正整数解为1,2,3知334a ≤-<-,解得314a -≤<- 2.a ≥－1 提示:原不等式组变形为1x ax≥-⎧⎨≤⎩由不等式组有解知－a ≤1,故a ≥－1 3. 9≤a ＜12 4.211x ->5. B 提示:原不等式组变形为1736c a b c c ≤++<,5823a a b c a <++<,71524b a b c b <++<.6. C 示：若x ≥2000，则(x －2000)+x ≤9999，即2000≤x ≤5999, 共有4 000个整数; 若0≤x ＜2000,则(x －2000)+x ≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合若x ＜0，则2000－x +(－x ) ≤9999即－3999.5≤x ＜0，共有3999个整数适合，故一共有 4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合.7. D 8.C 提示:由原不等式得x 2＞(x +5)29.提示：解不等式，得711x ≤,原式=()()()41223143x x x x -≥⎧⎪---≤<⎨⎪<-⎩,从而知最大值为4，最小值为3311- 10.提示：s =x +2，2≤s ≤311.提示:由871513n n k <<+,得151387n k n +<<，即7687k n >> .又n 与k 是都是正整数，显然n ＞8，当n 取9,10,11,12,13,14时，k 都取不到整数. 当n =15时,9010578k <<,即61121378k << 此时是k =13故满足条件的最小正整数n =15,k =13. 12.由a b c ＜＜得111a b c ＞＞，故1113a b c a ++＜，即31,3a a ＞＜，又因为1a ＞，故a=2，从而有1112b c +=，又11c b ＜，则212b ＞，即b ＜4，又b ＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.。