有理数大小比较-(201908)

有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧．1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝987654321×987654324，B＝ 987654323×987654322，试比较A和B的大小．解：设987654321＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2)∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2)＝m2+3m-m2-3m-2＝-2＜0。

∴A＜B。

2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小．4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311444＝(44)11＝25611533＝(53)11＝12511∴ 444＞355＞5335、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8解：6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：故-a＜b＜-b＜a．7、注意对字母的分类讨论法例10比较a与2a的大小．解：a表示的数可分为正数、零、负数三种情况：当a＞0时，a＜2a；当a＝0时，a＝2a；当a＜0时，a＞2a．。

初一数学比较有理数大小在初一数学的学习中，有理数大小的比较是一个重要的基础知识点。

它不仅是后续数学学习的基石，也在日常生活中有着广泛的应用。

首先，我们要明确什么是有理数。

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

有理数可以用分数的形式表示，包括有限小数和无限循环小数。

那么，如何比较有理数的大小呢？让我们一起来看看常见的方法。

一、正数、负数和零的大小关系零是一个特殊的数，它既不是正数也不是负数。

正数都大于零，负数都小于零。

例如，5 是正数，大于 0；－3 是负数，小于 0。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

以 0 为分界点，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。

所以，当我们比较正数和负数时，正数一定大于负数。

二、同号有理数的大小比较1、两个正数比较大小当两个数都是正数时，绝对值大的数较大。

例如，比较 3 和 5 的大小，因为 5 的绝对值 5 大于 3 的绝对值 3，所以 5 大于 3。

2、两个负数比较大小当两个数都是负数时，绝对值大的数反而小。

例如，比较－3 和－5 的大小。

先求出它们的绝对值，｜－3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。

因为 5 大于 3，所以－3 大于－5。

为什么两个负数比较大小是绝对值大的反而小呢？我们可以这样理解，负数表示的是与正数相反的量。

绝对值越大，表示与正数的差距越大，所以就越小。

三、异号有理数的大小比较一个正数和一个负数比较大小，正数一定大于负数。

例如，4 和－2，因为 4 是正数，－2 是负数，所以 4 大于－2。

四、多个有理数的大小比较当要比较多个有理数的大小时，可以先将它们按照正数、0、负数进行分类。

然后分别比较正数的大小和负数的大小。

例如，比较－5，0，3，－2 这四个数的大小。

首先，正数有 3，负数有－5 和－2。

正数中 3 大于 0。

负数中，｜－5| ＝ 5，｜－2| ＝ 2，因为 5 大于 2，所以－2 大于－5。

综上，这四个数从大到小的顺序是：3＞0＞－2＞－5。

有理数的大小比较法则有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

它们可以用来表示数字、长度、质量等等，是数学中非常常见和重要的一类数。

在比较有理数的大小时，有以下几种情况和规则：1.相同分母的分数比较：如果两个有理数的分母相同，那么它们的大小取决于分子的大小。

分子大的有理数大，分子小的有理数小。

例如：比较3/5和4/5、这两个有理数的分母都是5，所以我们只需比较它们的分子。

显然4>3，所以4/5>3/52.相同分子的分数比较：如果两个有理数的分子相同，那么它们的大小取决于分母的大小。

分母小的有理数大，分母大的有理数小。

例如：比较2/3和2/5、这两个有理数的分子都是2，所以我们只需比较它们的分母。

显然3>5，所以2/3>2/53.分数与整数的比较：当比较一个分数和一个整数时，可以将整数写成分母为1的分数，然后按照相同分母的比较规则进行比较。

例如：比较2/3和4、我们可以将4写成4/1，然后按照相同分母的比较规则比较。

显然3>1，所以2/3>44.分数的化简比较：为了方便比较，我们可以将两个分数化简为最简形式，然后比较它们的分子和分母。

例如：比较8/12和5/6、我们可以将这两个分数都化简为最简形式。

8/12=2/3，5/6=5/6、然后按照相同分母的比较规则比较。

显然2/3<5/6，所以8/12<5/65.使用通分法比较：如果两个分数的分母不同，我们可以使用找到它们的最小公倍数来进行通分，然后按照通分后的分子大小进行比较。

例如：比较2/3和3/4、这两个分数的分母不同，我们可以找到它们的最小公倍数是12、然后将它们通分为8/12和9/12，再按照相同分母的比较规则比较。

显然9>8，所以3/4>2/3需要注意的是，在进行比较时，我们只比较了分子和分母的大小，并没有计算实际的数值大小。

比较的结果只是说明了它们在数轴上的位置关系，哪个数较大或者较小。

《有理数比较大小》讲义在数学的世界里，有理数的比较大小是一项基础且重要的技能。

它不仅在解决数学问题中经常用到，也在我们的日常生活中有着一定的应用。

接下来，让我们一起深入探讨有理数比较大小的方法和原理。

一、有理数的概念首先，我们要明确什么是有理数。

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

也就是说，能写成两个整数之比的数就是有理数，例如 3/5、－7/8 等。

二、正数、负数和零在有理数中，我们可以将其分为正数、负数和零。

正数是大于零的数，负数是小于零的数。

而零既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。

例如，3、56 是正数，－2、－07 是负数。

三、有理数比较大小的方法1、借助数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

在数轴上，右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数。

例如，在数轴上，5 在 3 的右边，所以 5 大于 3；－2 在－5 的右边，所以－2 大于－5。

2、直接比较（1）正数的大小比较正数比较大小比较简单，数值大的正数就大。

例如，7 大于 5，105 大于 8。

（2）负数的大小比较负数比较大小与正数相反，绝对值大的反而小。

例如，－3 和－5，因为｜－3 ｜＝ 3，｜－5 ｜＝ 5，3 ＜ 5，所以－3 大于－5。

（3）正数和负数的比较正数永远大于负数。

例如，3 大于－2，8 大于－10。

（4）零和有理数的比较零小于一切正数，大于一切负数。

例如，0 小于 5，0 大于－3。

四、比较多个有理数的大小当需要比较多个有理数的大小时，我们可以先将它们按照正数、零、负数进行分类，然后分别比较正数和正数、负数和负数的大小，最后再综合起来。

例如，比较－5，0，3，－2 的大小。

首先，正数有 3，负数有－5、－2。

正数中 3 大于 0。

负数中｜－5 ｜＝ 5，｜－2 ｜＝ 2，因为 5 ＞ 2，所以－2 大于－5。

综合起来，大小顺序为：－5 ＜－2 ＜ 0 ＜ 3 。

五、实际应用有理数比较大小在生活中也有很多应用。

《有理数比较大小》讲义一、引入同学们，在我们的数学世界中，有理数是非常重要的一部分。

而比较有理数的大小，更是我们经常会遇到的问题。

这就像是在一场数字的比赛中，要判断谁大谁小。

那到底怎么来比较有理数的大小呢？今天咱们就一起来好好研究研究。

二、有理数的概念回顾在深入探讨有理数比较大小之前，咱们先来复习一下有理数的概念。

有理数包括整数和分数。

整数呢，像－3、－2、－1、0、1、2、3等等；分数呢，比如说 1/2、3/4 等等。

有理数都可以写成两个整数之比的形式。

三、正数、负数和零有理数可以分为正数、负数和零。

正数就是大于零的数，像 1、25、10 等等。

负数则是小于零的数，比如－1、－25、－10 。

而零既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。

四、有理数比较大小的方法1、借助数轴数轴是我们比较有理数大小的一个非常直观的工具。

在数轴上，右边的数总是大于左边的数。

比如说，在数轴上 2 在 1的右边，所以 2 大于 1 ；－3 在－2 的左边，所以－3 小于－2 。

2、直接比较法（1）正数的比较正数比较大小就很简单啦，数值越大的正数就越大。

比如 5 大于 3 ，10 大于 5 。

（2）负数的比较负数比较大小和正数正好相反，数值越大的负数反而越小。

比如－2 大于－5 ，－1 大于－3 。

这是因为负数表示的是相反的量，数值越大，距离 0 就越远，反而越小。

（3）正数和负数的比较正数永远大于负数。

因为正数表示的是大于 0 的量，负数表示的是小于 0 的量。

比如 3 大于－2 ， 5 大于－10 。

3、绝对值法两个负数比较大小，可以先比较它们的绝对值。

绝对值大的反而小。

比如说，－5 的绝对值是 5 ，－3 的绝对值是3 ，因为 5 大于 3 ，所以－3 大于－5 。

五、比较大小的实例咱们通过一些具体的例子来加深一下理解。

例 1 ：比较－1/2 和－2/3 的大小首先，求出它们的绝对值。

－1/2 的绝对值是 1/2 ，－2/3 的绝对值是 2/3 。

【例1】方为有理数，在数轴上如图所示，则（【解析】【例2】已知有理数Q与b在数轴上的位置如图所示: 判断a, b ,-a,」的大小并用“V”连接. 【解析】利用数轴表数，比较大小•如右图，显得答案：b<-a<a<-b【例3】【解析】（4级）数a,b,c,d所对应的点A, B. C, D在数轴上的位置如图所示，那么a + c与b + d的大小关系a + c<b + d【例4】【解析】A D若有理数a, b在数轴上的位置如图所示，则下列各式屮错误的是（）n1 1 厂， 1 c b ,B・一>— C. a + b <— D. —< —1b a 2 a事实上，—<1,则有->-1A. -ab<2-2 b -1.5 -1J ------------ 1 ----- • ] A X0 ().5 a 1【例5】已知是不为0的实数，且哪一个（） a =-a|/?| = a\ >\b\ ,那么用数轴上的点来表示a.b.正确的应该是【解析】【例6】【解析】【例7】C——LaD——Lb根据题意，«<0,/?>0,且在数轴上a的对应点与原点的距离较b的对应点大，故选C实数a, b在数轴上的对应点如图，试比较a, —a,b, —b, a + b, a-b的大小根据a, b在数轴上的位置可知，6/ <0, /?>0 ,且d的绝对值比2b的绝对值大，所以ci - b < ci < a + b < -b < b < -a⑴（人大附中2。

5・2。

6学年期中考试）写出弓 W 的大小顺序.B.有理数的大小比较丄知识点睛1.代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小.2.数轴法：数轴右边的数比左边的数大.3.作差法：a-b>Ooa>b , a-h = O <^> a = h a-bcOoacb .—> 1 « 6/ >/? — = l<^>a = b — <1 <^> a<h4.作商法：若b>°, b , b , b .5.取倒法（通分）：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小.丄例题精讲1 , 1 c 1 1 | 厂1 1 |—< 1 <- B・一v-vl C. - < — < 1a b a b b a选择B.特殊值法.❻丄"亠 2 5 15 10 12 |（2）比较一一,一一,——，——，一一的大小•38 23 17 19【解析】教师只要将其中所蕴含的一些思想提醒学生即可！3 5 7 3 5 7 （1）-->-->--根据负数比较大小的法则，我们可以先比较上的大小，4 6 8 4 6 8 （法1）:做差法两两比较大小，而后得到答案； （法2）:做商法两两比较大小，而后得到答案；（法3）:以上两种方法在多者比较大小时比较麻烦，我们可以利用“作差法〃的升级版来解决问 题.1一色=丄，1 一丄=丄，1一？=丄，我们易得：丄〉丄 >丄，所以进而得到答案：4 4 6 6 8 8 4 6 8 4 6 83 5 7-- > -- > ---- ・46 8（法4）:取倒数比较法：- = \-f - = 1-, - = 1丄易得：所以：进而得到答 3 35 5 7 7 357 4 6 8案.【点评】题后小结：从中我们可以发现规律：对于真分数巴，有-为正整数）.n n n + k⑵根据有理数大小比较法则，可转化为比较5个分数？，,匕的大小，要比较分类38231719大小，通常的做法是通分，再比较分子的大小，这道题的5个分母通分，公分母是个很大的数， 算起来很复杂，如杲我们换个角度思考：将5个分数的分子换成相同的数，再比较分母的大小， 也就是说，先找出分子的最小公倍数60,再将这些分数进行等值变换，5个分数依次等于：【例8】 若a<m<{,则m, —, nr 的大小关系 ___________in【解析】m 2< m V 丄，可以利用特殊值法，能很容易得到答案m【例9】有理数b 满足岡<3,并且有理数d 满足a<b 恒成立，则d 的収值范围是 ____________ 【解析】aW —3【例10】（北京市迎春杯竞赛题）如果-\<a< 0,请用“v”将a, —a, / , -ci 2,丄，-丄连接起来.a a 【解析】可以理论推导，也可以设数法.丄vav-/一丄a a丄灵机一动99° 119> 已知户二孑厂0 =耐，那么P ，Q 的大小关系为 ________________【解析】因为999 =（9xll ）9=99xll 9,所以P = Q60 6060 60 60 90, 96，92 ' 102 ' 95“ 10 / 5 / 12 15 2 即—<- < — <—— <-,18 19 23• 60 60 60 60 60• • — — —102 96 9592 90• 10、5、12、 15、2 17 8 19233> 己知也+f=o，贝u丄与“的值中较大的是b \a a【解析】因为也+ _1 = 0,所以等式左边两个加数中必然一个是1,另一个是一1,即异号，因而b a -->0, ab<0,所以较大的是一2丄家庭作业1在数轴上画出表示2一4,。