下载文档原格式
Banach空间中一类新的κ-次增生型变分包含问题解的迭代逼近谷峰【摘要】本文研究了Banach空间中的一类新的κ-次增生型变分包含问题.使用一些分析技巧,获得了这类变分包含解的存在性、唯一性以及具有混合误差项的Ishikawa迭代程序的收敛性,改进了张石生和曾六川等人的一系列相关结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2010(030)002【总页数】10页(P273-282)【关键词】变分包含;κ-次增生映象;m-增生映象;具混合误差项的Ishikawa迭代程序【作者】谷峰【作者单位】杭州师范大学应用数学研究所,浙江,杭州,310036【正文语种】中文【中图分类】O177.91设X 是实Banach空间,X∗是其对偶空间,h·,·〉表X 与X∗间的配对，D(T)与R(T)分别表映象T的定义域与值域.映象J:X→2X∗称为正规对偶映象，如果设T,A:X→X,g:X→X∗是三个映象，ϕ:X∗→R∪{+∞}为真凸的下半连续泛函.1999年，张石生教授[1]引入与研究了下列Banach空间中的变分包含问题VIP(T,A,g,ϕ):对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ϕ表ϕ的次微分.在文献[1，定理2.1]中，作者在X 是实的一致光滑Banach 空间的框架下，建立并证明了变分包含问题(1.1)解的存在唯一性及其Ishikawa迭代序列的收敛性.进一步，张石生教授和作者等人[2]仍在实一致光滑Banach空间的框架下，把文献[1，定理2.1]从强增生映象推广到φ-强增生映象的情况.注意到，当X=H 是Hilbert空间H 时，则问题(1.1)等价于如下问题：对给定的f∈H,求u∈H,使得称(1.2)为Hilbert空间中的变分包含问题，它曾在Ding[3,4],Chang[5],Kazmi[6],Zeng[7]中研究过.易见，通过适当地选择算子T,A,g,f，泛函ϕ以及空间X，若干熟知的变分不等式类问题，如在Noor[8,9],Siddiqi-Ansari[10]及Zeng[11]中研究过的变分不等式类，都可得到. 2000年，张石生教授[5]把问题(1.1)推广到Banach空间中的集值变分包含问题的情况.最近，曾六川教授[12]把问题(1.1)进行了推广，引入和研究了下列Banach 空间中的变分包含问题:设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗是四个映象，ϕ:X∗→R∪{+∞}为真凸的下半连续泛函.对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ϕ表ϕ的次微分.易见，当N(x,y)=x−y,∀x,y∈X 时，问题(1.3)化为问题(1.1).曾六川教授[12]在实自反的光滑的Banach空间的框架下，给出了φ-强增生型的变分包含问题(1.3)解的存在唯一性及其具有误差项的Ishikawa迭代程序的收敛定理，他的结果改进和推广了[1–11]中的相应结果.本文受张石生教授[1,2,5]和曾六川教授[12]的启发，引入和研究了下列Banach空间中的新的变分包含问题:设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一真凸泛函.对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ηϕ表ϕ的η-次微分[13].易见，当η(x,y)=x−y,∀x,y∈X∗时，问题(1.4)化为问题(1.3)，从而问题(1.4)比张石生教授[1,2]和曾六川教授[12]所研究过的变分包含更具有一般性.本文的目的，是在实自反Banach空间的框架下，研究k-次增生型变分包含问题(1.4)解的存在性、唯一性及其具有混合误差项的Ishikawa迭代程序的收敛性.注意到，已有例子表明:存在一些并非是增生算子的k-次增生算子(可见文献[14])，因而增生算子类(进而m-增生算子类、强增生算子类等)是k-次增生算子类的真子类.这样，本文结果在多个方面本质地改进和推广了文献[1−12,15,16]中的一系列相应结果.下面,回顾一些预备知识.用j表单值的正规对偶映象命题1.1[5]设X是一实Banach空间，则X是光滑的⇔J是单值的.定义1.1[13]设X是一实Banach空间，ϕ:X∗→R∪{+∞}为一真凸泛函，η:X×X→X 是一个映象，若对x0∈X，存在f∈X∗，使得ϕ(y)−ϕ(x0)≥hf,η(y,x0)〉,∀y∈X,则称ϕ在x0处是η-次可微的，并称f为ϕ在x0处的η-次梯度.在x0处的一切η-次梯度的集合用∂ηϕ(x0)表示.定义1.2[14]映象T:D(T)⊂X→X称为是k-次增生的，如果对任给的x,y∈D(T)，都存在j(x−y)∈J(x−y)和常数k∈(−∞,+∞)，使得在(1.5)式中若k=0，则称算子T是增生的；若k＞0，则称算子T是强增生的；算子T称为是m-增生的，若T是增生的且∀λ＞0，有R(I+λT)=X(其中I是X 上的恒等算子).定义1.3[5] 设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X 是三个映象.(1)映象x 7→N(x,y)称为关于映象T是k-次增生的,如果对任给的x1,x2∈X，存在j(x1−x2)∈J(x1−x2)和常数k∈(−∞,+∞),使得(2)映象y 7→N(x,y)称为关于映象A是增生的，如果对任给的y1,y2∈X，存在j(y1−y2)∈J(y1−y2),使得(3)映象x 7→N(x,y)称为关于T是µ-Lipschitz连续的，如果存在常数ξ＞0使得，对任给的x1,x2∈X，有kN(Tx1,y)−N(Tx2,y)k≤µkx1−x2k,∀y∈X.(4)映象y 7→N(x,y)称为关于A是ξ-Lipschitz连续的，如果存在常数ξ＞0使得，对任给的y1,y2∈X，有kN(x,Ay1)−N(x,Ay2)k≤ξky1−y2k,∀x∈X.命题1.2 设X 是实光滑Banach空间，T,A:X→X,N(·,·):X×X→X 是三个映象.定义映象F:X→X 为Fx=N(Tx,Ax),∀x∈X.如果映象x 7→N(x,y)关于映象T是k-次增生的，映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的,则映象F是k-次增生的.证因为X是光滑的，由命题1.1知正规对偶映象J:X→2X∗是单值的，于是对任意的x,y∈X有命题1.2得证.命题1.3设X是实光滑Banach空间,T1:X→X是具有常数k的k-次增生映象，T2:X→X是增生映象，则映象T1+T2:X→X也是具有常数k的k-次增生映象.证因为X是光滑的，由命题1.1知正规对偶映象J:X→2X∗是单值的，于是对任意的x,y∈X有命题1.3得证.下面的几个引理在本文主要结果的证明中起着重要的作用.引理1.1[17]设{an},{bn},{cn}是三个非负实数列，且满足下面的不等式引理1.2 设X是实自反Banach空间，则下面的结论等价：(i)x∗∈X 是变分包含问题(1.4)的解；(ii)x∗∈X是映象S:X→2X的不动点，其中S(x)=f−(N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x)))+x; (iii)x∗∈X 是方程f∈N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x))的解.证 (i)⇒ (iii)设x∗是变分包含问题(1.4)的解，则g(x∗)∈D(∂ηϕ)且于是,由ϕ的η -次微分∂ηϕ的定义，据上式得知f−N(Tx∗,Ax∗)∈∂ηϕ(g(x∗))，即 x∗是方程f∈N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x))的解.(iii)⇒(ii) 设(iii)真，则有 x∗∈f−(N(Tx∗,Ax∗)+∂ηϕ(g(x∗)))+x∗=Sx∗.即 (ii)真. (ii)⇒(i) 设 (ii)真,则有f−N(Tx∗,Ax∗)∈∂ηϕ(g(x∗)),故由∂ηϕ的定义得知即 hN(Tx∗,Ax∗)−f,η(v,g(x∗))〉≥ϕ(g(x∗))− ϕ(v),∀v∈X∗.故 x∗ ∈X 是变分包含问题(1.4)的解.证毕.引理1.3[18]设X是Banach空间，T:X→X是连续的增生算子，则T必是m-增生的.引理1.4 设X是实Banach空间，T:X→X是连续的k-次增生算子，如果k＞−1，则对任给的f∈X，方程x+Tx=f在X中有唯一解.证设Ax=Tx−kx,∀x∈X，由T 的k-次增生性可知，∀x,y∈X,∃j(x−y)∈J(x−y)，使得故A是增生的，又由T的连续性易知A也连续，于是由引理1.3知A是m-增生的.从而∀λ＞ 0，有R(I+λA)=X 成立，因而∀f∈X，λ= ＞ 0，∃x∗∈X，满足x∗+λAx∗=f，整理得x∗+Tx∗=f，即方程x+Tx=f有解x∗∈X.下证解的唯一性.事实上，若还有y∗∈X，x∗6=y∗，使得y∗+Ty∗=f,则−kx∗−y∗k2=hx∗−y∗,j(y∗−x∗)〉≥kky∗−x∗k2,由此推得k≤−1,这与已知 k＞−1 相矛盾，故∀f∈X,方程x+Tx=f在X 中有唯一解.f，即x∗+(T−kI)x∗=定理2.1 设X 是实自反的光滑的Banach空间，设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个连续映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一具有连续单值η-次微分∂ηϕ的真凸泛函，设{αn},{βn}是[0,1]中的实数列，{un},{vn},{}和{}都是X 中的序列，且满足以下条件：(i)映象x 7→N(x,y)关于映象T是k-次增生的，且常数k∈(−1,1).映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的;(ii)映象x 7→N(x,y)关于T 是µ-Lipschitz连续的，映象y 7→N(x,y)关于A 是ξ-Lipschitz连续的;(iii)∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的且∂ηϕ◦g−I:X→X 是增生的;对任给的f∈X，定义映象S:X→X如下：对任给的x0∈X，具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}定义如下：则变分包含问题(1.4)存在唯一解x∗∈X,且{xn}强收敛于该变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.证先证变分包含(1.4)式有唯一解.事实上，由条件(i)和命题1.2可知映象N(T(·),A(·)):X→X 是连续的k-次增生映象.再由条件(iii)和命题1.3可知，映象N(T(·),A(·))+ ∂ηϕ◦g(·)−I:X→X 是连续的和 k-次增生的，而且k∈ (−1,1)，由引理1.4知，对f∈X，方程x+(N(T(x),A(x))+∂ηϕ(g(x))−x)=f在X 中有唯一解x∗,即方程N(T(x),A(x))+∂ηϕ(g(x))=f在X 中有唯一解x∗.由于X 是自反的，故由引理1.2知，x∗是变分包含问题(1.4)的唯一解，因而也是映象S在X 中的唯一不动点，即Sx∗=x∗.再证具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.易见，结论的必要性成立. 下面我们证明结论的充分性也成立.事实上，由假设{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界，我们断言{∂ηϕ(g(yn))}也有界.事实上，由条件(ii)和(2.1)式得所以，由条件(iv),(v)推得由于∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的，故k∂ηϕ(g(yn))−∂ηϕ(g(xn))k→0(n→ ∞).注意到即知，序列{∂ηϕ(g(yn))有界. 因为序列{un},{xn},{∂ηϕ(g(xn))},{∂ηϕ(g(yn))} 均有界，所以，存在常数M＞0使得对一切n≥0.观察到这意味着h(S+kI)x−(S+kI)y,j(x−y)〉≥0,于是由Kato[19]的引理1.1可知,对任意的x,y∈X和t＞0,有由(2.1)式得注意到从 (2.2)–(2.4) 式可得令t=max{0,−k}∈ (0,1)，则有1+kαn≥1−tαn≥1−t(因为k≥−t).于是由(2.6)式和条件(v)有其中dn=kSxn+1−Synk.下证dn→0(n→∞).事实上，由S的定义可知，有由(2.1)式,S的定义和条件(ii),有把(2.11)式代入(2.10)式,再把(2.10)式代入(2.9)式，整理得由(2.2)式,条件(iv)和(v)及(2.12)式可得kxn+1−ynk→ 0(n→∞),从而由∂ηϕ◦g:X→X 的一致连续性，有k∂ηϕ(g(xn+1))−∂ηϕ(g(yn))k→ 0(n→∞).于是从(2.8)式可知，有注2.1 定理2.1在下面七个方面改进与推广了张石生教授在文献[1]中的主要结果.(1)用X的自反性和光滑性取代了X的一致光滑性;(2)用序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}的有界性取代了值域R(S)的有界性;(3)把强增生映象（即k∈(0,1)）推广至更一般的k-次增生映象（即k∈(−1,1)）;(4)把连续的G¨ateaux微分减弱至仅需η-次可微的情形;(5)用更一般的映象N(T(·),A(·)):X→X 取代了映象T−A:X→X;(6)用更一般的函数η(v,g(u)),v∈X∗,u∈X 取代了函数v−g(u),v∈X∗,u∈X;(7)把迭代格式推广至更一般的具混合误差项的Ishikawa迭代格式.注2.2 定理2.1从以下几个方面改进和推广了曾六川教授在文献[12]中的主要结果.(1)把φ-强增生映象推广至k-次增生映象;(2)用更一般的函数η(v,g(u)),v∈X∗,u∈X 取代了函数v−g(u),v∈X∗,u∈X;(3)把连续的G¨ateaux微分减弱至仅需η-次可微的情形;(4)把具误差的Ishikawa迭代过程推广到更一般具有混合误差项的Ishikawa迭代过程.注2.3 定理2.1也在多个方面本质地改进和推广了文献[2–11,15,16]中的一系列相关结果.如果在定理2.1和中取k∈(0,1),则t=max{0,−k}=0,于是得到强增生型映象的相应结果如下:定理2.2 设X 是实自反的光滑的Banach空间，设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个连续映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一具有连续η-次微分∂ηϕ的真凸泛函，设{αn},{βn}是[0,1]中的实数列，{un},{vn},{}和{}都是X中的序列，且满足以下条件(i)映象x 7→N(x,y)关于映象T是具有常数k∈(0,1)的强增生映象.映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的;(ii)映象x 7→N(x,y)关于T 是µ-Lipschitz连续的，映象y 7→N(x,y)关于A 是ξ-Lipschitz连续的;(ii i)∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的且∂ηϕ◦g−I:X→X 是增生的;(iv)α →0,β →0(n→∞)且P∞α=∞;nnn对任给的f∈X，定义映象S:X→X如下：对任给的x0∈X，具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}定义如下：则变分包含问题(1.4)存在唯一解x∗∈X,且{xn}强收敛于该变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.注2.4 定理2.2也在多个方面本质地改进和推广了文献[1–11,15,16]中的一系列相关结果.注2.5 在定理2.1中取k=0，则t=max{0,−k}=0,于是可得到增生型映象的相应结果.注2.6 在定理2.1和定理2.2中，如果取∀n≥0,βn=0且vn=0则yn=xn,∀n≥0,xn+1=(1−αn)xn+αnSxn+un,n≥0.于是,我们可以得到具有混合误差项的Mann迭代程序的相应结果；注2.7在定理2.1和定理2.2中取ϕ≡0,则也有关于变分不等式的相应新结果.【相关文献】[1]Chang S S.On the Mann and Ishikawa iterative approximation of solutions to variational inclusion with accretive type mappings[J].Compue.Math.Appl.,1999,37(9):17–24.[2]张石生，谷峰等.Banach空间中φ-强增生型变分包含问题解的Ishikawa迭代逼近[J].应用数学，2000,13(2):1–8.[3]Ding Xieping.Perturbed proximal point algorithms for generalized quasivariational inclusions[J].J Math.Anal.Appl.,1997,210(1):88–101.[4]Ding Xieping.Generalized strongly nonlinear quasivariationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1993,173(2):557–587.[5]Chang S S.Set-valued variational inclusions in Banachspaces[J].J.Math.Anal.Appl.,2000,248(9):17–24.[6]Kazmi K R.Mann and Ishikawa type pertured iterative algorithms for generalized quasivariational inclusions[J].J.Math.Anal.Appl.,1997,209(2):572–584.[7]Zeng Liuchuan.Iterative algorithms for fi nding approximate solutions for general strongly nonlinear variational inequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1994,187(2):352–360.[8]Noor M A.General variational inequalities[J].Appl.Math.Lett.,1998,1(2):119–122.[9]Noor M A.An iterative algorithm for variationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1991,158(3):446–455.[10]Siddiqi A H,Ansari Q H.General strongly nonlinear variationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1992,166(2):386-392.[11]Zeng Liuchuan.Iterative algorithm for fi nding approximate solutions to completely generalized strongly nonlinear quasivariationalinequality[J].J.Math.Anal.Appl.,1996,201:180–194.[12]曾六川.一类ϕ-强增生型变分包含问题解的存在性与迭代逼近[J].数学研究与评论,2004,24(5):297–304.[13]Ding Xieping.Generalized quasi-variational-like inclusions with nonconvexfunctions[J].Appl.Math.and Comp.,2001,22:267–282.[14]徐承章.含有k-次增生算子T的方程x+Tx=f的迭代解[J].应用泛函分析学报,2001,3(4):375–381.[15]谷峰.Banach空间中强增生型变分包含解的具混合误差项的Ishikawa迭代逼近[J].数学物理学报,2005,25A(2):176–181.[16]谷峰.Banach空间中一类非线性变分包含问题解的存在性和逼近问题[J].工程数学学报,2004,21(2):268–272.[17]Liu Lishan.Isikawa and Mann iterative process with errors for nonlinear strongly accretive mappings in Banach spaces[J].J.Math.Anal.Appl.,1995,194:114–125. [18]Martin R H.A global existence theorem for autonomous di ff erential equations in Banach spaces[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1970,2(6):307–314.[19]Kato T.Nonlinear semigroups and evolutionequations[J].J.Math.Soc.Japan.,1967,19:508–520.。
第2章 赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||:){(12∞<∑∞=i ii zz 时引入记号||||z 来表示211)(∑∞=i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响.2.1赋范空间的基本概念线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||⋅是X 到R 的映射,且满足下列条件：(1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;(3) ||||||||||||y x y x +≤+,对任意X y x ∈, .则称||||⋅为X 上的范数,而||||x 称为x 的范数,这时称||)||,(⋅X 为赋范线性空间.明显地,若||)||,(⋅X 为赋范线性空间,则对任意X y x ∈,,定义||||),(y x y x d -=时,),(d X 为度量空间,但对一般的度量空间),(d X ,当X 为线性空间时,若定义)0,(||||x d x =,则||||x 不一定就是X 上的范数.例2.1.1 设s 数列全体,则明显地,s 为线性空间,对任意的s y x ∈,, 定义∑∞=-+-=1|)|1(!||),(i i i i i y x i y x y x d则∑∞=+=1|)|1(!||)0,(i i i x i x x d但)0,(|||)|||1(!||||)0,(1x d x i x x d i i i λλλλ≠+=∑∞=取)0,,0,1(0Λ=x ,210=λ,则 3121121)0,(00=+=x d λ 而412121)0,(||00=⨯=x d λ因此)0,(||)0,(0000x d x d λλ≠所以,)0,(0x d 不是s 上的范数.问题 2.1.1 对于线性空间X 上的度量d , 它满足什么条件时,)0,(||||x d x =才能成为范数？定理2.1.2 设X 是线性空间,d 是X 上的度量,在X 上规定)0,(||||x d x =,则X 成为赋范线性空间的条件是：(1) )0,(),(y x d y x d -=,对任意X y x ∈, ；(2) )0,(||)0,(x d x d λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ.下面举出赋范线性空间的一些例子.例 2.1.3 对于}||,|){(11∞<∈=∑∞=i ii i xK x x l ,∑∞==1||||||i i x x 是1l 的范数, 即||)||,(1⋅l 是赋范线性空间.例2.1.4 对于∞<≤p 1,}||,|){(1∞<∈=∑∞=i p ii i p xK x x l 在范数pi pi x x 11)||(||||∑∞==下是赋范线性空间.例2.1.5 }||sup ,|){(∞<∈=∞i i i x K x x l 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间. 例2.1.6 }0lim ,|){(0=∈=∞→i i i i x K x x c 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间.例 2.1.7 }],[)(|)({],[上的连续函数为b a t x t x b a C =,在范数|)(|sup ||||t x x =下是赋范线性空间.由于赋范线性空间在度量||||),(y x y x d -=下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义 2.1.2 设X 是赋范空间X x X x n ∈⊂0,}{, 若n x 依度量||||),(y x y x d -=收敛于0x , 即0||||lim 0=-∞→x x n n ,则称n x 依范数||||⋅收敛于0x ,记为0||||x x n −→−⋅在赋范线性空间中,仍然用}|||||{),(00r x x X x r x U <-∈=记以0x 为球心,r 为半径的开球,用}|||||{),(00r x x X x r x B ≤-∈=记以0x 为球心,r 为半径的闭球. 为了方便,用}1|||||{=∈=x X x S X 记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用}1|||||{≤∈=x X x B X 记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用}1|||||{<∈=x X x U X 记以0为球心,1为半径的开单位球.例2.1.8 在Euclid 空间2R 中,对于),(21x x x =可以定义几种不同的范数:||||||||211x x x += 2122212)|||(|||||x x x +=|}||,m ax {|||||213x x x =则对1),0,0(0==r x , 闭球)1,(0x B 在不同范数下的形状为：}1|||||{11≤=x x B}1|||||{22≤=x x B}1|||||{33≤=x x B思考题 2.1.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,问开球),(0r x U 的闭包是否一定是闭),(0r x B ?思考题2.1.2 设||)||,(⋅X 是线性空间,问闭球),(0r x B 内部是否一定是开球),(0r x U ?在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.定理2.1.8 若||)||,(⋅X 是赋范空间00,y y x x n n →→,则00y x y x n n +→+. 证明 由||||||||||)()(||0000y y x x y x y x n n n n -+-≤+-+可知定理成立. 定理 2.1.9 若||)||,(⋅X 是赋范空间,0x x n →,则||||||||0x x n →. 证明 由||||||||||||00x x x x n n +-≤和||||||||||||00n n x x x x +-≤,可知||||||||||||||00x x x x n n -≤-,因此||||||||0x x n →.定义2.1.3 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若),(0||||,}{∞→→-⊂n m x x X x n m n 时, 必有X x ∈,使0||||→-x x n , 则称||)||,(⋅X 为完备的赋范线性空间.根据M.]1928,,,[Paris Villars Gauthier abstraits Espaces Frechet -的建议,完备的赋范线性空间称为Banach 空间.不难证明,∞∞<≤l p l c R p o n),1(,,都是Banach 空间.在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义 2.1.4 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若序列}{}{21n n x x x S +++=ΛΛ收敛于某个X x ∈时,则称级数∑∞=1n nx收敛,记为∑∞==1n nxx .定义2.1.5 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若数列||}||||||||{||21n x x x +++ΛΛ收敛时, 则称级数∑∞=1n nx绝对收敛.在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.定理 2.1.10 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,则||)||,(⋅X 是Banach 空间的充要条件为X 的每一绝对收敛级数都收敛.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,且∑∞=1n nx绝对收敛,则由∞<∑∞=1||||n nx可知,对于n n x x x S +++=ΛΛ21,有)(0||||||||||||||||11∞→→++≤++=-+++++n x x x x S S p n n p n n n p n ΛΛ,因此n S 是X 的Cauchy 列,由||)||,(⋅X 的完备性可知,存在X x ∈使x S n n =∞→lim ,即x xn n=∑∞=1反之,设X 的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于X 的Cauchy 列n x ,对kk 21=ε,有 ΛΛ<<<<<+121k k n n n n , 使得),2,1(21||||1Λ=<-+k x x kn n k k因而+∞<-∑∞=+1||||1n n n k k x x.由假设可知+∞<-∑∞=+1)(1n n n k k x x收敛于某个X x ∈,即}{k n x 收敛x ,所以n x 必收敛于x ,从而||)||,(⋅X 完备.事实上,在实数空间R 中,正是由于R 的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义 2.1.6 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若X M ⊂是X 的线性子空间,则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的子空间,若M 还是||)||,(⋅X 的闭集, 则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的闭子空间.明显地,若||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的闭子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间,反之亦然.定理 2.1.11 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间当且仅当M 是X 的闭集.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,当M x n ∈,且x x n →时,则}{n x 为M 的Cauchy 列,因而}{n x 收敛于 M 上的一点,故M x ∈,即M M ∈',所以M 是闭集.反之,设M x n ⊂}{为Cauchy 列,则}{n x 为 ||)||,(⋅X 的Cauchy 列,由于||)||,(⋅X 是Banach 空间,因此}{n x 是收敛列, 即存在X x ∈使x x n →,又由于M 是||)||,(⋅X 的闭子空间,因此M x ∈,即n x 在M 中收敛于x ,所以||)||,(⋅M 是Banach 空间.定义2.1.7 设X 是线性空间,p 为X 上的一个实值函数,且满足： （1） 0)0(=p ；（2） )()()(y p x p y x p +≤+,对任意X y x ∈,； （3） )(||)(x p x p λλ=,对任意X x ∈,任意K ∈λ.则称p 为X 上的半范数.明显地,X 上的范数一定是半范数,但对X 上的半范数p ,由于0)(=x p 时不一定有0=x ,因此半范数不一定是范数.例2.1.9 在∞l 中,定义||)(11x x p =,易证)(1x p 是∞l 中的半范数,但对于),,,,0(2ΛΛn x x x =,都有0)(1=x p ,因此p 不是∞l 的范数.有什么办法能使),(p X 中的问题转化为赋范空间中来解决呢？定义 2.1.8 设X 是线性空间,M 是X 的线性子空间,若M x x ∈-21,则称1x 与2x 关于M 等价,记为)(~21M x x易知,等价具有下面的三个性质（1） x x ~（反射性）；（2） y x ~推出 x y ~（对称性）； （3） y x ~, z y ~ 推出z x ~（传递性）.明显地,若M 是线性空间X 的线性子空间,记}),(~|{~M y M x y y x ∈=, 则~x 的全体在加法~~~y x y x +=+和数乘~~x x αα=下是线性空间,称为X 对模M 的商空间,记为M X /.在商空间M X /中,对M X =∈~0,0, 即0是M X /的零元,而对M X /的每一元素~x ,~x 都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.例2.1.10 对于}||sup |){(+∞<=∞i i x x l ,取}||sup ,0|){(1+∞<==i i x x x M , 则M 为∞l 的子空间,对M l y x /,∞∈,当~~y x =时有M y x ∈-,即011=-y x , 这时R M l ~/∞当||)||,(⋅X 为赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间时,在M X /商空间中还可以定义范数,使M X /成为赋范线性空间.定理 2.1.14 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间,在M X /上定义范数}|||inf{||||||~~x y y x ∈=,则||)||,/(⋅M X 是赋范线性空间.利用上面的技巧,不难证明,当)(x p 为X 上的一个半范数时,取}|||inf{||||||},0)(|{~~x y y x x p x M ∈===,则||)||,/(⋅M X 是一个赋范线性空间,且对任意X x ∈有, )(||||~x p x =.当X 是空备赋范线性空间,M 为X 的闭子空间的,M X /还具有完备性.定理2.1.15 设X 是Banach 空间,M 为X 的闭子空间,则M X /是Banach 空间.2.2 范数的等价性与有限维赋范空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X 上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是X 上的序列依范数收敛的不同引起的.定义 2.2.1 设X 是线性空间,1||||⋅和|2||||⋅是X 上的两个不同范数,若对X 中的序列}{n x ,当0||||10→-x x n 时,必有0||||20→-x x n ,则称范数1||||⋅比范数2||||⋅强,亦称2||||⋅比1||||⋅弱.若对X 中的序列}{n x ,0||||10→-x x n 当且仅当0||||20→-x x n 则称范数1||||⋅与2||||⋅等价.定理 2.2.1 设1||||⋅和2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅比2||||⋅强当且仅当存在常数0>C ,使得对任意X x ∈都有12||||||||x C x ≤.证明 若存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,则明显地0||||1→-x x n 时,有0||||||||12→-≤-x x C x x n n ,因而1||||⋅比2||||⋅强.反过来,若范数1||||⋅比2||||⋅强,则必有0>C ,使12||||||||x C x ≤. 若不然,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使12||||||||n n x n x >. 令2||||n nn x x y =,则nx x y n n n 1||||||||||||211<=故0||0||1→-n y ,因而0||0||2→-n y ,但这与1||||||||||0||222==-n n n x x y 矛盾,所以必存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,对任意X x ∈成立.推论 2.2.2 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅与2||||⋅等价当且仅当存在常数0,021>>C C ,使得对任意X x ∈,有12211||||||||||||x C x x C ≤≤推论 2.2.3 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个等价范数,则)||||,(1⋅X 是Banach 空间当且仅当)||||,(2⋅X 是Banach 空间.思考题 2.2.1 若1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,且)||||,(1⋅X 和)||||,(2⋅X 都是Banach 空间,是否就一定有1||||⋅与2||||⋅等价呢？定义2.2.2 设X 是n 维线性空间,||||⋅是X 上的范数,则称||)||,(⋅X 为n 维赋范线性空间.有限维赋范线性空间是Minkowski 在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为Minkowski 空间.若||)||,(⋅X 为n 维线性空间,n e e e ,,,21Λ为X 的一组线性无关组,则称n e e e ,,,21Λ为||)||,(⋅X 的Hamel 基,此时对任意X x ∈,x 都可以唯一地表示成∑==nn i i e x 1α定理 2.2.4 设||)||,(⋅X 是n 维线性空间n e e e ,,,21Λ是X 的Hamel 基,则存在常数1C 及02>C 使得2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα对任意∑==nn i i e x 1α都成立.证明 对于任意ni K ∈=)(αα,定义函数||||)(1∑==nn i i e f αα则对任意n i K ∈=)(αα,ni K ∈=)(ββ,有21122112211211111)||()||||()||(|||||||||||||||||||||)()(|∑∑∑∑∑∑∑∑========-=-≤-≤-≤-=-n i iin i in i iini i i ini ni ii ii ni ii n n ii M ee e e e ef f βαβαβαβαβαβα这里2121)||||(∑==nn ieM ,因此f 是n K 到R 的连续函数.由于nK 的单位球面}1)||(|){(2112=∈=∑=ni in i K S αα是紧集,因此f 在S 上达到上下确界,即存在S i i ∈==)(),()0(0)0(0ββαα,使得10}|)(inf{)(C S f f =∈=ααα 20}|)(sup{)(C S f f =∈=ααβ因此对任ni K ∈=)(αα,有S ni iK n∈=∑=2112)||(||||αααα故21)||||(C f C nK≤≤αα即211221121121)||(||||)||(∑∑==≤++≤ni i n n ni i C e e C ααααΛ下面证明01>C ,容易知道02>C 的证法是类似的.假设01=C ,则有0||||)(1)0(0==∑=nn i ie f αα,故01)0(=∑=nn i ie α由}{i e 是X 的Hamel 基可知,0)0(=i α,从而00=α,但这与S ∈0α矛盾.定理 2.2.5 设X 是有限维线性空间,1||||⋅与2||||⋅是X 上的两个范数,则存在常数01>C , 02>C 使得12211||||||||||||x C x x C ≤≤定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是Banach 空间.证明 若}{m x 为n 维赋范线性空间||)||,(⋅X 的Cauchy 列,则对于X 的Hamel 基n e e e ,,,21Λ有i ni m im e x ∑==1)(α,由2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα可知}{)(m iα亦为Cauchy 列,故存在R i ∈α,使得i m i αα→)(,因而有)(i αα=,使得0)||(2112)(→-∑=ni i m iαα令i ni ie x ∑==1α,则0||||→-x x m ,因此}{m x 是收敛序列,所以X 是完备的.在nR 中,M 是列紧的当且仅当M 是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间||)||,(⋅X 中紧集与有界闭集的关系.定理2.2.7 设||)||,(⋅X 是有限维的赋范线性空间,则X M ⊂是紧的当且仅当M 是有界闭集.证明 设n e e e ,,,21Λ为||)||,(⋅X 的Hamel 基,则对任意X x ∈,有i ni ie x ∑==1α定义nK 到X 的算子T :i ni i e T ∑==1)(αα则存在0,021>>C C ,使得2112221121)||(||)(||)||(∑∑==≤≤ni i i ni i C T C ααα从而T 是n K 到X 的连续算子,且是一一对应的. 由||)(||)||(21121ααT C ni i≤∑=可知1-T 是X 到n K 的连续算子, 因此T 是n K 到X 的拓扑同构.所以M 的紧集当且仅当 )(1M T -为n K 的紧集,从而M 是X 的紧集当且仅当M是有界闭集.问题2.2.1 若赋范线性空间||)||,(⋅X 的每个有界闭集都是紧集,则X 是否一定为有限维的赋范线性空间？为了回答上面的问题,先来讨论Riesz 引理,这是Riesz F .在1918年得到的一个很漂亮的结果.引理 2.2.8 （Riesz 引理）设M 是赋范线性空间||)||,(⋅X 的闭真子空间,则对任意10<<ε,存在1,=∈εεx X x ,使得εε≥-x x对任意M x ∈成立.证明 由于M 是X 的闭真子空间,因此≠M X \φ,故存在M X y \0∈,令}|||inf{||),(00M x x y M y d d ∈-==,则0>d .对任意10<<ε,由d 的定义可知,存在M x ∈0,使得εdx y d ≤-≤||||00令||||0000x y x y x --=ε,则1||||=εx ,且对任意M x ∈,有||)||||(||||||1||||||||||||0000000000x x y x y x y x y x y x x x -+--=---=-ε由M x ∈0,M x ∈和M 是线性子空间,可知M x x y x ∈-+||||000因此d x x y x y ≥-+-||)||||(||0000故εεε=≥-≥-ddx y d x x ||||||||00由Riesz 引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.定理 2.2.9 赋范线性空间||)||,(⋅X 是有限维的当且仅当X 的闭单位球}1|||||{≤=x x B X 是紧的.证明 明显地,只须证明X B 是紧的时候,X 一定是有限维的.反证法,假设X B 是紧的,但X 不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的,1X x ∈1||||1=x ,令}|{}{111K x x span M ∈==λλ,则1M 是一维闭真子空间,取21=ε,由Riesz 引理可知,存在1||||,22=∈x X x 且21||||2≥-x x 对任意1M x ∈成立,从而21||||12≥-x x . 同样地,令},{212x x span M =,则2M 是二维闭真空子空间,因而存在1||||,33=∈x X x ,使21||||3≥-x x 对任意2M x ∈成立,从而21||||13≥-x x 且21||||23≥-x x . 利用归纳法,可得一个序列X n B x ⊂}{,对任意n m ≠,有21||||≥-n m x x 因而}{n x 不存在任何收敛子序列,但这与X B 是紧集矛盾,由反证法原理可知X 是有限维赋范线性空间.推论2.2.10 赋范线性空间X 是有限维当且仅当X 的每个有界闭集是紧的.对于无穷维赋范线性空间X 的紧集的刻画,就比较困难.在]1,0[C 中,容易看出]1,0[}1|)(||)({C x f x f A ⊂≤=是]1,0[C 的有界闭集,但不是紧集.为了讨论]1,0[C 子集的紧性,需要等度连续的概念,它是由Ascoli 和Arzelà同时引入的.定义 2.2.3 设]1,0[C A ⊂,若对任意的0>ε,都存在0>δ,使得对任意的A f ∈,任意的]1,0[,∈y x ,δ<-||y x 时,一定有ε<-|)()(|y f x f ,则称A 是等度连续的.Ascoli 给出了]1,0[C A ⊂是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了]1,0[C A ⊂是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.定理 2.2.11 (Arzel à-Ascoli 定理) 设]1,0[C A ⊂,则是紧的当且仅当A 是有界闭集, 且A 是等度连续的.2.3 Schauder 基与可分性一个Banach 空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, Schauder 基是-Fun in stetiger Theorie Zur Schauder J [..]6547.)1927(26,,-pp t Zeitschrif che Mathematis men ktionalrau 引入的.定义 2.3.1 Banach 空间||)||,(⋅X 中的序列}{n x 称为X 的Schauder 基,若存在对于任意X x ∈,都存在唯一数列K a n ⊂}{,使得nn n x x ∑∞==1α容易看到,有限维赋范线性空间一定具有Schauder 基.例2.3.1 在1l 中令),0,1,0,,0(ΛΛ=n e ,则}{n e 为1l 的Schauder 基,明显地,在)01(,,0∞<<p l c c 中,}{n e 都是Schauder 基.Schauder J .在1928年还在]1,0[C 中构造一组基,因而]1,0[C 也具有Schauder 基. 具有Schauder 基的Banach 空间具有许多较好的性质,它与Banach 空间的可分性有着密切联系.定义 2.3.2 ||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若存在可数集X M ⊂,使得X M =,即可数集在X 中稠密,则称X 是可分的.若||)||,(⋅X 可分,则存在可数集X x n ⊂}{,使得对任意X x ∈及任意0>ε,都有某个}{n n x x ∈ε,满足εε<-||||x x n .例2.3.2 由于有理数集Q 是可数集,且R Q =,因此R 是可分的.类似地,n R 也是可分的赋范空间.例2.3.3 对于p l p ,1+∞<≤都是可分的,因为取时，使得存在N i N x M i >=,|){(},,0都是有理数时并且i i x N i x <=,则M 是可数集,并且p l M =.实际上,对任意p l x ∈,由+∞<∑∞=pi pi x 11)||(可知,对任意0>ε,存在N ,使得2||1pN i pix ε<∑∞+=, 取有理数N q q q Λ,,21,使2||1pNi pi i x q ε<-∑=,则M q q q x N ∈=)00,,,(21ΛΛε,且εε<+-≤-∑∑∞+==pN i p iNi p i i xx q x x 111)||||(,因此p l M =,所以p l 是可分的.例 2.3.4 由Weierstrass 逼近定理可知对任意],[b a C x ∈,必有多项式0→-x p n ,取M 为],[b a 上有理系数的多项式全体,则M 是可数集,且],[b a C M =,因而],[b a C 是可分的赋范线性空间.定理2.3.5 若||)||,(⋅X 赋范空间有Schauder 基,则X 一定可分的. 证明 为了简明些,这里只证明||)||,(⋅X 为实的情形.设}{i e 为X 的Schauder 基,则任意X x ∈有∑∞==1i ii ea x ,这里R a i ∈.令},|{1Q q N n eq M i ni ii ∈∈=∑=,则M 是可数集,且对任意X x ∈及任意0>ε,存在M x ∈ε,使得εε<-x x ,因此X M =,所以M 为可分的赋范空间.对于复赋范空间||)||,(⋅X ,可令},,|)({1Q pq N n e ip q M iini iii∈∈+=∑=,证明是类似的.问题2.3.1 是否每个赋范空间都具有Schauder 基？ 例2.3.6 赋范空间∞l 没有Schauder 基.由于∞l 不可分,因而一定没有Schauder 基.事实上,假设∞l 可分,则存在∞∈=l x x m im )()(,使得}{m x X =.令=)0(ix ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+. 1|| 0；1|x | ,1)((i)i )(时当时当i i i i x ，x 则211||sup )0(=+≤i x ,即∞∈=l x x i)()0(0,并且1||||sup ||||)0()()0()(10≥-≥-=-∞<≤m m m i m i i m x x x x x x所以}{m x 不存在任何收敛子列收敛于0x ,故}{0m x x ∉,从而}{m x X ≠,但这与假设}{m x l =∞矛盾,因此∞l 不可分.另外,还再进一考虑下面的问题：问题2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有Schauder 基？上面问题自从S. Banach 在1932年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分Banach 空间,如10,l c 等都具有Schauder 基，因此大家都以为问题的答案是肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的.Enflo P .在1972年举出了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有Schauder 基[A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.]2.4 线性连续泛函与Banach Hahn -定理Banach S .1929年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共轭空间是完备的赋范线性空间. Banach S .还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是Banach S .和Hahn H .各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即Banach Hahn -定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.泛函这名称属于Hadamard ,他是由于变分问题上的原因研究泛函.定义 2.4.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,f 为X 到K 的映射,且对于任意X y x ∈,及K ∈βα,,有)()()(y f x f y x f βαβα+=+则称f 为X 的线性泛函.例2.4.1 在∞l 上,若定义1)(x x f =,则f 为∞l 上的线性泛函.由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.定理2.4.2 设f 是赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,且f 在某一点X x ∈0上连续,则f 在X 上每一点都连续.证明 对于任意X x ∈,若x x n →,则00x x x x n →+-由f 在0x 点的连续性,因此)()(00x f x x x f n →+-所以)()(x f x f n →,即f 在x 点连续.这个定理说明,要验证泛函f 的连续性,只须验证f 在X 上某一点（例如零点）的连续性就行了.问题2.4.1 是否存在一个赋范线性空间X ,X 上任意线性泛函都连续？例2.4.3 n R 上任意线性泛函都是连续的.事实上令)0,0,1,0,0(ΛΛ=i e ,则任意nR x ∈,有∑==ni ii ex x 1,设0,→∈m nm x R x ,则∑==ni i m im e x x 1)(,且0)(→m ix 对任意i 都成立.因此)0(0)()()(1)(1)(f e f x e x f x f ni i m ini i m i m =→==∑∑==,所以f 在0点连续,从而f 在n R 上任意点都连续.定义 2.4.2 若X 上的线性泛函把X 的任意有界集都映为K 的有界集,则称f 为有界线性泛函,否则f 为无界线性泛函.定理 2.4.4 设f 为赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,则f 是有界的当且仅当存在0>M ,使|||||)(|x M x f ≤.证明 若存在0>M ,使得对任意|||||)(|,x M x f X x ≤∈,则对于X 中的任意有界集F ,有0>r ,使得对任意F x ∈,有r x ≤||||,因此,Mr x M x f ≤≤|||||)(|对所有F x ∈成立,所以)(F f 为K 的有界集,即f 为有界线性泛函.反之,若f 为有界线性泛函,则f 把X 的单位球面}1|||||{)(==x x X S 映为K 的有界集,因此存在0>M ,使得对一切1||||=x ,有M x f ≤|)(|故对任意X x ∈,有M x xf ≤|)||||(| 所以|||||)(|x M x f ≤例2.4.5 对)(|){(i i x x c =为收敛序列},范数||sup ||||i x x =,若定义f 为i i x x f ∞→=lim )(,则f 为c 上的线性泛函,由于||sup ||||i x x =,因此|||||lim ||)(|x x x f i i ≤=∞→所以f 为c 上的有界线性泛函.对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的,Banach S .在1929年证明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.定理2.4.6 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当f 是有界的. 证明 若f 是有界的,则由上面定理可知存在0>M ,使得|||||)(|x M x f ≤,因此当x x n →时,有)()(x f x f n →,即f 为连续的.反之,假设f 为连续线性泛函,但f 是无界的,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使得|||||)(|n n x n x f >令0,||||0==y x n x y n nn ,则01||||0→=-n y y n ,由f 的连续性可知)()(0y f y f n →,但1||||)()(>=n n n x n x f y f ,0)(0=y f ,从而 1|)()(|0>-y f y f n ,但这与)()(0y f y f n →矛盾.所以f 为连续线性泛函时,f 一定是有界的.线性泛函的连续性还可以利用f 的零空间是闭集来刻画.定理 2.4.7 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当}0)(|{)(==x f x f N 为X 的闭线性子空间.证明 明显地)(f N 为线性子空间,因此只须证)(f N 是闭的.若f 是连续线性泛函,则当x x f N x n n →∈),(时,必有)()(x f x f n →,因而0)(=x f ,即)(f N x ∈,所以)(f N 是闭子空间.反之,若)(f N 是闭的,但f 不是有界的,则对于任意正整数n ,有X x n ∈,使|||||)(|n n x n x f >令||||n nn x x y =,则1||||=n y ,且n y f n >|)(|. 取)(,)()(11011y f yz y f y y f y z n n n -=-=, 由于01|)(|||||||)(||||||0→<==-ny f y y f y z z n n n n n 因而0z z n →,且0))()(()(11=-=y f yy f y f z f n n n ,即)(f N z n ∈,从而由)(f N 是闭集可知)(0f N z ∈,但这与1)(0-=z f 矛盾,因此当)(f N 是闭子空间时,f 一定是连续的. 从上面的讨论容易看出,X 上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数.定义2.4.3 设f 为X 上的线性连续泛函,则称|||||)(|sup||||0x x f f x ≠= 为f 的范数.明显地,若记X 上的全体线性连续泛函为*X ,则在范数||||f 下是一赋范空间,称之为X 的共轭空间.虽然Hahn H .在1927年就引起了共轭空间的概念,但Banach S .在1929年的工作更为完全些.容易看出,对于任意X f ∈,还有|)(|sup |)(|sup ||||1||||1||||x f x f f x x ≤===.但对于具体的赋范空间X ,要求出X 上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.例 2.4.8 设f 为1l 的连续线性泛函,若取}{i e 为1l 上的Schauder 基,则对任意)(i x x =,有∑∞==1i ii ex x , 故∑∞==1)()(i i ie f xx f ,因而)||(|)(|sup |)(||||)(||)(|111∑∑∑∞=∞=∞=≤≤=i iii iii iix e f e f x e f x x f从而|)(|sup ||||i e f f ≤. 取1)0,0,1,0,0(l e i ∈=ΛΛ, 则1||||=i e , 且|)(|||||||||||||i i e f e f f ≥=, 故|)(|sup ||||i e f f ≥,所以|)(|sup ||||i e f f =.设M 是赋范线性空间X 的子空间,f 为M 上的连续线性泛函,且存在0>C ,使得|||||)(|x C x f ≤对任意M x ∈成立,则f 是否可以延拓到整个范空间X 上？这一问题起源于n 维欧氏空间n R 上的矩量问题. Banach S . 在1920年提交的博士论文中,用几何语言将它推广到无限维空间．1922年,Hahn H .发表的论文也独立地得出类似结果． Hahn H . 在1927年将结果更一般化,在完备的赋范线性空间研究了这一问题,并证明了在X 上f 存在连续延拓F ,使得|||||)(|x C x F ≤对一切M x ∈成立,且对一切M x ∈,有)()(x f x F =. 1929年,Banach S .独立地发表了与Hahn H .相近的定理和证明,并把一定理推广为一般的情形,这就是下面的Banach Hahn -延拓定理.定理 2.4.9 设M 是实线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的实线性泛函,且存在X 上的半范数)(x p 使得)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.Bohnehbius F H ..与Sobczyk A . 在 1938 年还把Banach Hahn -定理推广到复线性空间.定理 2.4.10 设M 是复线性空间X 的复线性子空间,f 为M 上的线性泛函,p 是X 上半范数且满足)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.利用线性空间的Banach Hahn -延拓定理,可以建立赋范线性空间上的保范延拓定理,它是Banach 空间理论的基本定理.定理 2.4.11 设M 是赋范线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的连续线性泛函,则存在X 上线性连续泛函F ,使得(1) **=M X f F |||||||| ;(2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.这里*X F ||||表示F 在*X 的范数, *M f ||||表示f 在*M 的范数.证明 由于f 为M 上的连续线性泛函,因此对任意M x ∈,有|||||||||)(|x f x f M *≤. 定义半范数||||||||)(x f x p M *=,则有)(|)(|x p x f ≤,对任意M x ∈.由线性空间的Banach Hahn -定理可知存在F ,使得)()(x f x F =, 对任意M x ∈且)(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈因此对于任意X x ∈,有|||||||||)(|x f x F M *≤,故F 为X 上的连续线性泛函,且**≤M X f F ||||||||.反过来,由**==≥=≠∈≠∈≠∈M x M x x M x x X x X f x x f x x F x x F F |||||||||)(|sup |||||)(|sup |||||)(|sup||||0,0,0,可知**=M X f F ||||||||, 且)()(x f x F =对任意M x ∈成立.在上面定理中,若X 是复赋范线性空间,则M 必须是复线性子空间.很有意思的是Bohnehbius F H ..和Sobczyk A .在1938年证明在任意无穷维复Banach 空间X 中,一定存在实线性子空间M ,在M 上有一复连续线性泛函不能保范延拓到X 上.问题2.4.2 在Banach Hahn -定理中,什么条件下保范延拓是唯一的？例2.4.12 在},|),{(2121R x x x x X ∈=上,定义范数||||||),(||||||2121x x x x x +==. 令}|)0,{(11R x x M ∈=, 明显地，M 是赋线性空间X 的线性子空间,对M x y ∈=)0,(1,定义1)(x y f =,则|||||||)(|1y x y f ==故1||||≤*M f ,且对)0,1(0=x ,有1|)(|,1||||00==x f x ,因而1||||=*M f ,但对X 上的线性泛函211)(x x x F +=212)(x x x F -=这里X x x x ∈=),(21 在M 上,都有)()(1y f y F = )()(2y f y F =对任意的M x y ∈=)0,(1成立. 在M 上有f F f F ==21,,且***==M X X f F F ||||||||||||21,因此21,F F 是f 的两个不同的保范延拓.定理2.4.13 设||)||,(⋅X 是赋范空间,M 是X 的子空间,X x ∈0,),(0M x d d =0}|||inf{||0>∈-=M y y x ,则存在*∈X f ,使得（1）对任意0)(,=∈x f M x ； （2）d x f =)(0； （3）1||||=f .证明 令}}{{0x M span E ⋃=∆,则对任意E x ∈,x 有唯一的表达式0'tx x x +=,这里M x K t ∈∈',.在E 上定义泛函g ：td x g =)(则g 为E 上的线性泛函,且 （1）d x g =)(0；（2）对任意0)(,=∈x g M x .对0'tx x x +=,不妨假设0≠t .由}||inf{||,|||)'(||)(|00M y x y d d t tx x g x g ∈-==+=可知||||||'||||'||||||'|||||||)(|000x tx x x tx t x t x t d t x g =+=+=--≤=. 因此g 是E 上的线性连续泛函,且1||||≤*M g .根据Banach Hahn -定理,有连续线性泛函*∈X f ,使得 （1）对任意)()(,x g x f E x =∈； （2）||||||||g f =.由0}|||inf{||0>∈-=M y y x d ,可知存在M x n ∈,使得d x x n →-||||0. 故df x x f x f x f x f d n n |||||||||||||)()(||)(|000→-⋅≤-==因此1||||≥f ,所以1||||=f ,且对所有M x ∈,有0)(=x f .特别地,当}0{=M 时,对任意00≠x ,有||||),(00x M x d =,因此由上面定理可知下面推论成立.推论 2.4.14 设X 是赋范线性空间,则对任意0,00≠∈x X x ,有*∈X f ,使得||||)(00x x f =,且1||||=f .该结论的重要意义在于它指出了任意赋范线性空间X 上都存在足够多的线性连续泛函.由下面推论还可知道X 中两个元素y x ,,若对所有*∈X f ,都有)()(y f x f =,则一定有y x =.推论 2.4.15 设X 是赋范线性空间,X y x ∈,则y x ≠当且仅当对存在*∈X f 使得)()(y f x f ≠.证明 假设y x ≠,则对y x z -=,有0||||≠z ,因此Banach Hahn -定理的推论可知存在1||||=f ,使得0||||)(≠=z z f ,从而)()(y f x f ≠.例题2.4.1 设X 是赋范线性空间,试证明对任意X x ∈0,有|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈==证明 对任意*∈X f ,1||||=f ,有|||||||||||||)(|000x x f x f =≤因此|)(|sup||||0,1||||0x f x X f f *∈=≥另外, 但对0,00≠∈x X x ,存在*∈X f ,1||||=f ,使得 ||||)(00x x f =, 故|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈=≤, 所以|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈==.例题 2.4.2 设||)||,(⋅X 是赋范空间,若对于任意1||||,1||||,,==∈y x X y x 且y x ≠都有2||||<+y x ,试证明对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.证明 反证法. 假设存在1||||||||00==y x 和)1,0(0∈α,使得1||)1(||0000=-+y x αα由Banach Hahn -定理的推论,可知存在*∈X f , 1||||=f ,使得||)1(||))1((00000000y x y x f αααα-+=-+即1)()1()(0000=-+y f x f αα这时一定有1)()(00==y f x f . 否则的话,若1)(0<x f 或1)(0<y f ,则1)1()()1()(000000=-+<-+ααααy f x f ,矛盾.因此2)(|)(|sup||||0000,1||||00=+≥+=+*∈=y x f y x f y x X f f ,又由2|||||||||||0000=+≤+y x y x可知2||||00=+y x ,但这与2||||00<+y x 的题设矛盾,因此由反证法原理可知对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.2.5 严格凸空间Clarkson A J ..在1936年引入了一致凸的Banach 空间的概念,证明了取值一致凸的Banach 空间的向量测度Nikodym Radon -的定理成立,从而开创了从单位球的几何结构来研究Banach 空间性质的方法.Clarkson A J ..和Gkrein M . 独立地引进了严格凸空间,严格凸空间在最佳逼近和不动点理论上有着广泛的应用.定义 2.5.1 赋范空间X 称为严格凸的,若对任意1||||,1||||,,==∈y x X y x ,y x ≠,都有1||2||<+yx严格凸的几何意义是指单位球面X S 上任意两点y x ,的中点2yx +一定在开单位球}1|||||{<=x x U X 内.例2.5.1 Banach 空间0c 不是严格凸的. 取000),0,0,1,0(),,0,1,1(c y x ∈==ΛΛ,则1||||||||00==y x ,且对),0,0,1,21(200Λ=+y x ,明显地有 1||2||00=+y x .类似地,易验证,Banach 空间 ∞l l c ,,1都不是严格凸空间.例2.5.2 若1||||,1||||,,2==∈y x l y x 且y x ≠,则4||||2||||2)||2()||2()||()||(||||||||221212121222=+=+=-++=-++∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=y x y x y x y x y x y x i i i i i i i i i i从而4||||4||||22<--=+y x y x ,即1||2||<+yx . 所以2l 是严格凸的.类似地,容易证明Banach 空间)1(∞<<p l p 是严格凸的.定理2.5.3 若X 是严格凸赋范空间,则对任意非零线性泛函*∈X f , f 最多只能在X S 上的一点达到它的范数||||f .证明 反证法.假设存在1||||||||,0000==≠y x y x ,使得||||)()(00f y f x f ==由于||||)]()([21)2(0000f y f x f y x f =+=+ 因此||2||||||)2(||||0000y x f y x f f +≤+= 从而1||2||0≥+y x 明显地,12||||||||||2||0000=+≤+y x y x .因此 1||2||00=+y x ,但这与X 的严格凸假设矛盾,所以由反证法原理可知定理成立.设X 是赋范空间,M 是X 的子空间,对*∈X f , f 在X 上可能有不同的保范延拓,不过,*X 的严格凸性能保证保范延拓的唯一性.Taylor A .在1939年证明了以下结果-function linear of extension The Taylor A ,.[ ].547538),1959(5..,-J Math Duke als .定理 2.5.4 若*X 是严格凸,M 是X 的子空间,则对任意*∈M f ,f 在X 上有唯一的保范延拓.证明 反证法. 假设对*∈M f ,f 在X 上有两个不同的保范延拓1F 及2F ,即对任意M x ∈,都有)()()(21x F x F x f ==,且||||||||21F F =,则1||2/)||||||||(||21≤+f Ff F 由于2|)()(|sup 2||sup ||2||21,1||||21,1||||21x F x F F F F F Mx x X x x +≥+=+∈=∈= ||||2|)()(|sup,1||||f x f x f M x x ≥+=∈=因此1||2/)||||||||(||21=+f Ff F ,但这与*X 是严格凸矛盾. 所以f 在X 上只有唯一的保范延拓.思考题2.5.1 若对X 的任意子空间M ,任意的*∈M f ,f 在X 上都只有唯一的保范延拓,则*X 是否一定为严格凸的？严格凸性还保证了最佳逼近元的唯一性.定义2.5.2 设X 是赋范线性空间X x X M ∈⊂,,若存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈则称0y 为M 中对x 的最佳逼近元.定理2.5.5 设M 为赋范线性空间X 上的有限维子空间,则对任意X x ∈,存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,由下确界的定义,存在M y n ∈,使得d y x n →-||||因而}{n y 是有界序列,即存在0>C ,使得C y n ≤||||,对任意n 成立.事实上,若}{n y 不是有界序列,则对任意N k ∈有}{n n y y k ∈,使得k y k n >||||,故)(||||||||||||||||∞→∞→-≥-≥-k x k x y y x k k n n .但这与d y x k n →-||||矛盾,所以}{n y 为有界序列.由于M 是有限维,且}{n y 为M 中有界序列,因此}{n y 存在收敛子列0y y k n →,且M y ∈0.故d y x y x k n k =-=-∞→||||lim ||||0,所以存在M y ∈0.且||||inf ||||0y x y x My -=-∈.问题2.5.1 上述定理中的最佳逼近元是否一定唯一？例 2.5.6 在2R 中,取范数|}||,max{|||||21x x x =,}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的一维子空间,取20)1,0(R x ∈=,对于任意M x x ∈=)0,(1,有1}1||,max{||||)0,()1,0(||||||110≥=-=-x x x x故1}|||inf{||),(00≥∈-=M x x x M x d对于)0,1(0=w ,有1||||00=-w x .因此1}|||inf{||),(00=∈-=M x x x M x d . 但对于)0,0(=u 及)0,1(-=v ,都有1||||||||00=-=-v x u x ,因此0x 在M 的最佳逼 元不唯一.既然上述定理中的最佳逼近元不唯一,那么什么时候才能保证唯一呢？定理2.5.7 设X 是严格凸空间,M 为X 的有限维子空间,X x ∈,则在M 中存在唯一的最佳逼近元,即存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,假设存在M y y ∈21,, 使得d y x d y x =-=-|||||,||||21则由M y y ∈+221,可知d y y x ≥+-||2||21. 由于d y x y x y y x =-+-≤+-||2||||2||||2||2121,从而d y y x =+-||2||21. 因此1||||,1||||21=-=-d y x d y x ,且1||2/)(||21=-+-dy x d y x .但这与X 的严格凸性。
关于m-增生算子方程解的迭代逼近问题的注释
薛志群;魏改然
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2001(25)1
【摘要】设 E是实一致光滑 Banach空间,T:E→ E是 m增生算子 ,且对任意x,y∈ E,有‖ Tx -Ty‖≤L ( 1 +‖ x -y‖ ) ,其中L≥ 1 .假设{ un}∞n=0 ,{ vn}∞n=0 为 E中序列,{αn}∞n=0 ,{βn}∞n=0 为 [0 ,1 ]中实数列且满足某些条件 ,则 Ishikawa迭代序列 { xn} ∞n=0 强收敛于方程 x +Tx
【总页数】5页(P24-28)
【关键词】Ishikawa迭代序列;一致光滑Banach空间;m-增生算子方程;迭代逼近;正规对偶映射;解
【作者】薛志群;魏改然
【作者单位】石家庄铁道学院基础部;石家庄财经学校数学组
【正文语种】中文
【中图分类】O177.5
【相关文献】
1.m-增生算子方程解的迭代逼近 [J], 邓波
2.m-增生算子方程解的Mann迭代逼近 [J], 王定龙
3.Banach空间中m-增生算子方程解的迭代逼近 [J], 谷峰;秦玉霞
4.关于m-增生算子方程解的迭代逼近 [J], 金茂明;陈波涛
5.m-增生算子方程解的Mann和Ishikawa迭代逼近 [J], 张石生
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
