江苏省无锡市2017-2018学年第二学期高一数学期末试卷(word版,无答案)

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{}{0}112A B ==，，，，则A B ⋃=______．2.176cos π=______．3. 若幂函数y f x =（）的图象过点42（，），则16f =（）______．4. 若向量12a =（，），3b m =（，），且a b ，则|||a b +=______．5. 函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是______．6.计算：2ln33(0.125)e-++=______．7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cmπ，则该圆心角所对的弧长为______cm ．8. 已知函数x （）是周期为2的奇函数，且1[]0x ∈-，时，f x x =（），则212f =（）______．9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位所得函数记为y f x =（），当23x π=时f x （）取得最大值，则ϕ=______． 10.若cos 23sin(a )4a π=+，sin cos a a =______．11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，且23f a f a -（）＜（），则实数a 的取值范围是______． 12. 在ABC 中，已知|AB |2=，|||1AC =，点M 在边BC 上，4||BC BM =，2AM CB ⋅=，则A B A C ⋅=______． 13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩，若0m n ≤<，且(m)f(n)f =，则mf(n)的取值范围是______．14. 函数2f(x)m |31|4|31|1(m 0)x x =---+>在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 设集合2{|3}2A x y log x =-（），2{}2|x B y y a x a a R ==≤≤+∈，，全集U R =．16. （1）若2a =，求U A C ⋂（B ）；17. （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．在ABC 中，已知12AB =（，），40AC m m =（，）（＞）． 18.19. 在△ABC 中，已知=（1，2）， =（4，m ）（m ＞0） （1）若90ABC ∠=︒，求m 的值； （2）若32||BC =2BD DC =，求cos ADC ∠的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1Am -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若2sin α的值．20. 某公司对营销人员有如下规定：21. i （）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；22. （ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式ay log x b =+，0a （＞，且1a ≠）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． 23. （1）求y 关于x 的函数解析式；24. （2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），]3[t m π∈，，m ，b R ∈． 26. （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在[0]1，上的单调性，并证明；（3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．已知向量24a sin x πω=+（（），，4b sin x πω=+（（），20cos x ωω（））（＞），函数•1x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．（1）求f x （）的单调增区间； （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得 + +m （ - ）+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{012}，，【解析】 解：集合{}{0}112A B ==，，，， 则012{}A B ⋃=，，． 故答案为：{012}，，．根据交集的定义写出A B ⋃即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 2.【答案】2-【解析】解：1773)62cos 66cos cos ππππ-=-=-=（． 故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题． 3.【答案】4【解析】解：设幂函数a y f x x ==（）， 幂函数y f x =（）的图象过点42（，）， 42a ∴=， 解得：12a =，12y f x x ∴==（）164f ∴=（），故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将16x =代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题． 4.【答案】45解：||a b ，60m ∴-=，解得6m =． |48a b ∴+=（，）． 则2|4|a b +=+=故答案为：利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[2-+∞，） 【解析】解：根据题意，ln(x 3)x 23ln(x 33x ||),2f x ln x +≥-⎧=+=⎨-+-<<-⎩（）（）， 即当2x ≥-时，3f x ln x =+（）（）， 令3t x y lnt =+=，，在[2-+∞，）上，1t ≥，此时3t x =+为增函数，y lnt =也为增函数，则函数f x （）为增函数； 当32x --＜＜时，3f x ln x =-+（）（）， 令3t x y lnt =+=-，，在32--（，）上，01t ＜＜，此时3t x =+为增函数，y lnt =-为减函数，则函数f x （）为减函数； 故函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是[2-+∞，）； 故答案为：[2-+∞，）． 根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6.【答案】11【解析】解：原式233134[()]2-=++ 7411=+=．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7.【答案】23π【解析】解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为rad α（），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：2322234Sr ππα⨯===．解得2r =，可得：扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm ．故答案为：23π．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8.【答案】【解析】解：根据题意，函数x （）是周期为2的函数，则211110222f f f =+=（）（）（），又由f x （）为奇函数，则11112222f f =-=-（）（）（-）=，则21122f =（）；故答案为：12根据题意，由函数的周期性可得211110222f f f =+=（）（）（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得11112222f f =-（）（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题． 9.【答案】512π【解析】解：将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位，所得函数记为22y f x sin x ϕ==-（）（）， 当23x π=时f x （）取得最大值，则42232k ππϕπ-=+，5226k Z k πϕπ∈∴=-+．，令0k =，可得512πϕ=， 故答案为：512π．利用函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律求得f x （）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得ϕ的值．本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题． 10.【答案】49【解析】解：cos 2sin )4a a π=+（，2232=，即3=，13cos sin αα∴-=，两边平方得：112sin cos 9a a -=，49sin cos αα∴=．故答案为：49．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11.【答案】12-∞（，）【解析】解：2(x 1)1,11,1x f x x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩（），可得1x ＞时，f x （）递减； 1x ≤时，f x （）递减， 且11f =（），可得f x （）在R 上递减， 23f a f a -（）＜（），可得23a a -＞， 解得12a ＜，故答案为：12-∞（，）．讨论f x （）在1x ＞和1x ≤的单调性，可得f x （）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】32【解析】解：4BM BC ==， 11()44BM BC AC AB ∴==-， 1344AB BM AC AB+=+， 21||||AB AC ==，，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，13•44AC AB AC AB =+-（）（）， 22113424AC AB AC AB =+⋅-， 13142442AB AC =-⨯+=-， 32AB AC ∴=⋅=， 故答案为：32．由向量加法及减法的三角形法则可得，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，结合已知即可求解AB AC ⋅．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题． 13.【答案】36]3（，【解析】 解：作出函数221,041log ,4X x f x x x +≤<⎧=⎨+<⎩（）的图象，可得12f n f m m ==+（）（），14m ≤＜，则2122mf n m m m m =+=+（）（）在14]（，递增，可得 mf n （）的范围是36]3（，． 故答案为：36]3（，．作出f x （）的图象，求得f n （），m 的范围及mf n （）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】34（，）【解析】 解：根据题意，对于函数2||31|431|1x x f x m =---+（），设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，|1|3x t =-的图象如图：若函数23143||11||0x x f x m m =---+（）（＞）在R 上有4个零点， 则方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根， 则有164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得：34m ＜＜，即m 的取值范围为34（，）； 故答案为：34（，）根据题意，设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，作出|1|3x t =-的草图，据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，结合一元二次函数的性质可得164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题． 15.【答案】解：（1）集合220{|}{|}322{|32032}x A x y log x x x x x -≥⎧⎨-==-==≤>⎩（）＜，2a =时，{|2x B y y ==，{}|2416}4x y y ≤≤=≤≤，又全集U R =，{4|UC B x x ∴=＜或6}1x ＞， 2{|4U C A x x ∴⋂=≤（B ）＜，或1632}x ＜＜；（2）A B A B A ⋃=∴⊆，，又{}222|a a B y y +=≤≤，232{|}A x x =≤＜，222232aa +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩，解得实数a 的取值范围是13a ≤＜． 【解析】（1）求定义域得集合A ，求出2a =时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16.【答案】解：（1）若90ABC ∠=︒，则0AB BC ⋅=，32BC AC AB m =-=-（，）， 3240m ∴+-=，12m ∴=． （2）||32BC =，9(m +-=， 0m ＞，5m ∴=，2BD DC =，1113DC BC ∴==（，），2223BD BC ==（，）， 而34ADAD AB BD =+=（，）， 34DA ∴=--（，）， 31417210||||52DA DC cos ADC DA DC ⋅-⨯-⨯∴∠===-．【解析】（1）由题意可知0AB BC ⋅=，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由32||BC =，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量夹角公式||||DA DC cos ADC DA DC ⋅∠=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用． 17.【答案】解：（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--（）（），2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=，34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-（）（）（），2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=（）（）（）．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值． （2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sin πα-（）和12cos πα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+（）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）864x ≤＜，年销售额越大，奖金越多，a y log xb ∴=+在84]6（，上是增函数． log 161log 643a a b b +=⎧∴⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩．864x ∴≤＜时，23y log x =-+；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（）， 由题意可得：643805k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得185k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 64x ∴≥时，158y x =-．∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩；（2）当08x ≤≤时，不合题意；当864x ≤＜时，2234log x -+＜＜，解得32128x ＜＜．3264x ∴≤＜．当64x ＞时，1548x -<，解得72x ＜，6472x ∴＜＜．综上，3272x ＜＜．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得ay log x b =+在84]6（，上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得64x ≥时，158y x =-，则函数解析式可求； （2）当08x ≤≤时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数23()22x b f x x +=+，可得00f =（）， 即0b =；（2）23(x)22x f x =+在[0]1，单调递增， 证明：设12x x ，是[0]1，上任意两个值，且12x x ＜，2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++，由121]0[x x ∈，，，且12x x ＜， 可得210x x -＞，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，即有210f x f x -（）（）＞，即21f x f x （）＞（）， 可得f x （）在[0]1，递增；（3）由（2）可得f x （）在[0]1，递增，可得314max f x f ==（）（）， 可得g t （）的最小值为34， 令s cost =，所以22s s s =-+的最小值为34， 所以1322s ≤≤，即112cost ≤≤，]3[t m π∈，， 由y cost =的图象可得33m ππ-≤＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得00f =（），解方程即可得到b ；（2）2322x f x x =+（）在[0]1，单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f x （）的最大值，即可得到g t （）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+--（）（）（）22sin x x ωω=（）（） 223sin x πω=-（）f x （）的最小正周期为π．0ω＞ 22ππω∴=， 1ω∴=．那么f x （）的解析式223f x sin x π=-（）（） 令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 得：51212k x k ππππ-≤≤+ f x ∴（）的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+，，k Z ∈． （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解， 转化为函数1y f x =+（）与函数2y n =只有一个交点． x 在[0]712π，上， 52336x πππ∴-≤-≤（） 那么函数12213y f x sin x π=+=--（）（）的值域为]，结合图象可知函数1y f x =-（）与函数2y n =只有一个交点． 那么1122n ≤<或21n =， 可得1122n -≤<或12n =．（3）由（1）可知223f x sin x π=-（）（）22min f x ∴=-（）． 实数m 满足对任意11[]1x ∈-，，都存在2x R ∈，使得11114()()?4?2?2?12x x x x m f x --++-+>成立．即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-）成立令1111?44221x x x x y m --=++-+（？）？？设1122x x t --=？？，那么111122442222x x x x t --+=-+=+？？）？？（11]1[x ∈-，，332[2]t ∴∈-，， 可得250t mt ++＞在3322[]t ∈-，上成立． 令250g t t mt =++（）＞， 其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-，上， ∴①当322m -≤-时，即3m ≥时，32930242min m g t g ==>--（）（），解得2936m ≤<； ②当33222m -<-<，即33m -＜＜时，2(>(t))5024m m g min g =-=-，解得33m -＜＜； ③当322m ≤-，即3m ≤-时，329300242min m g t g ==>（）（）+＞，解得2936m -≤-＜； 综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是292966（-，）． 【解析】（1）函数•1f x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f x （）的单调增区间．（2）根据x 在[0]712π，上求解f x （）的值域，即可求解实数n 的取值范围； （3）由题意，求解2f x （）的最小值，利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+（）的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A= I}, B = ，则AUB = ____________________ .【答案】【解析】■, -••• 「上m点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.2.gg --- --6 -------------【答案】2【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可.17jT 7E 兀丽【详解】，.沁' .6 6 6 2故答案为：'2【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题.3.若幕函数的图象过点•，贝U ______ .【答案】4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将代入可得答案.【详解】设幕函数'■幕函数的图象过点-,、「•='；,解得：",二二⑴--,故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幕函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题.4.若向量a = (1. 2)，& = (3. m)，且；i II 匚，则| |日十E| = ______ •【答案】■..【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出.【详解】r I、，•• m S - C,解得⑴•几ti 十b =(4, B).故答案为：•.. •【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.函数f(x) = |ln(x+ 3)的单调增区间是_____________ •【答案】f ：【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案. 【详解】根据题意，:•:;仁◎即当•时，. :,令i. ■■、.：■- ji：在I - 7上，心.，此时为增函数，飞-•也为增函数，则函数为增函数；当-3 <x< + 2 时，= - ln(x 十3),令.■ •、山一在-；上，；「「丨，此时|.人"•为增函数，' -“：为减函数，则函数F：X：为减函数; 故函数「E ⑴：：、-的单调增区间是〔-2 …；：：故答案为：丨-【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题.6.计算：= _____ •e - log+ （0.125）【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出.2【详解】原式=3+4+『）十=7+4=11 •故答案为：11 •【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题.7.已知圆心角是J勺扇形的面积是ycm2,则该圆心角所对的弧长为 ____________________ cm.如【答案】3【解析】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值.【详解】设扇形的弧长为I，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S,2兀2X —则：•.解得•- ,a 7i3托2兀可得：扇形的弧长为cm.2K故答案为：：.【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.218.已知函数玖兀）是周期为2的奇函数，且时，心）=x吒亍）=__________________________________ 【答案】【解析】【分析】21 | ]根据题意，由函数的周期性可得：，结合函数的奇偶性与解析式可得分析2 2 2可得='，综合即可得答案.2 2 2 221 ] 1【详解】根据题意，函数「上’是周期为2的函数，^ U i；：,2 2 2又由ill为奇函数，贝U ,2 2 2 2nt21 1则i ；；2 2故答案为：2【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题.2兀9.将函数■. ■ ii-.J -.向右平移•■二-<7:个单位所得函数记为Y —当时：L；取得最大值y屮=___________ .【答案】12【解析】【分析】利用函数曲:y■⑴的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得的值.【详解】将函数：“1匚.向右平移-J ■<-■个单位，所得函数记为.U ■■：". - -2兀”、4兀兀峙7T 5兀:当时取得最大值，贝U 二- ，：二，令，可得「=一3 3 2 6 12故答案为：一.12【点睛】本题主要考查函数一AS宀总的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题.cos2fi (210.若.. 托 3 , -sin（a 十-）4【答案】【解析】【分析】1由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得- m =.、，两边平方得答案.cO452a - sin 2a ^2(cosa - sina)(sina 十 cosa) 迪:，即'—sina +■ cosa) 2-yfsina f cosa)*■・ sinaco^a4故答案为：•9【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题.((X-!)2- l,x<l11.若fg= £,] _______________________________________ ，且代2-日)<『(3(,则实数目的取值范围是【答案】2【解析】【分析】 讨论 在•和 的单调性，可得 在R 上递减，进而可得 a 的不等式，解不等式即可 得到所求范围.[(X- I)2- l,x<l【详解】F(x) =「1x7,£可得-时，.递减；F VI 时，递减，且 ，可得在R 上递减，f(2-a)<f(3a)，可得 2-a>3a ,解得 ，故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中 档题.12. 在. 中，已知|心| =二，|壮| = 1，点M 在边BC 上，！•； I", 总上，则【详解】L .51 sin (a --)，两边平方得:]-2sinacosacosSAB ■ AC【答案】【解析】 【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，沁iH I 」；’-,结合已知即可求解/：. -【详解】丫 .di- —1 」 - -BM = -BC = -<AC - AB), 4 4 -丄1」 3」'■ AB I BM = -AC I -AB, 4 4v |AB| = 2, |AC| = 1 ,AM • BC = (AB 十 BM) • (AC - AB), 1 -3」 」」=( AC + -ABXAC-AB),--3「•AB M 爲,3故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题.' ^TT +10 U V U 4［十 log^x >4，若 0 兰 men ，且 f(m) = f(n)的取值范围是 ______________________ .【答案】 【解析】 【分析】作出 的图象，求得 ，m 的范围及….的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范 围.!【详解】作出函数- ■的图象,可得：.1 i ：：：I 匚二，I "二ii (1)则- - _m-二厂醫在；J递增，可得的范围是、•故答案为：’"I【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题.14. __________________________________________________________________________ 函数f(x) =m|3x-l|2- 4^-11十IfrnAO)在R上有4个零点，则实数m的取值范围是____________________________ .【答案】【解析】【分析】根据题意，设：：I，则■. in：' ‘：I ,作出：：I的草图，据此分析可得方程I16-4m >0在区间有2个根，结合一元二次函数的性质可得' ，解可得m的取值范围，即111(tn - 3 > 0可得答案.【详解】根据题意，对于函数:！: I ，设.■ = |.：:<<- |,=|.?'的图象如图：若函数「；.、：：一「•：一- I ；：H> :：.'在R上有4个零点,则方程- ■ I在区间I；有2个不同的根，.16-4m >0则有’,m(m - 3> 0解可得：-m即m的取值范围为、•；故答案为：、【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题.二、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.设集合-■■- : -■r:- - '■- ..匚工：全集「」一.(1)若，求Wi(2)若\ 求实数a的取值范围.【答案】(1)二或；2)【解析】【分析】(1)求定义域得集合A,求出时集合B,再根据集合的定义计算即可；(2)由—总得出斗二，由此列不等式求出实数a的取值范围.【详解】(1)集合=「：|. .；.：：-J =: < -匕■■-■: J_ ：时，，^ ,又全集:'■ '■ ■-或，…二mm 「以—v或「-；(2) r L；卜上p. L .又二= , -,解得实数a的取值范围是•：.【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题.16.在厶ABC中，已知讣=(1, 2), := (4, m (m> 0)(1)若——,求m的值；(2)若|二…| =匚「」，且「I：-1；：.',求"—厂的值.【答案】(1) . (2)''2 10【解析】【分析】(1)由题意可知月；丨「：;，结合向量的数量积的性质即可求解m(2)由：厂结合向量数量积的性质可求m然后结合⑴；”'12,及向量夹角公式DADC即可求.|DA]||DC【详解】(1)若:my,贝y ,BC = AC - AB =(3. m-2),止 H 十2m -4 = 0,1-..=.2(2) 丫 -.,丫卜〔m ”=弭三，^m>0,讥m = 5,丁BD = 2liC,I」」 2 --DC = -BC = (1, 1) , BD = -lit = (2. 2),3 ? 3 ，而/ T -.k 'I - v !A DA = (- 3, -4),12(1)由题意利用二倍角的正切公式求得u 的值，再利用任意角的三角函数的定义求得 m 的值.(2)利用同角三角函数的基本关系，求得.-和曲二12JT一.；的值，再利用两角和的正弦兀 7C公式求得^的值.6 62tana【详解】(1)由题意可得1 - Un"a m即——7TE 1 122(2) 一.：］*.'=tan (a -—)=,12冗4cos(a -—)12a 7E ° 7Usin (a - —) + cos (a - —) = 1 ,aDA DC -3 1 -4 x l 7^2|DA||DC| 5j210【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并 能灵活应用.17.如图，在平面直角坐标系中，角：的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A B 两7E点，若• ，I ： ，且点A 的坐标为—「一二112 12(2)若 ，若r 「：的值.417-24^3 —(2)2 50【解析】 【分析】【答案】(1)(1)若“：：.：：=，求实数m 的值;兀 3 兀4■-. . ,12 5 12 5JE 7124 % 3 7C 7--. .- ,[「i. •,6 12 n 25 6 12 2531 7t 託応7T 7C 7 - 241/3- . - .. .6 6 6 6 6 6 50【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题.18.某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ii）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多.此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y = logax+b, （a>0，且1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元.（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围.0,0<x<8[lofijX-3,8 <x< 64【答案】（1）（2）■■'j -x~5.x> 64【解析】【分析】（1）由已知可得y在m上是增函数，再结合已知列关于a, b的方程组，求解可得函数解析式；又…二弋时，y是x的一次函数，设卞-炸rwm，再由已知可得关于m, k1的方程组求解可得丁二」时，，则函数解析式可求；8（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案.【详解】（1）：••，年销售额越大，奖金越多，mu ■上在:上是增函数.••儘豔二解得區仝-8<x< 64时，y = - 3 4 log2x；又'―二弋时,y是x的一次函数，设心：由题意可得：'，解得’(m = - 5-丄P时，1v = .■■■■ - \ .80,0 < x < S[logjX-3,8 <x<64-5s x>64(2)当时，不合题意;当沁v：担时，」•一’■>，解得-：>■<.：匸■- 、、< L当:' .；-：.■!时，、！，解得•吃8综上所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元.【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题.3x I b r 7T19. --------------------------------- 已知奇函数-Jj —，函数L'- I.-..-' I '..,门，V I .2x^+2 彳(1)求b的值；(2)判断函数在卜】I上的单调性，并证明；(3)当■■ I ■'时，函数的最小值恰为「〕：］的最大值，求m的取值范围.7U Z【答案】(1) 0 (2) ■ 在卩：丨丨递增(3) .【解析】【分析】(1)由奇函数的性质可得解方程即可得到b;.. 3x(2)在W丨1单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符2x^ + 2号和下结论等步骤；(3)由(2)可得•的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图••• y关于x的函数解析式为象和性质，可得所求范围.3x(2) f (x )在［0,1］单调递增，2x 2 | 2证明：设Xi , X2是［0 , 1］上任意两个值，且 XiV X2,由 Xi , x?€ ［0 , 1］，且 XiVX2,可得 X2- X1 > 0, 1 - X1X2 >0, 1+x/> 0, 1+X2?> 0, 即有 f (X2)- f (X1)> 0，即 f (X2)> f (X1), 可得f ( X )在［0 , 1］递增；(3)由(2)可得 f ( X )在［0 , 1］递增，可得 f ( X ) max = f ( 1 )4可得g (t )的最小值为,4令s = cost ，所以s =- S 2+2S 的最小值为，斗131 畀所以 7S ，L , 即卩cost < 1, t € ［ m ,］,222 3兀兀由y = cost 的图象可得m 二-3- 3【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查 化简整理的运算能力，属于中档题.20.已知向量 ••，「，.. , :! C-." -：')，函数「小 ，44的最小正周期为(1) 求.的单调增区间；,. 7%—(2) 方程：：•： A I 「；在|i ：」上有且只有一个解，求实数 n 的取值范围；(3)是否存在实数 m 满足对任意X1 €［-1 , 1］，都存在X2€ R 使得 ++m( - ) +1【详解】(1)奇函数f (X )即 b = 0；3號亠b，可得 f ( 0)= 0, 应1-2> f (X2)成立•若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由.兀％c 1 一丽1 1 / 29【答案】(1) ，“二(2) 或(3)存在，且m取值范围为【解析】【分析】(1) 函数. 1, 的最小正周期为•可得，即可求解的单调增区间.(2)根据x 在|i ： |上求解. 的值域，即可求解实数 n 的取值范围；(3)由题意，求解 的最小值，利用换元法求解.■- --的最小值，即可求解m 的范围.【详解】(1)函数 f (x ) ? 1 = 2sin 2 (3 X 、-) cos (2 w x )- 1=sin (2 w x) : cos (2 w x)=2sin (2 w x )3T f ( X )的最小正周期为 n . w >0那么函数y =f (x ) +1 = 2sin ( 2x ' ) +1的值域为［..-,2］，结合图象可知函数y = f (x ) +1与函数y = 2n 只有一个交点. 那么 1 -：匸< 2nv 1 或 2n = 2,I - J5I可得 ------ 丫. 一或n = 1.22兀那么f (x )的解析式f (x )= 2sinJT(2x )717C 7C令X 2x . . , k € Z23 27T轨x I.TT___ 12"］上有且只有一个解, 12• f ( x)的单调增区间为丨，］,k € Z(2)方程 f (x )- 2n+1 = 0 ;在［0 ,转化为函数y = f (x ) +1与函数y = 2n 只有一个交点.7TL••• x 在［0 ,］上,71 -<(3)由(1)可知f (x )= 2sin (2x )•- f ( x ) min =- 2 .实数m满足对任意X1 € ［- 1 , 1］，都存在X2 € R使得m( ) +1> f (X2)成立.即4'' r m(J_] ；，J) +1>- 2 成立令y—、勺.j\,m( - ) +1设t，那么 , ( -)2+2= t2+2•-xi € [ - 1,1],可得t2+mt+5>0在t € ［，］上成立.令g (t) = t2+mt+5>0,其对称轴t•••①当'时，即m>3 时，g ( t ) min= g ( ) ,解得 * ；2 2 2 4 2 6£m 3 m irT②当，即-3 v nK 3 时，g (t) min= g ( —) 0，解得-3 v nK 3;2 2 2 2 43 m 3 29 3m 29③当，即m^- 3 时，g (t) min= g ( ) 0,解得m^- 3;2 2 匕242 6,).综上可得，存在m可知m的取值范围是（‘6 6【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，禾U用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键•同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用•属于难题.- 16 -。

2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.0sin 585的值为（ ）A ．2 B ．2- C ．2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3. ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ）A ．B ． C.D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537 C.37．378.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+ ．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8xy = ． 15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为 ．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：（I ）画出散点图；（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：721280ii x==∑，721()27i i x x =-=∑，713076i i i x y ==∑，72134992i i y ==∑，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，所以()()2(3)(2)44cos a a b bb b θ-⋅⨯-+-⨯===- ， （2）()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-，∴()0a a b λ⋅-= ()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，．因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.． 19.解：(1)（2）712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-+，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-. （2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，1122AE AB BC AB AD =+=+， (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，又0AB AD ⋅=， 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD =-+9(1)82m =-+=， 解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)2226f x x xcos x x x πωωωωω-=+==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。

绝密★启用前【市级联考】江苏省无锡市2017-2018学年高一（上)期末数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明外…………○…※内…………○…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合A ={0，1}，B ={1,2}，则A ∪B =______． 2．cos17π6=______．3．若幂函数y =f （x ）的图象过点（4，2），则f （16）=______． 4．若向量a ⃗=（1，2），b ⃗⃗=（3，m ），且a ⃗∥b ⃗⃗，则||a ⃗+b ⃗⃗|=______． 5．函数f （x ）=|ln （x +3）|的单调增区间是______． 6．计算：e ln3+log √525+(0.125)−23=______．7．已知圆心角是π3的扇形的面积是2π3cm 2，则该圆心角所对的弧长为______cm ． 8．已知函数f （x ）是周期为2的奇函数，且x ∈[−1，0]时，f （x ）=x ，则f （212）=______．9．将函数y =sin2x 向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y =f （x ），当x =2π3时f （x ）取得最大值，则φ=______． 10．若cos2asin(a+π4)=√23，sinacosa =______．11．若f (x )={(x −1)2+1,x ≤11x,x >1 ，且f （2−a ）＜f （3a ），则实数a 的取值范围是______．12．在△ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点M 在边BC 上，4|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．13．函数f(x)={2x +1,0≤x ≤41+log 2x,x >4，若0≤m <n ，且f(m)=f(n)，则mf(n)的取值范围是______．14．函数f(x)=m|3x −1|2−4|3x −1|+1(m >0)在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．……○…………订…______班级：___________考号：……○…………订…二、解答题 15．设集合A ={x|y =√x −2+log 2（32−x ）}，B ={y|y =2x ，a ≤x ≤a +2，a ∈R}，全集U =R ． （1）若a =2，求（C U B ）∩A ；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．16．在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（1，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（4，m ）（m ＞0） （1）若∠ABC =90°，求m 的值；（2）若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求cos∠ADC 的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈（7π12，π），β=π12，且点A 的坐标为A （−1，m ）．（1）若tan2α=−43，求实数m 的值； （2）若tan∠AOB =−34，若sin2α的值． 18．某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y ＝log a x +b ，（a ＞0，且a ≠1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．19．已知奇函数f(x)=3x+b2x 2+2，函数g （t ）=sin 2t +2cost −1，t ∈[m ，π3]，m ，b ∈R ．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．20．已知向量a=（2sin（ωx+π4），−√3），b⃗=（sin（ωx+π4），cos（2ωx））（ω＞0），函数（x）=a•b⃗−1，f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）−2n+1=0；在[0，7π12]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4x1+4−x1+m（2x1-2−x1）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．{0,1,2}【解析】∵A={0，1}，B={1,2}∴A∪B={0,1,2}点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．−√32【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】cos17π6=cos（3π−π6)=−cosπ6=−√32．故答案为：−√32【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3．4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．【详解】设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=12，∴y=f（x）=x12，∴f（16）=4，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4．4√5【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】∵a ||b⃗，∴m−6=0，解得m=6．∴a+b⃗=（4，8）．则|a+b⃗|=√42+82=4√5．故答案为：4√5．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．[−2，+∞）【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，f（x）=|ln（x+3）|={ln(x+3)x≥−2−ln(x+3),−3<x<−2，即当x≥−2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[−2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当−3＜x＜−2时，f（x）=−ln（x+3），令t=x+3，y=−lnt，在（−3，−2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=−lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[−2，+∞）；故答案为：[−2，+∞）． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6．11 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可得出． 【详解】原式=3+4+[(12)3]−23=7+4 =11．故答案为：11． 【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7．2π3【解析】 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 【详解】设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：r 2=2S α=2×2π3π3=4．解得r =2，可得：扇形的弧长为l =rα=2×π3=2π3cm ．故答案为：2π3．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8．12 【解析】 【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（212）=f（12+10）=f（12），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（12）=−f（−12）=−（−12）=12，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是周期为2的函数，则f（212）=f（12+10）=f（12），又由f（x）为奇函数，则f（12）=−f（12）=−（−12）=12，则f（212）=12；故答案为：12【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9．5π12【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．【详解】将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x−2φ），∵当x=2π3时f（x）取得最大值，则4π3−2φ=2kπ+π2，k∈Z．∴2φ=−2kπ+5π6，令k=0，可得φ=5π12，故答案为：5π12．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10．49【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cosα−sinα=13，两边平方得答案．∵cos2asin （a+π4)=√23， ∴22√22(sina+cosa)=√23，即√23(sina+cosa)=√23， ∴cosα−sinα=13，两边平方得：1−2sinacosa =19， ∴sinαcosα=49． 故答案为：49．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11．（−∞，12） 【解析】 【分析】讨论f （x ）在x ＞1和x ≤1的单调性，可得f （x ）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】f (x )={(x −1)2+1,x ≤11x ,x >1 ， 可得x ＞1时，f （x ）递减； x ≤1时，f （x ）递减， 且f （1）=1，可得f （x ）在R 上递减，f （2−a ）＜f （3a ），可得2−a ＞3a ， 解得a ＜12，故答案为：（−∞，12）． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12．32 【解析】由向量加法及减法的三角形法则可得，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合已知即可求解AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【详解】 ∵4=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， =（14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）， =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， =14−34×4+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32， 故答案为：32．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题． 13．(3,36] 【解析】 【分析】作出f （x ）的图象，求得f （n ），m 的范围及mf （n ）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围． 【详解】作出函数f （x ）={2X +1,0≤x <41+log 2x,x >4的图象，可得f （n ）=f （m ）=1+2m ，1＜m ≤4，则mf （n ）=m （1+2m ）=2m 2+m 在（1，4]递增，可得 mf （n ）的范围是（3，36]． 故答案为：（3，36]． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题． 14．(3,4) 【解析】 【分析】根据题意，设t =|3x −1|，则y =mt 2−4t +1，作出t =|3x −1|的草图，据此分析可得方程mt 2−4t +1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得{16−4m >00<2m <1m −3>0 ，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于函数f （x ）=m|3x −1|2−4|3x −1|+1，设t =|3x −1|， 则y =mt 2−4t +1， t =|3x −1|的图象如图：若函数f （x ）=m|3x −1|2−4|3x −1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点， 则方程mt 2−4t +1=0在区间（0，1）有2个不同的根， 则有{16−4m >00<2m <1m −3>0，解可得：3＜m ＜4，即m 的取值范围为（3，4）； 故答案为：（3，4） 【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15．（1）（C U B ）∩A ={x|2≤x ＜4，或16＜x ＜32}；（2）1≤a ＜3 【解析】 【分析】（1）求定义域得集合A ，求出a =2时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A ∪B =A 得出B ⊆A ，由此列不等式求出实数a 的取值范围． 【详解】（1）集合A ={x|y =√x −2+log 2（32−x ）}={x|{x −2≥032−x >0 }={x|2≤x ＜32}，a =2时，B ={y|y =2x ，2≤x ≤4}={y|4≤y ≤16}， 又全集U =R ，∴C U B ={x|x ＜4或x ＞16}， ∴（C U B ）∩A ={x|2≤x ＜4，或16＜x ＜32}； （2）∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，又B ={y|2a ≤y ≤2a +2}，A ={x|2≤x ＜32}， ∴{2a ≥22a+2<32，解得实数a 的取值范围是1≤a ＜3． 【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16．（1）m =12（2）−7√210【解析】 【分析】（1）由题意可知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，及向量夹角公式cos∠ADC =DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求. 【详解】（1）若∠ABC =90°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，m −2）， ∴3+2m −4=0， ∴m =12．（2）∵|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2， ∵√9+(m −2)2=3√2， ∵m ＞0， ∴m =5， ∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1），BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2）， 而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，4）， ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（−3，−4）， ∴cos∠ADC =DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√2=−7√210．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17．（1）m =12（2）7−24√350【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin （α−π12）和cos （α−π12）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α−π6）+π6]的值． 【详解】（1）由题意可得tan2α=2tanα1−tan 2α=−43，∴tanα=−12，或tanα=2．∵α∈（7π12，π），∴tanα=−12，即m−1=−12，∴m =12． （2）∵tan∠AOB =tan （α−β）=tan （α−π12）=sin(α−π12)cos(α−π12)=−34，sin 2(α−π12)+cos 2(α−π12)=1,α−π12∈[π2,11π12]，∴sin （α−π12）=35，cos （α−π12）=−45， ∴sin （2α−π6）=2sin （α−π12）cos （α−π12）=−2425，cos （2α−π6）=2cos 2（α−π12）−1=725， ∴sin2α=sin[（2α−π6）+π6]=sin （2α−π6）cos π6+cos （2α−π6）sin π6=7−24√350． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18．（1）y ={0,0≤x ≤8log 2x −3,8<x ≤6418x −5,x >64（2）32＜x ＜72【解析】 【分析】（1）由已知可得y =log a x +b 在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得x ≥64时，y =18x −5，则函数解析式可求； （2）当0≤x ≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案． 【详解】（1）∵8＜x ≤64，年销售额越大，奖金越多， ∴y =log a x +b 在（8，64]上是增函数． ∴{log a 16+b =1log a 64+b =3 ，解得{a =2b =−3 ． ∴8＜x ≤64时，y =−3+log 2x ；又∵x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0）， 由题意可得：{64k +m =380k +m =5 ，解得{k =18m =−5 ．∴x ≥64时，y =18x −5．∴y 关于x 的函数解析式为y ={0,0≤x ≤8log 2x −3,8<x ≤6418x −5,x >64；（2）当0≤x ≤8时，不合题意；当8＜x ≤64时，2＜−3+log 2x ＜4，解得32＜x ＜128． ∴32＜x ≤64．当x ＞64时，18x −5<4，解得x ＜72， ∴64＜x ＜72． 综上，32＜x ＜72．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元． 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19．（1）0（2）f （x ）在[0，1]递增（3）−π3≤m ＜π3 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得f （0）=0，解方程即可得到b ；（2）f （x ）=3x2x 2+2在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f （x ）的最大值，即可得到g （t ）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f （x ）=3x+b 2x 2+2，可得f （0）＝0，即b ＝0； （2）f （x ）=3x 2x 2+2在[0，1]单调递增，证明：设x 1，x 2是[0，1]上任意两个值，且x 1＜x 2， f （x 2）﹣f （x 1）=32（x 2x 22+1−x 1x 12+1）=32•(x 2−x 1)(1−x 1x 2)(1+x 22)(1+x 12)，由x 1，x 2∈[0，1]，且x 1＜x 2，可得x 2﹣x 1＞0，1﹣x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0， 即有f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， 可得f （x ）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f （x ）在[0，1]递增，可得f （x ）max ＝f （1）=34，可得g （t ）的最小值为34，令s ＝cos t ，所以s ＝﹣s 2+2s 的最小值为34，所以12≤s ≤32，即12≤cos t ≤1，t ∈[m ，π3]，由y ＝cos t 的图象可得−π3≤m ＜π3． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（1）[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z （2）1−√32≤n <12或n =12（3）存在，且m 取值范围为(−296，296)【解析】 【分析】（1）函数f （x ）=a •b ⃗ −1，f （x ）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f （x ）的单调增区间．（2）根据x 在[0，7π12]上求解f （x ）的值域，即可求解实数n 的取值范围；（3）由题意，求解f （x 2）的最小值，利用换元法求解y =4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1的最小值，即可求解m 的范围． 【详解】（1）函数f （x ）=a →•b →−1＝2sin 2（ωx +π4）−√3cos （2ωx ）﹣1＝sin （2ωx ）−√3cos （2ωx ） ＝2sin （2ωx −π3）∵f （x ）的最小正周期为π．ω＞0 ∴2π2ω=π，∴ω＝1．那么f （x ）的解析式f （x ）＝2sin （2x −π3）令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z 得：kπ−π12≤x ≤kπ+5π12∴f （x ）的单调增区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ．（2）方程f （x ）﹣2n +1＝0；在[0，7π12]上有且只有一个解， 转化为函数y ＝f （x ）+1与函数y ＝2n 只有一个交点． ∵x 在[0，7π12]上， ∴−π3≤（2x −π3）≤5π6那么函数y ＝f （x ）+1＝2sin （2x −π3）+1的值域为[1−√3，2]，结合图象可知 函数y ＝f （x ）+1与函数y ＝2n 只有一个交点． 那么1−√3≤2n ＜1或2n ＝2， 可得1−√32≤n ＜12或n ＝1．（3）由（1）可知f （x ）＝2sin （2x −π3） ∴f （x 2）min ＝﹣2．实数m 满足对任意x 1∈[﹣1，1]，都存在x 2∈R ， 使得4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1＞f （x 2）成立． 即4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1＞﹣2成立令y =4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1设2x 1−2−x 1=t ，那么4x 1+4−x 1=（2x 1−2−x 1）2+2＝t 2+2 ∵x 1∈[﹣1，1]， ∴t ∈[−32，32]，可得t 2+mt +5＞0在t ∈[−32，32]上成立． 令g （t ）＝t 2+mt +5＞0， 其对称轴t =−m2∵t ∈[−32，32]上， ∴①当−m 2≤−32时，即m ≥3时，g （t ）min ＝g （−32）=294−3m 2＞0，解得3≤m ＜296；②当−32＜−m 2＜32，即﹣3＜m ＜3时，g （t ）min ＝g （−m2）=5−m 24＞0，解得﹣3＜m ＜3；③当32≤−m 2，即m ≤﹣3时，g （t ）min ＝g （32）=294+3m 2＞0＞0，解得−296＜m ≤﹣3；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是（−296，296）． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

2017-2018学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）等差数列{a n}中，已知a2=4，a6=12，则a1=2．（5分）已知{a n}是等比数列，a4+2a3+a2=0，则该数列的公比q=．3．（5分）运行如图所示的流程图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．4．（5分）执行如图所示算法的伪代码，则输出的b的值为．5．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy=9，则x+2y的最小值为．6．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．7．（5分）已知在数列{a n}中，a1=1，，则a2018=．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则数列{}前n项和为T n=．9．（5分）已知点A（1，2），B（2，4），直线ax﹣y+1=0与线段AB有公共点，则a的最大值为．10．（5分）已知方程x2﹣a2x﹣a+1=0的两根分别在区间（0，1），（1，﹢∞）之内，则实数a的取值范围为．11．（5分）已知在等差数列{a n}中，a3=12，S12S13＜0，则S n最大时n=．12．（5分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足，则数列{}的前n项和为T n=．13．（5分）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．14．（5分）若关于x的不等式ax2+x﹣2a＜0的解集中至少有4个整数解，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）解下列不等式：（1）x4﹣x2﹣2≥0；（2）．16．（14分）已知数列{a n}，{b n}是正项数列，{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3﹣2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+}的前n项和T n．17．（14分）要制作一个如图的框架（单位：米），其中ABCD是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB，tan∠FED=，设AB=x米，BC=y米．（1）若材料总长为34米（材料全用完），且围成的总面积不少于（米2），求x的取值范围；（2）在所围成的总面积S固定的要求下，当使所用材料最少时，求的值．18．（16分）已知{a n}是无穷等差数列，公差为d，{b n}，{c n}都是无穷等比数列，公比分别为q1，q2．（1）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是等差数列，求q1的值；（2）若{b n+c n}是等比数列，且b1=1，c1=2，判断q1，q2的关系并证明．19．（16分）已知f（x）=x2+1，g（x）=a|x﹣1|．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）若对任意x＞1，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若0＜a＜4，解关于x的不等式f（x）≥g（x）．20．（16分）已知等比数列{a n}的公比为q，首项a1=1，且满足，n≥3）．（1）求实数q的值；（2）设数列{na n}的前n项和T n，①求T n；②若a2≠1，求满足T n＞的所有正整数n的取值集合．2017-2018学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）等差数列{a n}中，已知a2=4，a6=12，则a1=2【分析】利用等差数列的通项公式能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，已知a2=4，a6=12，∴，解得a1=2，d=2．故答案为：2．【点评】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）已知{a n}是等比数列，a4+2a3+a2=0，则该数列的公比q=﹣1．【分析】根据等比数列的公式和性质进行求解即可．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴由a4+2a3+a2=0得q2a2+2qa2+a2=0，即q2+2q+1=0，得（q+1）2=0，得q=﹣1，故公比q=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查等比数列通项公式的应用，利用等比数列的性质建立方程关系是解决本题的关键．3．（5分）运行如图所示的流程图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为11．【分析】模拟程序语言的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，不满足条件a＞8，执行循环体，a=3不满足条件a＞8，执行循环体，a=5不满足条件a＞8，执行循环体，a=8不满足条件a＞8，执行循环体，a=11满足条件a＞8，退出循环，输出a的值为11．故答案为：11．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题目．4．（5分）执行如图所示算法的伪代码，则输出的b的值为8．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出b的值．【解答】解：执行如图所示算法的伪代码，如下；a=1，b=1，i=1；a=1，b=2，i=2；a=2，b=4，i=3；a=4，b=8，i=4；终止循环，输出b=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的语言问题，是基础题．5．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy=9，则x+2y的最小值为6．【分析】由条件运用基本不等式a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），即可得到所求最小值．【解答】解：x＞0，y＞0，且xy=9，则x+2y≥2=6，当且仅当x=2y=3时上式取得等号，则x+2y的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为4．【分析】作出满足不等式组的可行域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可求z的最大值．【解答】解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z最大，故z max=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（5分）已知在数列{a n}中，a1=1，，则a2018=2018．【分析】由条件可得=，将n换为n﹣1，…，3，2，1，可得数列的通项公式，代入即可得到所求值．【解答】解：在数列{a n}中，a1=1，，即为===…＝==a1=1，即有a n=n，可得a2018=2018，故答案为：2018．【点评】本题考查数列的通项公式的求法和运用，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则数列{}前n项和为T n=．【分析】由数列{a n}的前n项和，求出，从而，由此能求出数列{}前n项和．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和，∴a1=3﹣1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=，n=1时，成立，∴，∴，∴数列{}前n项和为：T n===．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的前n项和的求法，考查等比数列的性质、数列的前n项和与数列的通项的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（5分）已知点A（1，2），B（2，4），直线ax﹣y+1=0与线段AB有公共点，则a的最大值为．【分析】根据条件结合直线斜率的公式，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由ax﹣y+1=0得y=ax+1，在a的几何意义是过定点C（0，1）的直线斜率，由图象知，BC的斜率最大，则BC的斜率k==，即a的最大值为，故答案为：【点评】本题主要考查直线斜率的求解和应用，利用数形结合以及直线斜率的公式是解决本题的关键．10．（5分）已知方程x2﹣a2x﹣a+1=0的两根分别在区间（0，1），（1，﹢∞）之内，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）．【分析】设f（x）=x2﹣a2x﹣a+1，由题意可得f（0）＞0，f（1）＜0，解不等式可得所求范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣a2x﹣a+1，方程x2﹣a2x﹣a+1=0的两根分别在区间（0，1），（1，﹢∞）之内，可得f（0）＞0，f（1）＜0，即有﹣a+1＞0，且2﹣a2﹣a＜0，即为，解得a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查二次方程实根的分布，注意运用二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）已知在等差数列{a n}中，a3=12，S12S13＜0，则S n最大时n=6．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a3=12，S12S13＜0，可得a1+2d=12，＜0，化为：（d+3）（d+）＜0，解得＜d＜﹣3，可得等差数列{a n}单调递减，令a n=a1+（n﹣1）d=12+（n﹣3）d≥0，可得n≤3﹣，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=12，S12S13＜0，∴a1+2d=12，＜0，化为：（d+3）（d+）＜0，解得＜d＜﹣3，可得：＜﹣＜4．因此等差数列{a n}单调递减，∴S12＞0，S13＜0．a n=a1+（n﹣1）d=12﹣2d+（n﹣1）d=12+（n﹣3）d≥0，可得n≤3﹣，∵≤3﹣≤7，∴n≤6．则S n最大时n=6．故答案为：6．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足，则数列{}的前n项和为T n=．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，a n≠0，由，可得=S1=a1≠0，=S3，即=3a1+d，联立解得：a1，d．再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a n≠0，∵，∴=S1=a1≠0，=S3，即=3a1+d，第11页（共19页）联立解得：a 1=1，d=2或﹣1．d=﹣1时，a 2=0，舍去．∴d=2，a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．∴==，则数列{}的前n 项和为T n ===．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）若a ＞0，b ＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a ＞0，b ＞2，且a+b=3，∴a+b ﹣2=1，那么：（+）[a+（b ﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b ﹣2）=a 时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．【点评】本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．14．（5分）若关于x 的不等式ax 2+x ﹣2a ＜0的解集中至少有4个整数解，则实数a 的取值范围为（﹣∞，）．。

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】∵，∴点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.______．【答案】【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】．故答案为：【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.若幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将代入可得答案．【详解】设幂函数，幂函数的图象过点，，解得：，，，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.若向量，，且，则|______．【答案】【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】，，解得．．则．故答案为：．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数的单调增区间是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，，即当时，，令，在上，，此时为增函数，也为增函数，则函数为增函数；当时，，令，在上，，此时为增函数，为减函数，则函数为减函数；故函数的单调增区间是；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.计算：=______．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.已知圆心角是的扇形的面积是，则该圆心角所对的弧长为______cm．【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S，则：．解得，可得：扇形的弧长为cm．故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.已知函数是周期为2的奇函数，且时，，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数是周期为2的函数，则，又由为奇函数，则，则；故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.将函数向右平移个单位所得函数记为，当时取得最大值，则______．【答案】【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得的值．【详解】将函数向右平移个单位，所得函数记为，当时取得最大值，则，，令，可得，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.若，______．【答案】【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得，两边平方得答案．【详解】，，即，，两边平方得：，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.若，且，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】讨论在和的单调性，可得在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】，可得时，递减；时，递减，且，可得在R上递减，，可得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.在中，已知，，点M在边BC上，，，则______．【答案】【解析】【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，，结合已知即可求解．【详解】，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题．13.函数，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出的图象，求得，m的范围及的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．【详解】作出函数的图象，可得，，则在递增，可得的范围是．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.函数在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设，则，作出的草图，据此分析可得方程在区间有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于函数，设，则，的图象如图：若函数在R上有4个零点，则方程在区间有2个不同的根，则有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合，全集．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1），或；（2）【解析】【分析】（1）求定义域得集合A，求出时集合B，再根据集合的定义计算即可；（2）由得出，由此列不等式求出实数a的取值范围．【详解】（1）集合，时，，，又全集，或，，或；（2），又，，，解得实数a的取值范围是．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.在△ABC中，已知=（1，2），=（4，m）（m＞0）（1）若，求m的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由，结合向量数量积的性质可求m，然后结合，及向量夹角公式即可求. 【详解】（1）若，则，，，．（2），，，，，，，而，，．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若，，且点A的坐标为．（1）若，求实数m的值；（2）若，若的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．【详解】（1）由题意可得，，或．，，即，．（2），，，，，．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y＝log a x+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得在上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又时，y是x的一次函数，设，再由已知可得关于m，k的方程组求解可得时，，则函数解析式可求；（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．【详解】（1），年销售额越大，奖金越多，在上是增函数．，解得．时，；又时，y是x的一次函数，设，由题意可得：，解得．时，．∴y关于x的函数解析式为；（2）当时，不合题意；当时，，解得．．当时，，解得，．综上，．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.已知奇函数，函数，，，．（1）求b的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）当时，函数的最小值恰为的最大值，求m的取值范围．【答案】（1）0（2）在递增（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得，解方程即可得到b；（2）在单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f（x），可得f（0）＝0，即b＝0；（2）f（x）在[0，1]单调递增，证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）（）•，由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，即有f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），可得f（x）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max＝f（1），可得g（t）的最小值为，令s＝cos t，所以s＝﹣s2+2s的最小值为，所以s，即cos t≤1，t∈[m，]，由y＝cos t的图象可得m．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知向量，，，，函数，的最小正周期为．（1）求的单调增区间；（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为【解析】【分析】（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间．（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围．【详解】（1）函数f（x）•1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1＝sin（2ωx）cos（2ωx）＝2sin（2ωx）∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0∴，∴ω＝1．那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）令2x，k∈Z得：x∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一个解，转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．∵x在[0，]上，∴（2x）那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，2]，结合图象可知函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．那么2n＜1或2n＝2，可得或n＝1．（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）∴f（x2）min＝﹣2．实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使得m（）+1＞f（x2）成立．即m（）+1＞﹣2成立令y m（）+1设t，那么（）2+2＝t2+2∵x1∈[﹣1，1]，∴t∈[，]，可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立．令g（t）＝t2+mt+5＞0，其对称轴t∵t∈[，]上，∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高一数学第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为 ．2.等比数列{}n a 中，若21a =，58a =，则7a = ．3.在ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠= ．4.如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为 ．5.已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x ，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为 ．6.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 ．7.已知实数x ，y 满足,2,0,y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则93x y z =⋅的最大值是 ．8.在等差数列{}n a 中，0n a >，45a =，则2619a a +的最小值为 ． 9.设()()11111223341n S n N n n *=++++∈⨯⨯⨯+，且156n n S S +=，则n = ． 10.如图所示，墙上挂有一块边长为a 的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为2a 的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 ．11.在ABC ∆中，已知3C π∠=，BC a =，AC b =，且a ，b 是方程213400x x -+=的两根，则AB 的长度为 ．12.在R 上定义运算a ※()1b a b =+，若存在[]1,2x ∈，使不等式()m x -※()4m x +<成立，则实数m 的取值范围为 ．13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()22n n n S n N *-=∈，若对任意实数[]0,1λ∈，总存在自然数k ，使得当n k ≥时，不等式()()2123243n n n a a λλλ+-≥-++恒成立，则k 的最小值是 ．14.已知0x >，0y >，则2222629xy xy x y x y+++的最大值是 ． 第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n 名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：。

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A ={0，1}，B ={1，2}，则A ∪B =______．2.cos =______．17π63.若幂函数y =f （x ）的图象过点（4，2），则f （16）=______．4.若向量=（1，2），=（3，m ），且∥，则|+|=______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 5.函数f （x ）=|ln （x +3）|的单调增区间是______．6.计算：=______．eln3+log 525+(0.125)‒237.已知圆心角是的扇形的面积是cm 2，则该圆心角所对的弧长为______cm ．π32π38.已知函数（x ）是周期为2的奇函数，且x ∈[-1，0]时，f （x ）=x ，则f （）=______．2129.将函数y =sin2x 向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y =f （x ），当x =时f （x ）取得最大值，2π3则φ=______．10.若=，sinαcosα=______．cos2αsin(α+π4)2311.若f （x ）=，且f （2-a ）＜f （3a ），则实数a 的取值范围是______．{(x ‒1)2+1，x ≤11x，x ＞112.在△ABC中，已知||=2，||=1，点M 在边BC上，4=，•=2，则•=______．⃗AB ⃗AC ⃗BM ⃗BC ⃗AM ⃗CB ⃗AB ⃗AC 13.函数f （x ）=，若0≤m ＜n ，且f （m ）=f （n ），则mf （n ）的取值范围是______．{2x +1,0≤x ≤41+log 2x,x <414.函数f （x ）=m |3x -1|2-4|3x -1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合A ={x |y =+log 2（32-x ）}，B ={y |y =2x ，a ≤x ≤a +2，a ∈R }全集U =R ．x ‒2（1）若a =2，求（∁U B ）∩A ；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．16.在△ABC 中，已知=（1，2），=（4，m ）（m ＞0）．⃗AB ⃗AC （1）若∠ABC =90°，求m 的值；（2）若||=3，且=2，求cos ∠ADC 的值．⃗BC 2⃗BD ⃗DC 17.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈（，π），β=，且点A 的坐标为A （-1，m ）．7π12π12（1）若tan2α=-，求实数m 的值；43（2）若tan ∠AOB =-，若sin2α的值．3418.某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y =log a x +b ，（a ＞0，且a ≠1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．19.已知奇函数f （x ）=，函数g （t ）=sin 2t +2cos t -1，t ∈[m ，]，m ，b ∈R ．3x +b2x2+2π3（1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x ∈[0，1]时，函数g （t ）的最小值恰为f （x ）的最大值，求m 的取值范围．20.已知向量=（2sin （ωx +），-），=（sin （ωx +），cos （2ωx ））（ω＞0），函数（x ）=•-⃗a π43⃗b π4⃗a ⃗b 1，f （x ）的最小正周期为π．（1）求f （x ）的单调增区间；（2）方程f （x ）-2n +1=0；在[0，]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；7π12（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得4+4+m （2-2）x1‒x 1x1‒x 1+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{0，1，2}【解析】解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．根据交集的定义写出A∪B即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】‒3 2【解析】解：cos=cos（3π-）=-cos=．故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.【答案】4【解析】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.【答案】45【解析】解：∵∥，∴m-6=0，解得m=6．∴=（4，8）．则|+|==4．故答案为：4．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[-2，+∞）【解析】解：根据题意，f（x）=|ln（x+3）|=，即当x≥-2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[-2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当-3＜x＜-2时，f（x）=-ln（x+3），令t=x+3，y=-lnt，在（-3，-2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=-lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[-2，+∞）；故答案为：[-2，+∞）．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.【答案】11【解析】解：原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.【答案】2π3【解析】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===4．解得r=2，可得：扇形的弧长为l=rα=2×=cm．故答案为：．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.【答案】1 2【解析】解：根据题意，函数（x）是周期为2的函数，则f（）=f（+10）=f（），又由f（x）为奇函数，则f（）=-f（-）=-（-）=，则f（）=；故答案为：根据题意，由函数的周期性可得f（）=f（+10）=f（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（）=-f（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.【答案】5π12【解析】解：将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x-2φ），∵当x=时f（x）取得最大值，则-2φ=2kπ+，k∈Z．∴2φ=-2kπ+，令k=0，可得φ=，故答案为：．利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律求得f （x ）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.【答案】49【解析】解：∵=，∴，即，∴cosα-sinα=，两边平方得：，∴sinαcosα=．故答案为：．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cos ，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.【答案】（-∞，）12【解析】解：f （x ）=，可得x ＞1时，f （x ）递减；x≤1时，f （x ）递减，且f （1）=1，可得f （x ）在R 上递减，f （2-a ）＜f （3a ），可得2-a ＞3a ，解得a ＜，故答案为：（-∞，）．讨论f（x）在x＞1和x≤1的单调性，可得f（x）在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】3 2【解析】解：∵4=，∴==，∵=，∵||=2，||=1，=，=（）•（），=，==-2，∴=，故答案为：．由向量加法及减法的三角形法则可得，=，结合已知即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题．13.【答案】（3，36]【解析】解：作出函数f（x）=的图象，可得f（n）=f（m）=1+2m，1＜m≤4，则mf（n）=m（1+2m）=2m2+m在（1，4]递增，可得mf（n）的范围是（3，36]．故答案为：（3，36]．作出f （x ）的图象，求得f （n ），m 的范围及mf （n ）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】（3，4）【解析】解：根据题意，对于函数f （x ）=m|3x -1|2-4|3x -1|+1，设t=|3x -1|，则y=mt 2-4t+1，t=|3x -1|的图象如图：若函数f （x ）=m|3x -1|2-4|3x -1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点，则方程mt 2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，则有，解可得：3＜m ＜4，即m 的取值范围为（3，4）；故答案为：（3，4）根据题意，设t=|3x -1|，则y=mt 2-4t+1，作出t=|3x -1|的草图，据此分析可得方程mt 2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15.【答案】解：（1）集合A ={x |y =+log 2（32-x ）}={x |}={x |2≤x ＜32}，x ‒2{x ‒2≥032‒x >0a =2时，B ={y |y =2x ，2≤x ≤4}={y |4≤y ≤16}，又全集U =R ，∴∁U B ={x |x ＜4或x ＞16}，∴（∁U B ）∩A ={x |2≤x ＜4，或16＜x ＜32}；（2）∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，又B ={y |2a ≤y ≤2a +2}，A ={x |2≤x ＜32}，∴，{2a ≥22a +2<32解得实数a 的取值范围是1≤a ＜3．【解析】（1）求定义域得集合A ，求出a=2时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A ∪B=A 得出B ⊆A ，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.【答案】解：（1）若∠ABC =90°，则=0，⃗AB ⋅⃗BC ∵==（3，m -2），⃗BC ⃗AC ‒⃗AB ∴3+2m -4=0，∴m =．12（2）∵||=3，⃗BC 2∴，9+(m ‒2)2=32∵m ＞0，∴m =5，∵=2，⃗BD ⃗DC ∴==（1，1），==（2，2），⃗DC 13⃗BC ⃗BD 23⃗BC 而AD ==（3，4），⃗AD ⃗AB +⃗BD ∴=（-3，-4），⃗DA ∴cos ∠ADC ===．⃗DA ⋅⃗DC|⃗DA ||⃗DC|‒3×1‒4×152‒7210【解析】（1）由题意可知=0，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由||=3，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合=2，及向量夹角公式cos ∠ADC=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.【答案】解：（1）由题意可得tan2α==-，∴tanα=-，或tanα=2．2tanα1‒tan 2α4312∵α∈（，π），∴tanα=-，即=-，∴m =．7π1212m ‒11212（2）∵tan ∠AOB =tan （α-β）=tan （α-）==-，π12sin(α‒π12)cos(α‒π12)34+=1，α-∈[，]，sin 2(α‒π12)cos 2(α‒π12)π12π211π12∴sin （α-）=，cos （α-）=-，π1235π1245∴sin （2α-）=2sin （α-）cos （α-）=-，cos （2α-）=2cos 2（α-）-1=，π6π12π122425π6π12725∴sin2α=sin[（2α-）+]=sin （2α-）cos +cos （2α-）sin =．π6π6π6π6π6π67‒24350【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin （α-）和cos （α-）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α-）+]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵8＜x ≤64，年销售额越大，奖金越多，∴y =log a x +b 在（8，64]上是增函数．∴，解得．{log a 16+b =1log a64+b =3{a =2b =‒3∴8＜x ≤64时，y =-3+log 2x ；又∵x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0），由题意可得：，解得．{64k +m =380k +m =5{k =18m =‒5∴x ≥64时，y =．18x‒5∴y 关于x 的函数解析式为；y ={0，0≤x ≤8log 2x ‒3，8＜x ≤6418x ‒5，x ＞64（2）当0≤x ≤8时，不合题意；当8＜x ≤64时，2＜-3+log 2x ＜4，解得32＜x ＜128．∴32＜x ≤64．当x ＞64时，，解得x ＜72，18x ‒5＜4∴64＜x ＜72．综上，32＜x ＜72．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得y=log a x+b 在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又x≥64时，y 是x 的一次函数，设y=kx+m （k≠0），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得x≥64时，y=，则函数解析式可求；（2）当0≤x≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数f （x ）=，可得f （0）=0，3x +b2x 2+2即b =0；（2）f （x ）=在[0，1]单调递增，3x2x 2+2证明：设x 1，x 2是[0，1]上任意两个值，且x 1＜x 2，f （x 2）-f （x 1）=（-）=•，32x 2x 22+1x 1x 21+132(x 2‒x 1)(1‒x 1x 2)(1+x 22)(1+x 21)由x 1，x 2∈[0，1]，且x 1＜x 2，可得x 2-x 1＞0，1-x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，即有f （x 2）-f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），可得f （x ）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f （x ）在[0，1]递增，可得f （x ）max =f （1）=，34可得g （t ）的最小值为，34令s =cos t ，所以s =-s 2+2s的最小值为，34所以≤s ≤，即≤cos t ≤1，t ∈[m ，]，123212π3由y =cos t 的图象可得-≤m ＜．π3π3【解析】（1）由奇函数的性质可得f （0）=0，解方程即可得到b ；（2）f （x ）=在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f （x ）的最大值，即可得到g （t ）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数f （x ）=•-1=2sin 2（ωx）-cos （2ωx ）-1⃗a ⃗b +π43=sin （2ωx ）-cos （2ωx ）3=2sin （2ωx）‒π3∵f （x ）的最小正周期为π．ω＞0∴，2π2ω=π∴ω=1．那么f （x ）的解析式f （x ）=2sin （2x ）‒π3令2x，k ∈Z2kπ‒π2≤‒π3≤π2+2kπ得：≤x ≤kπ‒π12kπ+5π12∴f （x ）的单调增区间为[，]，k ∈Z ．kπ‒π12kπ+5π12（2）方程f （x ）-2n +1=0；在[0，]上有且只有一个解，7π12转化为函数y =f （x ）+1与函数y =2n 只有一个交点．∵x 在[0，]上，7π12∴≤（2x）‒π3‒π3≤5π6那么函数y =f （x ）+1=2sin （2x）-1的值域为[，1]，结合图象可知‒π3‒3‒1函数y =f （x ）-1与函数y =2n 只有一个交点．那么≤2n或2n =1，1‒3＜12可得或n =．1‒32≤n ＜1212（3）由（1）可知f （x ）=2sin （2x）‒π3∴f （x 2）min =-2．实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得4+4+m （2-2）+1＞f （x 2）成立．x 1‒x 1x 1‒x1即4+4+m （2-2）+1＞-2成立x 1‒x 1x 1‒x1令y =4+4+m （2-2）+1x 1‒x 1x 1‒x1设2-2=t ，那么4+4=（2-2）2+2=t 2+2x 1‒x 1x 1‒x 1x 1‒x1∵x 1∈[-1，1]，∴t ∈[-，]，3232可得t 2+mt +5＞0在t ∈[-，]上成立．3232令g （t ）=t 2+mt +5＞0，其对称轴t =‒m 2∵t ∈[-，]上，3232∴①当时，即m ≥3时，g （t ）min =g （）=，解得；‒m 2≤‒32‒32294‒3m2＞03≤m ＜296②当，即-3＜m ＜3时，g （t ）min =g （）=＞0，解得-3＜m ＜3；‒32＜‒m 2＜32‒m25‒m 24③当，即m ≤-3时，g （t ）min =g （）=＞0，解得＜m ≤-3；32≤‒m232294+3m2＞0‒296综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是（，）．‒296296【解析】（1）函数f （x ）=•-1，f （x ）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f （x ）的单调增区间．（2）根据x 在[0，]上求解f （x ）的值域，即可求解实数n 的取值范围；（3）由题意，求解f （x 2）的最小值，利用换元法求解y=4+4+m （2-2）+1的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。