2015-2016学年浙江省绍兴一中高二(下)期末数学试卷(解析版)

浙江省绍兴市第一中学2013-2014学年高二数学下学期期末考试试题 文 新人教B 版本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分100分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式 V Sh =，其中S 表示底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的表面积公式 24S R π=， 球的体积公式 343V R π=，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题部分 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}1,0,1A =-，{}11B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{1,0}-D ．{1,0,1}-2．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f = ( ) A.3- B. 1- C.１ D.33．已知向量b a ,满足2||,1||,0===⋅，则=-||（ ）A ．0B ．1C ．2 4．设{}n a 是等比数列，则“124a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．将函数y ＝cos2x 的图象向右平移4π个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（ ） A ．y ＝sinx B ．y ＝－cos4x C ．y ＝sin4x D ．y ＝cosx6．设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的（ ） A ．若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥ B ．若m//α，m β⊥，则αβ⊥ C ．若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥ D ．若m αγ=，n βγ=，m//n ，则//αβ[来7．函数x e e y xx sin )(⋅-=-的图象大致是（ ）8．已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-的圆心为抛物线x y 42=的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为（ ）A ．2564)1(22=+-y x B ．2564)1(22=-+y x C ．1)1(22=+-y x D ．1)1(22=-+y x 9．设函数3sin )(-+=x x x f π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ）A ．4027B ．4027-C ．8054-D ．805410．我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。

浙江省绍兴市第一中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学（理）试题【试卷综评】试卷主要考查基础，考查数学能力，以促进数学教学质量的提高为原则， 在训练命题中立意明确，符合高考命题的要求，把水平测试和能力测试融为一体，命题科学， 区分度强，达到了考查目的，是一份较好的试题。

试题特点 （1）考查全面，重点突出 ， （2）突出了对数学思想方法的考查 ，数学思想方法决定着数学基批知识教学的水平，培养数学能力，优化思维素养和数学基本技能的培养、能力的发展有十分重要的意义。

也是考纲 考查的重点。

本试题考查了数形结合思想、化归转化思想、建模思想等数学思想与方法。

(3）注重双基，突出能力考查 考查了学生对基础知识的掌握程度，同时还有提升，对理解和应 用能力、运算能力、空间想象能力及对解决综合问题的能力进行了考查。

（4）重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧 ，试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只 要掌握基本方法，就能找到解题思路。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}1,0,1A =-，{}11B x x =-≤<，则A B =IA ．{}0 B ．{}0,1 C ． {}1,0- D ．{}1,0,1-【知识点】两个集合的交集的定义和求法.【答案解析】C 解析 ：解：由题意可发现集合A 中的元素1,0-在集合B 中，所以A B I ={}1,0-，故选：C.【思路点拨】直接找集合集合A 集合B 中的元素可求得A B I ．2． 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，x x x f -=22)(，则()f 1= A ．-3 B ． -1 C ．１ D ．3 【知识点】奇函数的性质.【答案解析】A 解析 ：解：因为当0x £时，2()2f x x x =-，所以(1)3f -=，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故有(1)(1)3f f =--=-.故选：A.【思路点拨】先利用已知的解析式求出(1)f -，再利用奇函数的性质求出(1)f 即可. 3． 已知向量b a ,满足1||||,0===⋅b a b a ，则=-||b aA ．0B ．1C ．2D Com]【知识点】向量的数量积的运算；模的运算.【答案解析】D 解析 ：解：因为向量b a ,满足1||||,0===⋅b a b a ，所以||a b -==r r :D.【思路点拨】把已知条件代入||a b -r r .4．设{}n a 是等比数列，则“124a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质． 【答案解析】B 解析 ：解：∵{}n a 是等比数列，∴由“124a a a <<”可知公比可以为负数，数列{}n a 不一定是递增数列，故充分性不成立．若数列{}n a 是递增数列，则一定有124a a a <<，故必要性成立．综上，“124a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的必要不充分条件，故选：B ． 【思路点拨】利用{}n a 是等比数列，结合充要条件的判断方法，即可得出结论．【典型总结】本题考查充分条件、必要条件的定义，递增数列的定义，判断充分性是解题的难点.5． 设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是 A ．若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥ B ．若m//α，m β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ=I ，n βγ=I ，m//n ，则//αβ[来 【知识点】线面平行的性质定理；线面垂直的第二判定定理；面面垂直的判定定理． 【答案解析】B 解析 ：解：若m β⊂，αβ⊥，则m 与α的关系不确定，故A 错误； 若m//α，则存在直线n ⊂α，使m ∥n ，又由m β⊥，可得n ⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到αβ⊥，故B 正确；若αβ⊥，αγ⊥，则β与γ关系不确定，故C 错误；若m αγ=I ，n βγ=I ，m//n ，则α与β可能平行，也可能相交（此时交线与m ，n 均平行），故D 错误； 故选：B【思路点拨】根据线面平行的性质定理，线面垂直的第二判定定理，面面垂直的判定定理，可判断B 中结论正确，而由空间点线面关系的几何特征，可判断其它结论均不一定成立． 6． 函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为A ．4πB ． 8πC ．4π-D ．源:学科8π-【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；考查三角函数的奇偶性. 【答案解析】A 解析 ：解：令y=f （x ）=sin （2x+φ），则f （x+8π）=sin[2（x+8π）+φ]=sin （2x+4π+φ），∵f （x+8π）为偶函数，∴4π+φ=k π+2p ，∴φ=k π+4π，k ∈Z ，∴当k=0时，φ=4π．故φ的一个可能的值为4π．故选A ．【思路点拨】利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin （2x+φ）的图象沿x轴向左平移8π个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．7．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C C ab b a c ∠++<则,2cos 2222的可能取值为A ．65πB ． 2πC ．3πD ． 6π【知识点】余弦定理;一元二次不等式的解法;二倍角的余弦函数公式;余弦函数的图象与性质.【答案解析】D 解析 ：解：根据余弦定理得：2222cosC c a b ab =+-， 已知不等式化为：22222cosC 2cos2C a b ab a b ab +-+-＜， 整理得：cos2C+cosC 0>，即22cos C cosC 10+-＞，因式分解得：(2cosC 1)(cosC 1)0-+＞，解得：1cosC 2＞或cosC<-1（舍去），∴1cosC 2＞，由C Ð为三角形的内角，则C Ð的取值范围是0,3p 骣琪琪桫．故选D.【思路点拨】根据余弦定理表示出2c ，代入已知的不等式中，移项合并后，再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosC 的一元二次不等式，求出不等式的解集得到cosC 的范围，由C Ð为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可得到角C Ð的范围．8．设函数x x x f πsin )(+=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f Λ的值为A ．4027B ．2014C ．2013D ．0 【知识点】等差数列前n 项和；诱导公式.【答案解析】A 解析 ：解：因为x x x f πsin )(+=，所以11()sin 201420142014f p=+，222333402740274027()sin ,()sin ,...()sin 201420142014201420142014201420142014f f f p p p=+=+=+则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f Λ = 124027(...)201420142014++++24027sin sin ...sin 201420142014p p p 骣琪+++琪桫 = 14027402722014+´+ 22sin sin ...sin sin 2014201420142014p p p p 骣琪++--琪桫 =4027+2014sin2014p=4027.故选：A.【思路点拨】把值依次代入原式，转化为两部分的和，第一部分利用等差数列前n 项和公式求和，而第二部分则利用诱导公式化简，最后相加即可.9．已知F 是双曲线12222=-b y a x 的左焦点,A 为右顶点，上下虚轴端点B 、C ，若FB 交CA 于D ，且||25||DA DF =，则此双曲线的离心率为A ．B ． 332C ．【知识点】直线方程的基本形式；双曲线的斜率. 【答案解析】B 解析 ：解：由题意可知：()()()(),0,0,,0,,,0A a B b C b F c --，所以BF的直线方程为：1x y c b +=-,AC 的直线方程为：1x y a b +=-，两式联立可解得()2,b a c ac D c a c a +⎛⎫ ⎪--⎝⎭,根据两点间的距离公式()2222||b a c ac DF c c a c a +⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，()2222||b a c ac DA a c a c a +⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，又因为||25||DA DF =，所以225||||4DF DA =,即22245c a b =+，在双曲线中有222c a b =+，整理得2234c a =，22243c e a ==，e =，故选：B.【思路点拨】根据A,B,C,F 的坐标求出BF 、AC 的直线方程，两式联立可解得D 点坐标，然后利用||25||DA DF =可解出22245c a b =+，进而可求出离心率.10．球O 为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B1C1中点，DP BM ⊥，则点P 的轨迹周长为A ．π33B ．π332 CD【知识点】截面与圆的位置关系；球面距离及相关计算．【答案解析】D 解析 ：解：由题意，取BB1的中点N ，连接CN ，则CN ⊥BM ， ∵正方体ABCD-A1B1C1D1，∴CN 为DP 在平面B1C1CB 中的射影， ∴点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，∴O 到过D ，C ，N的平面的距离为5，，∴点P．故选：D.【思路点拨】取BB1的中点N ，连接CN ，确定点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线，求出截面圆的半径，即可得出结论．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11．5cos6π的值等于 ▲ ． 【知识点】诱导公式.【答案解析】32-解析：解：由诱导公式可得：5cos6π3cos cos66p pp骣琪=-=-=-琪桫，故答案为：3 -.【思路点拨】直接使用诱导公式化简在求值即可.12．一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为▲．【知识点】由三视图求面积;根据三视图判断几何体的形状【答案解析】4p解析：解：由已知中该几何体是一个四分之三球，其表面积包括34个球面积和两个与球半径相等的半圆面积∵R=1,故S= 34•4•π+2•12•π=4π故答案为：4p.【思路点拨】根据已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状是四分之三个球，利用球的表面积公式及圆的面积公式，即可得到该几何体的表面积．13．已知实数,x y满足约束条件2094x yy xy x⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪≥-+⎩,则2x y+的最小值为▲．【知识点】简单线性规划．【答案解析】3解析：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分设2z x y =+可得2z y x =-+，则z 表示直线2z y x =-+在y 轴上的截距，截距越小，z 越小。

浙江省绍兴市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合A={参加2016年里约奥运会的运动员}，集合B={参加2016年里约奥运会的男运动员}，集合C={参加2016年里约奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是（）A . A⊆BB . B⊆CC . A∩B=CD . B∪C=A2. （2分） (2017高三上·漳州开学考) 已知随机变量ξ～N（0，σ2），若P（ξ＞3）=0.023，则P（﹣3≤ξ≤3）=（）A . 0.477B . 0.628C . 0.954D . 0.9773. （2分）某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）492639m根据上表可得回归方程=bx+a中b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则a，m为（）A . a=9.1，m=54B . a=9.1，m=53C . a=9.4，m=52D . a=9.2，m=544. （2分） (2017高二上·海淀期中) “ ”是“直线与圆相切”的（）．A . 充分而必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）设是虚数单位，则复数的虚部是（）A .B .C .D .6. （2分）若的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x的项为（）A . 462B . 252C . 210D . 107. （2分）直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（）A .B .C .D .8. （2分）函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）= ，若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（）A . [﹣2，2]B . ∪C . ∪D . （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）9. （2分）直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A .B .C .D .10. （2分）口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 若关于x的方程a2﹣2a=|ax﹣1|（a＞0且a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A . （2，+1）B . （，+1C . （，2）D . （，2）∪（2，+1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016·天津模拟) 在复平面内，复数 +（1+2i）2的共轭复数对应的点位于第________象限．14. （1分）(2017·襄阳模拟) 若随机变量X～N（2，32），且P（X≤1）=P（X≥a），则（x+a）2（ax﹣）5展开式中x3项的系数是________．15. （1分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________.16. （1分）(2014·北京理) 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2016高二下·潍坊期末) 设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分）(2016·德州模拟) 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai ，若存在正整数k，使a1+a2+…+ak=6，则称k为你的幸运数字．（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若k=1，则你的得分为5分；若k=2，则你的得分为3分；若k=3，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分X的分布列和数学期望．19. （10分） (2016高二下·丰城期中) 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）的时间（分钟）总人数203644504010将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女20110合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820. （5分）已知函数f（x）= （a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．21. （5分）(2017·焦作模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）判断直线l与圆C的交点个数；（Ⅱ）若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．22. （5分）(2017·东北三省模拟) 已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ax2有两个零点（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）求a的取值范围；（Ⅲ）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜0．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、第11 页共12 页22-1、第12 页共12 页。

绍兴一中高二期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z -=1，则21z z+对应的点所在象限为(D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设()2log ,2sin lg ,2331.0==⎪⎭⎫⎝⎛=c b a ，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a3．已知函数()()222,log f x x g x x =-+=，则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为（ B ）4．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ A ）A ．海里/时B ．34海里/时C ．海里/时D ．34海里/时5. 已知函数)2sin(2)(ϕ+-=x x f )|(|πϕ<，若2)8(-=πf ，则)(x f 的一个单调递增区间可以是(D )3.,88A ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 59.,88B ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3.,88C ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5.,88D ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知点F 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，点E 是左顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于点A ，若tan∠AEF＜1，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．（1，+∞）B ．（1，1+）C ．（1，2）D ．（2，2+）【解答】解：由题意可得E （﹣a ，0），F （c ，0），|EF|=a+c ，令x=c ，代入双曲线的方程可得y=±b =±，在直角三角形AEF 中，tan∠AEF==＜1，可得b 2＜a （c+a ），由b 2=c 2﹣a 2=（c ﹣a ）（c+a ），可得c ﹣a ＜a ，即c ＜2a ，可得e=＜2，但e ＞1，可得1＜e ＜2．故选：C ．7．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( B) （A ）ln y x = （B ） sin y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】B试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故B 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选B.考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.8．已知函数f （x ）（x ∈R ）是以4为周期的奇函数，当x ∈（0，2）时，()()2ln f x x x b =-+若函数f （x ）在区间[-2，2]内有5个零点，则实数b 的取值范围是（ C ） A.11b -<≤ B.1544b ≤≤ C.114b <≤或b=54 D.11b -<<或b=54∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，故f （0）=0，即0是函数f （x ）的零点，又由f （x ）是定义在R 上且以4为周期的周期函数，故f （-2）=f （2），且f （-2）=-f （2），故f （-2）=f （2）=0， 即±2也是函数f （x ）的零点，若函数f （x ）在区间[-2，2]上的零点个数为5， 则当x ∈（0，2）时，f （x ）=ln （x 2-x+b ）， 故当x ∈（0，2）时，x 2-x+b ＞0恒成立， 且x 2-x+b=1在（0，2）有一解，1140b ∆=-<，所以14b >①令()21f x x x b =-+-，所以20∆=或()()1020f f ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，即54b =或11b -<≤ ②由①②得15,144b ⎛⎤⎧⎫∈⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．9.函数2cos cos y x x x =的最小正周期是 π ，最小值是 . 21-10. 若抛物线px y C 2:2=的焦点在直线03=-+y x 上，则实数=p ；抛物线C 的准线方程为 .6 ; 3x =-11. 在ABC∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果2a =，b 60B =，那么ABC ∆的面积等于12.已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则sin θ= .tan(θ–π4)= . 【答案】 102- 43-【解析】试题分析：由题意，π3π4sin(),cos(),4545θθ+=+=ππ3sin sin cos cos ,445ππ4cos cos sin sin ,445θθθθ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1tan 7θ=-，1π1tan tan π474tan().π1431tan tan 1147θθθ----===-+-⨯13.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.若点P )0,1(-在直线20ax y a ---=上的投影是Q ，则Q 的轨迹方程是 x 2+（y+1）2=2 ．解：直线20ax y a ---=恒过定点M （1，﹣2） ∵点P （﹣1，0）在直线20ax y a ---=上的射影是Q ∴PQ⊥直线l故△PQM 为直角三角形，Q 的轨迹是以PM 为直径的圆．∴Q 的轨迹方程是x 2+（y+1）2=2．14．已知120()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，，≤，则f (2016) = ▲ ．12解析：6),3()(=--=T x f x f15．x ∈R 时，如果函数f(x)>g(x)恒成立，那么称函数f(x)是函数g （x ）的“优越函数”．若函数f(x)=2x 2+x+2-|2x+1|是函数g （x ）=|x-m|的“优越函数”，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 15.1(,1)2-解析： 题设条件等价于22221x x x x m++-+>-对x R ∈恒成立.分别作出函数2()2221F x x x x =++-+和()G x x m=-.由数形结合知，112m -<<三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本题满分8分)设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2,(0,)1y x m x =∈+的值域为B . （1）当2m =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：（1）由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =，又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(,2)1y m ∈+，即2(,2)1B m =+， 当2m =时，2(,2)3B =，所以(1,2)A B =. …………4分 （2）首先要求0m > ()1G x x =-而“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以A B ≠⊂，即)3,1()2,12(≠⊂+m…6分从而211m ≥+， 解得01m <≤. ……8分 17.（本小题满分8分）设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()C a A c b cos cos 2=-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若1=a ，求c b +的取值范围． 解：（Ⅰ）由()C a A c b cos cos 2=-得： C A A C B cos sin cos sin sin 2=-）（2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=，∴1cos 2A =，故3π=A ； -------------------------------4分（Ⅱ）由3π,1==A a ，根据余弦定理得：221b c bc +-=，∴2()31b c bc +-=，---------------------------------6分∴22()1332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，∴2()4b c +≤，得2b c +≤， 又由题意知：1b c a +>=，故：12b c <+≤． ------------------------8分18．（本小题满分10分）已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.19．(本题满分10分)已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数． (I)求k 的值；(II)设函数)42(log )(2a a x g x-⋅=，其中0a >．若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围． 19.经验证，当k=-1时，f(-x)=f(x)成立，所以k=-1.……………………2分 法二：由()()0f x f x --=得()220k x +=恒成立，所以1k =-20 （本小题满分12分） 已知函数x x m x g x x x f +-=-=2221)(,21ln )(，R m ∈，令)()()(x g x f x F +=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数．．m 的最小值；（Ⅲ）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求证：1321-≥+x x .20（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为)0(11)(},0|{2>-=-='>x xxx x x f x x ，由0)(>'x f ，得10<<x ，所以f （x ）的单调递增区间为（0，1）.-----------2分（Ⅱ）0,21ln )()()(2>+-=+=x x mx x x g x f x F . 令1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x m mx x mx x F x G ， 则不等式1)(-≤mx x F 恒成立，即0)(≤x G 恒成立.xx m mx m mx x x G 1)1()1(1)(2+-+-=-+-='.--------4分 ①当0≤m 时，因为0>x ，所以0)(>'x G 所以)(x G 在),0(+∞上是单调递增函数， 又因为02231)1(1211ln )1(2>+-=+-+⨯-=m m m G ， 所以关于x 的不等式0)(≤x G 不能恒成立. --------6分 ②当0>m 时，xx m x m xx m mx x G )1)(1(1)1()(2+--=+-+-=' 令0)(='x G ，因为0>x ，得mx 1=， 所以当)1,0(m x ∈时，0)(>'x G ；当),1(+∞∈mx 时，0)(<'x G .[ 因此函数)(x G 在)1,0(m x ∈是增函数，在),1(+∞∈mx 是减函数.---- 7分 故函数)(x G 的最大值为m mm m m m m m G ln 2111)1()1(211ln )1(2-=+⨯-+⨯-=.---- 8分令m mm h ln 21)(-=，因为)(m h 在),0(+∞∈m 上是减函数， 又因为021)1(>=h ，02ln 41)2(<-=h ，所以当2≥m 时，0)(<m h . 所以整数m 的最小值为2.----10分（Ⅲ）1-=m 时，0,21ln )(2>++=x x x x x F由)()(21x F x F -=，得0)()(21=+x F x F ，即021ln 21ln 22221211=+++++x x x x x x ，整理得，)ln()()(21212121221x x x x x x x x -=+++ ---- 11分 令021>⋅=x x t ，则由t t t ln )(-=ϕ得，tt t 1)(-='ϕ，可知)(t ϕ在区间)1,0(上单调递减，在区间),1(+∞上单调递增.所以1)1()(=≥ϕϕt ，所以1)()(2121221≥+++x x x x ，解得13132121-≥+--≤+x x x x ，因为21,x x 为正实数，所以1321-≥+x x 成立. ----12分。

绍兴一中2014学年第二学期期末考试高二理科数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1．全集R U =，}0{},4{2<=>=x x B x x A ，则A ∩B ＝（ ）A. }2{-<x x B ．}32{<<x xC ．}3{>x xD ．}322{<<-<x x x 或2．已知a ,b 均为非零实数，则“a b =”是“22a b =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =,则下列结论正确的是 ( )A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.b c a << 4．若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（ ） A.112ab > B. 822≥+b a C. 2≥ab D ．111a b+≤ 5．已知递减的等差数列{}n a 满足2921a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时，n =（ ）A.3B. 4或5C.4D.5或66．如图，在△ABC 中，1=AB ，3=AC ，D 是BC 的中点，则=⋅BC AD （ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．不能确定7．若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则23+a b的最小值为（ ）A.10B.426+C.526+D.468．函数x x f s i n)(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，…，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D.119．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．233B ．72C ．396 D ．310．已知点(,)P x y 是平面区域40(4)y x y x m y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩内的动点，点(1,1)A -，O 为坐标原点，设||()OP OA R λλ-∈的最小值为M ，若2M ≤恒成立,则实数m 的取值范围是（ ） A ．11[,]35- B ．11(,][,)35-∞-+∞ C ．1[,)3-+∞ D ．1[,)2-+∞二、填空题（每小题4分，共20分） 11．已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}AB =，则A B = ．12．抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是 ． 13．已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1,||2a b ==，则a 与b 的夹角为 ．14．已知函数⎩⎨⎧<+≥+-=)0()0()(22x x x x x x x f ，对任意的]1,0[∈x ，恒有)()(x f a x f ≤+成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足()221*-=∈n n a S n N ．若不等式18(1)n n n a n++⋅-≤λ对任意的*∈n N 恒成立，则实数λ的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足1236++=a a a ，且124,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和．(Ⅰ)求{n a }的通项公式； (Ⅱ)设1=n nb S ，求数列{n b }的前n 项和T n ．17．（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且2sin 3a B b =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值.18．（本小题满分10分）已知函数34)(2++-=a x x x f ，m mx x g 25)(-+=. （Ⅰ）若)(x f y =在]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0=a 时，若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，求实数 m 的取值范围．19．（本小题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ,离心率22=e ，且过)21,26(. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点B 为椭圆C 在第一象限中的任意一点，过B 作C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，求三角形OCD 面积的最小值．20．（本小题满分10分）已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈．xyCO BD（Ⅰ）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （Ⅱ）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2014学年第二学期高二理科数学期末试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟一、选择题 AADBB BCCBC 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．{4} 12．161513．3π 14．),1[}0,1{+∞- 15．-21 三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足1236++=a a a ，且124,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和．(I)求{n a }的通项公式； (II)设1=n nb S ，求数列{n b }的前n 项和T n ． 试题解答：(I) 1236++=a a a Q 236∴=a 22∴=a124,,a a a Q 成等比数列 2142∴=a a a2(2)(22)2∴-+=d d解得1d =或0d =（舍）n a n ∴= 4分（II ）22112(11)n n b a n n n n ===-++， 111111112T 2[(1)()()...()]2(1)22334111n nn n n n =-+-+-++-=-=+++. 8分17．（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且2sin 3a B b =, （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值. 试题解答：（Ⅰ） 2sin 3a B b =，2sin sin 3sin A B B \=，sin 0B >， 2sin 3A \=故23sin =A ， 因为ABC ∆为锐角三角形，所以 60=A 4分 （Ⅱ）设角CB A ,,所对的边分别为c b a ,,． 由题意知2=a ，由余弦定理得222242cos60b c bc b c bc =+-=+- 又bc bc bc bc c b =-≥-+222，4≤∴bc∴ 34434360sin 21=⨯≤==∆bc bc S ABC ， 当且仅当ABC ∆为等边三角形时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为3． 10分18．（本小题满分10分）已知函数 ，.（1）若 在上存在零点，求实数 的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围．试题解答：解：（1）的对称轴是，在区间上是减函数，在上存在零点，则必有： ，即，解得：，故实数的取值范围为；………………（4分）（2）若对任意，总存在，使成立，只需函数的值域为函数值域的子集.………………（5分）当 时， 的值域为，…………（6分）下面求 ，的值域，19．（本小题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ,离心率22=e ，且过)21,26(. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）点B 为椭圆C 在第一象限中的任意一点，过B 作C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，求三角形OCD 面积的最小值．xyCO BD图（1）试题解答：（1）22222223121241c aa ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩78910故椭圆C 的方程为：2212x y += 4分 （2）设l ：(0)y kx b k =+<联立椭圆方程得：22222211()1()210222x y x kx b k x kbx b y kx b⎧+=⎪⇒++=⇒++++=⎨⎪=+⎩令222221044()(1)0122k b k b b k ∆=⇒-++=⇒=+2211211()(2)22222OCDb b k S b k k k k k ∆+⎡⎤=⋅-⋅=-=-=+-≥⎢⎥-⎣⎦当且仅当12k k =--，即22k =-时取等号， 所以三角形OCD 的面积的最小值为2---10分（没写等号成立扣1分） 20．（本小题满分10分）已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈． （1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．试题解答：（1）函数()y f x =为奇函数．当0a =时，()||2f x x x x =+，x R ∈，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=- ∴函数()y f x =为奇函数； 2分（2）22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-；当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数； 4分（3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根；②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴111(2)4t a a<<++．设11()(2)4h a a a=++，∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<，又可证11()(2)4h a a a =++在(1,2]上单调增∴max 9()8h a =∴918t <<；③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根； 即2(1)44a t a a --<⋅<，∵1a <-∴111(2)4t a a<<-+-，设11()(2)4g a a a =-+-∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t g a <<，又可证11()(2)4g a a a =-+-在[2,1)--上单调减∴max 9()8g a = ∴918t <<； 综上：918t <<． 10分。

1．C 【解析】因为集合2{|30}{|0A x x x x x =-〉=< 或()()3},03,x >=-∞⋃+∞ ，()(){|2}{|22}2,2,2,0B x x x x A B =<=-<<=-∴⋂=- ，故选C.【点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 5．A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之，22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.6．D 【解析】不等式的解集为R. 可得：a 2−3a −4<0,且△=b 2−4ac<0， 得： 14{a -<<∆<，解得：0<a<4，当a 2−3a −4=0时，即a=−1或a=4，不等式为−1<0恒成立，此时解集为R. 综上可得：实数a 的取值范围为(0,4]. 本题选择D 选项.7．A 【解析】因为y =y =C ；当1x <-时，恒有0y <，故排除D ； 10x -<<时， 0y >，故可排除B ；故选A.∴f（﹣2）=Asin （﹣4+）=Asin （﹣4+2π）＞0．f （2）=Asin （4+）＜0，f （0）=Asin =Asin ＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f （x ）=Asinx 在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f （0）． 故选：B ． 9．D 【解析】()11112017123221211(n n n n n n n n n a S n a S n a a a a a S a a a -++++=⇒+=+⇒-+=⇒+=⇒=+++ ()4201520162017)1008111009a a a a ++++=⨯+= ，故选D.10．C 【解析】由数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈ 是“减差数列”，得()2152n n n b b b n +++<≥，即()()()()222222112222n n nt n n t n n tn nt t t ++-++-+--+-<-，即()()()()22222211222n n n t n n t n n tn n ++-++-+-+>，化简得()242t n n n ->-，当5n ≥时，若()242t n n n ->-恒成立，则()2214422n t n nn n ->=----恒成立，又当5n ≥时， ()1422n n ---的最大值为35，则t 的取值范围是3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】紧扣“减差数列”定义，把问题转化为()242t n n n ->-恒成立问题， 变量分离转求最值即可，本题易错点是忽略了n 的取值范围.11．{﹣1，0，1，3，4，5}【解析】A B +={﹣1，0，1，3，4，5}. 12．-6【解析】【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 13．错误！未找到引用源。

2015-2016学年浙江省绍兴一中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（）A．x﹣y+8=0或x﹣y﹣1=0 B．x+y+8=0或x+y﹣1=0C．x+y﹣3=0或x+y+3=0 D．x+y﹣3=0或x+y+9=02．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π3．设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α4．若直线y=x+m与曲线=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，1]D．[1，）5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．46．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确（）①ED⊥平面ACD ②CD⊥平面BED ③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED．A．1个B．2个C．3个D．4个7．点P（﹣3，1）在椭圆=1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为=（2，﹣5）的光线，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．二、填空题（每小题3分，其中第9，15题各4分，共23分）9．直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD 为，面积为cm2．10．李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为cm．11．椭圆E：+=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为．12．四面体的棱长中，有两条长为，其余全为1时，它的体积．13．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2和4，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值是5；④MN的最小值是1；其中所有正确命题的序号为．14．设圆O：x2+y2=3，直线l：x+3y﹣6=0，点P（x0，y0）∈l若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则x0的取值范围是．15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=的点P的个数为；若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5题，共53分）16．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大．17．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．19．已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．2015-2016学年浙江省绍兴一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（）A．x﹣y+8=0或x﹣y﹣1=0 B．x+y+8=0或x+y﹣1=0C．x+y﹣3=0或x+y+3=0 D．x+y﹣3=0或x+y+9=0【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设所求直线方程为x+y+m=0，运用两平行直线的距离公式，解关于m的方程，即可得到所求方程．【解答】解：设所求直线方程为x+y+m=0，则由两平行直线的距离公式可得d==3，解得m=9或﹣3．则所求直线方程为x+y﹣3=0或x+y+9=0，故选D．【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．2．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．=4π×R2=50π．∴S球故选C【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．3．设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】阅读型；空间位置关系与距离．【分析】由线面平行的性质定理可判断A；又线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可判断B；由线面平行的性质定理可判断C；由线面平行的性质定理可判断D．【解答】解：A．若l∥α，α∩β=m，．则l，m平行或异面，只有l⊂β，才有l∥m．故A错；B．若l⊥α，l∥β，则由线面平行的性质定理，l⊂γ，γ∩β=m，则l∥m，又l⊥α，故m⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故B正确；C．若l∥α，m∥α，则由线面平行的性质可得l，m平行、相交、异面，故C错；D．若l∥α，m⊥l，则m与α平行、相交或在平面内，故D错．故选B．【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的应用，考查空间想象能力，注意定理的条件的全面性，以及直线与平面的位置关系，是一道基础题．4．若直线y=x+m与曲线=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，1]D．[1，）【考点】直线与圆相交的性质．【专题】作图题．【分析】根据题意画出曲线=x的图象，结合圆与直线的位置关系的判定进而得到答案．【解答】解：由题意可得：曲线=x表示圆的右半圆，即如图所示当直线y=x+m与圆x2+y2=1相切时，则m=，结合图象可得：若直线y=x+m与曲线=x相切时，则m=﹣．平移直线y=x可得若直线y=x+m与曲线=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为：（﹣，﹣1]．故选B．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的图象，以及圆与直线位置关系的判定，并且掌握数形结合的数学思想．5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确（）①ED⊥平面ACD ②CD⊥平面BED ③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用线面垂直的判定定理求解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，∴在折起过程中，D点在平面BCE上的投影如右图．∵DE与AC所成角不能为直角，∴DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于O2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AEBC，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能成直线，∴BD不能垂直于平面ACD，故③错误；∵AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BC，∴存在一个位置使AD⊥BE，∴在折起过程中AD⊥平面BED，故④正确．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意线面垂直的判定定理的合理运用．7．点P（﹣3，1）在椭圆=1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为=（2，﹣5）的光线，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据过点P且方向为a=（2，﹣5）求得PQ的斜率，进而可得直线PQ的方程，把y=2代入可求得Q的坐标，根据光线反射的对称性知直线QF1的斜率进而得直线QF1的方程，把y=0代入即可求得焦点坐标，求得c，根据点P（﹣3，1）在椭圆的左准线上，求得a和c的关系求得a，则椭圆的离心率可得．【解答】解：如图，过点P（﹣3，1）的方向=（2，﹣5）所以K PQ=﹣，则l PQ的方程为y﹣1=﹣（x+3），即L PQ=5x+2y=13与y=﹣2联立求得Q（﹣，﹣2），由光线反射的对称性知：K QF1=所以L QF1为y+2=（x+），即5x﹣2y+5=0，令y=0，得F1（﹣1，0），综上所述得：c=1，=3，则a=，所以椭圆的离心率e==，故选A．【点评】本题主要考查了直线与椭圆的关系．充分利用了光线反射的性质．8．已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得b＜1；③若点M在点A的左侧，求得b＞2﹣，综合起来可得结论．【解答】解：由题意可得，三角形ABC的面积为S=•AB•OC=4，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分可得点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由，可得点N的坐标为（，），①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则﹣=﹣2，且=1，解得a=，b=，②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于2，即•MB•y N=2，即•（2+）•=2，解得a=＞0，故b＜1，③若点M在点A的左侧，则﹣＜﹣2，b＞a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，NP====，此时，点C（0，2）到直线y=ax+b的距离等于，由题意可得，三角形CPN的面积等于2，即••=2，化简可得（2﹣b）2=2|a2﹣1|．由于此时0＜b＜a＜1，∴（2﹣b）2=2|a2﹣1|=2﹣2a2 ．两边开方可得2﹣b=＜，则2﹣b＜，即b＞2﹣，综合以上可得，b的取值范围是．故选：B【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题（每小题3分，其中第9，15题各4分，共23分）9．直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD 为矩形，面积为8cm2．【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题．【分析】由斜二测规则知：A′C′分别在x′轴和y′轴上，故在xoy坐标中AC分别在x轴和y 轴上，且OA=2，0C=4，即可的答案．【解答】解：由斜二测规则知：A′C′分别在x′轴和y′轴上，故在xoy坐标中AC分别在x轴和y轴上，且OA=2，0C=4，由平行性不变找出对应的B点，可以得到：在xoy坐标中四边形ABCD为矩形，且面积为8故答案为：矩形；8【点评】本题考查平面图形的直观图的斜二测画法及面积关系，考查作图能力．10．李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为30+10πcm．【考点】弧长公式．【专题】数形结合；分割补形法；三角函数的求值．【分析】连接圆心与切点得出三条切线长是两圆的圆心距，三条弧长是一个圆的周长，求出它们的和即可．【解答】解：如图所示，铁丝捆扎一圈的长度为三条公切线的长度+三条弧长，即3AB+3弧BC=3O1O2+圆O1的周长=30+10π．故答案为：30+10π．【点评】本题考查了圆的弧长与切线长的计算问题，是基础题目．11．椭圆E：+=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为x+2y﹣4=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设所求直线与椭圆相交的两点的坐标，然后利用点差法求得直线的斜率，最后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：设所求直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，．两式相减得．又x1+x2=4，y1+y2=2，∴k AB=．因此所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．故答案为：x+2y﹣4=0．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．12．四面体的棱长中，有两条长为，其余全为1时，它的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题意如图，三棱锥的三条侧棱长为：1，底面边长分别为：1，，，计算其底面积及高，从而求出其体积．【解答】解：由题意画出图形，PA=PB=PC=BC=1，AB=，AC=，所以△ABC是直角三角形，O为AC的中点，PO垂直底面ABC；易知PO=；三棱锥的体积为：××1××=，故答案为：．【点评】本题考查棱锥的体积的求法，正确处理棱锥的棱长之间的数据关系，PO垂直底面ABC，是本题解决的关键，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．13．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2和4，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值是5；④MN的最小值是1；其中所有正确命题的序号为①③④．【考点】球面距离及相关计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．分别取球O的两条弦AB、CD的中点E、F，则OE=，OF=，即可以看做弦AB、CD分别是球半径为3和2的球的切线，且弦AB在半径为2的球的外部，弦AB与CD只可能相交与M点，且MN的最大距离为2+3=5，最小距离为3﹣2=1，当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．综上可得正确的命题的序号为①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查了球体的切线的性质及其空间位置关系问题，此类考题对空间想象能力的要求较高，考生对与命题①②的正确性不能分析到位，是该题的错误率较高．本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．14．设圆O：x2+y2=3，直线l：x+3y﹣6=0，点P（x0，y0）∈l若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则x0的取值范围是．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ=，QO为定值，即半径，PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈（0，），所以∠OPQ也随之变小．可以得知，当∠OPQ=60，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜60恒成立．因此，P的取值范围就是PO≤2，即满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=60°，否则，这样的点Q是不存在的．【解答】解：由分析可得：PO2=x02+y02又因为P在直线L上，所以x0=﹣（3y0﹣6）故10y02﹣36y0+3≤4解得即x0的取值范围是，故答案为【点评】解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出PO ≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围．15．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD 1|=的点P 的个数为 12 ；若满足|PB|+|PD 1|=m 的点P 的个数为6，则m 的取值范围是 （2，2） ． 【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由题意可得点P 是以2c=2为焦距，以a 1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．（2）利用三角形两边之和大于第三边，以及点P 的个数为6个时，短半轴长小于，求出m 的范围．【解答】解：∵正方体的棱长为2，∴BD 1==2，∵点P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD 1|=，∴点P 是以2c=2为焦距，以a=为长半轴，以为短半轴的椭圆， ∵P 在正方体的棱上，∴P 应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD 1|=的点P 的个数为12个． （2）∵满足|PB|+|PD 1|=m 的点P 的个数为6，∴|PB|+|PD 1|=m ＞|BD 1|=2，∴m ＞2，∵正方体的棱长为2，∴正方体的面的对角线的长为2，∵点P 的个数为6，∴b ＜，∵短半轴长b=，∴，解得m ＜2．∴m 的取值范围是（2，2）．故答案为：12，（2，2）．【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．三、解答题（本大题共5题，共53分）16．如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，其中有一个高为xcm 的内接圆柱． （1）试用x 表示圆柱的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；二次函数的性质．【专题】数形结合．【分析】（1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．【解答】解：（1）设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：由图得，，即．=∴S圆柱侧（2）由（1）知当时，这个二次函数有最大值为6π，∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2【点评】本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想．17．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）利用直线l：mx﹣y+1﹣m=0过定点P（1，1），而点P（1，1）在圆内，判定直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）设出弦AB中点M，用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．【解答】（1）证明：∵直线l：mx﹣y+1﹣m=0过定点P（1，1），而点P（1，1）在圆内，∴直线l与圆C总有两个不同交点；…（2）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，又因为|CM|2+|MP|2=|CP|2，设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1）…当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式．故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．…【点评】本题考查轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；（3）过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通过解三角形AEM，即可得到所求值．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．【点评】本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查空间二面角的求法，考查运算和推理能力，属于中档题．19．已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，即可点P的坐标；（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，即可得出结论；（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过直线OP，OQ互相垂直，以及点的坐标适合椭圆方程，求出圆的圆心，然后求圆R的方程；（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程=的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点R（x0，y0）在椭圆C上，证明2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线ξ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，推出，，由，求出OP2+OQ2是定值．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过2k1k2+1=0，推出，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，联立，推出OP2+OQ2=36．即可．【解答】解：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以，即，①…又点R在椭圆C上，所以，②…联立①②，解得…所以所求圆R的方程为．…（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以，化简得=0…同理，…所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根，…因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．…（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，…理由如下：法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立解得…所以，同理，得，…由，所以====36…（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．…法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为2k1k2+1=0，所以，即，…因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以，即，…所以，整理得，所以，所以OP2+OQ2=36．…（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．…【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．转化思想的应用．2016年3月7日。

绍兴一中2016学年第二学期期末考试高二数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}|03A x x x =<>或， {|2}B x x =<，则AB =A.()0,2B.()2,3-C.()2,0-D.()2,3 2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23269a a a =，则数列的公比q 为 A ．19-B ．19C ．13-D ．133．已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为A.35 B.45 C.45- D.35- 4．已知),2(21>-+=a a a m 222(0)x n x -=<，则,m n 的大小关系是 A ．n m > B ．n m < C ．n m = D ．n m ≤5．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．若不等式()()2234410a a x a x -----<的解集为R ，则实数a 的取值范围是A. []0,4B. ()0,4C. [)0,4D. (]0,4 7．函数3()f x =8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A ．()()()220f f f -<<B ．()()()220f f f <-<C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2017S = A ．1006 B ．1007 C ．1008 D ．100910．对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有211n n n n x x x x +++-<-成立，则称数列{}n x 为“减差数列” ．设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈是“减差数列”，则实数t 的取值范围是A ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题 (本大题共7小题，每小题3分，共21分)11．已知{0,1,2},{1,3}A B ==-，记：{|,}A B a b a Ab B +=+∈∈，试用列举法表示A B += ．12．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z y x =-的最小值为__________．13．4log 35512log 10log 24++=__________． 14．已知数列{}n a 为等比数列，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则10a =________． 15．函数()sin(2)5sin 2f x x x π=+-的最大值为__________．16．在ABC ∆中,D 为线段BC 的中点,22AB AC ==,tan sin CAD BAC ∠=∠,则BC =___________.17．已知函数()()()()log 21,(01)25237a x x f x a a x x ⎧-≤⎪=>≠⎨--≤≤⎪⎩且的图象上关于直线1x =对称的点有且仅有一对，则实数a 的取值范围为 .三、解答题 (本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18.（本小题满分7分）设{}240A x x x =+≤，{}222(1)10B x x a x a =+++-<，其中x R ∈,如果A B B =，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分10分）已知函数()2cos cos 1f x x x x =++. （I ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（II ）在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()2f C =，4a b +=，且ABC∆的面积为3，求ABC ∆外接圆的半径.20．（本小题满分10分）设函数()R x a x x x f ∈-+-=,25. （I ）求证：当21-=a 时，不等式()1ln >x f 成立； （II ）已知关于x 的不等式()f x a ≤在R 上有解，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足2680,10a a a =+=-． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：11=a ，221)1(++=+n a a a n n n （*N n ∈）． （Ⅰ）求证：1n a ≥； （Ⅱ）证明：21)1(11++≥+n a a n n ； （Ⅲ）求证：13)1(21+<<+++n a n n n ．绍兴一中2016学年第二学期期末考试高二数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}|03A x x x =<>或， {|2}B x x =<，则A B ⋂=（ ） A. ()0,2 B. ()2,3- C. ()2,0- D. ()2,3 【答案】C【解析】因为集合{}230{|0A x x x x x =-=< 或()()3},03,x >=-∞⋃+∞ ，()(){|2}{|22}2,2,2,0B x x x x A B =<=-<<=-∴⋂=- ，故选C2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23269a a a =，则数列的公比q 为（ ）A ．19-B ．19C ．13-D ．13解析：由23269a a a =得22349a a =，所以219q =．由条件可知q >0，故13q =． [答案]D 3．已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A.35 B. 45 C. 45- D. 35- 【答案】B 【解析】4cos cos sin 36265ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B. 4．已知),2(21>-+=a a a m )0(222<=-x n x ，则,m n 的大小关系是（ ） A ．n m > B ．n m < C ．n m = D ．n m ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：因为2a >，所以20a ->，所以111(2)2(2)24222m a a a a a a =+=-++≥-+=---，当且仅当122a a -=-，即3a =时等号成立．因为222x -<，所以222224x n -=<=，所以m n >，故选A ．考点：1、基本不等式；2、指数函数的图象与性质． 5．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.6．若不等式()()2234410a a x a x -----<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. []0,4B. ()0,4C. [)0,4D. (]0,4 【答案】D【解析】不等式的解集为R . 可得：a 2−3a −4<0,且△=b 2−4ac <0， 得： 14{a -<<∆<，解得：0<a <4，当a 2−3a −4=0时，即a =−1或a =4，a =4不等式为−1<0恒成立，此时解集为R . 综上可得：实数a 的取值范围为(0,4]. 本题选择D 选项. 7．函数3()f x =A ）8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ B ）A. ()()()220f f f -<<B. ()()()220f f f <-<C. ()()()202f f f -<<D. ()()()022f f f <-<9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，当2n ≥时， 12n n a S n -+=，则2017S =（ ） A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009 【答案】D 【解析】()11112017123221211(n n n n n n n n n a S n a S n a a a a a S a a a -++++=⇒+=+⇒-+=⇒+=⇒=+++()4201520162017)1008111009a a a a ++++=⨯+=，故选D.10．对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有211n n n n x x x x +++-<-成立，则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈是“减差数列”，则实数t 的取值范围是（ C ）．A ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈是“减差数列”，得()215n n n b b b n +++<≥，即22n tn nt --+()()()()2222211222n nt n n t n n t t ++-++-+-<-，即()()()()22222211222n n nt n n t n n tn n ++-++-+-+>，化简得()24t n n n ->-2，当5n ≥时，若()24t n n n ->-2恒成立，则()2214422n t n n n n ->=----恒成立，又当5n ≥时，()1422n n ---的最大值为35，则t 的取值范围是3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.考点：1、数列的通项公式；2、函数与不等式.【方法点晴】本题考查数列的通项公式、函数与不等式，涉及函数与不等式论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 先利用定义建立不等式()2152n n n b b b n +++<≥，再利用转化化归思想转化为()2214422n t n n n n ->=----恒成立，再求得()1422n n ---的最大值为35，可得t 的取值范围是3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.二、填空题 (本大题共7小题，每小题3分，共21分)11．已知{0,1,2},{1,3}A B ==-，记：{|,}A B a b a Ab B +=+∈∈，试用列举法表示A B += ．A B +={﹣1，0，1，3，4，5}；12．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z y x =-的最小值为__________；【答案】-6【解析】在同一坐标系中，分别作出直线x +y −2=0，x =4，y =5，标出不等式组20{45x y x y +-≥≤≤表示的平面区域，如图所示。

2015—2016学年浙江省绍兴一中高二（上)期末数学试卷（国际班）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为1的球的表面积为（）A．1 B．2πC．3πD．4π2．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为( )A．（0,2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．(2，0），23．过点（1,0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是( ）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．设是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题成立的是（）A．若l⊥α,α⊥β,则l⊥βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α,α⊥β,则l∥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β5．设p是椭圆上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1｜+｜PF2|等于（）A．4 B．5 C．8 D．106．P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中点，则异面直线PA与EF所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．在同一直角坐标系中,直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心 B．相交但不经过圆心C．相切 D．相离8．过点(3，﹣2）且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．9．直线kx﹣y+k=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切,则实数k等于（）A．B．C．D．10．曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2)有公共点的充要条件是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．13．若直线x+（1+m） y+2+m=0与直线2mx+4y+6=0平行，则m的值为．14．以A（﹣1,2)，B（5，﹣6）为直径两端点的圆的标准方程是．15．已知动点M与两个定点O(0,0），A(3，0）的距离之比为，则点M的轨迹方程是．三、解答题（本大题共5小题，满分55分）16．如图,圆x2+y2=8内有一点P(﹣1,2），AB为过点P的弦．(1）当弦AB的倾斜角为135°时,求AB所在的直线方程及｜AB|；(2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证:AC⊥平面PDB（2）当PD=AB=2，设E为PB的中点，求AE与平面ABCD所成角．18．如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点，（1)求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：平面BMN⊥平面PCD．19．由圆x2+y2=9外一点P（5，12）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．20．已知点P的轨迹方程为（x+1）2+（y﹣2）2=1，直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴． y 轴上的截距相等，（1)若截距均为0，是否存在这样的直线,若存在，求直线l的方程．（2）若截距不为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．2015—2016学年浙江省绍兴一中高二（上）期末数学试卷（国际班)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为1的球的表面积为（）A．1 B．2πC．3πD．4π【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用球的表面积公式解答即可．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π12=4π．故选:D．【点评】本题考查了球的表面积公式的运用；属于基础题．2．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为( )A．（0，2)，2 B．（2,0），4 C．(﹣2，0），2 D．(2，0），2【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为=2故选D【点评】此题比较简单，要求学生会把圆的一般方程化为标准方程．3．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标,得参数值【解答】解:设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0）,∴1﹣0+c=0故c=﹣1,∴所求方程为x﹣2y﹣1=0;故选A．【点评】本题属于求直线方程的问题,解法比较灵活．4．设是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题成立的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊥βB．若l⊥α,α∥β,则l⊥βC．若l∥α，α⊥β，则l∥βD．若l∥α，α∥β,则l∥β【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．利用线面垂直和面面垂直的性质判断．B．利用线面垂直和面面平行的性质去判断．C．利用线面平行和面面垂直的性质去判断．D．利用线面平行和面面平行的性质去判断．【解答】解:A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，所以A错误．B．若l⊥α，α∥β，则必有l⊥β，所以B正确．C．若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定,所以C不正确．D．若l∥α，α∥β,则l∥β或l⊂β,所以D不正确．故选B．【点评】本题考查了空间点线面之间的位置关系的判断，要求熟练掌握点线面之间平行和垂直的性质和判定定理．5．设p是椭圆上的点．若F1,F2是椭圆的两个焦点，则|PF1｜+|PF2｜等于（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由椭圆的第一定义知｜PF1｜+｜PF2｜=2a,进而求得答案．【解答】解：由椭圆的第一定义知｜PF1|+｜PF2｜=2a=10，故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的性质,属基础题．6．P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点,PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中点，则异面直线PA与EF所成的角为（)A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】过F做FG∥PA,交AC于G，则∠EFG是PA与EF所成的角的平面角（或所成角的补角）,由此利用余弦定理能求出异面直线PA与EF所成的角．【解答】解:如图，∵P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点,PA=PB=PC=a,E、F是AB和PC的中点，在△PEC中，PE=CE==，PC=a，∴PC的中线EF==，过F做FG∥PA,交AC于G，则∠EFG是PA与EF所成的角的平面角(或所成角的补角),连接EG，在△EFG中，∵FG=，EG=,EF=，∴EG2+FG2=EF2，∴EG⊥FG，EG=FG，∴∠EFG=45°，即异面直线PA与EF所成的角为45°．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．7．在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心 B．相交但不经过圆心C．相切 D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】求出圆心到直线的距离大于零且小于半径,可得直线和圆相交但不经过圆心．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即 (x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．过点（3，﹣2）且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知椭圆的方程算出焦点为（，0），再设所求椭圆方程为（m ＞n＞0)，由焦点的坐标和点（3，﹣2）在椭圆上建立关于m、n的方程组,解之即可得到m、n的值，从而得到所求椭圆的方程．【解答】解：∵椭圆的方程为∴a2=9，b2=4,可得c==，椭圆的焦点为（,0)设椭圆方程是（m＞n＞0)，则，解之得∴所求椭圆的方程为故选：B【点评】本题给出椭圆与已知椭圆有相同的焦点且经过点(3，﹣2），求椭圆的方程，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识点，属于基础题．9．直线kx﹣y+k=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则实数k等于（)A．B．C．D．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解:因为直线kx﹣y+k=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，所以圆心到直线的距离为d==1，所以k=或﹣．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力．10．曲线x2+y2﹣6x=0(y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点的充要条件是( ）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题;直线与圆．【分析】曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）是圆心在(3，0)，半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2）有公共点的充要条件是圆心（3，0)到直线y=k（x+2）的距离d≤3,且k＞0，由此能求出结果．【解答】解：∵曲线x2+y2﹣6x=0(y＞0），∴（x﹣3）2+y2=9（y＞0）为圆心在(3,0)，半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2)有公共点的充要条件是圆心（3，0）到直线y=k（x+2）的距离d≤3，且k＞0，∴，且k＞0，解得0＜k≤．故选C．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的灵活运用．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是圆柱与圆锥的组合体，根据三视图判断圆锥与圆柱的底面半径及高,把数据代入棱柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知:几何体是圆柱与圆锥的组合体，圆锥与圆柱的底面直径都为2，圆锥的高为1，圆柱的高为2，∴几何体的体积V=π×12×2+×π×12×1=π．故答案为：π．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．【解答】解：以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1,﹣2)•=0,所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．【点评】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．13．若直线x+(1+m） y+2+m=0与直线2mx+4y+6=0平行，则m的值为﹣2 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0平行⇔（m≠0、n≠0、d≠0）解得即可．．【解答】解：∵直线x+(1+m) y+2+m=0与2mx+4y+6=0平行∴∴m=﹣2故答案为﹣2．【点评】本题考查两直线平行的条件，解题过程中要注意两直线重合的情况,属于基础题．14．以A（﹣1，2)，B（5，﹣6）为直径两端点的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y+2）2=25 ．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】利用中点坐标公式即可得到a，b．再利用两点间的距离公式可得圆的半径r=｜AC｜，进而得到圆的标准方程．【解答】解：设以A（﹣1,2），B（5,﹣6）为直径两端点的圆的标准方程是（x﹣a）2+(y﹣b）2=r2（r＞0）．则，解得a=2，b=﹣2．∴圆心C(2，﹣2）．∴r2=|AC|2=（﹣1﹣2）2+（2+2）2=25．故所求的圆的标准方程为(x﹣2）2+(y+2)2=25．故答案为(x﹣2）2+（y+2)2=25．【点评】本题考查了中点坐标公式、两点间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本方法,属于基础题．15．已知动点M与两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离之比为，则点M的轨迹方程是(x ﹣1）2+y2=4 ．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出M的坐标，直接由M与两个定点O(0,0），A（3，0）的距离之比为列式整理得方程．【解答】解:设M(x，y），由点M与两个定点O（0，0），A（3,0）的距离之比为,得，整理得:（x+1）2+y2=4．∴点M的轨迹方程是(x+1)2+y2=4．故答案为：（x+1）2+y2=4．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了两点间的距离公式，是中低档题．三、解答题（本大题共5小题，满分55分）16．如图，圆x2+y2=8内有一点P（﹣1,2），AB为过点P的弦．（1）当弦AB的倾斜角为135°时，求AB所在的直线方程及｜AB|；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】(1)由倾斜角可得斜率为﹣1，然后根据过点P，写成点斜式，然后化成一般式即可．先求出圆心到直线AB的距离d，然后根据|AB|=求值即可．（2）根据OP⊥AB可求出AB的斜率，然后根据过点P，写出点斜式,转化为一般式方程即可．【解答】解:（1)依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0;圆心0(0，0)到直线AB的距离为d=，∴｜AB|=2=；（2)当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，故AB的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程为x ﹣2y+5=0．【点评】本题考查用点斜式求直线方程,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,求出圆心0（0,0）到直线AB的距离为d，是解题的关键．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上．（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB=2,设E为PB的中点,求AE与平面ABCD所成角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】整体思想;空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2)根据直线和平面所成角的定义找出直线和平面所成的角,即可得到结论．【解答】（1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PD⊥AC,又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB,（3分)(2）解:设AC∩BD=O，连接OE,由（1）知AC⊥平面PDB于O，又O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE=PD=，∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，则∴∠EAO为AE与平面ABCD所的角，∵PD=AB=2，∴PD=2，AB=,在Rt△AOE中,OE=,∵AB=，∴A0=1，∵AB=AO，∴∠AEO=45°，(7分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．18．如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点,（1）求证：MN∥平面PAD;（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°,求证：平面BMN⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）取PD 的中点E，连接AE、EN，根据三角形中位线的性质，我们可得四边形AMNE 为平行四边形，即MN∥AE,进而根据线面平行的判定定理得到MN∥平面PAD．（2）由已知中P A⊥矩形ABCD所在的平面，根据线面垂直的性质及矩形的性质，可得PA⊥AB，AD⊥AB，由线面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD,结合线面垂直的判定定理及性质，即可得到MN⊥CD；(3）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面,∠PDA=45°，E 是PD 的中点，可得MN⊥PD，MN⊥CD，由线面线面垂直的判定定理得MN⊥平面PCD,再由面面垂直的判定定理可得面BMN⊥平面PCD．【解答】证明：（1）如图所示,取PD 的中点E,连接AE、EN，则有EN===AM,EN∥CD∥AB∥AM，故AMNE 是平行四边形，∴MN∥AE，∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD．（2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥AE，即AB⊥MN，又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA=45°，E 是PD 的中点，∴AE⊥PD,即MN⊥PD，又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD,∵MN⊂平面BMN∴平面BMN⊥平面PCD．【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定和性质是解答本题的关键．19．由圆x2+y2=9外一点P(5，12）引圆的割线交圆于A、B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想;综合法;直线与圆．【分析】设出弦AB中点坐标为（x，y），利用斜率关系可得方程,与圆O方程联立，可得范围．【解答】解：设弦AB的中点M的坐标为M（x，y），连接OP、OM，则OM⊥AB，在△OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有x2+y2+（x﹣5）2+（y﹣12）2=169．整理，得 x2+y2﹣5x﹣12y=0．其中﹣3≤x≤3．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程，考查学生的计算能力,属于中档题．20．已知点P的轨迹方程为（x+1）2+（y﹣2)2=1，直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴． y 轴上的截距相等，（1）若截距均为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．（2）若截距不为0，是否存在这样的直线,若存在，求直线l的方程．【考点】圆的标准方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1)设P点坐标为(x,y），N点坐标为（x0，y0）,则由中点坐标公式有，用未知点表示已知点,代入已知关系式中得到结论．（2）因直线l在x轴、y轴上截距相等，故l的斜率存在且不为0,当直线l在x轴、y轴截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx,并结合线圆相切得到斜率k的值，进而得到结论．【解答】解：（1）设P点坐标为（x,y），N点坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式有∵N点在圆x2+y2=4上，即为点P的轨迹方程…6分（2）因直线l在x轴、y轴上截距相等，故l的斜率存在且不为0，当直线l在x轴、y轴截距都为0时,设直线l的方程为：y=kx，即kx﹣y=0∵直线l与（x+1)2+(y﹣2)2=1相切，∴…9分当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，设直线l的方程为,即x+y﹣a=0∵直线l与（x+1）2+（y﹣2）2=1相切,∴，故直线l的方程为或综上可知l的方程为：或或…12分【点评】本试题主要是考查了利用相关点法求解轨迹方程,以及利用直线与圆相切，确定参数的值，并利用直线在两坐标轴上截距相等得到直线的方程．。