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《管理运筹学》第二版习题答案(韩伯棠教授)高等教育出版社第 2 章 线性规划的图解法11a.可行域为 OABC 。
b.等值线为图中虚线所示。
12c.由图可知，最优解为 B 点，最优解： x 1 = 769 。
7 2、解：15 x 2 =7， 最优目标函数值：a x 210.60.1O1有唯一解x 1 = 0.2函数值为 3.6x 2 = 0.6b 无可行解c 无界解d 无可行解e 无穷多解1 2 2 1 2f 有唯一解20 x 1 =3 8函数值为 92 33、解：a 标准形式：b 标准形式：c 标准形式：x 2 = 3max fmax f= 3x 1 + 2 x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 9 x 1 + 2x 2 + s 1 = 303x 1 + 2 x 2 + s 2 = 13 2 x 1 + 2x 2 + s 3 = 9 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥= −4 x 1 − 6x 3 − 0s 1 − 0s 23x 1 − x 2 − s 1 =6x 1 + 2x 2 + s 2 = 10 7 x 1 − 6 x 2 = 4x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥max f = −x ' + 2x ' − 2 x ''− 0s − 0s'''− 3x 1 + 5x 2 − 5x 2 + s 1 = 70 2 x ' − 5x ' + 5x '' = 50122' ' ''3x 1 + 2 x 2 − 2x 2 − s 2 = 30'' ''4 、解：x 1 , x 2, x 2, s 1 , s 2 ≥ 0标准形式： max z = 10 x 1 + 5x 2 + 0s 1 + 0s 23x 1 + 4 x 2 + s 1 = 9 5x 1 + 2 x 2 + s 2 = 8 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥ 0s 1 = 2, s 2 = 0标准形式： min f = 11x 1 + 8x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 310 x 1 + 2x 2 − s 1 = 203x 1 + 3x 2 − s 2 = 18 4 x 1 + 9x 2 − s 3 = 36 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 136 、解：b 1 ≤c 1 ≤ 3c 2 ≤ c 2 ≤ 6d x 1 = 6 x 2 = 4e x 1 ∈ [4,8]x 2 = 16 − 2x 1f 变化。
第2章 线性规划的图解法1．解：x`A 1 (1) 可行域为OABC(2) 等值线为图中虚线部分(3) 由图可知，最优解为B 点， 最优解：1x =712，7152=x 。
最优目标函数值：7692．解： x 2 10 1(1) 由图解法可得有唯一解 6.02.021==x x ，函数值为3.6。
(2) 无可行解 (3) 无界解 (4) 无可行解 (5)无穷多解(6) 有唯一解 3832021==x x ，函数值为392。
3．解：(1). 标准形式：3212100023m ax s s s x x f ++++=,,,,9221323302932121321221121≥=++=++=++s s s x x s x x s x x s x x(2). 标准形式：21210064m in s s x x f +++=,,,46710263212121221121≥=-=++=--s s x x x x s x x s x x(3). 标准形式：21''2'2'10022m in s s x x x f +++-=,,,,30223505527055321''2'2'12''2'2'1''2'2'11''2'21≥=--+=+-=+-+-s s x x x s x x x x x x s x x x4．解：标准形式：212100510m ax s s x x z +++=,,,8259432121221121≥=++=++s s x x s x x s x x松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2.标准形式：32121000811m in s s s x x f ++++=,,,,369418332021032121321221121≥=-+=-+=-+s s s x x s x x s x x s x x剩余变量（0.0.13） 最优解为 x 1=1，x 2=5.6．解：(1) 最优解为 x 1=3，x 2=7. (2) 311<<c (3) 622<<c (4)4621==x x(5) 最优解为 x 1=8，x 2=0. (6) 不变化。
管理运筹学课后习题答案管理运筹学课后习题答案一、线性规划线性规划是管理运筹学中的一种重要方法，它通过建立数学模型，寻找最优解来解决实际问题。
下面我们来讨论一些常见的线性规划习题。
1. 一家工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的加工时间和2小时的装配时间，每单位产品B需要2小时的加工时间和4小时的装配时间。
工厂每天有8小时的加工时间和10小时的装配时间。
已知产品A的利润为300元，产品B的利润为400元。
如何安排生产，使得利润最大化？解答：设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
根据题目中的条件，可以得到以下线性规划模型：目标函数：max 300x + 400y约束条件：3x + 2y ≤ 82x + 4y ≤ 10x, y ≥ 0通过求解上述线性规划模型，可以得到最优解，即生产4个产品A和1个产品B时，利润最大化，为2000元。
2. 一家超市有两种品牌的洗衣液，品牌A和品牌B。
品牌A每瓶售价20元，每瓶利润为5元；品牌B每瓶售价25元，每瓶利润为7元。
超市每天销售洗衣液的总利润不能超过100元，并且每天至少要销售10瓶洗衣液。
如何安排销售，使得利润最大化？解答：设销售品牌A的瓶数为x，销售品牌B的瓶数为y。
根据题目中的条件，可以得到以下线性规划模型：目标函数：max 5x + 7y约束条件：20x + 25y ≤ 100x + y ≥ 10x, y ≥ 0通过求解上述线性规划模型，可以得到最优解，即销售5瓶品牌A和5瓶品牌B时，利润最大化，为60元。
二、排队论排队论是管理运筹学中研究排队系统的一种方法，它通过数学模型和概率统计来分析和优化排队系统。
下面我们来讨论一些常见的排队论习题。
1. 一家银行有两个窗口，每个窗口的服务时间服从指数分布，平均服务时间分别为3分钟和4分钟。
顾客到达的间隔时间也服从指数分布，平均间隔时间为2分钟。
如果顾客到达时，两个窗口都有空闲，顾客会随机选择一个窗口进行服务。
习题参考答案习题一设选用第1种、第2种.第3种、第4种、第5种饲料的量分别为x p x 2,x 3,x 45x 5oMinZ = 0.2x∣ + OAx 2 + 0.7x 3 + 0.3x 4 + 0.8x 53x 1 + Ix l +x 3 + 6X 4 +1 8X 5 ≥ 700 X l + O.5X 2 + 0.2X 3 + 2X A + O.5Λ5 ≥ 30 0.5X I +x 2 + 0.2X i + 2X 4 + O.8X 5 ≥ 100 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ≥0设“为生产第i 种食品所使用的第j 种原料数，i = b 2, 3分别代表甲.乙、丙.j = MaX Z = 2x l +x 2 + 4X 31. 2. 1, 2, 3分别代表A 、B. C 。
其数学模型为:MaX Z = 2.9 ×(x 11 +x 12 + X 13) + 2.45 × (x 2l + x 22 + x 23) + 1.95 × (X il + x 32 + X 33) -2×(x 11 +x 2l +⅞∣)-1.5×(X ∣2 +x 22 +X32)-1・O X (“3 +X23 +%33)I X Il + X 21 + x 3l ≤ 2000x∣2 + X ll + X il ≤ 2500X li +X 23 +X33 S 1200————≥0.6 X 11 +X 12 +X 13“3s. t≤0.2X 11 +x l2 +X 13——乜——≥0.15X 2I+x22 +x 23x2i≤0.6x 2l +x 22 +X 23X33≤0.5⅞1 + “32 + ⅞3心 ≥0,(∕ = UΛy = lΛ3)3.将下列线性规划问题化为标准形式 <1）引入剩余变量耳，松弛变:⅛%2x l + 3X2+2X3+J2 = 15-X I一3X2+2X3 = 7xι,X2,X3 > O, S i9S2≥0(2)令X2 = -X2 , X3 = A3 " x3 引入松弛变量SlMaX Z = —5Xl- Sx f2 + Ix f3— 7x；6x∣ —Xy — Xy + Xj + 5| =1057/ 5x l + 4毘 + 2牙;—2x； = 15x^x91,x∖,x↑.s x≥04.(1)唯一最优解J1=I. 7143, X2 =2. 1429, MaX Z =9. 8571： (2)无可行解:(3)无界解：(4)无可行解：(5)多重最优解，MaXZ二66,其中一个解为x, =4, X2 =6：(6)唯一最优解,为X1 =6. 6667, X2 =2. 6667, MaX Z =30. 6667O5.可行解：(A), (C)t (E), (F):基本解：(A), (B), (F):基本可行解：(A), (F)6. (1)标准型为：MaX Z = 5x1 + 9x20.5X l +x2 + 51 =8x l+x y + Sy = 10 s.ts ~ 'X I + 0.5‰ 一$3 = 6(2)至少有2个变量的值取零，因为有3个基本变量、2个非基本变量，非基本变量的取值为零。
《管理运筹学》课后习题答案第2章线性规划的图解法1.解决方案：X25`a1bo1c6x1可行的区域是oabc等值线为图中虚线部分从图中可以看出，最优解是B点，最优解是x1=121569，x2?。
最优目标函数值：7772．解：x21零点六0.100.10.61x1有唯一解、无可行解、无界解、无可行解和无限解x1?0.2x2?0.6，函数值为3.6。
三百六十九20923有唯一解，函数值为。
83x2？3x1？3.解决方案：(1).标准形式：麦克斯夫？3x1？2x2？0s1？0s2？0s39x1?2x2?s1?303x1？2x2？s2？132x1？2x2？s3？9x1，x2，s1，s2，s3？0(2).标准形式：明夫？4x1？6x2？0s1？0s23x1?x2?s1?6x1?2x2?s2?107x1?6x2?4x1,x2,s1,s2?0(3).标准形式：明夫？x1？2x2？2x2？0s1？0s2“”？3x1？5x2？5x2？s1？七十 '''2x1'?5x2?5x2?503x?2x?2x?s2?30'''x1',x2,x2,s1,s2?0'1'2''2标准形式：麦克斯？10x1？5x2？0s1？0s23x1?4x2?s1?95x1?2x2?s2?8x1，x2，s1，s2？0松弛变量（0，0）的最优解为X1=1，X2=3/23705.解决方案：标准形式：明夫？11x1？8x2？0s1？0s2？0s310x1?2x2?s1?203x1？3x2？s2？184x1？9x2？s3？36x1，x2，s1，s2，s3？0剩余变量（0.0.13）最优解为x1=1，x2=5.6.解决方案：(10)最优解为x1=3，x2=7.(11)1?c1?3(12)2?c2?6(13)x1？6x2？四(14)最优解为x1=8，x2=0.(15)不变化。
《管理运筹学》案例题解案例1：北方化工厂月生产计划安排解：设每月生产产品i （i=1，2，3，4，5）的数量为X i ，价格为P 1i ，Y j 为原材料j 的数量，价格为P 2i ，a ij 为产品i 中原材料j 所需的数量百分比，则：510.6j i ij i Y X a ==∑总成本：1521i i i TC Y P ==∑总销售收入为：511i i i TI X P ==∑目标函数为：MAX TP （总利润）=TI-TC 约束条件为：1030248002151×××≤∑=j j Y X 1+X 3=0.7∑=51i i XX 2≤50.05∑=51i i XX 3+X 4≤5X 1 Y 3≤54000 X i ≥0,i=1,2,3,4,5 应用计算工具求解得到：X 1=19639.94kg X 2=0kg X 3=7855.97kg X 4=11783.96kgX5=0kg最优解为：348286.39元案例2：石华建设监理工程师配置问题解：设X i表示工地i在标准施工期需要配备的监理工程师，Y j表示工地j在高峰施工期需要配备的监理工程师。
约束条件为：X1≥5X2≥4X3≥4X4≥3X5≥3X6≥2X7≥2Y1+Y2≥14Y2+Y3≥13Y3+Y4≥11Y4+Y5≥10Y5+Y6≥9Y6+Y7≥7Y7+Y1≥14Y j≥ X i （i=j，i=1,2, (7)总成本Y为：Y=∑=+71)12/353/7(ii iY X解得X1=5；X2=4；X3=4；X4=3；X5=3；X6=2；X7=2；Y1=9；Y2=5；Y3=8；Y4=3；Y5=7；Y6=2；Y7=5总成本Y=167案例3：北方印染公司应如何合理使用技术培训费解：变量的设置如下表所示，其中X ij为第i类培训方式在第j年培训的人数：第一年第二年第三年1.高中生升初级工X11X12X132.高中生升中级工X213.高中生升高级工X314.初级工升中级工X41X42X435.初级工升高级工X51X526.中级工升高级工X61X62X63则每年年底培养出来的初级工、中级工和高级工人数分别为：第一年底第二年底第三年底初级工X11X12X13中级工X41X42X21 +X43高级工X61X51 +X62X31 +X52+X63则第一年的成本TC1为：1000X11+3000X21+3000X31+2800X41+2000X51+3600 X61≤550000；第二年的成本TC2为：1000X12+3000X21+2000X31+2800X42+（3200 X51+2000X52）+3600X62≤450000；第三年的成本TC3为：1000X13+1000X21+4000X31+2800X43+3200 X52+3600X63≤500000；总成本TC= TC1 +TC2 +TC3≤1500000;其他约束条件为：X41 +X42 +X43+X51 +X52≤226；X61+X62 +X63≤560；X1j≤90 （j=1，2，3）；X21 +X41≤80；X21 +X42≤80；X21 +X43≤80；X31 +X51+X61≤80；X31 +X51+X52+X62≤80；X31 +X52+X63≤80；以下计算因培训而增加的产值Max TO=(X11+ X12+ X13) + 4(X41 +X42 +X21 +X43) +5.5(X61 +X51 +X62 +X31 +X52+X63);利用计算机求解：X11=38；X41=80；X42=59；X43=77；X61=80；X62=79；X63=79；其余变量都为0；TO=2211案例4：光明制造厂经营报告书设直径4.76、6、8、10和12的钢管的需求量分别是X1，X2，X3，X4，X5。
习题参考答案习题一1．设选用第1种、第2种、第3种、第4种、第5种饲料的量分别为12345,,,,x x x x x 。
Min 543218.03.07.04.02.0x x x x x Z ++++=12345123451234512345326187000.50.220.530..0.50.220.8100,,,,0x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ++++≥⎧⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪≥⎩2．设x ij 为生产第i 种食品所使用的第j 种原料数，i ＝1，2，3分别代表甲、乙、丙，j ＝1，2，3分别代表A 、B 、C 。
其数学模型为：Max Z =)(0.1)(5.1)(2)(95.1)(45.2)(9.2332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++⨯-++⨯-++⨯-++⨯+++⨯+++⨯s.t.)3,2,1,3,2,1(,05.06.015.02.06.01200250020003332313323222123232221211312111313121111332313322212312111==≥≤++≤++≥++≤++≥++≤++≤++≤++j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij3．将下列线性规划问题化为标准形式（1）引入剩余变量1s ，松弛变量2sMax 32142x x x Z ++=123112321231231225623215..327,,0,,0x x x s x x x s s t x x x x x x s s +--=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪≥≥⎩ （2）令'22x x =-，'''333x x x =-，引入松弛变量1s Max 33217785x x x x Z ''-'+'--= ⎪⎩⎪⎨⎧≥''''=''-'+'+=+''+'-'-0,,,,152245106..13321332113321s x x x x x x x x s x x x x t s4.（1）唯一最优解 1x =1.7143，2x ＝2.1429，Max Z =9.8571；（2）无可行解； （3）无界解；（4）无可行解；（5）多重最优解，Max Z=66，其中一个解为1x =4，2x ＝6； （6）唯一最优解，为1x =6.6667，2x ＝2.6667，Max Z =30.6667。
第2章 线性规划的图解法1．解： 5 A 11 (1) (2) 等值线为图中虚线部分(3) 由图可知，最优解为B 点， 最优解：1x =712，7152=x 。
最优目标函数值：7692．解： x 2 1 0(1) (2) (3) 无界解 (4) (5)无穷多解(6) 有唯一解 3832021==x x ，函数值为392。
3．解：(1). 标准形式： (2). 标准形式：(3). 标准形式： 4．解：标准形式：松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2. 5．解：标准形式：剩余变量（0.0.13） 最优解为 x 1=1，x 2=5. 6．解：(1) 最优解为 x 1=3，x 2=7. (2) 最优解为 x 1=8，x 2=0. (3) 不变化。
因为当斜率31121-≤-≤-c c ,最优解不变,变化后斜率为1,所以最优解不变. 7．解：模型：(1) 1501=x ，702=x ，即目标函数最优值是103000 (2) 2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量. (3) 50，0，200，0。
(4) 在[]500,0变化，最优解不变。
在400到正无穷变化，最优解不变. (5) 因为143045021-≤-=-c c ,所以原来的最优产品组合不变. 8．解：(1) 模型：b a x x f 38min +=基金a,b 分别为4000，10000,回报率为60000。
(2) 模型变为：b a x x z 45max +=推导出：180001=x 30002=x ，故基金a 投资90万，基金b 投资30万。
第3章 线性规划问题的计算机求解1．解：(1) 1501=x ，702=x 。
目标函数最优值103000。
(2) 1，3车间的加工工时已使用完；2，4车间的加工工时没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时,4车间15小时. (3) 50，0，200，0含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。
12-2《管理运筹学》课后习题详解 第2章 线性规划的图解法1. （ 1）可行域为0, 3, A ，3围成的区域。
（2） 等值线为图中虚线所示。
（3） 如图，最优解为 A 点（12/7,15/7 ），对应最 优目标函数值 Z=69/7。
2.（ 1）有唯一最优解 A 点，对应最优目标函数 值 Z=3.6。
（2）无可行解。
（3）有无界解。
40.7 0-33X 1+ X2(4)无可行解。
9y -F 2.r, + 6 = 30 3x x+2X2 + s2 =13 2x{—2xi+6=9 gx”片宀宀二0max f = 一4形—— 0町—Os2(5)无可行解。
X22max最优解A点最优函数值3. (1)标准形式(2)标准形式Xj + 2X2 H-S2 = 107,v：—6.v* = 4M , .Y2 , % 出> O(3)标准形式|!_|_fifmax f = —x 1 + 2 屯—2 込—0® — 0^2—3x x * 5X 2 — 5X 2 + s x = 70 2x x — 5X 2 + 5X 2 = 50 3xj + 2X 2 — 2X 2 —=305x ；,歩1 .s 2 土 0max z = 10.^! + 5.Y 2 \ 0^t 1 0©3x 】十 4X 2 + S J = 95.巧 +2.Y 2 -b >s 2 = 8 x t ,x 2 ^s lr>s 2 > 04.解： (1)标准形式求解：3X 〔 4X 2 9 5X 〔 2X 28X , 1 X 21.5S , S 25.标准形式:x , x 2 6 x , 3.6 S 3 S 2 0 4x , 9x 2 16x 2 2.4s , 11.27. 模型: (1) X 1=150, X 2=150;最优目标函数值 Z=103000。
(2) 第2、4车间有剩余。
剩余分别为： 330、15,均为松弛变量。
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
.解：标准化.列出单纯形表412b02[8]2 /80868 /641241/41/81/8]/8(1/4/(1/813/265/4/43/4(13/2/(1/4 0－1/23/21/222806－221－12－502故最优解为，即，此时最优值为．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以代替基变量；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1 章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项b i 0，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥型”约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件AX b，X 0的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
1 / 21max Z 4x1 x 2x2 38x1 3x2x32s.t. 6x1 x2x38x , 1 x2, x3解：标准化m a x Z4x1 x 2x2 38x1 3x2x3x42s.t .6x1 x2x3x58x 1 , x2, x ,3x4, x5列出单纯形表c 4 1 2 0 0jiC X B b x1 x2 x3 x4 x5B0 x4 2 [8] 3 1 1 0 2/80 x5 8 6 1 1 0 1 8/6j 4 1 2 0 04 x1 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 (1/4)/(1/8)0 x5 13/2 6 －5/4 1/4 －3/4 1 (13/2)/(1/4)j 0 －1/2 3/2 -1/2 02 x3 2 8 3 1 1 00 x5 6 －2 －2 0 －1 1j －12 －5 0 －2 0故最优解为TX* ( 0,0,2,0,6) ，即x1 0, x2 0, x3 2，此时最优值为Z(X*) 4 ．6．表1—15 中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中a1 ,a2 ,c1,c2 ,d 为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以x代替基变量x5 ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问1题无可行解。
表1—15 某极大化问题的单纯形表2 / 21c j c c2 0 0 01i C X B b x1 x2 x3 x4 x5B0 x3 d 4 a1 1 0 00 x4 2 －1 －5 0 1 00 x5 3 a2 －3 0 0 1j c1 c2 0 0 0解：（1）d 0, 1 0,c 0；c2（2）d 0 c1 0,c 0（c ,c 中至少有一个为零）；,2 1 2（3）d 3c 0,a 0, ；1 24 a2（4） 2 0,a 0c ；1（5）x 为人工变量，且c1 为包含M 的大于零的数，1 d 34 a2；或者x2 为人工变量，且 c 为包含M 的大于零的数，a1 0,d 0．27．用大M 法求解如下线性规划。
max Z 5x1 3x 6x2 3x 1 2x2x318s.t. 2x1x1x2x23x3x31610x ,1x2, x3解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：max Z5x1 3x 6x 0x 0x Mx2 3 4 56x 1 2x2x3x418s.t .2x1x1x2x23x3x3x5x61610x0 (i 1,2, ,6)i列出单纯形表3 / 21c 5 3 6 0 0 －Mji C X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6B0 x4 18 1 2 1 1 0 0 18/10 x5 16 2 1 [3] 0 1 0 16/3－M x6 10 1 1 1 0 0 1 10/1 j 5+M 3+M 6+M 0 0 00 x4 38/3 1/3 5/3 0 1 －1/3 0 38/56 x3 16/3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 16－M x6 14/3 1/3 [2/3] 0 0 －1/3 1 14/21 2 1j 1 M 1 M 0 0 2 M 03 3 30 x4 1 －1/2 0 0 1 1/2 －5/2 －6 x3 3 [1/2] 0 1 0 1/2 －1/2 63 x2 7 1/2 1 0 0 －1/2 3/2 143j 1/2 0 0 0 －3/2 M20 x4 4 0 0 1 1 1 －35 x16 1 0 2 0 1 －13 x24 0 1 －1 0 －1 2j 0 0 －1 0 －2 －1－M故最优解为TX* ( 6,4,0,4,0,0) ，即x1 6, x2 4, x3 0，此时最优值为Z(X*) 42 ．8．A，B，C 三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I，II 两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400 单位和450 单位，单位费用如表1—16 所示。
由于需要量大于可供量，决定城市 A 的供应量可减少0～30 单位，城市 B 的供应量不变，城市C 的供应量不能少于270 单位。
试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。
4 / 21表1—16 单位电力输电费（单位：元）电站城市 A B CI 15 18 22II 21 25 16解：设x为“第i 电站向第j 城市分配的电量”（i=1,2; j=1,2,3），建立模型如下：ijmax Z15x11 18x 22x 21x 25x 16x12 13 21 22 23x 11 x12x13400x 21x22x23450 x11x21290s.t .x11x12x21x22320250x13x23270x13x23350xij0,i 1,2; j 1,2,39．某公司在 3 年的计划期内，有 4 个建设项目可以投资：项目I 从第一年到第三年年初都可以投资。
预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II 需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III 需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15 万元；项目IV 需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10 万元。
在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。
问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？解：设(1)x 表示第一次投资项目i，设i( 2)x 表示第二次投资项目i，设i(3)x 表示第三次i投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为(3) (1) (1)max Z 1.2 x1 1.6 x 1.4 x3 4(1) x 1(1)2x30(2) x 1(1)3x(1)1.2 x130 (1) x1(1)2x( 3) x 1(1)x4(2)1.2x1(1)21.5x(1)1.2 x130 (1) x1(1)2x(2)x1(1)3xs.t .(1)2x 20(1) 3 x 15(1)4x10(1) x i , ( 2)xi, (3)xi0,i 1,2, 3,4(1) (1) (1) (2) ( 2) 通过LINGO 软件计算得：x1 10, x 20, x0,x 12, x 44．2 3 1 15 / 2110．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。
每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表1—17 给出。
问工厂应如何安排生产，使总利润最大？表1—17 家具生产工艺耗时和利润表所需时间（小时）每道工序可用生产工序1 2 3 4 5时间（小时）成型 3 4 6 2 3 3600打磨 4 3 5 6 4 3950上漆 2 3 3 4 3 2800 利润（百元） 2.7 3 4.5 2.5 3解：设x表示第i 种规格的家具的生产量（i =1,2,⋯,5），则imax Z 2.7 x1 3x 4.5x 2.5 x3x2 3 4 53x1 4x26x32x43x53600s.t .4x12x13x23x25x33x36x44x44x53x539502800xi0,i 1,2, ,5通过LINGO 软件计算得：x1 0,x 38, x 254, x 0,x 642, Z3181．2 3 4 511．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C 三种设备加工。
已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10 所示。
表1—18 产品生产工艺消耗系数甲乙丙设备能力A（小时） 1 1 1 100B（小时）10 4 5 600C（小时） 2 2 6 300单位产品利润（元）10 6 4（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。
（2）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到6，求最优生产计划。
（3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？（4）设备A 的能力如为100+10q，确定保持原最优基不变的q 的变化范围。
（5）如合同规定该厂至少生产10 件产品丙，试确定最优计划的变化。
6 / 21解：（1）设x1 ,x2 ,x3 分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型max Z 10x1 6x 4x2 3x 1 x2x3100s.t. 10x12x14x22x25x36x3600300x1, x,2x3标准化得max Z 10 x1 6x 4x 0x 0x 0x2 3 4 5 6x 1 x2x3x4100s.t. 10x12x14x22x25x36x3x5x6600300x 1 , x2, x3, x4, x ,5x6列出单纯形表c 10 6 4 0 0 0jiC X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6B0 x4 100 1 1 1 1 0 0 1000 x5 600 [10] 4 5 0 1 0 600 x6 300 2 2 6 0 0 1 150j 10 6 4 0 0 00 x4 40 0 [3/5] 1/2 1 －1/10 0 200/310 x1 60 1 2/5 1/2 0 1/10 0 1500 x6 180 0 6/5 5 0 －1/5 1 150j 0 2 －1 0 －1 06 x2 200/3 0 1 5/6 5/3 －1/6 010 x1 100/3 1 0 1/6 －2/3 1/6 00 x6 100 0 0 4 －2 0 1j 0 0 －8/3 －10/3 －2/3 0 故最优解为x1 100/ 3, x 200/ 3,x 0 ，又由于x1, x2 ,x3 取整数，故四舍五入可得2 3最优解为x1 33, x 67, x 0,Z max 732．2 37 / 21（2）产品丙的利润 c 3 变化的单纯形法迭代表如下：c106 c 3jCX B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Bi6 x 2 200/3 0 1 5/6 5/3 －1/6 0 10 x 1 100/3 1 0 1/6－2/31/60 0x 61000 04 －21 jc 3 －20/3 －10/3－2/3202要使原最优计划保持不变， 只要3c，即c66 .67 ．故当产品丙每 3333件的利润增加到大于 6.67 时，才值得安排生产。
