第1章Haar小波分析

haar小波特征提取（原创实用版）目录1.Haar 小波特征提取概述2.Haar 小波特征提取的方法3.Haar 小波特征提取的应用4.Haar 小波特征提取的优缺点正文一、Haar 小波特征提取概述Haar 小波特征提取是一种图像特征提取方法，它结合了 Haar 特征和小波特征的优点，被广泛应用于图像识别、目标检测等领域。

Haar 特征是一种基于小波变换的特征提取方法，它具有计算简单、性能优良等特点。

小波特征则是一种多尺度分析方法，能够很好地刻画图像的局部结构。

将两者结合起来，使得 Haar 小波特征提取方法在保留图像局部结构的同时，具有计算简便的优势。

二、Haar 小波特征提取的方法Haar 小波特征提取方法主要包括以下几个步骤：1.对图像进行预处理：为了消除噪声等因素的影响，需要对输入图像进行预处理，包括去噪、缩放等操作。

2.小波变换：对预处理后的图像进行小波变换，得到一系列的小波系数。

小波变换能够将图像的频谱信息集中在少数几个显著频率上，从而降低计算复杂度。

3.构造 Haar 特征：根据小波系数，构造 Haar 特征。

具体来说，将小波系数分为两部分，一部分用于计算亮度特征，另一部分用于计算纹理特征。

通过对这两部分特征进行组合，得到最终的 Haar 小波特征。

4.特征匹配：将提取到的 Haar 小波特征与预先构建的特征库进行匹配，得到最佳匹配特征。

三、Haar 小波特征提取的应用Haar 小波特征提取方法在许多领域都有广泛应用，主要包括：1.图像识别：通过提取图像的 Haar 小波特征，可以有效地识别出图像中的目标物体，从而实现图像识别。

2.目标检测：在目标检测任务中，可以使用 Haar 小波特征提取方法对图像进行特征提取，然后通过特征匹配，得到目标物体的位置和尺度信息。

3.人脸识别：在人脸识别领域，Haar 小波特征提取方法可以用于提取人脸的局部结构信息，从而实现人脸识别。

四、Haar 小波特征提取的优缺点Haar 小波特征提取方法具有以下优缺点：优点：1.计算简单：相较于其他特征提取方法，Haar 小波特征提取方法具有较低的计算复杂度，便于实现实时处理。

Haar⼩波分析⼀尺度函数与⼩波函数基本尺度函数定义为：，对其向右平移任意 k 个单位，构成函数族，该函数族在空间中正交，证明如下：1 ；2 当 m 不等于 k 时，函数族构成⼀组正交基，并形成⼦空间。

在⼦空间中，任意函数均可表⽰为的线性组合，。

将函数族构造宽度缩⼩⼀半，则可形成宽度为的⼀组正交基，，同样，该函数族在空间中正交，并形成⼦空间。

在⼦空间中，任意函数均可表⽰为的线性组合，。

通过以上举例可得：设 j 为⾮负整数，j 级函数⼦空间可表⽰为，其对应正交基包括：，观察中可有中线性组合（中任意函数均可⽤中函数线性组合表达），则为得⼦空间。

各个⼦空间之间存在如下关系：。

使⽤不同⼦空间中尺度函数得线性组合，可以阶梯近似任意连续函数。

在噪声滤除应⽤中，需要提取⼀些属于（⾼频信息）但不属于（低频信息）的⽅法，⼩波函数即描述了这部分信息，也即⼩波函数描述相对于的正交补空间。

根据以上描述，⼩波函数应该满⾜⼀些特性：1 ⼩波函数仍然位于空间中，则他应该是空间基函数的线性组合；2 ⼩波函数位于⼦空间中，则它应于正交。

空间的基本⼩波函数表⽰为：，该函数位于空间，且与正交。

同样对⼩波函数向右平移 k 个单位，构成函数族：，该函数族在空间中正交。

空间的基本⼩波函数表⽰为：，该函数族在空间中正交。

使⽤尺度函数与⼩波函数，可以将空间中函数进⾏分解：，其中为空间中的⼩波函数，继续以上分解，可得：⼆ Haar分解1 将函数离散化为，该函数位于空间中；2 由于，可以将空间中该函数分解为（更平滑尺度函数）与（⼩波函数），根据尺度函数与⼩波函数定义，有如下关系：（根据图形可验证结论正确），进⼀步有：；3 观察到分解⽅式不⼀致，需要将原函数改写为：；4 对改写后的分别使⽤更平滑尺度函数与对应⼩波函数再次改写，有：，整理得：；5 令，继续分解直到，可得：，其中，为相应的⼩波分量。

三 Haar重构1 函数被分解为，其中，；2 （根据图形可验证结论正确），进⼀步有：3 重构为；4 重构为；5 ，其中，由组合；6 继续重构与，直到重构。

第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。

1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。

1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。

1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。

1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。

1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。

1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。

1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。

1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。

1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。

1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。

1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。

Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。

1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。

第1章Haar小波分析1.1简介(近距离---小尺度） （高分辨率）(远距离---大尺度) （低分辨率）1.2 平均与细节设1234{,,,}x x x x 是一个信号序列。

定义它的平均和细节：1,0121,012()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了1x 、2x 和1,0a 、1,0d 的关系。

这里，1,0a 是原信号前两个值1x 、2x 的平均。

又叫低频成分，反映前两个值1x 、2x 的基本特征或粗糙趋势；1,0d 反映了1x 、2x 的差别，即细节信息，又叫高频成分。

1,1341,134()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了3x 、4x 和1,1a 、1,1d 的关系。

同样，1,1a 是原信号后两个值3x 、4x 的平均，1,1d 反映了3x 、4x 的细节。

我们把1,01,11,01,1{,,,}a a d d 看作是对1234{,,,}x x x x 实施了一次变换的结果。

变换还可以往下进行：0,01,01,1()/2a a a =+=1234(()/2()/2)/2x x x x +++ =1234()/4x x x x +++0,0a 是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；0,01,01,1()/2d a a =-。

经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：0,00,01,01,1{,,,}a d d d该序列叫做原序列的小波变换，0,00,01,01,1,,,a d d d 叫做小波系数。

还可以反过来表示：111,0211,0x a d x a d =+⎫⎬=-⎭这是用｛1a ,1,0d ｝来恢复原信号1x 、2x ；321,1421,1x a d x a d =+⎫⎬=-⎭用｛2a ,1,1d ｝来恢复原信号3x 、4x 。

也就是反变换。

小波变换过程的塔式算法：例如，1234{,,,}x x x x ＝｛3，1，－2，4｝最终的小波变换为0,00,01,01,1{,,,}a d d d =31{,,1,3}22-1.3 尺度函数与小波函数 (1)Haar 尺度函数不压缩：不位移 位移一个单位 位移k 个单位t1)-压缩1/12倍，不位移压缩1/12倍，位移一个单位 压缩1/2j倍，移位K 个单位一般,()(2)j j k t t k φφ=-，0,1,2,...,21j k =-◆ 几个术语1） 支撑（支集），（尺度）函数,()j k t φ不为零的区间，上例中为1[,]22j j k k +。

哈尔小波变换的原理及其实现(Haar)一、引言小波变换是近年来迅速发展并得到广泛应用的一个新学科。

它同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义。

小波变换具有多分辨分析的特点，利用小波变换可以检测出数据中的突变和奇异点，这使得它在信号处理、图像处理、语音识别等领域取得了重要的应用。

在众多的小波变换中，Haar小波变换是最简单的一种，也是最容易理解的一种。

本篇文章将对Haar小波变换的原理及其实现进行详细的讨论。

二、Haar小波变换的原理Haar小波变换是一种离散小波变换，其基本思想是通过对输入信号进行逐级近似，逐步将信号分解为不同频率的子信号。

Haar小波变换的基本单位是Haar小波，它是一种简单的、具有正负交替的波形。

Haar小波的形状类似于一个阶梯函数，其时间分辨率固定，但频率分辨率可变。

Haar小波变换通过对输入信号进行逐级二分，实现了对信号的多尺度分析。

在Haar小波变换中，信号的分解过程可以形象地理解为对信号进行"拆分"。

具体来说，对于长度为2^n的输入信号，Haar小波变换将其拆分为2^n/2个子信号，其中每个子信号的长度为2^(n-1)。

每个子信号都由原信号中的一段连续信号组成，这些子信号构成了原信号的不同频率成分。

通过这种方式，Haar小波变换实现了对信号的多尺度分析。

此外，Haar小波变换还具有快速算法的特点。

由于Haar小波的特性，其变换矩阵是一个稀疏矩阵，因此其计算量较小，非常适合于快速计算。

这使得Haar小波变换在实时信号处理等领域得到了广泛的应用。

三、Haar小波变换的实现Haar小波变换的实现主要包括以下几个步骤：1.定义Haar小波：首先需要定义Haar小波的波形和参数。

Haar小波通常由一组正负交替的波形组成，其参数决定了小波的形状和频率分辨率。

2.计算Haar系数：Haar系数是小波变换的关键参数，它决定了Haar小波的形状和性质。

计算Haar系数的方法有很多种，常用的方法有递归法和离散傅里叶变换法等。

Haar⼩波的理解
1. ⾸先理解L^2(R)的概念
L^2(R) 是⼀个内积空间的概念，表⽰两个⽆限长的向量做内积,张成的空间问题。

也就是两个函数分别作为⼀个向量，这两个函数要是平⽅可积的。

L^2(a,b)=<f(x)|g(x)>= ∫g(x)f(x)dx| x=a:b < +∞ [前提：∫||f(x)||dx| x=a:b < +∞ 和∫||g(x)||dx| x=a:b < +∞]
当<f(x)|g(x)> - f(x) < ε时，可以默认为在内积空间内<f(x)|g(x)>向量内积的值⾮常近似与f(x),通过这个性质，使⽤⽆数个正交的向量张成的空间的正交基向量的坐标值来表⽰f(x)，即f(x) = ∑cn*[基向量]i , 可⽤cn= <f(x)|基向量>/<基向量|基向量>求得Cn.
2. Haar⼩波
尺度函数：是⼀组正交基
哈尔⼩波：是⼀组正交基
3. Haar⼩波分解
f(t)j 属于Vj空间，即分辨率为1/2^j的空间
f(t)j = V0 + W0+ W1 +W2+ ... + W j-1
4. 降采样与升采样
（待更新）
5. 重构
（待更新）
参考⽂章：
1. ⼩波分析完美教程经典 - ⼩波与⼩波变换- 林福宗清华⼤学计算机与技术系智能技术与系统国家重点实验室
2. ⼩波与傅⾥叶分析基础（第⼆版）- A First Course in Wavelets with Fourier Anaysis - Albert Boggess Freancis J.Narcowich。

haar小波特征提取-回复什么是Haar小波特征提取算法？以及它在图像处理中的应用。

Haar小波特征提取算法是一种非常流行的图像处理技术，它广泛应用于面部识别、人脸检测、物体识别和目标跟踪等领域。

该算法通过将图像转换为Haar基函数的线性组合，从而提取出图像中的特征。

本文将一步一步回答以下问题，以帮助读者深入了解Haar小波特征提取算法及其应用。

第一步：Haar小波变换是什么？Haar小波变换是一种多尺度分析方法，它将原始图像分解为多个子图像，每个子图像都包含不同尺度和方向的特征。

Haar小波变换通过对子图像进行积分来提取特征。

这种变换方法通常用于图像压缩和图像处理领域。

第二步：Haar小波特征提取是如何工作的？Haar小波特征提取是通过计算图像中特定区域的积分来提取特征的。

算法将一个大小为n×n的窗口从图像上滑动，并计算在窗口内的像素总和。

然后，窗口在图像上滑动一次，并再次计算新位置上的窗口内像素总和。

这个过程会不断重复，直到窗口滑动完整个图像。

通过计算不同位置和尺度的窗口像素总和，Haar小波特征提取可以捕捉到图像中的不同特征。

第三步：Haar小波基函数是什么？Haar小波基函数是一组具有特定形状和尺度的函数，用于表示图像中的特征。

这些基函数在图像中进行滤波操作，从而提取图像的特征。

Haar小波基函数通常具有矩形、水平线和垂直线等形状，可以针对不同类型的特征进行优化。

第四步：Haar小波特征如何应用于图像处理？在图像处理中，Haar小波特征提取算法具有广泛的应用。

其中一个重要的应用是面部识别。

通过提取人脸图像中的Haar小波特征，可以生成人脸特征向量。

这些人脸特征向量可以与数据库中的已知人脸特征进行比对，以达到识别人脸的目的。

另一个重要的应用是物体检测。

通过在图像中滑动窗口，并计算窗口内的Haar小波特征，可以检测图像中的物体。

这种方法主要用于行人检测、车辆检测和目标跟踪等领域。

此外，Haar小波特征提取算法还可以用于图像压缩。

一维的Haar小波变换分类：svm、HMM、hog、Gobor、Gog高斯差分、小波变换2013-03-08 10:01 829人阅读评论(2) 收藏举报小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号，例如图像信号。

为了理解什么是小波变换，下面用一个具体的例子来说明小波变换的过程。

1. 求有限信号的均值和差值[例] 假设有一幅分辨率只有4个像素的一维图像，对应的像素值或者叫做图像位置的系数分别为：[9 7 3 5]计算它的哈尔小波变换系数。

计算步骤如下：步骤1：求均值(averaging)。

计算相邻像素对的平均值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目变成了2个，即新的图像的分辨率是原来的1/2，相应的像素值为：[8 4]步骤2：求差值(differencing)。

很明显，用2个像素表示这幅图像时，图像的信息已经部分丢失。

为了能够从由2个像素组成的图像重构出由4个像素组成的原始图像，就需要存储一些图像的细节系数(detail coefficient)，以便在重构时找回丢失的信息。

方法是把像素对的第一个像素值减去这个像素对的平均值，或者使用这个像素对的差值除以2。

在这个例子中，第一个细节系数是(9-8)=1，因为计算得到的平均值是8,它比9小1而比7大1，存储这个细节系数就可以恢复原始图像的前两个像素值。

使用同样的方法，第二个细节系数是(3-4)=-1，存储这个细节系数就可以恢复后2个像素值。

因此，原始图像就可以用下面的两个平均值和两个细节系数表示，[8 4 1 -1]步骤3：重复第1，2步，把由第一步分解得到的图像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。

在这个例子中，分解到最后，就用一个像素的平均值6和三个细节系数2,1和-1表示整幅图像。

[6 2 1 -1]这个分解过程如表8-1所示。

表8-1 哈尔变换过程由此可见，通过上述分解就把由4像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个细节系数表示，这个过程就叫做哈尔小波变换(Haar wavelet transform)，也称哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition)。