福建省宁德市2016届普通高中毕业班5月质量检查文科数学试卷 Word版含答案

文科数学试题答案及评分参考第1页（共2页）2017-2018文科数学高三下第8周周练（2016年福州质量检测）一、 C B C A A BD B C B C D二、（13）14（14）32-（15）9π（16）(+ 三、 （17）（Ⅰ）证明：因为当2n …时，1n n n a S S -=-，所以211()0n n n n n n S S S S S S ----+-=． ····························································· 1分 所以110n n n n S S S S --+-=, ············································································· 2分因为11,2a =所以216a =-，所以10n n S S -≠，所以1111n n S S --=． ···························· 4分所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112S =为首项，以1为公差的等差数列． ···································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+. ································· 8分 所以1111(1)1n S n n n n n ==-++． ·································································· 10分所以12311111111++1++232231n S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭························· 11分 1111nn n =-=++． ·············································· 12分 （18）解：································ 3分 假设0:H 喜欢娱乐节目A 与观众性别无关，则2K 的观测值()2602415156540=5.934 3.8413921303091k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ···························· 5分所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关． ·············································································································· 6分（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A 的人数为524430⨯=，不喜欢节目A 的人数为56=130⨯．···································································· 7分 被抽取的喜欢娱乐节目A 的4名分别记为,,,a b c d ；不喜欢节目A 的1名记为B ． 则从5名中任选2人的所有可能的结果为：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a B b c b d b B {}{}{},,,,,c d c B d B ，共有10种．·············································································································· 9分 其中恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的有{}{}{}{},,,,,,,a B b B c B d B ，共4种．············································································································ 10分所以所求概率是：42=105． ········································································ 12分（19）（Ⅰ）【解析】（1）设AC BD O ⋂=,则O 为底面正方形ABCD 中心，连接SO , 因为S ABCD -为正四梭锥.所以SO ⊥平面ABCD ,所以SO AC ⊥. ·················· 2分 又BD AC ⊥,且SO BD O ⋂=,所以AC ⊥平面SBD ； ··································· 4分 因为SB ⊂平面SBD ,故AC SB ⊥. ······························································ 5分 （2）设SO EF G ⋂=,连,AG CG .取CG 中点H ，连OH 并延长交SC 的点为M ， ···· 6分 ∵O 是AC 中点，∴//OH AG ,即//OM AG ， ············································· 7分又//EF BD ，,OM BD ⊄平面AEF ，,AG EF ⊂平面AEF ，∴//OM 平面AEF ,//BD 平面AEF ， ······················································· 9分 又OM BD O ⋂=，,OM BD ⊂平面MBD ，∴平面//MBD 平面AEF ， ········· 10分在SOC ∆中，作//GN HM 交SC 于N ， 则N 是SM 中点，M 是CN 中点，∴2SMMC=. ··········································· 12分（20）本小题考查点与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.满分12分．解法一：（Ⅰ）依题意得，24c a ==， ···················································· 2分所以2221b a c =-=，所以E 的方程为2214x y +=． ·········································· 4分 （Ⅱ）点A 在M 外．理由如下：设()()1122,,,P x y Q x y ， ·································· 5分 由22(1),44,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=， ············································ 6分 所以，22222(8)4(41)(44)48160k k k k ∆=--+-=+>，所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+. ····························································· 8分因为()()11222,,2,AP x y AQ x y =-=-，所以AP AQ ⋅()()121222x x y y =--+，2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++22222224(1)(1)8(2)41414k k k k k k k +-+=-++++2214k k =+． ·························· 10分 因为0k ≠，所以0AP AQ ⋅>．所以点A 在M 外． ········································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）点A 在M 外．理由如下：设()()1122,,,P x y Q x y ， ·································· 5分由22(1),44,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=， ············································ 6分 所以，22222(8)4(41)(44)48160k k k k ∆=--+-=+>，文科数学试题答案及评分参考第2页（共2页）所以2122814k x x k+=+，21224414k x x k -=+. ····························································· 8分 所以()121222214ky y k x x k -+=+-=+，所以圆心M 坐标为2224,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，12PQ x =-==····························· 9分 所以M 的方程为()()()22222222241134141414k k k k x y k k k ++⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+． ················ 10分 因为()()()()()2222222222222411341420014141414k k k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫-++-=> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++， ·············· 11分 所以点A 在M 外． ················································································ 12分 （21）解：（Ⅰ）()e x f x a '=-，依题意，设切点为0(,0)x ， ····························· 1分则00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即000e (1)0,e 0,xx a x a ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩解得00,1,x a =⎧⎨=⎩ ················································ 3分所以()e 1x f x '=-，所以，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．所以，()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为()0,+∞． ······················· 5分 （Ⅱ）令2()()g x f x mx =-，则()e 21x g x mx '=--，令()()h x g x '=，则()e 2x h x m '=-，································································ 7分（ⅰ）若12m …，因为当0x >时，e 1x >，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在[0,)+∞上单调递增．(0)0g '=，所以当0x >时，()()00g x g ''>=，从而()g x 在[0,)+∞递增，而(0)0g =，所以()()00g x g >=，即2()f x mx >成立． ···················· 9分（ⅱ）若12m >，令()0h x '=，解得ln(2)0x m =>， 当(0,ln(2))x m ∈，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在[0,ln(2))m 上单调递减，又因为(0)0g '=，所以当(0,ln(2))x m ∈时，()0g x '<，从而()g x 在[0,ln(2))m 上单调递减， 而(0)0g =，所以当(0,ln(2))x m ∈时，()()00g x g <=，即2()f x mx >不成立．综上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ···························································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒,BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以 =BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠，························· 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ······································· 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AF AE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅，所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （）选修44-；坐标系与参数方程23解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=． ················· 7分3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos23OA ==， 所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分 （24）选修45-：不等式选讲 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得， 3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩ ·································································· 2分 解得2x >．依题意2m =． ·········································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ····························································· 7分关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t +…． ··················· 8分另一方面，12t t +…，所以12t t+=， ························································· 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。

2016年福建高考文科数学试题及答案(Word版)2016年福建高考文科数学试题及答案本份试卷共分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷是选择题，共12小题，每小题5分。

1.设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则AB=？解：AB={x|x∈A且x∈B}={3,5}，选项B。

2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=？解：(1+2i)(a+i)=a+2ai+i+2i^2=(a+2)+(2a-1)i，实部与虚部相等，即a+2=2a-1，解得a=3，选项D。

3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是？解：共有C(4,2)=6种选法，红色和紫色的花不在同一花坛中的选法有2种：红黄在一个花坛，白紫在另一个花坛；或者XXX在一个花坛，XXX在另一个花坛。

所以概率为2/6=1/3，选项A。

4.已知三角形ABC，a=2，b=3，c=2√2，c=2，cosA=1/4，求b=？解：由余弦定理，b^2=a^2+c^2-2accosB，代入已知数据得b=3，选项B。

5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为？解：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则椭圆中心到焦点的距离为c=√(a^2-b^2)，根据题意得c=4b，解得a=4√5，b=√5，所以离心率为c/a=√(5/80)=1/4，选项A。

6.将函数y=2sin(2x+π/4)的图像向右平移1个周期后，所得图像对应的函数为？解：y=2sin(2(x-π/8))，向右平移1个周期等价于将x-π/8替换为x+2π-π/8=2π+x-π/8，即y=2sin(2(x+15π/8))，选项D。

7.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。

若该几何体的体积是1/2π，则它的表面积是？解：设圆的半径为r，则几何体的高为2r，底面积为πr^2，所以体积为V=1/2π=1/2(πr^2)(2r)=πr^3，解得r=1/∛(2π)，所以表面积为S=3πr^2=3π(1/∛(2π))^2，化简得S=28π，选项D。

2016年宁德市普通高中毕业班质量检查理科数学一、选择题（1）已知复数1i z =+，则11z z --的值等于 （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-（2）设全集{0,1,2}U =，2{|0}A x x ax b =++=，若{0,1}U A =，则实数a 的值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（3）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的3n =，则输出的结果为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 （4）n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若243,,S S S 成等差数列，则数列{}n a 的公比q 等于（A ）12 （B ）2 （C ）2- （D ）12-（532，则该双曲线的方程可以是（A ）2214y x -= （B ）2212y x -=（C ）22124y x -= （D ）22142y x -=（6）设x ，y 满足条件24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩且z x y a =++（a 为常数）的最小值为4，则实数a 的值为（A ）53（B ）2 （C ）4 （D ）5（7）现有,A B 两个箱子，A 箱装有红球和白球共6，B 箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A 箱中任取2个球，乙从B 箱中任取1个球．若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A 箱中的红球个数应为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（8）已知命题p ：sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,π上是减函数；命题q ：“3a 是“直线x π=6为曲线()sin cos f x x a x =+的一条对称轴”的充要条件.则下列命题为真命题的是 （A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧⌝ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ∧⌝（9）在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，0，0)，(2，1，1)，(0，1，1)．若画该四面体三视图时，正视图以zOy 平面为投影面，则 得到的侧视图是（A ） （B ） （C ） （D ） （10）过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为45的直线交C 于,A B 两点，若以AB 为直径的圆被x 轴截得的弦长为163，则p 的值为（A ）8 （B ）3 （C ）12 （D ）16（11）已知四面体ABCD 的一条棱长为a ，其余各棱长均为320π的球面上，则a 的值等于（A） （B） （C） （D ）3（12）已知点(1,1)A ，点P 在曲线32()33(02)f x x x x x =-+≤≤上，点Q 在直线314y x =-上,M 为线段PQ 的中点，则AM 的最小值为（A（B（C（D二、填空题(13)已知ABC ∆为等边三角形，BA 在BC 方向上的投影为2， 3AD DC =，则BD AC ⋅=___．(14)52(12)()x x x++展开式中x 的系数为 .(15)已知函数2,0,()1,0.2(1)x a x f x x x x ⎧-+≤⎪=-⎨>⎪+⎩若函数()()g x f x x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是 .(16)若数列{}n a 满足11294132145n n n a a a n ++++=--，且对任意的*,n ∈N 存在*,m ∈N 使得不等式n m a a ≤恒成立，则m 的值是 ． 三、解答题(17) 如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+．（Ⅰ）求ABC ∠；（Ⅱ）若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值.(18) 某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如右： （Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数； （Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生 在校的月消费金额x （元）和服务部可获 得利润y （元），满足关系式： 20,200400,40,400800,80,8001200.x y x x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望. （ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的29，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？(元)(19) 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，3PA =，4AD =，AC =，60ADC ∠=，E 为线段PC 上一点，且PE PC λ=． （Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面PAD ，直线AE 与平面PBC 所成的角的λ的值．（20）已知点(1,0)F ，点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上，线段PF 的垂直平分线交PE 于点M . 记点M 的轨迹为曲线Γ. 过x 轴上的定点(,0)(2)Q m m >的直线l 交曲线Γ于,A B 两点.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点A 关于x 轴的对称点为'A ，证明：直线'A B 恒过一个定点S ，且OS OQ ⋅=4.（21）已知函数2()(1)ln 2af x x a x x =-+-+．（Ⅰ）若1a >-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a >，求证：3(21)()3e a a f x --<．（23）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线6cos ,:3sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若点,A B 为曲线C 上的两点，且OA OB ⊥，求OA OB ⋅的最小值．（24）已知函数()21f x x x a =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()f x x ≤的解集；EDC B AP（Ⅱ）当12x ≤-时，不等式2()230f x t t +++≥对任意t ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．2016年宁德市普通高中毕业班质量检查参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）B （4）D （5）C （6）B （7）D （8）C （9）C （10）A （11）C （12）B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．（13）4 （14）40 （15）1(0,){}4+∞- （16）5三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识， 考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，∵(sin cos )a b C C =+， ∴sin sin (sin cos )A B C C =+，……1分 ∴sin()sin (sin cos )B C B C C π--=+，∴sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+，……………2分 ∴sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C B C +=+， ……………………………… 3分 ∴cos sin sin sin B C B C =，又∵(0,)C ∈π，故sin 0C ≠，………………………4分 ∴cos sin B B =，即tan 1B =．……………………………………………5分又(0,)B ∈π，∴4B π=．……………………………………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中,2DB =,1DC =,∴222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯ 54cos D =-．…7分又=2A π，由（Ⅰ）可知4ABC π∠=，∴ABC ∆为等腰直角三角形，………8分21115cos 2244ABC S BC BC BC D ∆=⨯⨯⨯==-， ……………………………… 9分又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯⨯=， ……………………………………10分∴55cos sin )444ABDC S D D D π=-+=-四边形． ……………………11分∴当=4D 3π时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54．………12分（18） 解:（Ⅰ）学生月消费的平均数11311(3005007009001100)20040001000100020004000x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯……2分680=…………………………………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[)200,400、[)400,800、[]800,1200的频率分别为0.05、 0.80、0.15；……………………………5分因此(20)0.05P ξ==，(40)0.80P ξ==，(80)0.15P ξ== ………………6分ξξ的数学期望值()200.05400.80800.1545E ξ=⨯+⨯+⨯= ………………9分（ⅱ）服务部的月利润为45200090000⨯=（元） ……………………………10分 受资助学生人数为20000.05100⨯= …………………………………………11分每个受资助学生每月可获得2900001002009⨯÷=（元） …………………12分19．解：（Ⅰ）在ADC ∆中， 4AD =，AC =60ADC ∠=，由正弦定理得：1sin sin =∠=∠ACADCAD ACD ，090ACD ∴∠=即AC DC ⊥．… 3分 PA ⊥平面ABCD ， ∴DC PA ⊥． ………………………… 4分又AC PA A =， ∴CD PAC ⊥面．………………………… 5分 AE PAC ⊂面，∴CD AE ⊥． ………………………… 6分（Ⅱ） PA ⊥平面ABCD ， ∴PA AB ⊥,PA AD ⊥．∴BAD ∠即为二面角B PA D --的平面角. 平面PAB ⊥平面PAD ， 090BAD ∴∠=．………………………… 7分以A 为原点，以,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则)3,0,0(),0,3,3(),0,0,3(),0,0,0(P C B A ，)0,3,0(),3,0,3(=-=BC PB ． 8分设),,(000z y x E ，由PC PE λ=即000(,,3)3x y z λ-=-，），得000,3,33x y z λλ==-，∴(3,3,33)AE .λλλ=-…………………… 9分设平面PBC 的一个法向量(,,),x y z =n 则,PB BC ⊥⊥n n ，∴0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即3030zy -==⎪⎩，，令3=x ，得.=n ………… 10分设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ，则 sin 2AE AEθ⋅====⋅n n……11分∴13λ=或1121．…………… 12分20．解：（Ⅰ）由题意可知，MP MF =，∴4ME MF +=，……………………1分∵ME MF EF +>，∴点M 的轨迹是以点(1,0)F 和(1,0)E -为焦点，24a =的椭圆， 2分∴b ，…………3分 ∴曲线Γ的方程为22143x y +=． ………4分（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S 必在x 轴上. ………………………5分设直线l 的方程为()y k x m =-，1122(,),(,)A x y B x y ，直线'A B 与x 轴的交点为(,0)S s 则11'(,)A x y -，11'(,)SA x s y =--，22(,)SB x s y =-，由221,43(),x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，22222(34)84120k x k mx k m +-+-=，…………………6分 0∆>，即22(4)30m k -+>, 2122221228+,34412.34k m x x k k m x x k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………7分 当0k ≠时，由',,A B S 三点共线，可得1221()()0x s y x s y -+-=，即1221()()()()0k x s x m k x s x m --+--=，………………………………………8分12122()()20x x s m x x sm -+++=，∴2222241282()203434k m k ms m sm k k -⨯-++=++， ∴2624034sm k -=+，……………10分 ∴4=m s ，即4(,0)S m ， ………………11分 0k =时，直线'A B 与x 轴重合，过点4(,0)S m.综上述，直线'A B 恒过一个定点4(,0)S m ，且4OS OQ m m⋅=⋅=4． ……12分（21）解: （Ⅰ）1()(1)f x ax a x'=-+-+………………………………………1分2(1)1ax a x x ---=-(1)(1)ax x x+-=-，………………………………………2分 ∵0x >，1a >-， ∴①当0a =时，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；………3分②当10a -<<时，11a ->，令()0f x '>，得01x <<或1x a >-；令()0f x '<，得11x a<<-，故函数()f x 的单调递增区间为(0,1)和1(,)a -+∞，单调递减区间为1(1,)a-； 4分③当0a >时，10a-<，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，综上，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；当10a -<<时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)和1(,)a -+∞，单调递减区间为1(1,)a-． (5)分（Ⅱ）∵1a >，故由（Ⅰ）可得函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，∴()f x 在1x =时取得极大值，并且也是最大值，即max 1()12f x a =-．……6分又210a ->，∴1(21)()(21)(1)2a f x a a -≤--．…………… 7分设31(21)(1)2()e a a a g a ---=，则233(297)(1)(27)()2e 2e a a a a a a g a ---+--'=-=-，……8分 所以()g a 的单调递增区间为7(1,)2，单调递减区间为7(+)2∞，，………… 9分所以123674()()2e g a g ⨯≤==，………………………………………10分2e 3>933<=，……11分∴()3g a <，又3e 0a ->3(21)()3e a a f x -∴-<．………12分（23）解：（1）依题意曲线C 的普通方程为193622=+y x ．…………2分∵θρθρsin ,cos ==y x ，……3分∴曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 36+=．…5分（说明：方程写成2222cos 4sin 36ρθρθ+=同样得分）（2）由椭圆的对称性,设点,A B 的极坐标分别为），（θρ1,），（22πθρ+,其中[2πθ∈0，）……6分则12×OA OB ρρ⋅==｜｜｜｜……7分5722sin 49436cos sin 94363cos 16sin 31622222≥+=+=+⋅+=θθθθθ…9分 当且仅当2sin 2=1θ即4πθ=，｜｜｜｜OB OA ⋅取到最小值572．…………10分 （24）解：(1)当1=a 时，x x f ≤)(化为x x x ≤--+112，…………1分当21-≤x ，不等式化为022≥+x ，解得211-≤≤-x ；…………2分 当121<<-x ，不等式化为02≤x ，解得021≤<-x ； …………3分当1≥x ，不等式化为20≤，无解； …………4分所以x x f ≤)(解集为{}01|≤≤-x x ．…………5分(2) ∵当21-≤x 时1)(12)(---=----=a x x a x x f ，∴11()()22min f x f a =-=--． …………6分 ∵22)13222≥++=++t t t （， …………7分 要使当21-≤x 时)(x f ＋322++t t 0≥对任意R t ∈恒成立，则当21-≤x 时)(x f ＋02≥恒成立，…………9分 ∴122a 0--+≥，又由已知0a > ∴302a <≤．…………10分。

- 1 -2016年宁德市普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知复数z 满足z i iz 3-=+，则z =（A ）12i + （B ）12i - （C ）22i + （D ）22i -（2）已知集合{}1,0,1,2A =-，{}220B x x x =--≤，则x A ∈是x B ∈的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）右图中的程序框图表示求三个实数,,a b c那么在空白的判断框中，应该填入（A ）a x > （B ）b x >（C ）c x < （D ）c x >（4）已知3sin ,,52θθπ⎛⎫=∈π ⎪⎝⎭，则tan()4θπ+=（A ）7- （B ）7（C ）17- （D ）17（5）已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的焦点到渐近线的距离为3，则C 的离心率为（A （B （C ）32 （D ）52O- 2 -（6）函数2()()ax bf x x c -=-的图象如图所示，则下列结论成立的是 （A ）0,0,0a b c >>> （B ）0,0,0a b c <<>（C ）0,0,0a b c >>< （D ）0,0,0a b c <>>（7）某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（A ）4 （B ）12（C ）24（D ）30（8）已知函数21,0,()1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩ 若113221(log ),(2),(3)3a f b f c f -===，则（A ）a b c >> （B ）c b a >> （C ）a c b >> （D ）b c a >>（9）已知函数()sin(2)2f x x π=-，下列结论错误．．的是 （A ）()f x 的最小正周期为π （B ）()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数（C ）()f x 的图象关于点3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 （D ）()f x 的图象关于直线54x π=对称（10）过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（A ）4370x y +-= （B ）3470x y +-= （C ）3410x y -+= （D ）4310x y --=（11）边长为2的两个等边ABD ∆,CBD ∆所在的平面互相垂直，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（A（B ）6π （C ）203π（D ）16π（12）已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（A ）2e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）2e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）2e 0,3⎛⎤⎥⎝⎦正视图 俯视图侧视图- 3 -第II 卷注意事项：第II 卷共3页，须用黑色签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）某单位有420名职工，现采用系统抽样方法抽取21人做问卷调查，将420人按1,2，…,420随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间[]281,420的人数为 .（14）在ABC ∆中，3,4AB AC ==，M 是边BC 的中点，则AM BC ⋅=.（15）不等式组2,6,20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域为Ω，若直线10ax y a -++=与Ω有公共点，则实数a 的取值范围是 .（16）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,22,2,44A C c a b ===-，则a = .三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． （17）(本小题满分12分)已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且2441,1,a a S ++成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设112n n n n na ab a a ++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .（18）(本小题满分12分)某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况，随机抽取了60名学生进行统计．得到如下样本频数消费”的概率为1 6 .（Ⅰ）从月消费金额不低于400元的学生中随机抽取2人，求至少有1人月消费金额不低于500元的概率；（Ⅱ）请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关，说明理由.下面的临界值表仅供参考：7.879（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）（19）(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD-中，,ABC ACD∆∆都为等腰直角三角形，90ABC ACD︒∠=∠=，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：//BE平面PCD；（Ⅱ）若PAC∆是边长为2的等边三角形，PB=求三棱锥P BEC-的体积．DCEBAP- 4 -- 5 -（20）(本小题满分12分)已知抛物线Γ：22(0)x py p =>上一点(4,)P m 到焦点F 的距离为54m ．（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）过点(0,2)C 的直线交Γ于,A B 两点，以AB 为直径的圆交y 轴于,M N 两点，证明：OM ON ⋅为定值．（21）(本小题满分12分)已知函数()(1)e x f x x k =--．（Ⅰ）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．- 6 -请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． （22）（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图, 已知A e 和B e 的公共弦CD 与AB 相交于点E ， CB 与A e 相切, B e 半径为2,3AE =. (Ⅰ)求弦CD 的长；(Ⅱ) B e 与线段AB 相交于点F ，延长CF 与A e 相交于点G ，求CG 的长．.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线6cos ,:3sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极 点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若点,A B 为曲线C 上的两点，且OA OB ⊥，求OA OB ⋅的最小值．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()21f x x x a =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()f x x ≤的解集；（Ⅱ）当12x ≤-时，不等式2()230f x t t +++≥对任意t ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．- 7 -2016年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

2024届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查数学试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．1．B 2．D 3．D 4．B 5．B 6．C 7．C 8．A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． AC 10．BD 11．ABC11.解法一：对于选项A ,令0x y ==，得2(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)0f =或(0)1f =−． 令0y =，得(0)()(0)()(0)f f x f f x f =++，由()f x 的值域为[1,)−+∞， 所以当(0)0f =时，得()0f x ≡，不合题意，所以(0)1f =−．A 正确． 对于选项B ,令1x y ==，得2(1)(1)2(1)f f f =+，所以(1)0f =或(1)1f =−． 令1y =，得()()(1)()(1)f x f x f f x f =++，得[](1)()10f f x +=， 因为()f x 的值域为[1,)−+∞，所以(1)0f =.令1x y ==−，得2(1)(1)2(1)0f f f =−+−=，所以(1)0f −=或(1)2f −=−． 因为值域为[1,)−+∞，所以(1)0f −=，C 正确．对于选项C ,令1y =−，得()()(1)()(1)f x f x f f x f −=−++−，因为(1)0f −=， 则()()f x f x −=，所以函数()f x 为偶函数，图像关于0x =对称，C 正确． 对于选项D ,由值域[1,)−+∞和偶函数，D 错误．选ABC.解法二：由()()()()()f xy f x f y f x f y =++，则()1()()()()1f xy f x f y f x f y +=+++， 得()1[()1][()1]f xy f x f y +=++，设()()1g x f x =+，得()()()g xy g x g y =+，可设()g x x α=（α为正偶数），()1f x x α=−， 不妨设2()1f x x =−，可判断ABC 正确，D 错误．选ABC.三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．12．3π13． 5 14．(),1−∞四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15. 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分13分． 解：(1)由2292cos a c ac B +=+及余弦定理，得2222cos 9b a c ac B =+−=，3b =. ……………………………………………………………………………………………………2分由sin sin B A C =及正弦定理，得sin b C =，…………………………………………………………………………………………………4分 因为△ABC 的面积11sin 22S b BD ab C =⋅=所以sinBD a C ==. ……………………………………………………………………………………6分(2)由3BA BC ⋅=得cos 3ac ABC ∠=①,…………………………………………………………………………7分因为11sin 322ABC S ac ABC ∆=∠=⨯,所以sin ac ABC ∠=②, ………………………………………………………………………………………8分由①②得tan ABC ∠=，………………………………………………………………………………………9分 又(0,)ABC ∠π∈,故3ABC ∠=π，………………………………………………………………………………10分 从而6ac =， 221926152a c +=+⨯⨯=. ………………………………………………………………………11分 得222()227a c a c ac +=++=，………………………………………………………………………………12分所以a c +=分 16. 本小题主要考查空间解三角形、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分． 解：（1）证明：翻折前，因为四边形ABCD 为平行四边形，601D AC CD ∠=︒==，,在三角形ACD 中，由正弦定理可得sin sin AC CD ADC CAD =∠∠，1sin 60sin CAD=∠,……………………………1分 1sin 2CAD ∠=，又AC CD >，故30CAD ∠=. ………………………………………………………………2分 所以90ACD ∠=，即CD AC ⊥，………………………………………………………………………………3分 因为PD ,2,1PC CD ==,所以222PC CD PD +=,则有CD PC ⊥. ……………………………………5分 PCAC C =，AC ,PC ⊂平面APC ，所以CD ⊥平面APC ，……………………………………………6分（2）由（1）CD ⊥平面APC ，且CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面APC .在平行四边形ABCD 中， BA AC ⊥，即PA AC ⊥,故PA ⊥平面ADC . ………………………………………………………………7分 以点C 为坐标原点，CD 、CA 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ,()1,0,0D ,()P ,()A ，………………8分设()()1,,,0AD AM λλλ===，其中01λ≤≤，则()()(),,0,0CM CA AM λλ=+=+=，()0,CP =，……………………………………9分 设平面MCP 的法向量为(),,x y z =m ，则)300y z CM CP x y λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m ，取y λ=，则z=，)1x λ=−，所以，))1,,λλ=−m ，……………………………………………………………………………11分易知平面CPA 的一个法向量为()1,0,0=n ， (12)分则cos ,⋅==⋅m n m n m n215210λλ+−=， 因为01λ≤≤，解得15λ=，…………………………………………………………………………………14分因此，线段PC 上存在点M ，使二面角M AB C −−，且14AM MD =.……………………15分 17．本小题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分．解法一：（1）1()sin e x f x a x +'=−−，(0)e f '=−,……………………………………………………2分 又(0)e f a =−，所以切线方程为e e y x a =−−+，……………………………………………………3分 又切线过点(1,2)−，得2e e +a =−，所以2a =．……………………………………………………………………………4分 所以1()2cos e x f x x +=−，1()2sin e x f x x +'=−−，当[]0,x ∈π时，()0f x '<，所以()f x 在[]0,π上单调递减，…………………………………………6分 所以()f x 的最小值为1()2e f π+π=−−.…………………………………………………………………7分 （2）判断()f x 在2(,0)3π−零点个数，等价于判断方程12cos e x x +=根的个数， 等价于判断方程12cos 1e x x+=根的个数. ………………………………………………………………8分 令12cos ()e x x g x +=，2(,0)3x π∈− 12sin 2cos ()e x x x g x +−−'=,令()g x '=0,则sin()04x π+=，得4x π=−．…………………………………10分 当2(,)34x ππ∈−−时，()0g x '>，()g x 在2(,)34ππ−−单调递增；当(,0)4x π∈−时，()0g x '<，()g x 在(,0)4π−单调递减．………………………………………………12分21321()03e g π−π−=−<，3e ()13e g ππ−=>，2(0)1e g =<，（或143()2e 11 1.41444g π−ππ⎫−=>−+>⨯>⎪⎭）所以2(,0)3x π∈−时，方程()1g x =有2根， 所以()f x 在2(,0)3π−有2个零点．…………………………………………………………………………15分 解法二： （1）1()sin e x f x a x +'=−−，(0)e f '=−,……………………………………………………2分 所以切线方程为e e 2y x =−−+，………………………………………………………………………3分 因此切点为(0,2e)−，得2e e a −=−，所以2a =．……………………………………………………………………………4分 所以1()2cos e x f x x +=−，1()2sin e x f x x +'=−−，当[]0,x ∈π时，()0f x '<，所以()f x 在[]0,π上单调递减，…………………………………………6分 所以()f x 的最小值为1()2e f π+π=−−.…………………………………………………………………7分 （2）由（1）得1()2cos e x f x x +=−，1()2sin e x f x x +'=−−，…………………………………………8分 令1()2sin e x h x x +=−−，则1()2cos e x h x x +'=−−在2,03π⎛⎫− ⎪⎝⎭上为减函数，……………………………9分132()1e 03h π−π'−=−>，12()e 02h π−π'−=−<，所以在2,32ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上()h x '必有一个零点0x ，使得0()0h x '=，………………………………………10分从而当02,3x x π⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()0h x '>，当()0,0x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在02,3x π⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,0x 上单调递减. ……………………………………………11分又13e 03h π−2π⎛⎫−=−> ⎪⎝⎭，12()2e 02h π−π−=−>，(0)e 0h =−<，所以在,02π⎛⎫− ⎪⎝⎭上()h x 必有一个零点1x ，使得1()0h x =．………………………………………… 12分当12,3x x π⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1(,0)x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，此时()f x 单调递减．……………………………………13分又因为131e 03f 2π−2π⎛⎫−=−−< ⎪⎝⎭，12e 02f π−π⎛⎫−=−< ⎪⎝⎭，131e 03f π−π⎛⎫−=−> ⎪⎝⎭，(0)2e 0f =−<， 所以()f x 在,23ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上有一个零点，在,03π⎛⎫− ⎪⎝⎭上有一个零点．………………………………14分综上，()f x 在2,03π⎛⎫− ⎪⎝⎭有且只有2个零点．……………………………………………………15分18. 本小题主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、递推数列及等比数列等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分17分． （1）记第i 次取出的球是黑球为事件i A ，*i ∈N ，则21212()()A A A A A =，…………………………………………………………………………………1分根据全概率公式得2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =⋅+⋅ …………………………………………………………………2分 =32447777⨯+⨯ …………………………………………………………………………………………3分=61622494949+= ………………………………………………………………………………………………4分 所以第2次取出黑球的概率为2249. （2）(i)由题知得2X 的可能取值为：1，3，5………………………………………………………………5分 则326(1)7749P X ==⨯=; 354431(3)777749P X ==⨯+⨯=; 4312(5)7749P X ==⨯=; …………………………………………………………………………………………8分 故2X 的分布列为：…………………………………………………………………………………9分所以263112159()135********E X =⨯+⨯+⨯=. ……………………………………………………10分 (ii)设第1n −次完成操作后袋中黑球数为k （0,1,2,,7k =）则7107()(1)(1)()77n n k k k E X k k P X k −=−⎡⎤=−⋅++⋅⋅=⎢⎥⎣⎦∑ 7105(1)()7n k kP X k −==+=∑7711005[()]()7n n k k kP X k P X k −−====+=∑∑15()17n E X −=+，……………………………………………………………………………………13分 （也可以按如下方法得出递推关系： [][]1111()()()()11()177n n n n n E X E X E X E X E X −−−−⎡⎤=⨯−+−⨯+⎢⎥⎣⎦ 15()17n E X −=+.） （若通过特殊性入手得出递推关系得2分） 即15()()17n n E X E X −=+，由此得1757()[()]272n n E X E X −−=−，…………………………………15分 又因为0071()3,()22E X E X =−=−，…………………………………………………………………16分 所以715()()227n n E X −=−⨯，即157()()272n n E X =−⨯+.……………………………………………17分 19. 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、双曲线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性，满分17分． （1）证明：设(,)P x y '''，由题意可知 ()cos cos cos sin sin cos sin x OP r r x y θαθαθααα'=+=−=−， ()sin sin cos cos sin sin cos y OP r r x y θαθαθααα'=+=+=+，所以cos sin ,sin cos .x x y y x y αααα'=−⎧⎨'=+⎩……………………………………………………………………………………2分故当0x y ==，且α=4π时，,424x y ⎧π'==⎪⎪⎨π⎪'==⎪⎩所以P '⎝⎭.……………………………………………………………………4分（2）（i ）设曲线C 上的任一点(),P x y 绕原点O 顺时针旋转6π后得到的点为(,)P x y '''， 可视为(,)P x y '''绕原点O 逆时针旋转6π后得到的点(),P x y ，所以1cos sin ,6621sin cos .662x x y y y x y x y ⎧ππ''''=−=−⎪⎪⎨ππ⎪''''=+=+⎪⎩………………………………………………………………6分由点(),P x y在曲线:C y x =+上，所以1122x y y ⎫''''+=−+⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得2213y x ''−=，……………………………………………………………………………………8分即曲线C 绕原点O 顺时针旋转6π后得到的曲线方程为2213y x −=，该曲线为双曲线，离心率为2. …………………………………………………………………………9分（ii ）由曲线22:5568x y xy Γ+−=，，可知当点(),x y ，满曲曲线方程时，点(),y x ，，(),y x −−，也满曲该曲线方程，故曲线Γ关于直线y x =和y x =−对称，…………………………………………………10分 设曲线Γ上任一点(),P x y 绕原点O 顺时针旋转4π后得到的点为(,)P x y '''，则))cos sin ,44sin cos .442x x y x y y x y x y ⎧ππ''''=−=−⎪⎪⎨ππ⎪''''=+=+⎪⎩………………………………………………………………11分 由点(),P x y 在曲线22:5568x y xy Γ+−=上，所以22288x y ''+=， 即旋转4π后得到的曲线方程为椭圆：2214x y +=，其右焦点坐标为)，…………………… 12分由（1）可知，其为点22⎛ ⎝⎭绕原点O 顺时针旋转4π后得到的点，故点F ⎝⎭为原椭圆Γ的右焦点．由FM 为ABF ∆的外角平分线，所以sin sin AFM BFM ∠=∠,故1sin 21sin 2FAMFBMMF FA AFMS MA FA S MB FBMF FB BFM ∆∆∠===∠.………………………………13分 设1122(,),(,)A x y B x y ，221114x y +=，122FA x ====−，同理222FB x =−，………………………………………………………………………………………… 14分设00(,)M x y ，显然M 在线段AB 的延长线或反向延长线上，所以101022x xMA MB x x −−==−，………………………………………………………………………………15分所以1021220112(2)2(2)2x x x x x x x x −+=−+，21021)2()x x x x x −=−，得0x =分 所以点P的轨迹为直线x =，故F 到P=分。

xy O16π-65π 福州一中2015-—2016学年第二学期校质量检查试卷高三文科数学试卷（完卷时间120分钟 满分150分） （请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.(1)设复数121,2z i z bi =+=+, 若12z z ⋅为纯虚数,则实数b =(A) 2 (B) 2- (C) 1 (D) 1- (2)若集合{}}{R x x y y N R t x x Mt ∈==∈==-,sin ,,2，则MN =(A) ∅ (B) (]0,1 (C) []1,1- (D) [)1,0- (3)已知命题:,cos()cos p R απαα∃∈-=；命题2:,10q x R x ∀∈+>，则下面结论 正确的是(A) p q ∨是真命题 (B) p q ∧是假命题 (C) q ⌝是真命题 (D) p 是假命题 (4)函数()sin()f x A x ωϕ=+(0>A ，0>ω，2πϕ<)的图象如图1所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 (A) 最小正周期是π (B) 对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈Z(1)y f x =-的图象(||)y f x =的图象()y f x =-的图象 ()y f x =的图象(C) 6πϕ=-(D) 对称中心是(,0)()6k k ππ-+∈Z(5)已知函数2(10)(),1)x x f x x x --≤≤⎧⎪=<≤则下列图象错误的是1212Oy x1Oy x2-11Oy x-1112Oy x2-111(A)(B) (C) (D) (6)若实数,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为(A)13 (B) 12(C) 1 (D) 2 (7) 关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 (A) ①② (B) ③④ (C) ①④ (D) ②③ (8)已知三棱锥的三视图如图2所示，则它的外接球的体积为 (A) π (B) 4π (C)43π (D) 23π(9)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，左顶点M 在以AB 为直径的圆外，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 (A) 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) (1,2) (C) 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭(D) (2,)+∞ (10)函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，1()22x f x x a =-+. 则函数()f x 的零 点个数是(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (11) 如图3，O 为ABC ∆的外心，6,4,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅=图1图2(A) -10 (B) 36 (C) 13 (D) 16(12)已知函数21()()36f x x mx m R =++∈，且关于x 的不等式()1f x a <-的解集为(3,2)m m -+，则实数a 的值是(A)294 (B) 254 (C) 6 (D)214二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)已知3cos α=，且 000180α<<，则角α的值________________. (14)已知数列{}n a 满足1,1n na q q a +=>，且47562,8a a a a +=⋅=-，则110a a +=____. (15)若斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则弦长AB 的最大值为_____. (16) 已知ABC ∆为锐角三角形，角A , B , C 的对边分别是,,,a b c ，其中2c =，3cos cos 2sin ca Bb A C+=，则ABC ∆周长的取值范围为_____________________.三、解答题：解答应写出说明，证明过程或演算步骤，本大题共5小题，60分.(17)（本小题满分12分） 已知数列}{n a ，记123,*nn a a a a V n N n++++=∈.（I ）若21+=n V n ，求数列{n a }的通项公式； （II ）若数列}{n a 是首项为1-，公比为2q =的等比数列，试比较n V 与6-的大小.(18) (本小题满分12分）某汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按轿车种类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆. （I ）求z 的值;（II ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,图3从中 任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率.(19) (本小题满分12分）如图4，AB 是圆O 的直径，E 是圆O 上不同于,A B 的动点，四边形ABCD 为矩形， 且2,1AB AD ==，平面ABCD ⊥平面ABE . （I ）求证：平面DAE ⊥平面EBC ；（II ）当点E 在AB 上的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为33； (III)在（II ）的条件下，求EBC ∆以EC 为轴旋转所围成的几何体体积.(20)（本小题满分12分）如图5，已知圆O '过定点(0,)(0)A p p >，圆心O '在抛物线22x py =上运动，MN 为圆O '在x 轴上所截得的弦.（I ）当O '点运动时，MN 是否有变化？并证明你的结论；（II ）当OA 是OM 与ON 的等差中项时，试判断抛物线的准线与圆O '的位置关系，并说明理由.(21)（本小题满分12分）设函数1()1,()1xf xg x x ax =-=+(其中a R ∈, e 是自然对数的底数). （I ）若函数(),()f x g x 的图象在012x =处的切线斜率相同，求实数a 的值；（II ）若()()xf eg x ≤在[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若向量a (3,)m =，b (2,1)=-，//a b ，则实数m 的值为A ．32-B ． 32 C ．2D ．62．若集合{|21}xA x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅= A ． 6 B ． 18 C ．24 D ．364．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --则该函数的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．25．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入 的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．6 6．已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从 正态分布11(90,86)N ξ:和22(93,79)N ξ:，则以下结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 ABC ．2 D8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日9．若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13-D ．010．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是 A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．1233V V ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．复数1i i z +=（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________． 12．设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率为 ．侧视图正视图13．若关于x ，y 的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩ 表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为 ．14．若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．15．已知面积为的ABC ∆中，3A π∠=．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB =u u u v u u u v ，则当AD 取最小时，BD 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，． （Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）若向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈]的值域．17．(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？18． (本小题满分13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥．（Ⅰ）求证：1A O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．19已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程;（Ⅱ）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ， （ⅰ）求证:直线CD 过定点;（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究PQ PA若是，求出该定值；不是，说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2． Bya １xy O（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设3()(e g x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n na a n +=+， 求证：当2,n n ≥∈N 时11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭L （e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（Ⅱ）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|5||3|f x x x =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ；（Ⅱ）若正实数,a b满足11a b +=2212m a b +≥.2013年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．1112．13 13．1-或0 14．(3,1)(1,3)--U 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分．解: （Ⅰ）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1tan 7α=，(0,)2απ∈．……………1分 ∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分 ∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分 （Ⅱ）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈-，………………………………………………………12分∴函数()f x的值域为12[5-．……………………………………………13分17．本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分． 解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=， 解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分 （Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则3(3,)4B ξ:，……………………………5分 ∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分 ∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， 24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分 ∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分 （Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为ξ， 则ξ所有可能的取值为60-，20-，20，60．331(60)1464P ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 213339(20)14464P C ξ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭， 3233327(20)14464P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(60)464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴19276020206030646464E ξ=-⨯-⨯+⨯+=．……………………………8分设最后抢答阶段乙队获得的分数为η，则η所有可能的取值为60-，20-，20，60． ∵2111(60)5250P η⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭，2411119(20)25525250P η⎛⎫=-=⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， 24141112(20)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(60)5250P η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，∴191216602020602450502550E η=-⨯-⨯+⨯+⨯=，……………………………12分∵1203012024+>+，∴支持票投给甲队．…………………………………………13分18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．（Ⅰ）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =， ∴1AO =…………………………………………2分∴22211A O AD AA +=∴1AOAD ⊥.…………………………………………3分 又1CD AO ⊥，且CD AD D =I ，∴1A O ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分（Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以O O xyz -１则(0,1,0)A -，1A ，……………………………6分设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(,,)x y z ，∵1AA =u u u r，(1,1,0)AP m =+u u u r，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u r u u ur n n 取1z =，得1n=1),m +．……………………………8分 又1A O ⊥平面ABCD ,且1A O ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD .又CD AD ⊥,且平面11A ADD I 平面ABCD AD = ∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos ,==n n ……………………12分解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分19．本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分13分．解法一: （Ⅰ）由题意可知，HF HP=，∴点H 到点(0,1)F 的距离与到直线1:1l y =-的距离相等，……………………………2分 ∴点H 的轨迹是以点(0,1)F 为焦点， 直线1:1l y =-为准线的抛物线，………………3分∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设0(,1)P x -，切点(,),(,)C C D D C x y D x y ．由214y x =，得12y x '=． ∴直线01:1()2C PC y x x x +=-，…………………………………………5分又PC 过点C ，214C C y x =，∴2001111()222C C C C C y x x x x x x +=-=-，∴01122C C C y y x x +=-，即01102C C x x y -+=．…………………………………………6分 同理01102D D x x y -+=，∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分 ∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）得,直线CD 的方程为1102x y -+=. 设:1(1)l y k x +=-，与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．……………………………………9分 设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1Q A B x x x ---同号，∴11PQ PQPQ PAPB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111Q A B x x x ⎛⎫=-+⎪⎪--⎭ ()11111Q A B x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭…………………………………………11分()()24212111A B A B x x k k x x +-+⎛⎫=-⋅⎪---⎝⎭5422215k k -=⋅=-， ∴PQ PQ PAPB+为定值，定值为2．…………………………………………13分解法二: （Ⅰ）设(,)H x y ，由题意可知，HF HP=，1y +， ………………………………2分∴化简得24x y =，∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设切点(,),(,)C C D D C x y D x y ，直线CD 的方程为y kx t =+．联立y kx t =+与24x y =得2440x kx t --=，由根与系数的关系，得4,4C D C D x x k x x t +=⋅=-．…………………………………………5分 由214y x =，得12y x '=． ∴直线1:()2C C C PC y y x x x -=-，又214C C y x =， 所以211:24C C PC y x x x =-． 同理211:24D D PD y x x x =-．…………………………………………6分联立两直线方程，解得1y t =-=-，∴1t =，即直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ），解得11()22C D x x k =+=， ∴12k =， ∴直线CD 的方程为1102x y -+=．以下同解法一．20．本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解: （Ⅰ）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分（Ⅱ）2()e (2)x f x x x -=+．由()()g x f x ≥，得23()e (2)e x x x t x x ----≥+，[0,1]x ∈．当0x =时，该不等式成立; …………………………………………4分当(0,1]x ∈，不等式3e (2)e x x t x --++≥+对(0,1]x ∈恒成立， 即max 3e (2)e x t x x -⎡⎤≥++-⎢⎥⎣⎦．…………………………5分 设3()e (2)e x h x x x -=++-，(0,1]x ∈，()e (2)e 1e (1)1x x x h x x x ---'=-+++=-++，()e (1)e e 0x x x h x x x ---''⎡⎤=--++=⋅>⎣⎦，∴()h x '在(0,1]单调递增，∴()(0)0h x h ''>=，∴()h x 在(0,1]单调递增， …………………………………………………………7分 ∴max 33()(1)11e e h x h ==+-=，∴ 1.t ≥………………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）∵11(1)n n a a n +=+， ∴11n n a n a n ++=，又11a =，∴2n ≥时，321121231121n n n a a a n a a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-L L ，对1n =也成立，∴n a n =．……………………………10分∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->，∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=． 又∵1()i f nn ⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i f n ，宽为1n 的小矩形的面积， ∴11()()i n i n i f f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a a a n f f f f f f f x dx n n n n n n n n --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰L L ．…… 12分又由（Ⅱ），取1t =，得23()()(1)e f x g x x x ≤=-++， ∴1132100011313()()(1)32e 62e f x dx g x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62e n f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦L ， ∴11213()()()62e n a a a f f f n nn n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭L ．…………………………………………14分 21．（1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''， 则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………………1分又det()3M =-， ∴1103213M -⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分 （Ⅱ）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''， 则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩…………………………………………5分 ∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭，即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分（2）本题主要考查直线的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为x y +=………………………………………2分圆C的直角坐标方程为222(((0)22x y r r +++=>．………………………… 4分（Ⅱ）∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分圆心C到直线x y +=的距离为2d ，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴321r =-=．………………………………………7分(3)本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）∵()|5||3|532f x x x x x =-+-≥-+-=，…………………………………2分当且仅当[3,5]x ∈时取最小值2，……………………3分2m ∴=．…………………………………4分（Ⅱ）22222121()[1](13a b a b ++≥⨯+=Q ，222123()2a b ∴+⨯≥， ∴22122a b +≥.…………………………………………7分。

2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题（满分：150分 考试时间：120分）注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷1、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则{}{}82|,4,2,1,3<∈=--=x R x B A =B A I A. B. C. D.{}3-{}2,1-{}2,1,3--{}4,2,1,3--2.已知复数满足，则z ()i i i z 32+=-=z A. B. C.10 D.1810233.若函数，则下列结论正确的是()xax x f 12+=A.，函数是奇函数 B.，函数是偶函数R a ∈∀()x f R a ∈∃()x f C.，函数在上是增函数 D.，函数在上是减函R a ∈∀()x f ()+∞,0R a ∈∃()x f ()+∞,0数4.已知，则2cos 3sin =α+α=αtan A. B. C. D.3222335.在如图所示的程序框图中，若2log 3log ,2log ,16132421∙==⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 则输出的等于x A.0.25 B.0.5 C.1 D.26.已知A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，P()0,0,1:2222>>=-b a b y a x C 是C 上一点，且直线AP ,BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为A. B. C. D.23567.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D.322-π342-ππ3522-π8.已知的三个顶点的坐标分别为，对于(含边界)内的ABC ∆()()()2,2,3,1,1,1C B A ABC ∆任意一点，的最小值为-2，则()y x ,y ax z +==a A.-2 B.-3 C.-4 D.-59.某商场销售A 型商品.已知高商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价(元)45678910日均销售量(件)400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位：元/件)应为A.4B.5.5C.8.5D.1010.三棱锥P-ABC 的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA 平面ABC ，若AB =2，⊥，则棱长PA 的长为2,3π=∠=BAC AC A. B. C.3 D.923311.已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ>ωϕ+ω=2,0,sin x x f 2π且函数是偶函数，下列判断正确的是⎪⎭⎫ ⎝⎛π+12x f A.函数的最小正周期为 B.函数的图像关于点对称()x f π2()x f ⎪⎭⎫⎝⎛π0,121C.函数的图像关于直线对称 D.函数在上单调递增()x f 127π-=x ()x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,4312.已知函数，其图像在点处的切线斜率为0.若()d cx bx ax x f +++=232131()()1,1f ，且函数的单调递增区间为，则的取值范围是c b a <<()x f ()n m ,m n -A. B. C. D.⎪⎭⎫⎝⎛23,1⎪⎭⎫ ⎝⎛3,23()3,1()3,2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。