专题11 三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用 决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱(含答案)

2018年高考试题训练一：2018年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：在平面四边形ABCD 中，090=∠ADC ，045=∠A ，2=AB ，5=BD 。

（Ⅰ）求ADB ∠cos ；（Ⅱ）若22=DC ，求BC 。

本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。

如下图所示：根据正弦定理得到：A AB ADB BD ADBAB A BD sin sin sin sin ⋅=∠⋅⇒∠=525222sin sin =⨯=⋅=∠⇒BD A AB ADB 。

根据三角函数同角之间的基本关系得到：ADBADB ∠-=∠22sin 1cos 25232521=-=。

根据大边对大角得到：ADBADB A ADB BC AB ∠⇒<∠⇒<∠⇒<045为锐角523cos 0cos =∠⇒>∠⇒ADB ADB 。

（Ⅱ）本题目是标准的余弦定理已知两边和两边夹角的经典题型。

在BCD Rt ∆中：5=BD ，22=CD ，ADBBDC ∠-=∠090)90cos(cos 0ADB BDC ∠-=∠⇒。

诱导公式：090终边在y 轴正半轴ADB ∠-⇒090是第一象限角cos ⇒在第一象限为正，090是090的奇数倍cos ⇒名称改为sin 名称。

52sin )90cos(cos 0=∠=∠-=∠ADB ADB BDC 。

根据余弦定理得到：BDCBD DC BD DC BC ∠⋅⋅⋅-+=cos 2222525833525222258=⇒=-=⋅⋅⋅-+=BC 。

训练二：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ∆的面积为。

本题解析：本题目是边角转化与余弦定理综合题型。

边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把方程每一项的边全部转化为对角正弦，保持次数不变。

第四章 三角函数与解三角形第六节 正弦定理和余弦定理考点1 利用正、余弦定理解三角形（2018·浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝√7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.【解析】如图，由正弦定理asin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝√7×√32＝√217. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1（舍去）． 【答案】√217 3（2018·天津卷（文））在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知b sin A ＝a cos (B −π6).（1）求角B 的大小；（2）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A －B ）的值．【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sinB ．又由b sin A ＝a cos (B −π6)，得a sin B ＝a cos (B −π6)，即sin B ＝cos (B −π6)，可得tan B ＝√3. 又因为B ∈（0，π），所以B ＝π3.（2）在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝√7.由b sin A ＝a cos (B −π6)，可得sin A ＝√217 .因为a ＜c ，所以cos A ＝2√77.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝4√37， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17. 所以sin （2A －B ）＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝4√37×12－17×√32＝3√314.【答案】见解析（2018·全国卷Ⅲ（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C等于（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 【解析】∵S ＝12ab sin C ＝a 2+b 2−c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.∵C ∈（0，π），∴C ＝π4.【答案】C（2018·全国Ⅱ卷（文））在△ABC 中，cos C 2＝√55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于（ ） A ．4√2B ．√30C ．√29D ．2√5 【解析】∵cos C 2＝√55， ∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×(√55)2－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×(−35)＝32，∴AB ＝√32＝4√2.【答案】A（2018·全国Ⅱ卷（文））如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2√2，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】（1）证明 因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2√3.如图，连接OB ．因为AB ＝BC ＝√22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB ．因为OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ．（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ，作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由（1）可得OP ⊥CH ，因为OM ∩OP ＝P ，OM ，OP ⊂平面POM ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题意可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝4√23，∠ACB ＝45°，所以在△OMC 中，由余弦定理可得，OM ＝2√53， CH ＝OC·MC sin ∠ACB OM ＝4√55.所以点C 到平面POM 的距离为4√55.【答案】见解析（2018·全国Ⅰ卷（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．【解析】∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sinC ．又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2+c 2−a 22bc ＝82bc ＝4bc ＞0， ∴cos A ＝√32，bc ＝4cos A ＝8√33， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×8√33×12＝2√33. 【答案】2√33 （2018·北京卷（文））若△ABC 的面积为√34（a 2＋c 2－b 2），且∠C 为钝角，则∠B ＝________；c a 的取值范围是________．【解析】由余弦定理得cos B ＝a 2+c 2−b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cosB ．又∵S ＝√34（a 2＋c 2－b 2），∴12ac sin B ＝√34×2ac cos B ，∴tan B ＝√3，又∠B ∈（0，π），∴∠B ＝π3. 又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A ＞π2， ∴0＜∠A ＜π6. 由正弦定理得c a ＝sin(2π3−∠A)sin A＝√32cos A+12sin A sin A ＝12＋√32·1tan A .∵0＜tan A ＜√33，∴1tan A ＞√3， ∴c a ＞12＋√32×√3＝2， 即c a ＞2.∴c a 的取值范围是（2，＋∞）．【答案】π3 （2，＋∞）。

正弦定理和余弦定理及其应用专题[基础达标](35分钟60分)一、选择题(每小题5分，共35分)1A为△ABC的一个内角，且sin A+cos A=23，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定B【解析】因为sin A+cos A=23，所以(sin A+cos A)2=1+2sin A cos A=29，则2sinA cos A=-79，所以A为钝角，△ABC是钝角三角形.2.在三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a2-c2=2b，且sin B=6cos A·sin C，则b=() A.4 B.3 C.2 D.1B【解析】由sin B=6cos A·sin C得b=6c·b 2+c2-a22bc，即2b2=3a2-3c2=6b，所以b=3.3ABC中，内角A，B，C所对的边是a，b，c，且A=π3，a cos C+c cos A=2b cos A，则sin B+sin C的取值范围是()A.32，3B.32，3C.33，3D.33，3A【解析】sin B+sin C=sin B+sin2π3-B =sin B+sin2π3cos B-cos2π3sin B=32sinB+32cos B=3sin B+π6，由0<B<2π3，得π6<B+π6<5π6，则12<sin B+π6≤1，故3 2<3sin B+π6≤3.4△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c=2∶3∶4，则sin A -2sin B sin 2C=( )A .1B .2C .-2D .12B 【解析】令a=2k ，b=3k ，c=4k (k>0)，由余弦定理得cos C=a 2+b 2-c 22ab=-14，则sin A -2sin B sin 2C=sin A -2sin B 2sin C cos C=a -2b2c cos C =2.5.在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，且a sin B ·cos C+c sin B cos A=12b ，且a>b ，则B= ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6A 【解析】利用正弦定理，化简已知等式得sin A sinB cos C+sinC sin B cos A=12sin B ，且sin B ≠0，则sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C )=sin B=12.且a>b ，则A>B ，即B 为锐角，所以B=π6.6.在△ABC 中，∠ABC=30°，AB= 3，BC 边上的中线AD=1，则边AC 的长度为( )A.1或 7B. 7C. 3D.1或 3A 【解析】由正弦定理可知1sin 30°= 3sin ∠ADB ，则sin ∠ADB= 32，所以∠ADB=60°或∠ADB=120°.当∠ADB=60°时，BD=2，DC=2，∠ADC=120°，由余弦定理得AC= 7；当∠ADB=120°时，BD=1 ，DC=1 ，∠ADC=60°，所以△ADC 为等边三角形，所以AC=1.综合得AC 的长度为1或 7.7△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，且A=2B ，sin B=35，则ab 的值是 ( )A.35B.45C.43D.85D【解析】由A=2B知sin A=sin 2B=2sin B cos B，又由sin B=35知cos B=45，所以由正弦定理得ab =2sin B cos Bsin B=2cos B=2×45=85.二、填空题(每小题5分，共5分)8△ABC中，角A，32B，C成等差数列，且△ABC的面积为1+2，则AC边的最小值为.2【解析】设角A，B，C的对边分别是a，b，c.∵A，32B，C成等差数列，∴A+C=3B，又∵A+B+C=π，∴B=π4，∵S△ABC=12ac sin B=1+2，∴ac=2(2+2)，∵b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-2ac，a2+c2≥2ac，∴b2≥(2-2)ac=4，b≥2，∴b 的最小值为2.三、解答题(共20分)9.(10分D是直角△ABC的斜边BC 上一点，AC=3DC.(1)若∠DAC=30°，求角B的大小；(2)若BD=2DC，且AD=2，求DC的长.【解析】(1)在△ADC中，根据正弦定理，有ACsin∠ADC =DCsin∠DAC.因为AC=3DC，所以sin ∠ADC=3sin ∠DAC=32.又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°>60°，所以∠ADC=120°.于是∠C=180°-120°-30°=30°，所以∠B=60°.(2)设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=3x.于是sin B=ACBC =33，cos B=63，AB=6x.在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2AB·BD cos B，即(2)2=6x2+4x2-2×6x×2x×63，解得x=1(舍去负值)，故DC=1.10.(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2b-c)cos A-a cos C=0.(1)求角A的大小；(2)若a=3，△ABC的面积S△ABC=334，试判断△ABC的形状，并说明理由.【解析】(1)∵(2b-c)cos A-a cos C=0，∴(2sin B-sin C)cos A-sin A cos C=0，∴2sin B cos A=sin(A+C)，∴2sin B cos A=sin B，∴cos A=12，∴A=π3.(2)∵S△ABC=334，∴12bc sin A=334，∴bc=3.∵cos A=b 2+c2-(3)22bc=12，∴b+c=23.∴b=c=3.又A=π3，∴△ABC是等边三角形.[高考冲关](20分钟35分)1.(5分△ABC中，sin A=35，AB·AC=8，则△ABC的面积为()A.3B.4C.6D.125A【解析】因为AB·AC=bc·cos A=8，又因为sin A=35，所以cos A=45，因此bc=10，所以S△ABC=12bc sin A=12×10×35=3.2.(5分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则cos B=；若同时边a，b，c成等比数列，则cos 2A=.1 2-12【解析】若角A，B，C成等差数列，则2B=A+C，又A+B+C=π，故B=π3，cos B=12.若同时边a，b，c成等比数列，则b2=ac，cos B=a2+c2-b22ac=12，则a=c，故A=B=C=π3，cos 2A=-12.3.(5分△ABC中，B=2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A=.23【解析】由B=2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，得DABD =43.在△ADC和△BDC中，由正弦定理可得DACD=sin∠ACDsin A和BDCD=sin∠BCDsin B，两式相除得DABD =sin Bsin A，则sin Bsin A=sin2Asin A=2cos A=DABD=43，即cos A=23.4.(10分△ABC中，∠B=π3，AC=23.(1)若∠BAC=θ，求AB和BC的长(结果用θ表示)；(2)当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状.【解析】(1)∵在△ABC中，由正弦定理得ACsin B =BCsin A=ABsin C，∴23sinπ=BCsinθ=ABsinπ3+θ，∴BC=4sin θ，AB=4sinπ3+θ .(2)∵AB+BC=6，∴4sin θ+4sinπ3+θ =6，化简得sinπ6+θ =32.∵θ∈0，2π3，∴π6+θ=π3或π6+θ=2π3，∴θ=π6或θ=π2，∴∠C=π2或∠C=π6.∴△ABC为直角三角形.5.(10分ABC的内角A，B，C及所对的边分别为a，b，c，已知a≠b，c=3，cos2A-cos2B=3sin A cos A-3sin B cos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A=45，求△ABC的面积.【解析】(1)原等式可化为cos2A+12−cos2B+12=32sin 2A-32sin 2B，即sin2B-π6=sin2A-π6，∵a≠b，∴A≠B.又∵A，B∈(0，π)，∴2B-π6+2A-π6=π，∴C=π3.(2)由正弦定理可求得a=85，∵a<c，∴cos A=35.∴sin B=sin(A+C)=4+3310，∴S△ABC=12ac sin B=83+1825.。

2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案
5 c 高三数学（理）一轮复习教案第五编平面向量、解三角形总第25期
§55 正弦定理、余弦定理的应用
基础自测
1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,c点的俯角为70°，则∠BAc=
答案130°
2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为
答案 =
3在△ABc中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinc=2sinAcsB,则△ABc是三角形
答案等边
4已知A、B两地的距离为10 ,B、c两地的距离为 =5，
∴AB= ()∴A、B之间的距离为
例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 ，从B到c方位角是110°，距离是3 ，从c到D,方位角是140°，距离是（9+3 ）试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）解示意图如图所示，连接Ac，在△ABc中，
∠ABc=50°+(180°-110°)=1(70°+30°)=14cs
∴=S△Pc+S△PcD= ×1×2sin + （5-4cs ）=2sin( - )+
∴当 - = ，即 = 时，ax=2+
所以四边形PDc面积的最大值为2+
巩固练习
1某观测站c在A城的南偏西60°)=sin cs60°-cs sin60°。

2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练一、选择题1. 在ABC ∆中,三边之比::3:5:7a b c =,则角C = A.3π B. 23π C. 6π D. 56π【答案】B【解析】222925491cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯,所以23C π=,故选B.2. 在ABC 中,若()22214ABCSa b c =+-,则角C = A. 3π B. 4π C. 23π D. 34π【答案】B3．在ABC ∆中,角,,A B C 对边分别为,,a b c ,且1,30a b A ==,则B = A. 60或120 B. 60 C. 120 D. 30或150 【答案】A【解析】sin sin a b A B =,∴1sin30sinB=︒,∴sin B =b a >,∴60B ∠=︒或120,故选 A.4. 在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=A.6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】A 【解析】利用正弦定理化简得：sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ,∵sin B ≠0,∴sin A cos C +cos A sin C =sin （A +C ）=sin B =12,∵a ＞b ,∴∠A ＞∠B ,∴∠B =6π5.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=,a =2,c 则C = A.π12 B. π6 C. π4 D. π3【答案】B【解析】由题意()()sin sin sin cos 0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=,即()πsin sin cos sin 04C A A C A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得2sin4=即1sin 2C =,因为c <a ,所以C<A ,所以π6C =,故选B ． 6. 已知a b c ，，分别为ΔABC 的三个内角A B C ，，的对边,()()()sin sin sin a b A B c b C A ∠+-=-=，则A.π6 B. π4 C. π3 D. 2π3【答案】C【解析】利用正弦定理将()()()s i n s i n s i n a b A B c b C +-=-的角化为边可得222b c a bc +-=,由余弦定理可得2222cos b c a bc A +-=,则1cos 2A =,所以π3A ∠=.故选C.7.△ABC 中,tan 21,tan a B a cc C c-==则角A 为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B8.在ABC ∆中,已知,a c bb c a c-=-+则角A 的值是 A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】 由a c bb c a c-=-+,整理得222b c a b c +-=,所以由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==,又因为()0,A π∈,所以060A =,故选B.9.在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,090ABC ∠=,22AB BC CD ==,则cos DAC ∠=A ．10B ．5C ．5D ．10【答案】D【解析】由题意画出图形,设a BC =,则a AD 2=,a AC 5=,在ADC∆中,10103522522cos 222222=⋅-+=⋅-+=∠aa a a a AC AD DC AC AD DAC ． 10. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,abc ,且,2,a b c 成等差数列,则cos B 的最小值为（ ）A.14 B. 13 C. 12 D. 78【答案】D11. 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c , S 表示ABC ∆的面积,若cos cos sin a B b A c C +=, ()22214S b c a =+-,则B = A.2π B. 23π C. 4π D. 6π【答案】C【解析】由身影定理acosB bcosA +=c,所以sinC=1, 2C π=, 1sin 2S bc A == ()2221b c a 4+-,得tan 1A =, ()0,A π∈, 4A π=,所以4B π=.故选C. 12.抛物线28y x =的焦点为F ,设()11,A x y , ()22,B x y 是抛物线上的两个动点,124x x ++=,则AFB ∠的最大值为 A.3π B. 34π C. 56π D. 23π【答案】D二、填空题 13. 在ABC ∆中, ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点,则B ∠的范围是__________． 【答案】,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题意()()222'2f x x bx a c ac=+++-有两个不等实根,所以()222440baca c ∆=-+->,222a cb ac +-<,所以2221c o s 22a cb B ac +-=<,所以3B ππ<<．14.△ABC 中,B ,A 的角平分线AD ,则A ∠＝ ． 【答案】30︒ 【解析】由正弦定理可得sin sin AD ABB ADB=∠,所以s i s i n 1202s i n2A B A D B AD ∠===,在ADB ∆中45ADB ∠=,所以1801204BAD ∠=--=,所以在ABC ∆中30A =．15. 点G 为ABC ∆的重心, 1,2AC BC ==且AG BG ⊥,则sin C =_____________.【解析】连接CG 并延长交AB 于D , G 是重心, D ∴ 是AB 中点,又,,2AG BG GD AD BD AG GD ⊥∴=== ,设AD BD GD x === ,则3AD x = ,由余弦定理2222102101cos ,cos 66x x ADC BDC x x --∠=∠= ,由cos cos 0ADC BDC ∠+∠= ,得2320x = ,在ABC ∆ 中,由余弦定理2cosC ===. 16. 在△ABC 中, 6B π∠=, 1AC =,点D 在边AB 上,且,1DA DC BD ==,则DCA ∠=_________.【答案】3πθ=或9π 【解析】设A ACD θ∠=∠=, 02πθ<<,则2ADC πθ∠=-,又1AC =,由正弦定理得：1.sin2sin 2cos AC CD CD θθθ=⇒=在△BDC 中由正弦定理得： 112cos 5sin sin sin sin 266CD BD B BCD θππθ=⇒=∠∠⎛⎫- ⎪⎝⎭55cos sin 2sin sin 2626πππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由02πθ<<550,222666πππππθθ⇒<-<-<-<,得5226ππθθ-=-或52263πππθθπθ-+-=⇒=或9π. 三、解答题17.△ABC 中,,A B C 的对边分别是,,a b c ,满足cos2cos22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求角B 的值；(2)若b =b a ≤,求12a c -的取值范围. 【解析】（1）由已知cos2cos22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭化简得sin B =故233B ππ=或．（2）因为b a ≤,所以3B π=, 由正弦定理2,sin sin sin a c b A C B====得，故1232sin sin 2sin sin sin 2326a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-因为b a ≤,所以2,33662A A πππππ≤<≤-<,所以126a c A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭⎣． 18．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=,22cos cos cos cos .A B A A B B -=（1）求角C 的大小； （2）若4sin 5A =,求ABC ∆的面积. （2）由c =, 4sin 5A =, sin sin a c A C =得85a =,由a c <,得A C <,从而3cos 5A =,故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=,所以ABC ∆的面积为1sin 2S ac B ==． 19．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =,且B 为钝角. （1）证明： 2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.20.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足()cos 2cos c c B a b C ==-.（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的周长的最大值.【解析】（1）依题意,cos cos 2cos c B b C a C +=, 由正弦定理得,sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=,()1sin()2sin cos ,sin 2sin cos ,sin 0,cos ,0,,23B C A C A A C A C C C ππ+==≠∴=∈=. （2）()()22222222cos ,3,33,12,c a b ab C a b ab a b ab a b a b a b =+-+-=+=++≥+≤+≤(当且仅当a b ==),ABC ∴∆ 的周长最大值为21．在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知c o s (c 3s i n )c o s 0C A A B +=. （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=,求b 的取值范围. 【解析】22.在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,不等式23cos 2sin 02x C x C ++≥对一切实数x 恒成立. (1)求cos C 的取值范围；(2)当C ∠取最大值,且ABC 的周长为9时,求ABC 面积的最大值,并指出面积取最大值时ABC 的形状.【解析】(1)当cos 0C =时, sin 1C =,原不等式即为3202x +≥对一切实数x 不恒成立, 当cos 0C ≠时,应有2460cosC sin C cosC >⎧⎨∆=-≤⎩, ∴202320cosC cos C cosC >⎧⎨+-≥⎩, 解得1cos 2C ≥或cos 2C ≤- (舍去), ∵0C π<<,∴1cos 12C ≤<.(2)∵0C π<<, 1cos 12C ≤<,∴C ∠的最大值为3π.此时c ==∴9a b c a b =++=+=, ∴9ab ≤ (当且仅当a b =时取等号).∴1sin 23ABCSab π=≤(当且仅当a b =时取等号).此时, ABC 面积的最大值为4, ABC 为等边三角形.。

第六节正弦定理和余弦定理本节主要包括3个知识点：1.利用正、余弦定理解三角形；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.正、余弦定理的综合应用.突破点(一)利用正、余弦定理解三角形基础联通抓主干知识的“源”与“流”(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．在△ABC中，已知a，b和A，解的个数见下表a >b 一解 一解 一解 a ＝b无解无解一解 a <b 无解 无解 a >b sin A两解 a ＝b sin A 一解 a <b sin A无解[例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.[解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sinA cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sinB ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6.(2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝π－π6－π6＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1. [答案] (1)A (2)1 [易错提醒](1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．利用余弦定理解三角形(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角． (2)已知三边，求三个内角．[例2] (1)在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于( )A ．4B ．14C ．4或14D ．24(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，则A ＝________. [解析] (1)因为a －b ＝4，所以b ＝a －4且a >b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·⎝⎛⎭⎫－12，所以a 2－18a ＋56＝0.所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋32c ＝b ，化简整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π6利用正、余弦定理解三角形[例3] 设△3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B . 由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝4－26.[方法技巧]正、余弦定理的运用技巧解三角形时，一般是根据正弦定理求边或列等式，若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选A 因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，又0°<A <90°，所以A ＝30°.2.[考点二](2016·兰州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选C 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－(7)22×3×2＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，故选C.3.[考点二]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 3解析：选C 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b ＜c ，∴b ＝2.4.[考点一](2017·合肥模拟)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝________. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝AC sin B ，即2sin C ＝3sin 60°，解得sin C ＝33. ∵AB <AC ，∴C <B ，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63. 答案：635.[考点三]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴由正弦定理可得3a ＝2b .又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：46.[考点三]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin A sin C ＝332×3＋226＝1＋263. 突破点(二) 利用正、余弦定理判断三角形的形状1．应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边，若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2>a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)(2017·锦州模拟)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形[解析] (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A＋B )<sin B cos A ，即sin B ·cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，则B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)∵cos 2B2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝a ＋c2c，即1＋cos B ＝a ＋cc .由余弦定理得1＋a 2＋c 2－b 22ac＝a ＋cc .整理得c 2＝a 2＋b 2，即△ABC 为直角三角形． [答案] (1)A (2)B [易错提醒]在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，整理得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．2．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝b a＝2，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选A 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．故选A.3．在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，化简整理得a 2cos A sin B ＝b 2sin A cosB ．由正弦定理、余弦定理得，a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b22ac，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．4．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2， 所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又∵a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴a ＝b ＝c . ∴△ABC 为等边三角形．突破点(三) 正、余弦定理的综合应用三角形面积问题三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．[例1] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积．[解] (1)根据正弦定理，由(2b －c )cos A ＝a cos C ， 得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )， 所以2sin B cos A ＝sin B ， 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为a ＝3，b ＝2c ，由(1)得A ＝π3，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12，解得c ＝3，所以b ＝2 3.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.[方法技巧]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[例2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．[解] (1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A . 因为B 为钝角，所以A 为锐角， 所以π2＋A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫2A ＋π2＝π2－2A >0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98. 因为0<A <π4，所以0<sin A <22， 因此22<－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤22，98. [易错提醒]涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．正、余弦定理在平面几何中的应用在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类问题既要抓住平面图形的几何性质，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式．此类题目求解时，一般有如下思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[例3] (2017·广东茂名模拟)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，b ＝7，c ＝2，D 为BC 的中点．(1)求cos ∠BAC 的值； (2)求AD 的值．[解] (1)法一：由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝27×32＝37.又∵在△ABC 中，b >c ，∴C <B ，∴0<C <π3，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝27， ∴cos ∠BAC ＝cos(π－B －C )＝－cos(B ＋C ) ＝－(cos B cos C －sin B sin C ) ＝sin B sin C －cos B cos C ＝32×37－12×27＝714.法二：在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2－2c ·a cos B ，∴7＝4＋a 2－2×2×a ×12，即(a －3)(a ＋1)＝0，解得a ＝3(a ＝－1舍去)， ∴cos ∠BAC ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝4＋7－92×2×7＝714.(2)法一：在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b cos ∠BAC ＝4＋7－2×2×7×714＝9.∴a ＝3，∴BD ＝32.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝4＋94－2×2×32×12＝134.∴AD ＝132. 法二：如图，取AC 的中点E ，连接DE ，则DE ＝12AB ＝1，AE ＝12AC ＝72，cos ∠AED ＝－cos ∠BAC .在△ADE 中，由余弦定理得AD 2＝AE 2＋DE 2－2AE ·DE ·cos ∠AED ＝74＋1－2×72×1×⎝⎛⎭⎫－714＝134.∴AD ＝132.1.[考点一]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2＋6，∴ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.2.[考点三]如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝( )A.223B.24C.64 D.63解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin A ，所以DB ＝AD ＝22sin A .因为AD ＝DB ，所以A ＝∠ABD ，所以∠BDC ＝A ＋∠ABD ＝2A .在△BCD 中，由正弦定理DBsin C＝BC sin ∠BDC，得22sin A 32＝4sin 2A ，化简整理得cos A ＝64.3.[考点二](2017·海淀模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．解析：由已知及正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号，∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π6 4.[考点二](2017·广东揭阳模拟)已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．解析：∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4.设角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为2.答案：25.[考点一]已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ，又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C＝3， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝5×2sin A cos A .∵△ABC 为斜三角形，∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国丙卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010D ．－31010解析：选C 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，又B ＝π4，所以c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，所以b ＝53a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：选B 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°， 与“钝角三角形”条件矛盾，舍去． 所以B ＝135°.由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.3．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.答案：21134．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA ，CD ，两延长线相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2)5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案： 36．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，即a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.7．(2015·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝2DC ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ， 所以AC ＝1.8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos ∠PBA ＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB BC ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α，即PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α. 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. [课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC ＝( )A ．3B ．5C ．7D ．15解析：选C 由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab<0，故C 是钝角．即△ABC 是钝角三角形．4．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．解析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，最大的角为C .由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝120°.答案：120°5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.答案：8[练常考题点——检验高考能力]一、选择题 1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( ) A.13 B.12 C.15 D.14解析：选D 由题意知，c ＝3a ，b 2－a 2＝52ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c 2－52ac2ac ＝9a 2－152a 26a 2＝14. 2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( )A.45B ．－45 C.1517 D ．－1517解析：选D 由S ＋a 2＝(b ＋c )2，得a 2＝b 2＋c 2－2bc 14sin A －1，由余弦定理可得14sin A－1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517或cos A ＝－1(舍去)．3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B.34 C.36 D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2017·渭南模拟)在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin (A ＋B )sin B＝23，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A 因为sin (A ＋B )sin B ＝23，故sin C sin B ＝23，即c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12b 2－3bc 43b 2＝6b 243b 2＝32，所以A ＝π6.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：选C 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3.二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b ＝________.解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：578．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．解析：由面积公式，得S ＝12bc sin A ，代入数据得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a ＝23，由正弦定理，得2R ＝a sin A ＝2332，解得R ＝2.答案：29．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝________. 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×a c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 答案：110．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝AB sin ∠ADB， ∴sin ∠ADB ＝22. 由题意知0°<∠ADB <60°，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC ＝30°，C ＝30°，∴BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin ∠BAC，∴AC ＝ 6.答案： 6三、解答题11．(2017·河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， ∴由正弦定理得sin A sin B ＝－sin B sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，则sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6. (2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12， 由S ＝12bc sin A ＝14bc ＝34c 2，得b ＝3c ， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ，由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 12．(2017·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C－cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝234cos 2C －14sin 2C ，化简得sin A ＝32，故A ＝π3或2π3. (2)由题知，若b ≥a ，则A ＝π3，又a ＝3， 所以由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6. 因为b ≥a ，所以π3≤B ＜2π3，π6≤B －π6＜π2， 所以23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈[3，23)．即2b －c 的取值范围为[3，23).。

1．掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状,求三角形的面积等3．命题形式多种多样,解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一应用正弦、余弦定理解三角形例1、【2017山东，理9】在C∆AB中,角A，B,C的对边分别为a，b,c．若∆AB为锐角三角形,且满足()CB+=A+A，则下列sin12cosC2sin cosC cos sinC等式成立的是（A)2=（C）2b aa b=（B）2A=B(D）B=A2【答案】A【解析】sin()2sin cos2sin cos cos sin++=+A CBC A C A C所以2sin cos sin cos2sin sin2B C A C B A b a=⇒=⇒=，选A.【变式探究】(1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。

若2a sin B＝错误!b，则角A等于（）A。

错误!B。

错误! C.错误!（2）在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝42,B＝45°，则sin C＝________。

答案：（1）A （2）错误!【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b，c，若a2－b2＝错误!bc，sin C＝2错误!sin B，则A＝( ）A．30° B．60°C．120° D．150°热点题型二判断三角形的形状例2、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c）sin B＋(2c－b)sin C。

（1）求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝错误!，试判断△ABC的形状。

考点16正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-， 2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12S ah=(h为BC边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c=++(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+；()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=.典例1ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，1a =，则b =. 【答案】2113典例2 在ABC △中，已知2AB =，3,60.AC A == （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值.【解析】（1）由余弦定理知，22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC =（2）由正弦定理，知,sin sin AB BCC A =所以21sin sin 7AB C A BC =⋅==因为AB BC <，所以C 为锐角，则cos 7C ===因此sin 22sin cos 2C C C =⋅==1．已知A 、B 、C 为ABC △的内角，tan A 、tan B 是关于x 的方程210()x p p +-+=∈R 的两个实根.（1）求C 的大小；（2）若3AB =p 的值.考向二 三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .（1）求角A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断ABC △的形状．（2）由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12. 因为090B ︒<<︒，0°<C <90°，故B ＝C . 所以ABC △是等腰钝角三角形．2．若ABC △的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则ABC △ A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． （2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 0A A =，a ,b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =. 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=.解得6c =- (舍去)，4c =. （2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=.故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅. 又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5已知a ，b ，c 分别是ABC △的三个内角A ，B ，C 的三条对边，且c 2=a 2+b 2﹣ab .（1）求角C 的大小； （2）求cos A +cos B 的最大值.（2）∵A +B +C =π，C =π3,∴B =2π3A -，且A ∈(0，2π3). 则2ππcos cos cos cos()()sin 36A B A A A +=+-=+，∵A ∈(0，2π3)，∴ππ5π666A <+<，故当ππ62A +=时，cos A +cosB 取得最大值，为1.3．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是a ，b ，c ，已知2c =（1）若ABC △，求a ，b ； （2）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6ABC △中，D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （1）求sin sin BC∠∠；（2）若60BAC ∠=,求B ∠.4．如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a b C C =+.（1）求角B 的大小；（2）D 为ABC △外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值. 考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）求D 救援中心与着陆点A 间的距离．（2cos ACD ∠=，又30CAD ∠=，所以sin(30ACD +∠在ADC △中，由正弦定理，得sin sin AC ADADC ACD=∠∠，故D 救援中心与着陆点A 间的距离为913+万米.5．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝__________ m.考向六 三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u ruu u rABC △的面积．【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-，所以π06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3B D B C =u r u r ，得||3B C x =u r ，由（1）知πA C ==，所以||3BA x =uu r在ABD △1x =，所以3AB BC ==，典例9ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.6．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知ABC △的面积为2=-c b ，1cos 4A =-.（1）求a 和sin C 的值；（2）求πcos(2)6A +的值.1．若ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于A ．2 B D2．在△ABC 中，若tan A ·tan B ＜1，则该三角形一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上都有可能3．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =A ．3π4B ．π3 C ．π4D ．π64．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于A B ．34 C D ．35．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =A D C △的面积的最大值为.6．在平面四边形ABCD 中，75,2,A B C BC ===︒=∠∠∠则AB 的取值范围是． 7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.8．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为，求a c +的值．9．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ()cos 2cos A b C =． （1）求角C ；（2）若π,6A ABC =△D 为AB 的中点，求sin BCD ∠．10．如图所示，在ABC △中, 点D 为BC 边上一点，且1BD =,E 为AC 的中点（1）求AD 的长； （2）求ADE △的面积.11．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．12．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B 处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，123 cos,cos135A C==.（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？1．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin sin(sin cos)0B AC C+-=，a=2，c，则C=A．π12B．π6C．π4D．π32．（2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b，c=3，则A=_________.3．（2016上海文科）已知ABC△的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.4．（2016新课标全国Ⅱ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 5．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．6．（2017山东文科）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,3ABC S =△,求A 和a .7．（2017天津文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知s i n 4s i n a A b B =，222)ac a b c =--． （1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．1．【解析】（1）由已知，方程210x p +-+=的判别式为22)4(1)3440p p p ∆=--+=-≥+，所以2p ≤-tan tan 1A B p =-， 于是1tan tan 1(1)0A B p p -=--=≠，60C =.31tan 45tan 303tan()1tan 45tan 307545+301++===--2．【答案】C3．【解析】（1）因为2c =，1cos 2C =，所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab +-=，又ABC △sin C =1sin 2ab C =4ab =， 由2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩解得22a b =⎧⎨=⎩．（2）利用正弦定理，把sin 2sin B A =化为2b a =，由2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩解得3a =3b =，又sin 2C =，则ABC △的面积1sin 23S ab C ==．4．【解析】（1）在ABC △中，由(sin cos )a b C C =+，得sin sin (sin cos )A B C C =+，即sin()sin (sin cos )B C B C C +=+，cos sin sin sin B C B C ∴=，又sin 0C >，∴cos sin B B =，即tan 1B =，∵(0,π)B ∈，∴（2）在BCD △中，2BD =，1DC =，22212212cos 54cos BC D D ∴=+-⨯⨯⨯=-.，∴ABC △为等腰直角三角形，又，ABCD 的面积有最大值，最大值为54+5．【答案】150在Rt MNA △中，∠MAN ＝60°，于是MN ＝MA ·sin∠MAN ＝()150m =， 即山高MN ＝150 m.【名师点睛】本题考查了正弦定理的实际运用，考查分析能力，转化能力，空间想象能力，属于中等题. 注意本题所给图形是空间图形. 6．【解析】（1）在ABC △中，由41cos -=A ，得415sin =A ，由1sin 2△ABC S bc A ==得24=bc ，又2=-c b ， 所以6=b ，4=c .由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，可得8=a ，由正弦定理得CcA a sin sin =， 所以81584154sin sin =⨯==aAc C . （2）πππcos(2)cos 2cossin 2sin 666A A A +=-A A A cos sin )1cos 2(232--=211[2()1]()244416=⨯----=.1．【答案】C【解析】由题意知2sin 23sin b A a B =，结合正弦定理得4sin sin cos 3sin sin B A A A B =，即3cos 4A =，又2c b =，结合余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得ab=选C. 2．【答案】B【解析】由已知条件，得sin sin cos()cos 1,0,0,cos cos cos cos cos cos A B A B CA B A B A B+⋅<><即即 说明cos A ，cos B ，cos C 中有且只有一个为负．因此△ABC 一定是钝角三角形． 3．【答案】C【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等. 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =，所以21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得h =.故选A.5．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 2S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为6．【答案】sin 2sin(105)2sin(75)2(sin 75cos cos 75sin )sin sin sin sin BC αββββAB ββββ︒-︒+︒+︒====，又sin 7575︒=︒=22tan AB β=+．由753075,10575βββ<︒⎧︒<<︒⎨︒-<︒⎩可得则tan 23β<<+AB <7．【答案】6100【解析】依题意， 30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC △中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，得45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m.在Rt BCD △中，因为 30=∠CBD ，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.（2122ac =⨯，解得4ac =， 由余弦定理2222c o s b a c a c B=+-，得221422a c ac =+-⨯2()3a c a c =+-2()12a c =+-， 故4a c +=．9．【解析】（1()cos 2cos A b C =，得)2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理可得)()2sin cos sin cos sin cos B C C A A C A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =． （2）因为π6A =，所以ABC △为等腰三角形，且顶角2π3B =，故21sin 2ABCS a B ===△，所以2a =，在DBC △中，由余弦定理得2222cos 7CD DB BC DB BC B =+-⋅=，所以CD =，在DBC △中，由正弦定理可得sin sin CD DBB BCD=∠，即1sin BCD =∠，所以sin BCD ∠=10．【解析】（1）在ABD △中，2cos B =sin ∴∠由正弦定理sin sin AD BDB BAD=∠,（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==.在ACD △中，由余弦定理得222AC AD DC =+-2cos AD DC ADC ⋅∠,即2π9422cos 3DC DC =+-⨯⨯,即2250DC DC --=,解得1DC =+.（2）因为π3B =，所以2π3A C +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-131cos 2cos 2212cos 222A A A A A=--=-π1)3A =+-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤， 所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-⎝．所以索道AB 的长为1040 m.（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客的距离为d ，此时，甲行走了(100+50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得222212(10050)(130)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤，所以当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短. 即乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短. （3）由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605sin 500(m)63sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内．1．【答案】B【解析】由题意sin()sin(sin cos)0A C A C C++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos0A C A C A C A C++-=，即πsin(sin cos)sin()04C A A C A+=+=，所以3π4A=．由正弦定理sin sina cA C=得23πsinsin4C=，即1sin2C=，因为c<a，所以C<A，所以π6C=，故选B．【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．【答案】75°【解析】由正弦定理sin sinb cB C=，得sin2sin32b CBc===，结合b c<可得45B=，则18075A B C=--=.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.3【解析】由已知可设3,5,7a b c ===，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴sin C ，∴2sin c R C ==. 【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等. 4．【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=， 又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.5∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD 的面积为2，cos 4BDC ∠=．6．【解析】因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-，又0πA <<，所以3π4A =，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(2a =+-⨯⨯-，所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．。

第 35题 应用正弦定理和余弦定理解三角形I ．题源探究·黄金母题【例1】在△ABC 中，b cm a 10,9==解三角形．【解析】由余弦定理得：C cos =109215109222⨯⨯-+=-4511=-0．2444，∴∴B A ,都是锐角，由正AB sin 9sin 10104sin 15==︒， ∴15104sin 10sin ︒=B =0．6468，∴B ∴C B A --︒=180=36°． 第10II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017山东，理9】在C ∆AB C 的对边分别为a ，b ，c ．若∆AB 形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos B +=A +下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．D ．2B =A【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin A C B C A ++=所以2sin cos sin cos 2sin B C A C B =⇒，选A ．【例3】【2017浙江，14】已知△BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，值，从而求出ABC △的周长为3试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=． 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =．故2sin sin 3B C =．（2）由题设1cos cos 6B C =及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-．所以2π3B C +=，故π3A =．由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=．故ABC △的周长为3+【例5】【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ． 【答案】(1)15cos 17B =； (2)2b =． 【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知2sin sin sin a b cR A B C===．（R 为外接圆半径） 2.变形：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；②sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===； ③::sin :sin :sin a b c A B C =；④2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++．考点二 余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-． 2．推论：222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac+-=；222cos 2a b c C ab +-=．3．变形：2222cos bc A b c a =+-；2222cos ac B a c b =+-；2222cos ab C a b c =+-．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力． 【技能方法】1.解三角形中正余弦定理选择（1）已知三角形中的两角和一角的对边，利用正弦定理解三角形．（2）已知三角形两边和一边的对角可以利用正弦定理解三角形也可以用余弦定理解三角形，注意判定三角（3）若已知三边或已知两边和夹角，用余弦定理解三角形． 2．形解得情况，如在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：3．注意利用三角形内角和定理：π=++C B A 沟通三个内角的关系．4．常用结论：sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin cos 22A B C +=；2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；【易错指导】在利用正弦定理解三角形时，注意判定三角形解得个数，常用大边对大角，判定一解还是两解，要熟记上边表格中解得个数的判定方法． V ．举一反三·触类旁通 考向1 正弦定理应用【例6】【2017课表1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，C=A ．π12B ．π6D ．π3【答案】B 【解析】【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【例7】【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C=60°，c=3，则A=_________．【答案】75°【解析】由题意：sin sin b c B C=，即sin 2sin 32b C Bc === ，结合b c < 可得45B = ，则18075A B C =--=．【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．【例8】【2017北京，理15】在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a ． （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积． 【答案】（Ⅰ）14；试题解析：解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===． （Ⅱ）因为7a =，所以3737c =⨯=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）．所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=【考点】1．正余弦定理；2．三角形面积；3．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【跟踪训练】1．【2017届广东珠海市高三9月摸底考试数学】在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．已知 45,3,2===A b a ，则角B 大小为（ ）A ．60 B ．120 C ．60或120 D ．15或75 【答案】C【解析】由正弦定理可得a b >，故=B60或120，所以应选C ．2．【2018辽宁模拟别为,,a b c ，若）6Aπ<<332∴-<故答案选B点睛：在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果．在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用．3．【2018江西级阶段性检测（二）】黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在中，角的对边分别为，已知，解得，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件（）A． B．C． D．【答案】D点睛：根据条件选用正弦定理与余弦定理，一般已知两角一边利用正弦定理，而已知一角两边求第三边或已知三边求一角往往利用余弦定理，利用正弦定理时注意根据边的大小关系确定解的个数，而利用余弦定理时，有时需结合基本不等式求最值，有时需整体转化求范围考向2 余弦定理应用【例9】【2017天津，理15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值．【答案】 (1) b = 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果．试题解析：（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知13B =，所以b =．sin 13a B A b ==．13．考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．【跟踪练习】1．【2018河南模拟】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22s i n s i n s i n ,6b B c C a A a c b -==，则（ ） A【答案】D【解析】正弦定理角化边可得： 2222222,2b c a a c b -=∴+=，且利用两角和差正余弦公式可得：2i n 510⎫-=-⎪⎭D ． 2．在斜ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 2223sin2ab C a b c =+-，则()sin C π+=（ ）A【答案】B【解析】由题意可得：，ABC 为斜三角形，则cos 0C ≠，本题选择B 选项．3．【2017届河南郑州一中网校高三入学测试数学】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12,3,cosC 3a b===，则sin A =____． 【答案】9【解析】2222c o s 134c a b a b C=+-=-=，9947cos,sin189A A+-====【方法总结】对已知三角形的两边和夹角求其中一边的对角正弦问题，先用余弦定理求出已知角的对角，再用正弦定理求出所求角的正弦值．考向3 正弦定理与余弦定理的综合应用【例10】【2017天津，文15】在ABC△中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c．已知sin4sina Ab B=，222)ac a b c=--．（I）求cos A的值；（II）求sin(2)B A-的值．【答案】(Ⅰ)5-；(Ⅱ)5-．4sinb B，及sin sina bA B=，得2a b=．2225cos2b c aAbc ac+-===得sin5A=，代入s i n4s i na Ab B=，得由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos B==．于是4s i n22s i n c o s5B B B==，23cos212sin5B B=-=，故43sin(2)sin2cos cos2sin(55555B A B A B A-=-=⨯--⨯=-．【考点】1．正余弦定理；2．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【例11】已知AD 为ABC ∆的角平分线，︒=∠==60.3,2A AB AC ，则=AD ．【答案】536【方法点睛】先由余弦定理求出边BC 的长，利用角平分线性质求出CD ，利用正弦定理求出C 角，再在△ACD 中运用正弦定理求出AD ．【跟踪练习】1．在ABC 中，B =120o，AB A 的角平分线AD ，则AC =_______．【解析】由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，即=，解得sin 2ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=2．【2108辽宁庄河市高级中学、沈阳市第二十中学第一次联考】已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间边形O A C B 中， ,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 的对边，且满足（1）证明： 2b c a +=；（2）若b c =，设AOB θ∠=， (0)θπ<<， 22OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2（2）因为2b c a +=， b c =，所以a b c ==，所以ABC ∆为等边三角形，OACB OAB ABC S S S ∆∆=+= ()222?OA OB OA OBcos θ+-∵()0,θπ∈，∴OACB S 的最大值为考向4 正余弦定理与向量交汇【例12】【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b=3，6AB AC ⋅=-，S △ABC =3，求A 和a ．【答案】3=π,4A a 【解析】【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．【例13】在ABC ∆中，内角,,C A B 对边分别为,,a b c ，且c a <，已知2CB BA =-，tan b 3B ==．（1）求a 和c 的值； （2）求()sin B C -的值．（2）在ABC ∆中，sin 3B ===，sin 2224sin 339c B C b ===，a b c =>，C 为锐角．7cos 9C ===，()714210sin sin cos cos sin 393927B C B C B C -=-=-= 【名师点睛】涉及到平面向量的三角形问题，将条件转化为三角形的边角条件，再利用正余弦定理求解．【跟踪练习】1．三角形ABC 中，21,7,3cos -=⋅==BC AB a B ，则角C =_________ 21BC ⋅=-，则可得；5AB BC c a c ⋅=⨯=3532,5b ⨯==，,24C π== 2．【2017甘肃模拟】已知向量()cos ,1m x =-，3sin n x ⎛= 设函数()()•f x m n m =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知,,a b c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长， A 为锐角， 1a =，，且()f A 恰是函数()f x 在上的最大值，求,A b 和三角形ABC 的面积．【答案】（1）π；（2或，试题解析：（1）4分因为，所以最小正周期．6分（2）由（1）知，当时，．由正弦函数图象可知，当时， ()f x 取得最大值，又A 为锐角所以．8分由余弦定理得，所以或经检验均符合题意． 10分从而当时，△的面积； 11分当时，．12分考点：平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积．考向5 与三角函数交汇【例14】【2017河北沧州一中第一次月考】在ABC ∆中，已知2,3,60AB AC A ===． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．常利用三角形内角和定理化为某、C 所对边的边分别为a 、b 、c ，且1,2a B A ==，．)2 D ．()0,2A，由正弦定理得sin sin 22sin cos ,2cos 2cos B A A A b a A A ====，因为02,024A B A ππ<=<<<，又因为,3,2263A B A A ππππππ<+<<<<<，故64A ππ<<，2cos A ∈．2．【2018河南中原名校一摸】已知函数在∆ABC 中，角A ， B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ， b+c=3，()1f A =，求∆ABC 的面积．试题解析：3分0,ω>∴函数由题意得：分()1f A =π26A +∈，即3π． 73,a =∴由余弦定理得：2222c o s ,a b c b c A =+-即223b c bc +-= ①， 9分2223,()29b c b c b c bc +=∴+=++= ②，联立①②，解得：2bc =，分 考点：1、二倍角公式和辅助角公式；2、余弦定理；3、三角形面积公式．。