2012高考数学二轮复习(新人教A版)：第25课时 数列的实际应用

第25课 河中石兽 教学目标 1． 理解实践出真知道的道理。

2． 积累文言词汇，掌握古汉语的意义和用法。

3． 训练阅读浅近文言文的能力。

教学重、难点1． 重点 （1） 积累文言词汇，掌握古汉语的意义和用法。

（2） 训练阅读浅近文言文的能力。

2．难点：理解实践出真知道的道理。

课时划分 二课时 教学投计 第一课时 教学过程 一、预习 1．熟读课文，读准下列加点字的读音。

圮（pǐ）募（mù） 棹（zhào）（fèi） 湮（yān） 啮（niè） 溯（sù）欤（yù）2．查字典，看课文注释，试翻译课文。

二、导语 俗话说：“没有调查，就没有发言权”。

有一则故事记载，某土地庙前石兽因河岸崩塌掉入河中。

十多年后重修山门，寻找石兽，它却不在原落水处，也不在下游。

一位老兵说，应该在上游寻找，依他的话，果然捞出了石兽。

石兽为什么会向上游“跑”呢？今天我们来学习《河中石兽》一文，从中找出答案。

三、正课 1．交流作家作品资料。

作者纪的，字晓岚。

乾隆十九年（1754）进士。

学部渊博，曾任翰林院编修、侍读学士。

因获罪遗戍乌鲁木齐。

释放回京后，任《四库全书》总纂官，编定《四库全书\总目提要》在目录上学上贡献很大。

著有《阅微草堂笔记》等。

本文选自《阅微草堂笔》，是纪昀晚年所作的一部文言笔记小说，题材料妖怪鬼狐为主，但于人事异闻、名物典故等也有记述，内容相当广泛。

2． 朗读课文。

3．就课文不理解的词语质疑。

现在小组内质疑小组不有解决的交全班讨论。

四、课堂小结 1． 古今异义 ：古义：一起 二石兽并沉焉。

今义：并列 阅：古义：经历 阅十余今义：阅读 是非木柿 是：古义：代词 这今义：判断词 是 盖：古义：发语词 盖石性坚重 今义：有遮蔽作用的器物 但：古义：只 但矢其一 今义：表转折 但是，却 2． 一词多义 去：岂有为暴涨携之去 离去 西蜀之去南海 距离为：岂能为暴涨携之去 被 必于石下迎水外啮沙为坎穴 成为 橘生于淮南则为橘 是 为其来也 在 3．词性活用 棹 名词用为动词 划船4．汉字能假 同“癫”，疯 五、布置作业 1． 完成课后理解与探究第三题。

2012人教版高考数学(理科)题型复习：数列(解答题第二题)102教育高考复习材料（数学理科）姓名年级数列地位数列是刻画离散现象的数学模型，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义，是高中代数的重要内容之一.在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察.一、等差数列、等比数列基本分析问题 1、等差数列 定义：da a n n =-+1通项：dn a a n)1(1-+=求和：2)(1n n a a n S +=d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则qp n ma a a a+=+2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n nq a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n中项：acb=2（c b a ,,成等比）6、已知等比数列{}na 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．① 求数列{}na 的通项公式；② 设31323log log log n nb a a a =+++，求数列1{}nb 的前n 项和．7、设各项均为正数的数列{}na 的前n 项和为nS ，已知3122a a a+=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列，求数列{}na 的通项公式（用d n ,表示）。

二、基本方法运用1、数列通项公式常用方法：累加、累乘、构造辅助数列 类型 )(1n f a a n n =-+型 累加法类型 )(1n f a a n n =+型 累乘法类型0(,1≠+=+c d ca an n ,其中aa=1) 构造辅助数列2、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n3、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求 4、设数列前n 项和为ns等差数列⇔2(,)nsan bn a b R =+∈等比数列⇔(0,0)(0)n nn s aq b a q s an a =+≠≠=≠或5、判断哪项最大最小、数列项与项之间的大小方法： （1）看1nn aa --的正负（2）比较看1n n a a -与1的大小典型例题：1、若数列{}na 前n 项和为ns 满足283ns n n=+，n N +∈，则na =2、已知数列{a n },满足a 1=1,111n na a +=+1, 则na =3、若数列{}na 前n 项和ns 满足(0,0)n nsaq b a q =+≠≠，则下列说法正确的是（ ）A. {}na 一定是等比数列 B. 当0b =时，{}na 是等比数列C ．{}na 可能是等比数列 D. {}na 可能是等差数列4、若数列2(4)()3nn n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k=_______________。

高考数学复习数列的实际应用【教学目标及教学建议】复习目标：熟悉实际问题联想与转化等差（比）数列问题，即培养数列知识应用能力.教学建议：本节题型主要有：(1)转化等差数列型.(2)转化等比数列型.(3)创新型数列问题. 可以分为两类：在熟悉的实际情境应用熟悉的数学知识问题；新情境下运用已告知的新的数学模型，考察运用模型解决问题的能力问题. 【基础训练】1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌1个可繁殖成（ B ）A．511个 B．512个C．1023个 D．1024个【解析】设第n次分裂繁殖所得的细菌数为a n，则{a n}是一个首项a1 = 2，公比q = 2的等比数列，每20分钟分裂一次，3小时共分裂9次，得：a9 = 29 = 512. 故选B.【点评】应用等比数列模型.2．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成. 2005年某地区农民人均收入为3150元 (其中工资性收入1800元，其他收入1350元)，预计该地区自2006年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增大，其他收入每年增加160元. 根据以上数据，2010年该地区农民人均收入介于（ D ）A．4800元～5000元 B．4600元～4800元C．4200元～4400元 D．4400元～4600元【解析】2010年该地区农民人均收入为. 故选D.【点评】应用等差（比）模型.3．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累计的需求量S(万件)近似地满足S n =(21n–n2–5) (n= 1, 2, …,12). 按此预测，在n本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）A．5月、6月 B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月【解析】设第n个月份的需求量超过1.5万件，则S n–S n–1 =(21n–n2–5) –[21(n– 1) – (n– 1)2– 5]＞1.5.整理得：n2– 15n + 54＜0，解得6＜n＜9，故选C.【点评】求和S n与通项a n实际应用举例.4．设数列{a n}是首项为50，公差为2的等差数列，{b n}是首项为10，公差为4的等差数列，以a k、b k为相邻两边的矩形内最大圆的面积记为S k，若k≤21，那么S k = （ B ）A．(2k + 1)2 B．(2k +3)2C．(2k + 12)2 D．(2k + 24)2【解析】欲求矩内圆的最大面积S k，需知a k与b k的大小.∵a k = 50 +2( k –1) = 2k + 48，b= 10 + 4 ( k –1 ) = 4k + 6 (k≤21)，k∴b k –a k = 2k – 42 = 2 (k–21)≤0.b…a k，矩形内最大圆半径r k =b k ，kS=(2k + 3)2.k【点评】几何问题与数列综合.5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n}是等和数列，且a1 = 2，公和为5，那么a18的值为 3 这个数列的前n项和S n的计算公式为.【解析】该数列为2，3，2，3，2，…，故a12=2.当n=2k时，S n=S2k=5k.当n=2k-1时，S n=S2k-1=5k.-3.所以【点评】创新型数列,也称新定义题.【知识要点】1．复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x期，则本利和y = a(1 + r)x.2．产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y= N(1 + p) 3．单利公式利用按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y =a+a·r·x .4、由一次函数可构造等差数列问题，由二次函数可构造等差数列求和问题，由指数函数可构造等比数列问题5．数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等.【双基固化】1．等差数列问题例 1 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，调查后提供了两个不同的信息图，甲调查表明：从第一年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第六年平均每个养鸡场生产2万只鸡，如图甲；乙调查表明：由第一年养鸡场有30个减少到第六年有10个，如图乙.请你根据提供的信息回答下列问题：（1）第六年这个县的生产鸡数比第一年增多了还是减少了？说明理由：（2）设第n年平均每个养鸡场生产只数为a n，第n年的养鸡场个数为b n，写出a，b n的解析式(用n表示，1≤n≤6，n∈N*)；n（3）在这6年内，哪一年该县生产鸡数最多？说明理由.【解析】（1）第一年这个县的生产鸡数为1×30 =30(万只)，第六年这个县的生产鸡数为2×10=20(万只).∴第六年这个县的生产鸡比第一年减少.（2）由图知{ a n }、{ b n }都是等差数列，所以a= 1 + 0.2 (n– 1) = 0.2n + 0.8，(1≤n≤6，n∈N*).nb= 30 – 4(n– 1) = –4n + 34 ，( 1≤n≤6，n∈N*).n（3）该县的年生产鸡数为a·b n = (0.2n + 0.8) (– 4n + 34)n= –( 1≤n≤6，n∈N*).∴当n = 2时，a n·b n的最大值是31.2(万只).即第二年该县生产鸡数量最多.【点评】本题是有关等差数列的实际问题，要求能通过看图表读取有关数据，其中(n，a n)满足一次函数，其离散点在一条直线上.2．等比数列问题例 2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.（1）设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元.写出a n，b n；（2）只需经过几年旅游的总收入就能超过总投入？【解析】（1）第一年投入为800万元，第2年投入为800×(1 –)万元，…，第n年投入为800 × (1–)n－1万元.所以，n年内的总投入为a= 800 + 800 ×(1 –) + …+800 × (1 –)n－1n== 4000×[1–()n].第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1 +)万元，……，第n年旅游业收入为400×(1 +)n－1万元.所以，n年内旅游业总收入为b= 400 + 400×(1 +)+……+400×(1 +)n－1n==1600×[()n– 1]（2）设只需经过n年旅游业的总收入就能超过总投入，由此b n–a n＞0，即1600×[()n–1] –4000×[1–()n]＞0.化简得5×()n + 2()n– 7＞0，设x = ()n，代入上式得5x2– 7x + 2＞0，解此不等式得x＜或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.【点评】本题主要考查建立函数关系式、等比数列求和、不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力. 本题立意自然，具有较强的实践性，又能和考生所熟悉的数学情境统一，背景公平，又深入浅出.3．创新型数列例3 对任意函数f(x)，x∈D，可按如图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入依据x0∈D，经数列发生器输出x1 = f (x0)；②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2 = f (x1)，并依此规律继续下去. 现定义.（1）若输入，则由数列发生器发生数列{x n}，请写出数列{x n}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入始数据x0的值；（3）若输入x0时产生的无穷数列{x n}满足：对任意正整数n，均有x n＜x n+1，求x的取值范围.【解析】（1）f (x)的定义域D = (–∞, –1)∪(–1, +∞).∴数列{x n}只有三项：，x3= –1.（2），即x2– 3x + 2 = 0，∴x = 1或x = 2，故当x0 = 1或2时，，即当x0 = 1时，x n = 1；当x0 = 2时，x n = 2 (n∈N*).（3）解不等式x＜，得x＜–1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜–1或1＜x1＜2，对于函数，当x1＜–1时，x2 = f (x1)＞4，x3 = f (x2)＜x2，当1＜x1＜2时，x2 = f (x1)＞x1，且1＜x2＜2，依次类推，可得数列{x n}的所有项均满足x n+1＞x n (n∈N*).综上所述x1∈(1, 2)，由x1 = f (x0)，得x0∈(1, 2).【点评】本题是创新型题，以新课标中的算法为依托考查数列、函数、不等式等知识，有综合性，有新意.【能力提升】例4 如图为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（1）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过r. 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率=）（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm. 若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为L k. 为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表. (轧钢过【解析】（1）厚度为(1 –r0)n.为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足(1 –r0)n≤，即 (1 –r0)n≤. ①由于(1 –r0)n＞0，＞0，对①式两边取对数，得n lg (1 –r0)≤lg.∵lg (1 –r0)＜0，∴n≥.因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊.（2）方法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600·(1 –r)k·宽度（其中r = 20%），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为L·(1 –r)4·宽度.k因宽度相等，且无损耗，由体积相等，得1600·(1 –r)k = L k·(1 –r)4，即L k= 1600·0.8k–4.由此，得L3 = 2000 (mm)，L= 2500(mm)，2L= 3125(mm).1填表如下：方法二：第3与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有1600 = L3·(1 – 0.2).所以= 200(mm).同理= 2500(mm)，= 3125(mm).长率模型A = a (1 + x)n；(2)利用体积不变可解决问题，要求较强有分析问题能力.【规律总结】数列应用题的解法一般是根据题设条件，列出目标函数(或等差或等比数列模型)，然后利用相关的数列知识定型解模.1．解应用题题首先要分析实际问题的结构特点，找出所含元素间的数量关系，从而识别或确认为何种数学模型.2．定模的过程就是把文字语言表述的实际问题翻译成数学符号语言表述的数学问题,有关系数在读题中找出,或用待定系数解出.3．解模的过程就是运算的过程，首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差（比）、项数是什么，能分清a n，S n，然后选用适当方法求解.4．最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解.5．注意：在中学应用题中一般不需建模,因为在题中一般模型已经给出.【课时作业】A组题一、选择题1．某单位某年12月份产量是同年1月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是（ C ）A． B．C． D．【解析】设1月份产量为1，月平均增长率为x，则m·1 = 1·(1 + x)11，∴x =–1.2．从2006年到2009年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄.若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2010年6月1日，甲去银行不再存款，而是将每年所有的存款的本息全部取回，则取回的金额是（ D ）A．m(1 +q)4 B．m(1 +q)5C． D．【解析】2006年到2009年各年存款在2010年取时本息各为m(1 + q)4，m(1 + q)3，m(1 + q)2，m(1 + q)，故共有m(1 + q)4 + m(1 + q)3 + m(1 +q)2 + m(1 + q) =.3．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100m降低0.7℃. 已知山顶的温度是14.8℃，山脚处的温度是26℃，则这山顶相对于山脚的高度是（ C ）A．2000m B．1800mC．1600m D．1400m【解析】h =×100 = 1600.二、填空题4．制造某种产品，预计经过两年使成本降低36%，则平均每年应降低成本的百分比为 20% .【解析】令平均每年应降低成本百分比为x，则64%= (1 –x)2，∴x = 20%.三、解答题5．某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给开了些消炎药，并叮嘱每天早晚八时各服用一片药片.现知该药片220毫克，他的肾脏每十二小时从体内滤出这种药的60%；并且如果这种药在体内残留量超过386毫克，就将产生副作用.请问：（1）该同学上午八时第一次服药，问第二天早间服完时，药在他体内还残留多少？（2）该同学若长期服用该药肯定会产生副作用吗?【解析】（1）设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a n毫克，a= 220，a2 = 220 + a1 × (1–60%) = 220 ×0.4，1a= 220 + a2 × (1– 60%)3=220 + 220 × 0.4 ×0.4 = 343.2，第二天早间是他第三次服药，故服药后，药在他体内的残留量为343.2毫克. （2）解法一：a n = 220 +a n－1 (1 – 60%) (n≥2)=220 + 0.4a n－1= 220 + 0.4 (220 + 0.4a n－2)=220 + 0.4 × 220 + 0.42× 220 +…+0.4n－1× 220== ＜386，∴长期服用该药不能肯定会产生副作用.解法二：由a n = 220 + 0.4a n－1可化得a n–=0.4(a n–1–)(n≥2)，∴{a n–}是一个以a1–为首项，0.4为公比的等比数列，∴a n–=(a1–)·0.4n－1＜0，∴a n＜＜386，这就是说该同学长期服用该药，不能肯定会产生副作用(注：医学专用名词,更符合逻辑性).6．某村镇1996年底的人口为1万人，人均住房面积为5m2，若该村每年人口平均增长率为1%，欲使2006年年底人均住房面积达10m2，那么每年平均需新建住房多少m2?【解析】依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列，a1= 1(万)，公比为q= 1 +1% = 1.01，n = 11，则a11 = 1× (1.01)11－1 = (1.01)10= 1 + × 0.01+ ×(1.01)2+…≈1 + 0.1 + 0.0045 = 1.1045(万).又每年年底的住房面积数组成一个等差数列，公差为d，到2006年底的住房面积为5 + 10d(万m2)，则人均住房面积为=10，解得d = 6045(m2).故：每年平均需新建住房6045m2.7．据有关资料，2005年我国工业废垃圾达7.4×108吨，占地562.4平方公里. 若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨.设环保部门2006年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问（1）2011年回收废旧物资多少吨？（2）从2006年至2011年可节约开采矿石多少吨？(精确到万吨)（3）从2006年至2011年可节约多少平方公里土地？【解析】设a n表示第n年的废旧物资回收量，S n表示前n年废旧物资回收总量，则数列{a n}是以10为首项，1 + 20%为公比的等比数列.（1）a6 = 10 (1 +20%)5= 10 × 1.25= 24.8832≈25 (万吨).（2）S6 == 99.2992≈99.3 (万吨).∴从2006年到2011年共节约开采矿石20 × 99.3≈1986 (万吨).（3）则从2006年到2011年共减少工业废弃垃圾4×99.3 = 397.2（万吨），∴从2006年到2011年共约≈3平方公里.8．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m .（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分种多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？【解析】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n + +5n = 70，整理得n2 + 13n–140 = 0，解得n = 7，n = –20 (舍去).第1次相遇是在开始运动后7分钟.（2）设n分钟后第2次相遇，依题意.有2n + + 5n= 3 × 70.整理得n2 + 13n –6× 70 = 0，解得n = 15，n = – 28(舍去).第2次相遇是在开始运动后15分钟.9．某企业2006年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年(2007年)起每年比上一年纯利润减少20万元. 今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1 +)万元(n为正整数).（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元(须扣除技术改造资金)，求A n，B n的表达式；（2）依上述预测，从今年起企业只需经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润就超过不进行技术改造的累计纯利润？【解析】（1）依题意+…+(500 – 20n)= 490n– 10n2，B= 500[(1+) + (1 +) +…+ (1+)]–600n= 500[n +]–600=500n–，∴A n= 490n–10n2，B n = 500n–.（2）∵B n–A n= (500n––100) – (490n–10n2)=10.∵函数f (x) = x2 + x––10在(0, +∞)上是增函数，当1≤n≤3时，n(n+1) –≤12–10＜0，当n≥4时，n(n+1) –10≥20––10＞0,∴仅当n≥4时，B n＞A n.即只需经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润就超过不进行技术改造的累计纯利润.B组题10．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，执行某种运算程序：（1）当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为；（2）当从A口输入自然数n(n≥2)时，在B口得到的结果f(n)是前一结果f(n – 1)的倍.当从A口输入3时，从B口得到；要想从B口得到，则应从A口输入自然数 .【解析】∵，∴，==，∴，11．已知整数对排列如下：(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)，(1, 4)，(2,3)，(3, 2)，(4, 1)，(1, 5)，(2, 4)…则第60个整数对是 .【解析】①(1, 1)②(1, 2)， (2, 1)③(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)④(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)， (4, 1)┇┇⑩(1, 10)， (2, 9)，…，(10, 1)前10组共有 1 + 2 + 3 +…+10 = 55个整数对故第60个整数对在第11组而11(1, 11)，(2, 10) ，(3, 9)， (4, 8)， (5, 7)，…故第60个整数对为(5, 7).12．假设A型进口汽车关税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口汽车每辆价格为64万元( 其中含32万元关税税款).（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元.若A型车的价格只受关税降低影响，为了保证在2006年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车的价格要逐年降低，问平均每年至少降低多少万元？（2）某人在2001年年初将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算 (第一年的利息计入第二年的本金)，那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（1）中所述降价后的B型车？【解析】（1）因为2006年关税税款为2001年关税税款的，故所减少的关税税款为：32×= 24(万元).所以2006年A型车价格为64 – 24 = 40（万元）.因为5年后B型车价格应不高于A型车价格的90%，所以B型车价格≤40×90%= 36(万元).因为2001年B型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元.所以平均每年至少降价2万元；（2）根据题意，2001年存入的33万元5年后到期时连本带息可得：33×(1 + 1.8%)5 (万元).因为33× (1 + 1.8%)5＞33 (1 + 5 × 0.018 + 100×0.000324) = 36.07692(万元).所以够买一辆依（1）中所述5年后降价为36万元以下的B型车.。

14 数列综合应用问题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0.(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .●案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为 b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=n k 1400×(45)k －1.=1600×［(45)n－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(54)n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知S n =1+3121++…+n1,(n ∈N *)设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式：f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2.解：∵S n =1+3121++…+n1.(n ∈N *)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又Λ∴f (n +1)＞f (n )∴f (n )是关于n 的增函数∴f (n ) min =f (2)=209321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2成立即可由⎩⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2此时设［log m (m －1)］2=t 则t ＞0于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1由此得0＜［log m (m －1)］2＜1解得m ＞251+且m ≠2. ●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. (3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{a n }满足条件：a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,…).(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *)成立的q 的取值范围；(2)求b n 和nn S 1lim∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；(3)设r =219.2－1，q =21，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金nb元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ).7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？8.(★★★★★)已知点的序列A n (x n ，0),n ∈N ,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；(3)求lim ∞→n x n .参考答案难点磁场解：(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1.∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1.(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得：(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则①②⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+++++2111)1(2)1(2n n n n n n t q r r t q r r ②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n －1］ 歼灭难点训练一、1.解析：当a =n 时y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1 由｜x 1－x 2｜=a∆，得d n =)1(1+n n ，∴d 1+d 2+…+d n1)111(lim )(lim 1111113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=∞→∞→n d d d n n n n n n n n ΛΛΛ答案：A 二、2.解析：由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得：2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3.又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4,∴P 1(2,2),P 2(3,4).∴21),2,2(OP OP ==(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP OP110252221sin ||||21102sin ,102722514||||cos 21212121212121=⨯⨯⨯==∴=∴=⨯==∴∆OP P OP S OP P OP OP OP P P OP答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－a b )升，第二次有纯酒精a (1－ab)－b a a ba )1(-，即a (1－a b )2升，故第n 次有纯酒精a (1－ab )n 升. 答案：a (1－ab )n4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).答案：120000 三、5.解：(1)由题意得rq n －1+rq n ＞rq n +1.由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得：q 2－q －1＜0，解得251-＜q ＜251+,因q ＞0,故0＜q ＜251+; (2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a qa q a a a a ab b q a a a a a a nn n n n n n n n n n n n n n n .b 1=1+r ≠0，所以{b n }是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(1+r )q n -1. 当q =1时，S n =n (1+r ),1)1(),2()3()1( ,0)10( ,111lim ,0)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,1;11)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,10;0)1(1lim 1lim -∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-==-+-=--+=>+-=-+-=--+=<<=+=n n nn nn n n n n nn n n n n n n n q r b q q r qS q r q S qq r S q r qq r q S q q r S q r n S 有由所以时当时当.2.2011log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n qn r q n r q r q r b b n n n nnn n b b C 212log log +=记,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N *)时，C n 随n 的增大而减小，故1＜C n ≤C 21=1+8.0112.20211+=-=2.25 ① 当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N *)时，C n 也随n 的增大而减小，故1＞C n ≥C 20=1+2.0112.20201-=-=－4 ② 综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤C n ≤C 21,故{C n }的最大项C 21=2.25，最小项C 20=－4.6.解：(1)第1位职工的奖金a 1=n b ，第2位职工的奖金a 2=n 1(1－n1)b ，第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n 1)2b ，…，第k 位职工的奖金a k =n 1 (1－n1)k －1b ;(2)a k －a k +1=21n(1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设f k (b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f 1(b )=(1－n1)b ,f 2(b )=(1－n 1)2b ,…,f k (b )=(1－n 1)k b .得P n (b )=f n (b )=(1－n1)n b ,故eb b P n n =∞→)(lim .7.解：设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{a n }是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)(2)S 6=2.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=99.2992≈99.3(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)， ∴从1996年到2001年共节约：84104.7102.3974.562⨯⨯⨯≈3 平方公里.8.解：(1)当n ≥3时，x n =221--+n n x x ; aa x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测a n =(－21)n -1a (n ∈N ) 证法一：因为a 1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2)所以a n =(－21)n -1a .证法二：用数学归纳法证明：(ⅰ)当n =1时，a 1=x 2－x 1=a =(－21)0a ,公式成立；(ⅱ)假设当n =k 时，公式成立，即a k =(－21)k －1a 成立.那么当n =k +1时，a k +1=x k +2－x k +1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++.)21()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式a n =(－21)n -1a 成立.(3)当n ≥3时，有x n =(x n －x n －1)+(x n －1－x n －2)+…+(x 2－x 1)+x 1 =a n －1+a n －2+…+a 1,由(2)知{a n }是公比为－21的等比数列，所以32)21(1lim 1=--=∞→a x n n a .。